4.1.2 无理数指数幂及其运算性质-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册创新导学案Word（人教A版）

数学 必修 第一册 RJA 4.1.2　无理数指数幂及其运算性质 (教师独具内容) 课程标准：1.通过对实数指数幂ax(a＞0，x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程.2.掌握实数指数幂的运算性质． 教学重点：1.指数幂由有理数扩充到无理数的过程.2.实数指数幂的运算． 教学难点：无理数指数幂的意义的理解． 核心素养：1.通过对实数指数幂ax含义的认识，提升数学抽象素养.2.借助指数幂的运算性质对代数式化简或求值，培养数学运算素养． 知识点一　无理数指数幂 (1)对于无理数指数幂，我们只需要了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数指数幂无限逼近的结果． (2)定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围． 知识点二　实数指数幂的运算性质 (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)． (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)． (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)． [拓展]　＝ar－s(a>0，r，s∈R)． [提醒]　实数指数幂中一定要有a>0. 1．(无理数指数幂的运算)×9π＝(　　) A．3π－ B．32π－ C. D. 答案：B 2．(实数指数幂的运算)若2α＝3，2β＝5，则2α＋β＝________． 答案：15 3．(条件求值)若x－x＝5，则的值为________． 答案：27 题型一　无理数指数幂的运算　　 例1　计算下列各式： (1)(3×)3； (2)a·a÷aπ； (3)已知a＝10，b＝10，c＝10，求103－2＋的值． [解]　(1)原式＝＝36×22＝2916. (2)原式＝a＝a. (3)原式＝＝＝. 【感悟提升】关于无理数指数幂的运算 (1)无理数指数幂的运算性质与有理数指数幂的运算性质相同． (2)若式子中含有根式，则先化为指数式再进行运算，一般指数中的根式可以保留． 【跟踪训练】 1．计算下列各式： (1)；(2). 解：(1)原式＝(π)3＝(π)3＝π3. (2)原式＝＝(m)6＝mπ. 题型二　实际问题中的指数运算 例2　视力表(如图)中采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式．已知表中各行“E”字视标约为正方形，每一行“E”的边长都是上一行“E”的边长的，若视力4.0的视标边长约为10 cm，则视力4.9的视标边长约为(　　) A. cm B. cm C. cm D. cm [解析]　由题意可得，视力4.9的视标边长约为10×＝10×10＝10＝ cm.故选A. [答案]　A 【感悟提升】指数运算在实际问题中的应用 在成倍数递增(递减)、固定增长率(下降率)等问题中，常用到指数运算，用来计算增减的次数、增减前后的数量等． 【跟踪训练】 2．某种细菌在培养过程中，每15分钟分裂1次(由1个分裂成2个)，则这种细菌由1个分裂成4096个需经过________小时． 答案：3 解析：设细菌由1个分裂成4096个分裂了x次，则2x＝4096＝212，则x＝12，即分裂12次，需经过12×15＝180(分钟)，即3小时． 题型三　指数幂运算中的条件求值 例3　已知a＋a＝4，求下列各式的值： (1)a＋a－1；(2)a2＋a－2. [解]　(1)将a＋a＝4两边平方， 得a＋a－1＋2＝16， 故a＋a－1＝14. (2)将a＋a－1＝14两边平方，得a2＋a－2＋2＝196，故a2＋a－2＝194. [结论探究]　在本例条件不变的情况下，求a－a－1和a2－a－2的值． 解：令a－a－1＝t，两边平方， 得a2＋a－2＝t2＋2， ∴t2＋2＝194，即t2＝192， ∴t＝±8，即a－a－1＝±8. a2－a－2＝(a－a－1)(a＋a－1)＝±8×14＝±112. 【感悟提升】解决条件求值问题的思路及常见变形 (1)整体代换法的思路 (2)常见变形：①(a＋b)(a－b)＝a－b；②(a±b)2＝a±2ab＋b；③(a±b)(a∓ab＋b)＝a±b(a，b均使式子有意义)． 【跟踪训练】 3．已知2x＋2－x＝a(常数)，求8x＋8－x的值． 解：令2x＝t，则2－x＝t－1，所以t＋t－1＝a　①. 将①两边平方，整理得t2＋t－2＝a2－2， 则8x＋8－x＝t3＋t－3＝(t＋t－1)(t2－t·t－1＋t－2)＝a(a2－3)＝a3－3a. 1．计算(2)的结果是(　　) A. B．－ C．2 D. 答案：D 解析：(2)＝2－1＝. 2．已知实数a>0，b>0，则下列结论中正确的是(　　) A．a＝ B．a·a＝a C．(a)6＝a6b3 D．a·a＝0 答案：C 解析：a＝，A错误；a·a＝a，B错误；(a)6＝a6b3，C正确；a·a＝a0＝1，D错误．故选C. 3．一张足够大的正方形纸，其厚度为0.01 cm，现将该纸对折(即沿对边中点连续折叠)10次，这时，这张纸的厚度为(　　) A．2.56 cm B．5.12 cm C．10.24 cm D．20.48 cm 答案：C 解析：对折10次后，这张纸的厚度为0.01×210＝10.24 cm. 4．(多选)已知a＋a－1＝3，则下列结论中正确的是(　　) A．a2＋a－2＝7 B．a3＋a－3＝16 C．a＋a＝± D．a＋a＝2 答案：AD 解析：∵a＋a－1＝3，∴a2＋a－2＝(a＋a－1)2－2＝32－2＝7，故A正确；a3＋a－3＝(a＋a－1)·(a2＋a－2－1)＝3×(7－1)＝18，故B不正确；∵(a＋a)2＝a＋a－1＋2＝3＋2＝5，a>0，∴a＋a＝，故C不正确；∵a＋a＝(a)3＋(a)3＝(a＋a)(a＋a－1－1)＝×(3－1)＝2，故D正确．故选AD. 5．已知a2m＋n＝，am－n＝256，a>0，则a5m＋n＝______． 答案：16 解析：a5m＋n＝(a2m＋n)2·am－n＝×256＝16. 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ 对点 无理数指数幂的化简 无理数指数幂的运算 实数指数幂的运算 实数指数幂的运算 实数指数幂的运算 实际问题中的指数运算 实数指数幂的运算 实数指数幂的运算 实数指数幂的运算 实数指数幂的运算 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 难度 ★★ ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ ★★★ 对点 条件求值——整体代换法求无理数指数幂 无理数指数幂的运算 实数指数幂的运算 条件求值——整体代换法求分数指数幂 条件求值——整体代换法求根式的值 条件求值——换元法、整体代换法求参数值 条件求值——整体代换法求值 实数指数幂运算的应用——解决证明问题 条件求值——换元法、整体代换法求分数指数幂 一、单项选择题 1．化简×82为(　　) A．2－7 B．25 C．2－5 D．27 答案：B 解析：×82＝2－×26＝25.故选B. 2．计算：3π×＋(22)＋1＝(　　) A．17 B．18 C．6 D．5 答案：B 解析：原式＝＋22×＋1＝1π＋24＋1＝18. 3．若2a＝，则8a＝(　　) A．2 B. C. D. 答案：B 解析：因为2a＝，所以8a＝23a＝(2a)3＝＝.故选B. 4．若b－3n＝5m(m，n∈N*)，则b＝(　　) A．5 B．5 C．5 D．5 答案：B 解析：因为b－3n＝5m，则(b－3n) ＝(5m)，即b＝5.故选B. 5．已知a，b∈R，2a－b＝3，则＝(　　) A．27 B．9 C．3 D. 答案：A 解析：因为2a－b＝3，所以＝＝＝32a－b＝33＝27.故选A. 6．从盛满10 L纯硫酸的容器里倒出1 L，然后用水填满并搅拌均匀，这样继续下去，第三次填满后的硫酸浓度为(　　) A．70.4% B．67.2% C．81% D．72.9% 答案：D 解析：每次填满后，硫酸浓度都是原来的，所以第三次填满后的硫酸浓度为×100%＝72.9%.故选D. 7．若3α＝5，3β＝6，则＝(　　) A．33α－2β B. C．3α3－β2 D．325α－6β 答案：A 解析：＝＝＝＝33α－2β.故选A. 8．若a，b是正实数，且满足，则a与b的关系正确的是(　　) A．a＋3＝8b B．3a＝8b C．a＋3＝b8 D．3a＝8＋b 答案：A 解析：由题意知，正实数a，b满足，可得8×2a＝(2b)8，即23×2a＝28b，所以23＋a＝28b，即3＋a＝8b.故选A. 二、多项选择题 9．下列运算正确的是(　　) A.＝4 B．107＝27×57 C．33×94＝324 D. ＝64 答案：BD 解析：对于A，＝20.5＝2＝，故A错误；对于B，107＝(2×5)7＝27×57，故B正确；对于C，33×94＝33×(32)4＝33×38＝311，故C错误；对于D， ＝＝＝26＝64，故D正确．故选BD. 10．设m，n是方程2x2＋3x－1＝0的两根，则下列各式的值等于8的是(　　) A．m2＋n2 B. C．64mn D. 答案：BD 解析：因为m，n是方程2x2＋3x－1＝0的两根，所以由根与系数的关系，得m＋n＝－，mn＝－，所以m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝，＝＝＝8，64mn＝64＝8－，＝(64－m)n＝64－mn＝64＝8.故选BD. 11．已知a－－a＝3，下列各式中正确的是(　　) A．a2＋a－2＝11 B．a3－a－3＝12 C．a－＋a＝ D．a－4＋＝10 答案：ACD 解析：a2＋a－2＝(a－－a)2＋2a－＋＝9＋2＝11，故A正确；a3－a－3＝－(a－－a)(a－2＋a－＋＋a2)＝－3×(11＋1)＝－36，故B错误；(a－＋a)2＝a－2＋a2＋2＝11＋2＝13，又a>0，所以a－＋a＝，故C正确；a－4＋＝a－4·a＋＝a－3＋a3＝(a－＋a)(a－2＋a2－a－)＝×(11－1)＝10，故D正确．故选ACD. 三、填空题 12．已知a>0，b>0，则(a1－b)1＋b1－＝________． 答案： 解析：因为a>0，b>0，所以(a1－b)1＋b1－＝a(1－)(1＋)b1＋b1－＝a－1b2＝. 13．已知a>0，am＝4，an＝3，则a＝__________，a2m－n＝__________． 答案：　 解析：依题意，得a＝＝＝＝，a2m－n＝＝＝＝. 14．若a＋＝7，则a＋a＝________，a－a＝________． 答案：3　±5 解析：设a＋a＝t，则a＋＋2＝t2，即t2＝7＋2＝9.又a>0，所以a＋a＝3.设a－a＝m，则a＋－2＝m2，即m2＝5，所以m＝±.综上，a＋a＝3，a－a＝±. 15．已知ab＝－5，则a＋b的值是(　　) A．2 B．0 C．－2 D．±2 答案：B 解析：由题意知ab<0，a＋b＝a＋b＝a＋b＝a＋b＝0.故选B. 16．设2a＝5b＝m(a>0，b>0，m>0)，且＋＝2，则m＝(　　) A. B．10 C．20 D．100 答案：A 解析：∵2a＝m，5b＝m，∴2＝m，5＝m，∵2×5＝m·m＝m，∴m2＝10，∴m＝.故选A. 17．已知x＋y＝12，xy＝9，且x>y，求的值． 解：∵x＋y＝12，xy＝9，且x>y， ∴(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝108， ∴x－y＝6. ∴＝ ＝ ＝＝＝. 18．若a，b为不等于1的正数，并且实数x，y，z满足关系式＋＝.求证： (1)若ax＝by，则ax＝(ab)z； (2)若ax＝(ab)z，则by＝(ab)z. 证明：(1)由得 将①代入②，得ax＝b， ∴a＝b，∴ax－z＝bz，∴＝bz， ∴ax＝(ab)z. (2)由ax＝(ab)z，得a＝(ab)＝a·b， ∵＋＝，∴＝1－，＝1－. 由a＝a·b，得a＝b，即a＝b， ∴az＝by－z，两边同乘以bz，得by＝(ab)z. 19．设a＋b＝4，x＝a＋3ab，y＝b＋3ab，求(x＋y)＋(x－y)的值． 解：令a＝A，b＝B， 则x＝A3＋3AB2，y＝B3＋3A2B， x＋y＝A3＋3AB2＋3A2B＋B3＝(A＋B)3， x－y＝A3＋3AB2－3A2B－B3＝(A－B)3. 所以(x＋y)＋(x－y)＝(A＋B)2＋(A－B)2＝2(A2＋B2)＝2(a＋b)＝8. 2 学科网（北京）股份有限公司 $