21.2.5一元二次方程的根与系数的关系 课件 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

华东师大版（新教材）数学九年级上册一 第21章一元二次方程 21.2.5一元二次方程的根与系 数的关系 授课教师： 班 级： 9年级()班 10/07/2026 时 间 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取方量，于思索 中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 一元二次方程的根与系数的关系 试一试 求一元二次方程x2+3x一4=0的两根x1和x2 解： 因式分解，(x+1)x-4)=0 你用的哪种 方法求解？ 解得，x1=1,x2=-4. 思者 观察方程的两根x,和x2,今方程的系数有什么关系： X1+X2=-3, x1X 2=4, 对于任意一个二次项 系数为1的一元二次 相反数 相等 方程，是否都有这样 二次项 x2+3 -4 的结果呢？和同桌一 0 系数为 起列几个方程试试 一次项系数常数项 吧。 一元二次方程的根与系数的关系 探索 从特殊到一般，我们来考察方程x2+卫x+q=0 (p2一4q≥0)，是否与我们的结论一致。 分析：由一元二次方程的求根公式，得到方程的两根分别为 x1 =p+/p2-4q x2 =p-/p2-4q 请你进行总 2 2 结描述。 x1+x2=+D29+-VD2-49 三-p 2 2 x1 2=叶-.p-72-西=p2r2-4w=q 2 2 4 一元二次方程的根与系数的关系 划重点 归纳总结 二次项系数为1的一元二次方程的根与系数的关系： 设一元二次方程x2+pX+q=0的两根为x1X2, 那么X1+X2=-卫，X1X2=q 文字描述：在二次项系数为1的一元二次方程中，两根之和等 于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。 与二次项系数无关！ 一元二次方程的根与系数的关系 例1不解方程，求出方程的两根之和和两根之积： (1)x2+3x-5=0; 2x 3x-5=0. 解：（1) 设两根为x1、x2,由述二次项系数为1的一元 二次方程根与系数的关系，可得 x1+x2=-3,X1x2-5. 二次项系数不为1，应该怎 么办呢？ 一元二次方程的根与系数的关系 例1不解方程，求出方程的两根之和和两根之积： (1)x2+3x-5=0; (2)2x2-3x-5=0. (2)方程两边同除以2，得 5 x2 2x-2 0. 先将方程化为二次项 系数为1的形式. 设两根为x1x2,可得 3 5 2 一般形式下一元二次方程的根与系数的关系 探索 你能运用题（2)的方法，探索一元二次方程一般形 式ax2+bx+c=0(a≠0，b2-4ac≥0)的根与系数的关系吗？ 解：方程两边同除以α，得 b x2+bx+C=0, C a a 由二次项系数为1的一元二次方程根与系数的关系，可 得 b xi+x:=-a xix=a 般形式下一元二次方程的根与系数的关系 划重点 归纳总结 一元二次方程的根与系数的关系： 设一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，b2一4ac≥0)的两根为 X1、2,那么1+x2=-,X为=岳 b 文字描述：在一元二次方程中，两根之和等于一次项系数 数所得商的相反数，两根之积等于常数项除以二次项系数 适用于所有一元二次方程，也叫韦达定理（P36读一 读) 举一反三 知识点1一元二次方程的根与系数的关系 1.湖北中考]一元二次方程x2一4x+3=0的两个实数根为 X1,x2,下列结论正确的是( A.X1+X2=-4 B.X1+X2=3 C.X1x2=4 D.X1X2=3 返回 举一反三 2.方程x2+3x一6=0与x2一6x+10=0的所有实数根的 乘积等于(c) A.-60 B.3 C.-6 D.10 【点拨】易得方程x2+3x-6=0的两根之积等于-6，方程 x2一6x+10=0没有实数根，·两方程的所有实数根的乘 积等于-6，故选C 返回 举一反三 3.1-题多解关于x的一元二次方程3x2一2x+m=0有两根， 其中一根为x=1,则这两根之积为(D A B 3 c.1 D 3 【点拨】方法1：将x=1代入3x2-2x+m=0,得 3-2+m=0,解得m=-1,即原方程为3x2-2x-1=0,解 得x1二1,22x12,方法2：设方程的另一根为2， 则1+x2=解得x2=-1·2=一3 举一反三 思路支架 方法1利用根的 将已知根代入方程中，求出字母的 定义 值得原方程，解方程得另一个根 方法2 利用根与系 数的关系 根据x+=一名 列方程求解 返回 般形式下一元二次方程的根与系数的关系 例2不解方程，判断下列方程的根的情况： 2x(x-1)=3x+7 解：方程化为一般形式为2x2-5x-7=0, 你能总结求一元 二次方程两根之 则△=(-5)2-4×2×(-7)=81>0. 和与两根之积的 设两根为x1、x2,可得 步骤吗？ -55 -7 7 X1+X2=- 2= 2′ X1X2= 2 2 般形式下一元二次方程的根与系数的关系 刘重点 归纳总结 求一元二次方程两根之和与两根之积的 步骤： (1)一化：把方程化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)； (2)二找：确定系数a、b、c的值； (3)三判：计算△=b2一4ac的值，判断方程是否有实数根： (4)四算：若方程有实数根，则根据根与系数的关系计算 举一反三 知识点2一元二次方程的根与系数的关系的应用 4.关于x的方程(x-1)(x+2)-p2=0(p为常数)的根的 情况，下列结论中正确的是(C A.两个正根 B.两个负根 C.一个正根，一个负根D.无实数根 举一反三 【点拨】化简关于x的方程(x-1)(x+2)-p2=0 (p为常数)，得x2+x-2-p2=0, ∴.△=1+8+4p2=9+4p2>0,方程有两个不相等的实 数根根据根与系数的关系，得方程的两个根的积为 一2一p2<0,∴方程的两个实数根异号 返回 举一反三 5.一题多解小明和小红一起做作业，在解一个关于x的一元 二次方程（二次项系数为1）时，小明在化简过程中写错了 常数项，得到两个根分别是2和5；小红在化简过程中写错了 一次项系数，得到两个根分别是2和6，则此方程正确的解可 以为( C A.X1=X2=2 B.X1=5,X2=6 C.X1=3,X2=4 D.此方程无解 举一反三 点拨】方法1：设两根为2和5的方程为x2+bx+c=0,则 (22+2b+c= 解得化三D,小明写错了常数项后的方 ：0 (52+5b+c=0, 程为x2-7x+10=0.同理可求出小红写错了一次项系数后 的方程为x2-8x+12=0.·正确的方程为 x2-7x+12=0,解得x1=3,x2=4.方法2：由写错了常数项 可知两个正确根的和为2+5=7，由写错了一次项系数可知两 个正确根的积为2×6=12.3+4=7,3×4=12，.两个正 确根分别为3,4. 返回 举一反三 6.新考法整体代入法已知x1,X2是一元二次方程x2一3x-5=0 的两个实数根，则(x1-x2)2+3x1x2的值是 14 7.已知m,n是方程x2+2x-5=0的两实数根，则 m2-mn+3m+n的值为 8 【点拨】·m,n是方程x2+2x-5=0的两实数根， .m+n=-2,mm=-5,m2+2m-5=0, .m2+2m=5,.m2-mn+3m+n=(m+2m)-mn+ (m+n)=5-(-5)+(-2)=8. 返回 举一反三 知识点3用一元二次方程根与系数的关系求字母的值 8.定义(a,b,c)为方程ax2+bx+c=0(a≠0)的特征数.若特 征数为(1,2k-2,k2-k)的方程的两实数根的平方和为12， 则k的值为( A.-1或4 B.4 C.-1 D.-4或1 举一反三 【点拨】根据题意可知，该方程为 x2+(2k一2)x+k2一k=0.方程的两实数根的平方和为 12,.△=(2k-2)2-4(k2-k)=4k2-8k+4-4k2+ 4k=-4k+4≥0.∴k≤1.设两实数根分别为x1,x2,则 x1+X2=-(2k-2), x1x2=k2-k.x3+x3=(x1+x2)2-2x1X2=12, .[-(2k-2)]2-2(k2-)=12,解得k1=4,k2=-1.又 .k≤1，k=-1. 返回 举一反三 线年21，个 X1 举一反三 【点拨】·x1,x2是关于x的方程x2-2x+k-1=0的两个实 数根，X1十X2=2,x1x2=k-1, x好-2x1+k-1=0.x好=2x1-k+1.2+=X好+ X2 2x2-1, +2-2x12=2(x1+x2)-k.2-2k-=4-k,解得 X1X2 k-1 k=2或k=5.经检验，k=2或k=5均为该分式方程的解.当 返回 举一反三 k=2时，关于x的方程为x2-2x+1=0,此时△=0，符合 题意；当k=5时，关于x的方程为x2-2x+4=0,此时 △<0，方程无实数根，不符合题意.“k=2. 返回 举一反三 10.* 新考法转化思想若mn≠1，且5m2+2026m+9=0, 9n2+2026n+5=0,则=( A A. 9-5 B. 5-9 2026 2026 C D 5 9 点解本题时， (1)先观察方程结构，构造“同型式” 当两个方程系数成“倒序”关系时，可通过给其中·个方程除 以变量的平方（需保证变量不为0），将其变形为与另一个 谢谢观看 THANKS