第01讲集合的概念 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

彪哥数学训练营 领先高考培优课程 高一数学新课讲义 打基础，精选题，不超前 必修一 24 目标双一流 23 目标双一流 学科网（北京）股份有限公司 Contents 目录 第01讲 集合的概念 模块一 集合与元素的概念，元素的三个基本特性（重点） 1 课后作业 ················································································································································································· 6 模块四 集合的表示方法（核心） 4 模块三 常用数集及其符号（必背） 4 模块二 元素与集合的关系 3 目标双一流 学科网（北京）股份有限公司 第01讲 集合的概念 课堂思维碰撞 本 课 目 标 1. 理解核心概念：知道集合、元素是什么，掌握元素的三大特性（确定性、互异性、无序性），能判断元素与集合的“∈”关系。 2. 熟记常用数集：准确记忆并区分   五个常用数集。 3. 熟练掌握集合的两种表示方法: 列举法和描述法。 模块一 集合与元素的概念、元素的三个基本特性 知 识 点 睛 1、元素：把研究对象统称为元素，通常用小写拉丁字母   等表示。 2、集合：把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集），通常用大写拉丁字母   等表示。 3、元素的三个基本特性（重点） · _：给定一个集合，任何一个元素在不在这个集合中是确定的。例如：“班里个子高的同学”不能构成集合，因为标准不明确；“班里身高超过175cm的同学”可以构成集合。 ·    _：集合中的元素互不相同。例如：由字母   组成的集合应写为  。 ·      ：集合中的元素没有先后顺序。例如： 与是同一个集合。 4、空集：，当集合中无任何元素时，该集合叫空集。 热 点 题 型 归 纳 【例1】 （单选）下列元素所组成的总体，能表示集合的是（ ） A. 高一年级打篮球好的学生 B. 高一年级比较难的学科 C. 高一年级所有男生 D. 高一年级写字好的学生 【例1】 【练习1】 判断下列对象能否构成集合，并说明理由。 (1) 所有的正三角形。 (2)接近于  的全体实数。 (3) 某班数学成绩优秀的同学。 (4)方程   的所有实数根。 【练习2】 判断下列说法是否正确，并说明理由：集合   中共有   个元素。 【练习3】 （单选）若集合，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【练习4】 （单选）下列表述中正确的是（ ） A. B. C. D. 模块二 元素与集合的关系 知 识 点 睛 · 如果   是集合   的元素，就说    _______  ，记作  。 · 如果   不是集合   的元素，就说    _______ ，记作  。 热 点 题 型 归 纳 【例2】 已知，则______．（介绍分类讨论的思想与答题规范） 【练习5】 已知集合   中含有两个元素   和  ，若  ，求实数   的值。 【练习6】 （单选） 已知，则 的值为（ ） A. 1或 B. 1 C. D. 1或 模块三 常用数集及其符号 知 识 点 睛 · 自然数集（非负整数集）：  _____ （包含  ） · 正整数集： _____（不包含  0） ·  整数集： _____ ·  有理数集： _____ ·  实数集： _____ 【小练一下】用  或  填空 （1） ____  （2） ____  （3）  ____  （4） ____  模块四 集合的表示方法 知 识 点 睛 · 列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“ ”括起来。  书写规范：元素之间用逗号“ ”隔开；注意互异性（如   不能写成  ）；无限集需列出几个能反映规律的代表元素，再用省略号“ ”表示（如自然数集  ）。 · 描述法：用集合所含元素的共同特征来表示集合的方法。一般格式为： ，竖线左边是代表元素，右边是元素满足的条件。 书写规范与易错点：必须写清楚代表元素是什么（如点集应写为  ）；如果代表元素有特定的数集限制，必须写在竖线左边（如  ）。 热 点 题 型 归 纳 【例3】（1）用列举法表示集合： 。 （2）用描述法表示集合： 。 【例4】 已知集合，用列举法表示集合，则__________. 【练习7】（单选）设集合，则（ ） A. B. C. D. 【练习8】 （单选）若集合,集合,且,则（ ） A. B. C. D. 【练习9】 一次函数  图象上所有点的集合表示为  ，对吗？若不对请改正。 【练习10】用适当的方法表示下列集合： ① 大于   且小于   的偶数组成的集合； ② 不等式   的解集。 课后作业 一、 选择题（单选） 1. 下列各组对象中，能组成集合的是（ ） A. 某校高一年级所有聪明的学生 B. 接近于 的所有实数 C. 平面上到定点 的距离等于定长 的所有点 D. 比较小的正整数 1. 已知集合 中含有三个元素 ，若 ，则实数 的值为（ ） A. B. C. D. 或 1. 下列关于元素与集合的关系表示正确的是（ ） A. B. C. D. 1. 若集合 是由方程 的所有实数根组成的，则集合中的元素个数为（ ） A. B. C. D. 二、 填空题 1. 用符号“ ”或“ ”填空： ______ ； ______ ； ______ ； ______ 。 1. 已知集合 是由单词 “mathematics” 中的所有字母组成的，则集合 中共有 ______ 个元素。 1. 已知集合 ，若 ，则实数 的值为 ______。 三、 解答题 1. 判断下列说法是否正确，并说明理由： （1）由 组成的集合中有 个元素。 （2）集合 与集合 是同一个集合。 1. 已知集合 中含有两个元素 和，若 ，求实数的值。 1. 已知集合 ，请用列举法表示集合 。 1. 用适当的方法（列举法或描述法）表示下列集合： （1）方程   的所有实数根组成的集合； （2）不等式   的解集； （3）一次函数   图象上所有点的集合。 23 目标双一流 学科网（北京）股份有限公司 $ 彪哥数学训练营 领先高考培优课程 高一数学新课讲义 打基础，精选题，不超前 必修一 24 目标双一流 23 目标双一流 学科网（北京）股份有限公司 Contents 目录 第01讲 集合的概念 模块一 集合与元素的概念，元素的三个基本特性（重点） 1 课后作业 附解析 9 模块四 集合的表示方法（核心） 6 模块三 常用数集及其符号（必背） 5 模块二 元素与集合的关系 4 目标双一流 学科网（北京）股份有限公司 第01讲 集合的概念 课堂思维碰撞 本 课 目 标 1. 理解核心概念：知道集合、元素是什么，掌握元素的三大特性（确定性、互异性、无序性），能判断元素与集合的“∈”关系。 2. 熟记常用数集：准确记忆并区分  五个常用数集。 3. 熟练掌握集合的两种表示方法: 列举法和描述法。 模块一 集合与元素的概念、元素的三个基本特性 知 识 点 睛 1、元素：把研究对象统称为元素，通常用小写拉丁字母   等表示。 2、集合：把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集），通常用大写拉丁字母   等表示。 3、元素的三个基本特性（重点） · _：给定一个集合，任何一个元素在不在这个集合中是确定的。例如：“班里个子高的同学”不能构成集合，因为标准不明确；“班里身高超过175cm的同学”可以构成集合。 ·    _：集合中的元素互不相同。例如：由字母   组成的集合应写为  。 ·      ：集合中的元素没有先后顺序。例如： 与是同一个集合。 【解析】确定性、互异性、无序性 热 点 题 型 归 纳 【例1】 （单选）下列元素所组成的总体，能表示集合的是（ ） A. 高一年级打篮球好的学生 B. 高一年级比较难的学科 C. 高一年级所有男生 D. 高一年级写字好的学生 【答案】C 【详解】对于A， 高一年级打篮球好的学生标准不明确，对象不确定，高一年级打篮球好 的学生不能形成集合，A不能表示集合； 对于B，高一年级比较难的学科，对某些人是难，对另外一些人不难，因此高一年级比较难的学 科标准不明确，对象不确定，高一年级比较难的学科不能形成集合，B不能表示集合； 对于C，高一年级所有男生，对象明确可知，是确定的，能形成集合，C能表示集合； 对于D，高一年级写字好的学生，对象不确定，高一年级写字好的学生不能形成集合，D不能表示集合； 故选：C 【练习1】 判断下列对象能否构成集合，并说明理由。 (1) 所有的正三角形。 (2)接近于  的全体实数。 (3) 某班数学成绩优秀的同学。 (4)方程   的所有实数根。 【答案】能，不能，不能，能 【详解】（1）能。正三角形的定义是明确的，满足元素的确定性。 （2）不能。“接近于  ”的标准不明确，不满足确定性。 （3）不能。“成绩优秀”没有统一的标准，不满足确定性。 （4）能。方程的解是确定的，为   和  ，满足确定性。 【练习2】 判断下列说法是否正确，并说明理由：集合   中共有   个元素。 【答案】错误 【详解】根据元素的互异性，集合中的元素不能重复出现，该集合应表示为  ，共有   个元素。 【练习3】 （单选）若集合，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】当时，，违反集合互异性； 当时，此时，符合题意， 故实数a的取值范围为. 故选：B. 【练习4】 （单选）下列表述中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】对于A，是含一个元素0的集合，不含任何元素，故A错误； 对于B，集合元素具有无序性，故正确； 对于C，是包含空集的集合（有一个元素），是空集（无元素），故错误； 对于D，表示有序数对集合，表示有序数对的集合，有序数对与不相等，故这两集合不相等，故错误；故选：B 模块二 元素与集合的关系 知 识 点 睛 · 如果   是集合   的元素，就说    _______  ，记作  。 · 如果   不是集合   的元素，就说    _______ ，记作  。 【解析】属于、不属于 热 点 题 型 归 纳 【例2】 已知，则______．（介绍分类讨论的思想与答题规范） 【答案】 【解析】因为，所以或，解得. 当时，，符合题意； 当时，，不符合集合元素互异性，舍去， 综上所述，， 故答案为： 【练习5】 已知集合   中含有两个元素   和  ，若  ，求实数   的值。 【答案】 【解析】 因为  ，且   中的元素为   和  ，所以   或  。 若  ，则  ，此时集合   的元素为  ，违背了元素的互异性，故舍去。 若  ，解得   或  （舍去）。当   时， ，集合   的元素为  ，满足 互异性。 【练习6】 （单选） 已知，则的值为（ ） A. 1或 B. 1 C. D. 1或 【答案】C 【解析】因为，所以当时，解得，此时，不符合集合元素的互异性，舍去； 当，即，即时，解得或（舍去）， 又时，，此时集合为，符合题意，所以． 故选：C 模块三 常用数集及其符号 知 识 点 睛 · 自然数集（非负整数集）：  _____ （包含  ） · 正整数集： _____（不包含  0） ·  整数集： _____ ·  有理数集： _____ ·  实数集： _____ 【解析】 【小练一下】用  或  填空 （1） ____  （2） ____  （3）  ____  （4） ____  【解析】（1）（自然数集包含）（2） （是整数）（3）（是无理数，不属于有理数集） （4） （正整数集从开始，不包含） 模块四 集合的表示方法 知 识 点 睛 · 列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“ ”括起来。  书写规范：元素之间用逗号“ ”隔开；注意互异性（如   不能写成  ）；无限集需列出几个能反映规律的代表元素，再用省略号“ ”表示（如自然数集  ）。 · 描述法：用集合所含元素的共同特征来表示集合的方法。一般格式为： ，竖线左边是代表元素，右边是元素满足的条件。 书写规范与易错点：必须写清楚代表元素是什么（如点集应写为  ）；如果代表元素有特定的数集限制，必须写在竖线左边（如  ）。 热 点 题 型 归 纳 【例3】（1）用列举法表示集合： 。 【答案】 【解析】要使  ，则   必须是   的正因数。故集合为： 。 （2）用描述法表示集合： 。 【答案】   （注：答案不唯一） 【解析】观察特征：小于   的正奇数。描述法为：  或  。 【例4】 已知集合，用列举法表示集合，则__________. 【答案】 【解析】, 故答案为： 【练习7】 （单选）设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由， ， 故选：D 【练习8】 若集合,集合,且,则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因,根据题意, 故 , 所以, 则,即, 当时,与集合的互异性矛盾,故舍去; 当,时,,符合题意, 所以. 故选：B. 【练习9】 一次函数  图象上所有点的集合表示为  ，对吗？若不对请改正。 【答案】 错误 【解析】  代表元素是平面内的“点”，应写为有序实数对。 正确表示为： 。 【练习10】用适当的方法表示下列集合： ① 大于   且小于   的偶数组成的集合； ② 不等式   的解集。 【答案】 见解析  【解析】  ① 元素个数少且确定，用列举法： 。 ② 解集是无限集，用描述法： 。 课后作业 一、 选择题（单选） 1. 下列各组对象中，能组成集合的是（ ） A. 某校高一年级所有聪明的学生 B. 接近于 的所有实数 C. 平面上到定点 的距离等于定长 的所有点 D. 比较小的正整数 1. 已知集合 中含有三个元素 ，若 ，则实数 的值为（ ） A. B. C. D. 或 1. 下列关于元素与集合的关系表示正确的是（ ） A. B. C. D. 1. 若集合 是由方程 的所有实数根组成的，则集合中的元素个数为（ ） A. B. C. D. 二、 填空题 1. 用符号“ ”或“ ”填空： ______ ； ______ ； ______ ； ______ 。 1. 已知集合 是由单词 “mathematics” 中的所有字母组成的，则集合 中共有 ______ 个元素。 1. 已知集合 ，若 ，则实数 的值为 ______。 三、 解答题 1. 判断下列说法是否正确，并说明理由： （1）由 组成的集合中有 个元素。 （2）集合 与集合 是同一个集合。 1. 已知集合 中含有两个元素 和，若 ，求实数的值。 1. 已知集合 ，请用列举法表示集合 。 1. 用适当的方法（列举法或描述法）表示下列集合： （1）方程   的所有实数根组成的集合； （2）不等式   的解集； （3）一次函数   图象上所有点的集合。 【作业解析】 一、 选择题 1. 【答案】C。解析：A、B、D选项中的“聪明”、“接近于”、“比较小”标准都不明确，不满足集合元素的“确定性”。C选项中的点满足明确的几何条件，能构成集合。 2. 【答案】C。解析：因为 ，且集合中已有元素 和 ，根据元素的互异性， 只能等于 。 3. 【答案】D。解析：A错， 是正整数集，不含 ；B错， 是无理数，不属于有理数集 ；C错， 是负数不属于自然数集N，D正确，π是实数。 4. 【答案】C。解析：解方程 得 。根据互异性，集合 ，共有个元素。 二、 填空题 5. 【答案】 ； ； ； 。 6. 【答案】 。解析：单词 “mathematics” 中的字母有 m, a, t, h, e, i, c, s，根据互异性，重复的字母只算一个，共 个。 7. 【答案】 或 。解析：因为，所以 或。若，解得 ，此时集合为 ，符合题意；若 ，解得 ，此时集合为，符合题意。 三、 解答题 8. 【解析】 （1）错误。根据集合元素的“互异性”，相同的元素在集合中只能出现一次，该集合应表示为 ，共有个元素。 （2）正确。根据集合元素的“无序性”，只要两个集合的元素完全相同，它们就是相等的集合。 1. 【解析】 因为 ，且 中的元素为 和 ，所以 或 。 ① 若 ，则 ，此时集合 中的元素为 ，违背了元素的“互异性”，故舍去。 ② 若 ，即 ，解得 或 （舍去）。 当 时， ，集合 中的元素为 ，满足互异性。 综上所述，实数 的值为 。 1. 【解析】 因为 且 ，所以 必须是 的正因数，且 。 的正因数有 。 当 时， ； 当 时， ； 当 时， ； 当 时， ，舍去。 故集合 用列举法表示为： 。 1. 【解析】 （1）解方程得  ，元素个数少，用列举法： 。 （2）解不等式得  ，解集为无限集，用描述法： 。 （3）代表元素是平面内的“点”，用描述法： 。 23 目标双一流 学科网（北京）股份有限公司 $