河北省沧州市九年级数学上学期课时作业（冀教版九年级数学上册24.4一元二次方程的应用）

冀教版九年级数学上册 第二十四章 一元二次方程 24.4 一元二次方程的应用 分层作业 一、作品基础信息 项目 具体内容 学科 初中数学 教材版本 冀教版（新教材）九年级上册 所属章节 第二十四章 一元二次方程 课题 24.4 一元二次方程的应用 课时安排 3课时（第1课时 传播问题与平均变化率问题；第2课时 变化率不同与几何面积问题；第3课时 销售利润与循环问题） 作业类型 书面分层作业（A、B、C三级） 适用对象 九年级学生 建议用时 约35分钟（A组约14分钟，B组约14分钟，C组约7分钟） 设计理念 面向全体、分层递进、建模转化、检验取舍 设计时间 2026年 二、设计背景与意图 （一）课标依据 《义务教育数学课程标准（2022年版）》在“数与代数”领域，要求学生能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，能根据问题的实际意义检验方程的解是否合理，形成模型观念和应用意识。本节内容是一元二次方程解法的延续与升华，是把“方程”这一数学模型用于解决实际问题的关键环节。本次作业以“审题—设元—找等量关系—列方程—解方程—检验—作答”为主线，通过传播、变化率、面积、利润等不同情境的分层训练，帮助学生经历“实际问题数学化”的完整过程，发展抽象能力、运算能力和应用意识。 （二）教材分析 “24.4 一元二次方程的应用”是第二十四章“一元二次方程”的核心内容，它承接 24.2 解一元二次方程、24.3 根与系数的关系，把方程的解法与实际情境结合，集中体现方程模型的价值。教材按情境类型依次安排了传播问题、平均变化率问题、几何面积问题和销售利润问题，其基本工具是几个重要的数量关系。 对于增减变化问题，若起始量为 ，平均增长（降低）率为 ，经过 次增长（降低）后的量为 ，则 其中增长取“”，降低取“”；若两个时期的变化率不同，第一期为 、第二期为 ，则 对于传播问题，若一开始有 个传染源、每轮每个传染源传染 人，则经过两轮后共有 人（或物）被传染，即 对于销售利润问题，其核心数量关系为“总利润 单件利润 销售数量”，降价后单件利润和销售量同时变化，据此列方程。对于几何面积问题，则要依据矩形、三角形等的面积公式，用含未知数的代数式表示各边长，再列方程。 教材强调：求出方程的解后必须进行检验，既要检验它是不是方程的解，还要检验它是否符合实际意义（如长度为正、增长率不超过 、人数为整数等），对不合题意的解予以舍去。 （三）学情分析 九年级学生已经掌握了一元二次方程的解法，初步具备列方程解应用题的经验，但在本节的四类情境中容易出现困难：一是记错增长（降低）率公式，把 写成 ，或不区分增长与降低；二是传播问题中数不清第二轮的“传染源”个数，误把每一轮新增人数当作总数；三是几何面积问题中不能用含未知数的式子表示各边长，找不到“面积相等”这一等量关系；四是求出两个根后不做检验，把不符合实际意义的解保留下来；五是列方程前不注意统一单位。因此，作业设计应遵循“模仿—变式—综合”的顺序，通过基础训练、变式训练和拓展应用，帮助学生规范建模过程、强化检验意识。 （四）设计意图 本次作业分为 A、B、C 三个层级。A 组为基础巩固题，面向全体学生，指向最常见情境的基本建模（平均降低率的方程、传播问题的方程、简单的几何面积问题、平均增长率的直接计算），重在“保底”；B 组为能力提升题，指向销售利润问题、带人行通道的几何面积问题、主干与支干的增长问题，重在“提质”；C 组为拓展创新题，指向两次变化率不同的问题，以及带多重约束（靠墙、加隔栏）的几何综合应用，重在“扬长”。三个层级按照“会套—会变—会综合”的路径设计，题量精简、情境真实，使不同水平的学生都能获得成功的体验。 三、作业目标 （一）基础目标（必做） （1）理解平均增长（降低）率问题中的数量关系，会用 列一元二次方程，并会求平均增长（降低）率。 （2）会分析传播（传染）问题中每轮传染源与被传染数量的关系，会列一元二次方程并求每轮平均传染的人数。 （3）会依据面积公式，用含未知数的式子表示几何图形的边长，由面积关系列一元二次方程并求解。 （二）提升目标（选做） （4）会用一元二次方程解决销售利润问题，能依据“总利润 单件利润 销售数量”列方程。 （5）能在含人行通道、隔栏等较复杂的几何图形中寻找等量关系并列方程求解。 （6）会解决“主干—支干—小分支”一类的增长模型问题，能正确建立方程并舍去不合题意的解。 （三）拓展目标（挑战） （7）会解决两次变化率不同的实际问题，能用 列方程并检验。 （8）能综合运用面积关系与方程的解法解决含多个约束条件的几何应用问题，会依据实际意义检验并舍去不合题意的解，发展模型观念与应用意识。 四、作业内容与目标对应表 层级 题号 主要内容与考点 对应目标 A组（基础巩固，必做） 1 由两次降价后的价格列一元二次方程 （1） 2 传播问题中列方程并求每轮传染人数 （2） 3 由“风景画四周镶纸边”的面积关系列方程求纸边宽 （3） 4 由“包书纸”的面积关系列方程求四角正方形边长 （3） 5 用一元二次方程求年平均增长率 （1） B组（能力提升，选做） 6 销售利润问题中列一元二次方程求降价额 （4） 7 含人行通道的矩形空地面积问题 （5） 8 “主干—支干—小分支”增长模型问题 （6） C组（拓展创新，挑战） 9 两次变化率不同的问题 （7） 10 靠墙且加隔栏的几何面积综合应用 （8） 五、作业评价 （一）评价方式 采用“学生自评—同伴互评—教师评价”相结合的方式。学生先独立完成 A 组题并自评，再由同伴互评 B 组题，教师重点关注 C 组题的等量关系寻找与舍根理由，给出激励性评价。 （二）评价标准 等级 评价标准 优秀 能准确分析各类实际问题的数量关系，熟练列出并求解一元二次方程，A、B 组题目全部正确；能独立完成 C 组综合题，过程完整、检验充分、作答规范。 良好 能正确列出常见情境的方程，A 组题目基本正确，B 组题目能完成大部分；能在提示下完成 C 组题，检验意识有待加强。 合格 能记住增长（降低）率模型和传播问题的基本关系，A 组题目能完成大部分，个别题目列式或计算有差错。 待提高 对增长（降低）率公式或传播问题的数量关系还不熟练，能在教师或同伴的帮助下完成 A 组基础题。 （三）评价量表 评价维度 评价要点 自我评价 同伴评价 教师评价 基础达标 会列平均变化率、传播问题的方程，会由面积关系列方程 ☆☆☆ ☆☆☆ ☆☆☆ 能力提升 会解决销售利润问题，会在复杂图形中寻找等量关系 ☆☆☆ ☆☆☆ ☆☆☆ 拓展创新 会解决两次变化率不同的问题，会综合处理多重约束 ☆☆☆ ☆☆☆ ☆☆☆ 学习品质 书写规范，独立完成，注意检验并舍去不合题意的解 ☆☆☆ ☆☆☆ ☆☆☆ 六、试题详情 （一）A组 基础巩固（必做） 1．某药品原价每盒 50 元，经过两次降价后每盒 32 元。设平均每次降价的百分率为 ，则可列方程为（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 2．某种病毒传播速度非常快。若一开始有 1 人感染，经过两轮传染后共有 100 人感染。设每轮传染中平均 1 人传染 人，则可列方程为　　　　　　，解得 　　　　。 3．如图1，一幅长 40 cm、宽 30 cm 的矩形风景画，四周镶一条宽度相同的纸边，制成一幅矩形挂图。若要使整幅挂图的面积是 2000 cm²，求这条纸边的宽度。 图1 4．如图2，一张长方形包书纸的面积为 1260 cm²，虚线表示折痕，由长方形相邻两边与折痕围成的四角均为大小相同的正方形。已知所包数学书的长是 26 cm、宽是 18.5 cm、厚是 1 cm，求四角正方形的边长。 图2 5．某厂 2023 年的产量为 100 万件，2025 年的产量为 121 万件。求这两年该厂产量的年平均增长率。 （二）B组 能力提升（选做） 6．某商店销售一种商品，每件进价 30 元，售价 50 元时每天可售出 20 件。为增加销量并让利于顾客，商店决定降价销售。经调查发现：每件商品每降价 1 元，每天可多售出 2 件。若该商店某天销售这种商品共获利 450 元，求每件商品应降价多少元。 7．如图3，某小区有一块长 20 m、宽 8 m 的矩形空地，计划修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间及绿地四周留有宽度相等的人行通道。若两块绿地的面积之和为 56 m²，求人行通道的宽度。 图3 8．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支。若主干、支干和小分支的总数是 183，求每个支干长出多少个小分支。 （三）C组 拓展创新（挑战） 9．某工厂工业废气的年排放量为 300 万立方米。为改善城市环境质量，决定在两年内使废气年排放量减少到 144 万立方米。如果第二年废气减少的百分率是第一年废气减少的百分率的 2 倍，求每年废气减少的百分率各是多少。 10．如图4，某农户要用总长为 36 m 的篱笆，靠着一面长 20 m 的墙围成一个矩形羊圈，并在羊圈中间用篱笆隔成两个相同的小圈。若羊圈的总面积是 96 m²，求羊圈垂直于墙的边长。 图4 七、答案与解析 （一）A组 基础巩固 1．C 解析：原价 50 元，平均每次降价的百分率为 ，第一次降价后为 元，第二次降价后为 元。由两次降价后为 32 元，得 。故选 C。 说明：分清“降价”用 、“涨价”用 ，并注意是经过两次变化，指数为 2，切忌写成 。 2．；。 解析：一开始有 1 人感染，第一轮传染后共有 人感染；这 人都是第二轮的传染源，第二轮又传染 人，所以第二轮传染后共有 人感染。由题意得 ，所以 ，即 ，。因为每轮传染的人数不能为负数，所以 不合题意，舍去。 答：每轮传染中平均 1 人传染 9 人。 说明：传播问题的关键是分清“每一轮新增的人数”和“到该轮为止被传染的总人数”，第二轮的总数是 ，不是 。 3．设纸边的宽度为 cm，则挂图的长为 cm，宽为 cm。由挂图的面积是 2000 cm²，得 整理，得 ，即 。 解这个方程，得 ，。 因为纸边的宽度不能为负数，所以 不合题意，舍去。 答：这条纸边的宽度是 5 cm。 解析：风景画四周镶纸边后，挂图的长和宽都比风景画增加了两个纸边宽，即为 cm 和 cm，再由面积公式列方程。 说明：求出的两个根通常要结合“长度为正”舍去负根，这是应用题检验的重要一步。 4．设四角正方形的边长为 cm。包书时，纸沿宽度方向要遮住书的两个封面的宽和书脊的厚，即 （cm）；再在四周各多出 cm，所以包书纸的长为 cm、宽为 cm。由包书纸的面积为 1260 cm²，得 整理，得 ，即 。 解这个方程，得 ，。 因为正方形的边长不能为负数，所以 不合题意，舍去。 答：四角正方形的边长是 2 cm。 解析：理解包书纸的“长”与“宽”分别对应书的长与“两倍书宽加书厚”，再各自多出两个 ，是把实际问题转化为面积关系的关键。 说明：本题数据较大时，可先提取系数再解方程；求出解后要结合实际意义舍去负根。 5．设这两年该厂产量的年平均增长率为 。由题意得 两边同时除以 100，得 ，所以 ，即 ，。 因为年平均增长率不能为负数，所以 不合题意，舍去。 答：这两年该厂产量的年平均增长率是 10%。 解析：2023 年的产量 100 万件是起始量，经过两年、年平均增长率为 ，到 2025 年为 万件，据此列方程。 说明：增长率问题的基本模型是 ，其中 为起始量、 为变化后的量、 为变化的次数。 （二）B组 能力提升 6．设每件商品应降价 元，则每件的利润为 元，每天的销售量为 件。由某天获利 450 元，得 整理，得 ，即 ，所以 ，即 。 解得 。 答：每件商品应降价 5 元。 解析：销售利润问题的基本关系是“总利润 单件利润 销售数量”。降价 元后，单件利润由 20 元变为 元，销量由 20 件变为 件，据此列方程。 说明：本题方程有两个相等的实数根，说明使利润达到 450 元的降价额是唯一的；解出 后还应检验其是否符合“让利于顾客、增加销量”的要求。 7．设人行通道的宽度为 m。两块绿地的面积之和为 56 m²，即两块绿地合起来（把中间的人行通道看作重合部分）可拼成一个长为 m、宽为 m 的矩形，于是 整理，得 ，即 。 解这个方程，得 ，。 因为 时，，不符合实际意义，所以舍去，取 。 答：人行通道的宽度是 2 m。 解析：两块绿地之间、四周都有宽度相等的人行通道，横向共有 3 条“通道宽”（左、中、右），纵向共有 2 条（上、下）。把两块绿地平移拼合，即得长为 m、宽为 m 的整体，再由面积为 56 m² 列方程。 说明：借助“平移拼合”可以把含通道的复杂图形化为一个矩形，这是解决此类面积问题常用而简便的方法；求得两个根后必须结合边长大于 0 进行取舍。 8．设每个支干长出 个小分支，则主干有 1 个、支干有 个、小分支有 个。由总数为 183，得 整理，得 。 解这个方程，得 ，。 因为分支的数目不能为负数，所以 不合题意，舍去。 答：每个支干长出 13 个小分支。 解析：“主干—支干—小分支”问题中，主干只有 1 个，每个支干长出 个小分支， 个支干共长出 个小分支，三部分相加即为总数。 说明：本题的等量关系是“主干数 支干数 小分支数 总数”，与传播问题的 不同，注意区分。 （三）C组 拓展创新 9．设第一年废气减少的百分率为 ，则第二年废气减少的百分率为 。第一年减少后，废气的年排放量为 万立方米；第二年再减少后，废气的年排放量为 万立方米。由题意得 两边同时除以 300，得 ，整理，得 ，即 。 解这个方程，得 ，。 因为减少的百分率不能超过 1（即 ），所以 不合题意，舍去，取 。 所以第一年废气减少的百分率为 20%，第二年废气减少的百分率为 。 答：第一年废气减少的百分率是 20%，第二年废气减少的百分率是 40%。 解析：两个时期的变化率不同，要分层表示：第一年后为 ，第二年后为 。求出解后，还要依据“减少率不超过 100%”检验并舍去不合题意的解。 说明：本题是 型问题，其中第二期的变化率用第一期表示，是“变量之间有关系”的典型情形。 10．设羊圈垂直于墙的边长为 m。因为羊圈靠墙（墙这一边不用篱笆），要用篱笆的两条垂直于墙的边长均为 m，中间隔栏的长也为 m；设与墙平行的一边长为 m，则篱笆的总长为 所以 。 又羊圈的总面积为 96 m²，得 整理，得 ，即 。 解这个方程，得 ，。 当 时，，超过了墙长 20 m，不符合实际意义，舍去；当 时，，符合实际意义。 答：羊圈垂直于墙的边长是 8 m。 解析：靠墙的一边不用篱笆，所用篱笆包括两条垂直于墙的边和一条与墙平行的边，再加上中间的隔栏，故 ；再由面积 列方程。求出 的两个值后，还要用“与墙平行的边不超过墙长”这一条件进行检验。 说明：含多个约束条件的应用题，求得方程的解后必须逐一对照实际条件检验，舍去不合题意的解，这是本题的关键，也是易错点。 学科网（北京）股份有限公司 $