第08讲二次函数与一元二次方程、不等式 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

彪哥数学训练营 领先高考培优课程 高一数学新课讲义 打基础，精选题，不超前 必修一 24 目标双一流 23 目标双一流 学科网（北京）股份有限公司 Contents 目录 第08讲 二次函数与一元二次方程、不等式 模块一 解一元二次不等式 1 综合题小练 恒成立问题（3）参变分离 课后作业 附解析 21 模块三 一元二次不等式的分类讨论 9 模块二 3个“二次“的关系 5 目标双一流 学科网（北京）股份有限公司 第08讲 二次函数与一元二次方程、不等式 课堂思维碰撞 本 课 目 标 · 理解核心概念：准确理解一元二次不等式的定义，掌握二次函数零点与一元二次方程实数根的对应关系。 · 掌握解法原理：深刻理解“三个二次”之间的内在联系，能熟练借助二次函数的图象来求解一元二次不等式。 · 熟练代数运算：掌握解一元二次不等式的标准步骤（化正、求根、画图、写解集），并能解决简单的含参问题及实际应用问题。 模块一 解一元二次不等式 知 识 点 睛 1. 二次函数的零点与方程的根 · 零点定义：一般地，对于二次函数 ，我们把使 的实数 叫做二次函数的零点。 · 核心联系：二次函数的零点，就是其图象与 轴交点的横坐标，也就是一元二次方程 的实数根。 2. “三个二次”的内在联系（核心重点！） 以 为例，设一元二次方程 的两根为 ( )，则： · 当 时：图象与 轴有两个交点。 · 的解集为（图象在 轴上方，大于取两边）。 · 的解集为 （图象在 轴下方，小于取中间）。 · 当 时：图象与 轴有一个交点（相切）。 · 的解集为 。 · 的解集为 （空集）。 · 当 时：图象与 轴无交点（全在 轴上方）。 · 的解集为 （全体实数）。 · 的解集为 （空集）。 3. 解一元二次不等式的标准“四步曲” 1. 化正：将不等式化为标准形式，确保二次项系数 。（若 ，不等式两边同乘，切记变号！） 1. 求根：计算判别式 ，求出对应一元二次方程的实数根。 1. 画图：根据 和求出的根，快速画出二次函数 的草图。 1. 写解集：根据不等号的方向，结合图象写出解集（大于取两边，小于取中间）。 4. 核心避坑指南（易错点） · 端点取值：如果不等式带有等号（ 或 ），解集的区间端点要写成闭区间（包含根）；如果不带等号，写成开区间。 热 点 题 型 归 纳 解一元二次不等式 【例1】 解不等式： 解：①化正： ；②求根：两根为-3和1；③画图：，观察y大于0时，对应x的取值范围在两根之外；④写解集：. 【小练一下】（一）解不等式。 1. 不等式 的解集是 ____________。 1. 不等式 的解集是 ____________。 1. 求不等式 的解集。 1. 求不等式 的解集。 （2） 逆向思维 5. 已知不等式 的解集为 ，求实数 的值。 【答案】1. 2. 3. 4. 5. 【解析】1.方程 的两根为 。开口向上，小于 取中间∴ 2.原不等式两边同乘变号，得，即。因为平方数非负，所以只能等于，解得 。 3. ① 化正：二次项系数 ，无需处理。 ② 求根：解方程 ，因式分解得 ，两根为 。 ③ 画图：开口向上，与 轴交于 和 。 ④ 写解集：大于 取两边。故解集为。 4. ① 化正：二次项系数 。 ② 求根：计算判别式 。方程无实数根。 ③ 画图：开口向上，且与 轴无交点，图象全在 轴上方。 ④ 写解集：函数值恒大于 ，不可能小于 。故解集为 。 5. 因为不等式 的解集为 （小于取中间），说明抛物线开口向下，即 。且方程 的两根必定为 。 根据韦达定理（根与系数的关系）： ① ② 由②解得 。 代入①，得 ，解得 。 答案： 。 解分式不等式 步骤：不等式两边同时乘以分母的平方即可化成解一元二次不等式的问题； 也可以移项后通分化简，利用，化成一元二次不等式问题； 【例2】 （单选） 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：不等式 ，即，即，则， 解得，故原不等式的解集为；故答案为： 【练习1】 不等式的解集为______. 【答案】 【解析】由，可得：，即， 即，解得：，所以解集为：， 故答案为： 【练习2】 （单选）已知，，若是的充分不必要条件，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由，得，所以， 若是的充分不必要条件，则的解集必为， 所以，所以，得.故选：B. 模块二 3个“二次”的关系 知 识 点 睛 ①已知一元二次不等式的解集可以确定二次函数图像的开口方向，两根，用韦达定理即可解除a,b,c； ②重新认识韦达定理，除了用求根公式可以推导，还可以用等式的性质： 推广到三次方程，四次方程是怎样？推推看。 【解析】，有三根，则有 热 点 题 型 归 纳 【例3】 （多选）已知关于的不等式解集为，则（ ） A. B. 不等式的解集为 C. D. 不等式的解集为 【答案】BCD 【解析】因为关于的不等式解集为， 所以和是方程的两个实根，且，故错误； 所以，，所以， 所以不等式可化为，因为，所以，故正确； 因为，又，所以，故正确； 不等式可化为，又， 所以，即，即，解得,故正确. 故选：BCD. 【练习3】 （单选） 若不等式的解集为，则函数的图象可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由题可得和是方程的两个根，且， ，解得， 则， 则函数图象开口向下，与轴交于. 故选：C. 【练习4】 （多选） 已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的有（ ） A. B. 不等式的解集为 C. D. 不等式的解集为或 【答案】ABD 【解析】因为关于不等式的解集为或， 所以，故A正确； 由题意，方程的根为，4，则，， 所以，，所以，故C错误； 不等式，等价于，解得， 所以不等式的解集为，故B正确； 不等式等价于，即为，解得或， 所以不等式的解集为或，故D正确.故选：ABD. 【练习5】 若，则__________. 【答案】 【解析】由题意，等式右边， 因等式左边为，对照即得： ，解得，则. 故答案为：10. 【练习6】 （单选） 已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ） A. -2 B. 1 C. 2 D. 【答案】C 【解析】由题意得，，方程两根为， ∴，∴， ∵，，∴， ∴，当且仅当，即时等号成立，∴的最小值为. 故选：C. 模块三 一元二次不等式的分类讨论 知 识 点 睛 解含参的一元二次不等式分类讨论的思路与解不等式的步骤相同： ①若二次项系数带参，分三种情况来看； ②尝试十字相乘找出两根，若不会十字相乘法，可以直接求根公式，分三种情况来求解；（若用求根公式，此时的△一般为平方数，可以直接开方） ③若无法直接找出两根，求△，分三种情况来看。 ④若题中给出根的范围，第②、③步求出的根还需分析是否在题中所给的范围内，结合图像来求解。 恒成立问题（3）：当题中含两个变量时，可以使用参变分离转化成求式子最值的问题 热 点 题 型 归 纳 【例4】 已知关于的不等式的解集为． （1）求实数，的值； （2）求关于的不等式的解集；（分类讨论） （3）若对任意的实数 恒成立，求实数的取值范围．（参变分离） 【答案】（1）， （2）答案见解析 （3） 【解析】（1）由题意可得：的两根为和2，且， 所以，解得：，． （2）由（1）知：可化为：， 即：， 当，不等式为：，得， 当，的两根为：和 ①，解集为：， ②，（i），即时，解集为：； （ⅱ），即时，的解集为；； （ⅲ），即时，的解集为：； 综上：时，解集为； 时，解集为：； 时，解集为：； 时，解集为：； 时，解集为：. （3）若对任意的实数，恒成立， 由（1）可化为：， 即，对任意恒成立， 令，可得， 因为，对称轴为：，可知在内单调递增， 所以当时，，可得， 所以实数的取值范围为． 【练习7】 （单选）设，，若是的必要不充分条件,则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为是的必要不充分条件，所以是的充分不必要条件，解不等式，得，解不等式得，由题意知是的真子集，所以，即. 故选：A. 【练习8】 （多选）关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】， 若，则，解集为， 若，解得， 因为解集中恰有两个整数，所以， 若，解得， 因为解集中恰有两个整数，所以， 综上，或. 故选：BD 【练习9】 已知关于的不等式组有且仅有一个整数解，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】解不等式，得，得或； 解方程，得，， ①当时，原不等式无解，此时不满足题意； ②当，即时，不等式的解满足， 此时不等式组 的解集为， 若不等式组的解集中仅有一个整数，则，即； ③当，即时，不等式的解为， 因为比大，且与最接近的整数是， 所以若不等式组仅有一个整数解， 则，即， 综上所述，可知的取值范围为， 故答案为： 【练习10】 已知函数． （1）若不等式的解集为，求的取值范围； （2）解关于的不等式； （3）若不等式对一切恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或 （3） 【解析】（1）当，即时，，不合题意； 当，即时，， 即，解得． （2）化为即， ①当，即时，解集为； ②当，即时，， ∵，∴解集为； ③当，即时，， ∵，∴解集为或， 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或． （3）可化为， ∵，∴， 令，则， ， 当且仅当，即，时，等号成立，即当时，在上取得最大值1，故要使不等式对一切恒成立，则． 【练习11】 已知关于x的不等式，． （1）解这个关于x的不等式； （2），恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】（1）当时，原不等式即为，解得，解集为； 当时，原不等式化为，解集为或； 当时，原不等式化为， ①若，可得，解集为； ②若，则，可得解集为； ③若，则，可得解集为； （2）对，恒成立， 等价为在上恒成立， 由于恒成立，可得在上恒成立， 设，，可得，， 在时取得最小值2，可得的最大值为1，则． 即a的取值范围是． 【综合题小练】 1.（单选） 已知关于的不等式组仅有一个整数解，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解不等式，得或， 解方程，得，． （1）当，即时，不等式解为：， 此时不等式组的解集为或， 若不等式组的解集中仅有一个整数，则，即， （2）当，即时，不等式的解为： 此时不等式组的解集为， 若不等式组的解集中仅有一个整数，则，即， 综上，可知的取值范围为．故选：B. 2.已知函数. （1）当时，求解关于的不等式； （2）若方程有两个正实数根，求的最小值. 【答案】（1）； （2）6 【解析】（1）当时, 不等式即为，解得或， 故不等式解集为 ； （2）方程有两个正实数根， 即有两个正实数根， 故，解得； 所以， 令，则，故， 当且仅当即时取得等号，故的最小值为6. 3.已知函数. （1）若不等式的解集为，求实数a的取值范围； （2）解关于不等式； （3），使得不等式有解，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】（1）不等式的解集为，即恒成立， 当时，的解集不为； 当时，恒成立，则，解得，所以实数a的取值范围为. （2）由题意得， 当时，解得； 当时，是开口向上的抛物线，两根分别为和， 当，即时，的解为或， 当，即时，的解为， 当，即时，的解为或； 当时，是开口向下的抛物线，两根分别为和，且， 此时的解为； 综上，当时，的解集为，当时，的解集为， 当时，的解集为，当时，的解集为， 当时，的解集为. （3）由题意整理得，使得不等式有解， 当时，解得，故使得不等式有解， 当时，是开口向上的抛物线，只需在上即可， 因为的对称轴为，此时对称轴， 所以当，即时，， 整理得，结合可得此时； 当，即时，，结合可得此时； 当时，是开口向下的抛物线， 当时,所以当时，，使得不等式有解， 综上的取值范围为. 4.已知二次函数. （1）若的解集为，解关于的不等式； （2）已知，若对于一切实数恒成立，并且存在，使得成立，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）因为的解集为，所以， 所以 ，故关于的不等式的解集为； （2）当时，， 因为对于一切实数恒成立，所以， 因为存在，使得成立， 所以，即，而所以有， 因为，， 所以， 当且仅当时取等号，即当取等号， 的最小值为 5. 命题，命题. （1）当为真，且为真，求实数的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）， 【解析】（1）由可得， 即，其中，得，， 若，命题为实数满足，解可得：， 由解得．即． 当，同时为真，有，解得， 实数的取值范围． （2）若是的充分不必要条件，则是的充分不必要条件， 由集合法可得，，．所以，解得． 实数的取值范围为，． 课后作业 一、 选择题（概念辨析，夯实基础） 1. 不等式 的解集为（ ） A. B. C. D. 1. 已知关于 的不等式 的解集为空集，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 1. 若不等式 的解集为 ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 二、 填空题（精准识记，规范表达） 1. 不等式 的解集是 ____________。 1. 已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值范围为 ____________。 1. 已知函数 ，若不等式 的解集为 ，则实数 的取值范围是 ____________。 三、 解答题（逻辑推理，综合应用） 1. 解下列关于 的不等式： （1） ； （2） 。 【作业解析】 一、 选择题 1. 【答案】A。解析：原不等式两边同乘 变号，得 。因式分解得 ，解得 。故选 A。 2. 【答案】B。解析：不等式 的解集为空集，意味着二次函数 的图象恒在 轴上方或相切，即对应方程 的判别式 。所以 ，解得 。故选 B。 3. 【答案】A。解析：由解集 可知， ，且 和 是方程 的两根。根据韦达定理： ； 。所以 。故选 A。 二、 填空题 4. 【答案】 。解析：因式分解得 ，小于 取中间，解得 。 5. 【答案】 。解析：解不等式 得 ，即 。对集合 中的不等式因式分解得 ，解得 ，即 。因为 ，所以区间的右端点必须满足 ，解得 。 6. 【答案】 。解析：不等式 的解集为 ，即 恒成立，等价于 恒成立。所以判别式 ，解得 。 三、 解答题 7. 【解析】 （1）方程 的两根为 ， 。因为二次项系数 ，大于 取两边。故不等式的解集为。 （2）因为 ，所以 。对应方程 的两根为 和 。因为二次项系数 ，小于 取中间。故不等式的解集为 。 23 目标双一流 学科网（北京）股份有限公司 $ 彪哥数学训练营 领先高考培优课程 高一数学新课讲义 打基础，精选题，不超前 必修一 24 目标双一流 23 目标双一流 学科网（北京）股份有限公司 Contents 目录 第08讲 二次函数与一元二次方程、不等式 模块一 解一元二次不等式 1 综合题小练 恒成立问题（3）参变分离 课后作业 ................................................................... 10 模块三 一元二次不等式的分类讨论 6 模块二 3个“二次“的关系 4 目标双一流 学科网（北京）股份有限公司 第08讲 二次函数与一元二次方程、不等式 课堂思维碰撞 本 课 目 标 · 理解核心概念：准确理解一元二次不等式的定义，掌握二次函数零点与一元二次方程实数根的对应关系。 · 掌握解法原理：深刻理解“三个二次”之间的内在联系，能熟练借助二次函数的图象来求解一元二次不等式。 · 熟练代数运算：掌握解一元二次不等式的标准步骤（化正、求根、画图、写解集），并能解决简单的含参问题及实际应用问题。 模块一 解一元二次不等式 知 识 点 睛 1. 二次函数的零点与方程的根 · 零点定义：一般地，对于二次函数 ，我们把使 的实数 叫做二次函数的零点。 · 核心联系：二次函数的零点，就是其图象与 轴交点的横坐标，也就是一元二次方程 的实数根。 2. “三个二次”的内在联系（核心重点！） 以 为例，设一元二次方程 的两根为 ( )，则： · 当 时：图象与 轴有两个交点。 · 的解集为（图象在 轴上方，大于取两边）。 · 的解集为 （图象在 轴下方，小于取中间）。 · 当 时：图象与 轴有一个交点（相切）。 · 的解集为 。 · 的解集为 （空集）。 · 当 时：图象与 轴无交点（全在 轴上方）。 · 的解集为 （全体实数）。 · 的解集为 （空集）。 3. 解一元二次不等式的标准“四步曲” 1. 化正：将不等式化为标准形式，确保二次项系数 。（若 ，不等式两边同乘，切记变号！） 1. 求根：计算判别式 ，求出对应一元二次方程的实数根。 1. 画图：根据 和求出的根，快速画出二次函数 的草图。 1. 写解集：根据不等号的方向，结合图象写出解集（大于取两边，小于取中间）。 4. 核心避坑指南（易错点） · 端点取值：如果不等式带有等号（ 或 ），解集的区间端点要写成闭区间（包含根）；如果不带等号，写成开区间。 热 点 题 型 归 纳 解一元二次不等式 【例1】 解不等式： 【小练一下】（一）解不等式。 1. 不等式 的解集是 ____________。 1. 不等式 的解集是 ____________。 1. 不等式 的解集是 ____________。 1. 不等式 的解集是 ____________。 （2） 逆向思维 5. 已知不等式 的解集为 ，求实数 的值。 解分式不等式 步骤：不等式两边同时乘以分母的平方即可化成解一元二次不等式的问题； 也可以移项后通分化简，利用，化成一元二次不等式问题； 【例2】 （单选） 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【练习1】 不等式的解集为______. 【练习2】 （单选）已知，，若是的充分不必要条件，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 模块二 3个“二次”的关系 知 识 点 睛 ①已知一元二次不等式的解集可以确定二次函数图像的开口方向，两根，用韦达定理即可解除a,b,c； ②重新认识韦达定理，除了用求根公式可以推导，还可以用等式的性质： 推广到三次方程，四次方程是怎样？推推看。 热 点 题 型 归 纳 【例3】 （多选）已知关于的不等式解集为，则（ ） A. B. 不等式的解集为 C. D. 不等式的解集为 【练习3】 （单选） 若不等式的解集为，则函数的图象可以为（ ） A. B. C. D. 【练习4】 （多选） 已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的有（ ） A. B. 不等式的解集为 C. D. 不等式的解集为或 【练习5】 若，则__________. 【练习6】 （单选） 已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ） A. -2 B. 1 C. 2 D. 模块三 一元二次不等式的分类讨论 知 识 点 睛 解含参的一元二次不等式分类讨论的思路与解不等式的步骤相同： ①若二次项系数带参，分三种情况来看； ②尝试十字相乘找出两根，若不会十字相乘法，可以直接求根公式，分三种情况来求解；（若用求根公式，此时的△一般为平方数，可以直接开方） ③若无法直接找出两根，求△，分三种情况来看。 ④若题中给出根的范围，第②、③步求出的根还需分析是否在题中所给的范围内，结合图像来求解。 恒成立问题（3）：当题中含两个变量时，可以使用参变分离转化成求式子最值的问题 热 点 题 型 归 纳 【例4】 已知关于的不等式的解集为． （1）求实数，的值； （2）求关于的不等式的解集；（分类讨论） （3）若对任意的实数 恒成立，求实数的取值范围．（参变分离） 【练习7】 （单选）设，，若是的必要不充分条件,则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【练习8】 （多选）关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围可能是（ ） A. B. C. D. 【练习9】 已知关于的不等式组有且仅有一个整数解，则的取值范围为______. 【练习10】 已知函数． （1）若不等式的解集为，求的取值范围； （2）解关于的不等式； （3）若不等式对一切恒成立，求的取值范围． 【练习11】 已知关于x的不等式，． （1）解这个关于x的不等式； （2），恒成立，求a的取值范围． 【综合题小练】 1.（单选） 已知关于的不等式组仅有一个整数解，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2.已知函数. （1）当时，求解关于的不等式； （2）若方程有两个正实数根，求的最小值. 3.已知函数. （1）若不等式的解集为，求实数a的取值范围； （2）解关于不等式； （3），使得不等式有解，求实数的取值范围. 4.已知二次函数. （1）若的解集为，解关于的不等式； （2）已知，若对于一切实数恒成立，并且存在，使得成立，求的最小值. 5. 命题，命题. （1）当为真，且为真，求实数的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 课后作业 一、 选择题（概念辨析，夯实基础） 1. 不等式 的解集为（ ） A. B. C. D. 1. 已知关于 的不等式 的解集为空集，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 1. 若不等式 的解集为 ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 二、 填空题（精准识记，规范表达） 1. 不等式 的解集是 ____________。 1. 已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值范围为 ____________。 1. 已知函数 ，若不等式 的解集为 ，则实数 的取值范围是 ____________。 三、 解答题（逻辑推理，综合应用） 1. 解下列关于 的不等式： （1） ； （2） 。 23 目标双一流 学科网（北京）股份有限公司 $