专题05 勾股定理24大题型72题（期中专项训练）八年级数学上学期新教材苏科版

专题05 勾股定理 基础·固本强基 题型1 勾股定理的证明方法 题型2 弦图为背景的计算题（重点） 题型3 勾股数问题 题型4 用勾股定理解简单三角形 题型5 判断三边能否构成直角三角形 题型6 网格中判断直角三角形 题型7 勾股定理的简单应用 提升·进阶突破 题型8 用勾股定理解三角形（重点） 题型9 以直角三角形三边为边长的图形面积（重点） 题型10 利用勾股定理求两条线段的平方和 题型11 利用勾股定理的逆定理求解 题型12 勾股定理逆定理的实际应用 题型13 勾股定理与网格问题（重点） 题型14 勾股定理与折叠问题（重点） 题型15 勾股定理的实际应用（重点） 题型16 勾股定理中的超速问题 题型17 勾股定理中的台风影响问题（重点） 题型18 勾股定理中的选址问题 拔高·压轴破难 题型19 勾股定理中的折叠问题（难点） 题型20 勾股定理中的动点问题（难点） 题型21 勾股定理中的最值问题（难点） 题型22 勾股定理中的存在性问题（难点） 题型23 勾股定理中的蚂蚁爬行最短路径问题（难点） 题型24 勾股定理中的新定义问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 勾股定理的证明方法（共3小题） 【模型】利用图形面积割补，用两种方式表示同一图形面积，化简推导出勾股关系式。 【步骤】拆分图形，分别列式算总面积，建立等式，消去同类项得到勾股公式。 【易错】面积表达式写错，图形边长对应错误，混淆面积与边长平方关系。 1．（25-26八年级上·江苏常州·期中）下列数学家中，用如图所示的“弦图”证明了勾股定理的是（　　） A．刘徽 B．祖冲之 C．赵爽 D．秦九韶 【答案】C 【分析】本题主要考查了“弦图”的理解，熟练掌握数学家赵爽用“弦图”证明了勾股定理，是解题的关键．根据赵爽用“弦图”证明了勾股定理，进行解答即可． 【详解】解：数学家赵爽用“弦图”证明了勾股定理． 故选：C． 2．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）我国汉代的数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”，是一种用面积证明勾股定理的方法．下面四幅图中，不能用面积证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，大正方形的边长为，则大正方形面积等于，大正方形面积等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积，则，据此可判断A；小正方形的边长为，则小正方形的面积等于，小正方形面积等于大正方形面积减去四个直角三角形的面积，则，据此可判断B；中间等腰直角三角形的面积为，中间等腰直角三角形的面积又等于梯形面积减去2个直角三角形面积，则，据此可判断C；D选项中的图形不能证明勾股定理． 【详解】解：A、大正方形的边长为，则大正方形面积等于，大正方形面积等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积，则大正方形的面积等于， ∴， ∴， ∴，故A能证明勾股定理，不符合题意； B、小正方形的边长为，则小正方形的面积等于，小正方形面积等于大正方形面积减去四个直角三角形的面积，则小正方形的面积等于， ∴， ∴， ∴，故B能证明勾股定理，不符合题意； C、中间等腰直角三角形的面积为，中间等腰直角三角形的面积又等于梯形面积减去2个直角三角形面积，则中间等腰直角三角形的面积为， ∴， ∴， ∴，故C能证明勾股定理，不符合题意； D选项中的图形不能证明勾股定理，符合题意； 故选：D． 3．（24-25八年级上·河北保定·期中）利用四个全等的直角三角形可以拼成如下图所示的“赵爽弦图”，在用“赵爽弦图”的面积验证勾股定理时，用到的相等关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的证明，根据面积关系证明勾股定理是解题的关键；根据大正方形的面积等于4个直角三角形的面积与小正方形的面积之和证明即可． 【详解】解：由题意知：大正方形的面积为，小正方形的面积为，直角三角形的面积为， 则， ， 故选：． 题型2 弦图为背景的计算题（共3小题） 【模型】赵爽弦图由四个全等 Rt△围正方形，利用大小正方形面积差求直角边 【步骤】设直角边未知数，结合大小正方形边长，联立勾股方程求解线段。 【易错】混淆大小正方形边长，看错直角边与弦图边长的对应关系。 4．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）沭阳花木节以赵爽弦图为背景制作一个展台．该图由四个全等的直角三角形（直角边分别为和，斜边为）围绕一个正方形拼成一个大正方形（如图）．若图中直角三角形的面积为，中间小正方形的面积为，则__________． 【答案】5 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用， 根据四个三角形的面积加上小正方形的面积等于大正方形的面积求出，即可得出答案． 【详解】解：根据题意，得， 解得． 故答案为：5． 5．（25-26八年级上·江苏·期末）我国古代“赵爽弦图”是勾股定理的重要证明方法，由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成．若直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，小正方形边长为1，则 ________． 【答案】1 【分析】本题考查了赵爽弦图，根据赵爽弦图的几何结构，小正方形的边长等于直角三角形两直角边之差的绝对值，即，结合小正方形边长为1即可求解． 【详解】解：在赵爽弦图中，四个全等的直角三角形围成一个小正方形，小正方形的边长等于两直角边之差的绝对值． ∵小正方形边长为1， ∴， ∴． 故答案为1． 6．（25-26八年级上·陕西汉中·期中）勾股定理在我国有着悠久的历史．汉末三国初数学家、天文学家赵爽给《周髀》作注时，给出了相对完整的表述：“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之，即弦．”其设计图是由四个完全相同的直角三角形(两条直角边长分别为，，且，斜边为)拼成一个边长为的正方形(如图)，直观地论证了勾股定理，该图被后人称为“赵爽弦图”． (1)请你借助“赵爽弦图”验证勾股定理． (2)若，，求中间小正方形(阴影部分)的面积． 【答案】(1) 证明：∵最外面的大正方形的边长为c， ∴最外面的大正方形的面积为； ∵中间小正方形的边长为， ∴中间小正方形的面积为； 又∵最外面的大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积加上中间小正方形的面积， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及其证明方法，熟知勾股定理及其证明方法是解题的关键． （1）根据最外面的大正方形的边长为c，且大正方形的边长等于四个全等的直角三角形的面积加上中间小正方形的面积进行证明即可； （2）根据勾股定理可求出a的值，进而可求出中间小正方形的面积． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，， ∴， ∴或（舍去）， ∴中间小正方形的面积为． 题型3 勾股数问题（共3小题） 【模型】满足a2+b2=c2的三个正整数为勾股数，整数倍仍为一组勾股数。 【步骤】验证三正整数平方关系；记住常见勾股数，倍数快速判断。 【易错】小数、分数不是勾股数；不要把勾股数倍数当成全新一组。 7．（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）清代数学家罗士琳提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为________． 【答案】，， 【分析】观察可知，每组勾股数的第一个数字为奇数，后面两个数字为两个连续的整数，得到第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为，根据勾股定理列出方程进行求解． 【详解】解：由题意，第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为， 由勾股定理，得：， 解得：， ∴； ∴第⑤组勾股数为． 8．（25-26八年级上·辽宁丹东·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A．，， B．1.5，2，2.5 C．5，12，11 D．7，24，25 【答案】D 【分析】本题考查了勾股数的定义，关键是掌握勾股数需为正整数且满足勾股定理 ，逐项判断即可. 【详解】解：勾股数定义要求是正整数且满足 ， A选项为分数，非正整数，不符合题意； B选项为小数，非正整数，不符合题意； C选项：，，，不符合题意； D选项：，，，符合题意． 故选D. 9．（25-26八年级下·四川绵阳·期末）如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形．已知正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积为（     ） A．40 B．45 C．47 D．50 【答案】C 【详解】解：如图， 由题意得，， ． 题型4 用勾股定理解简单三角形（共3小题） 【模型】在直角三角形内，已知两边长，代入a2+b2=c2求第三条边长。 【步骤】分清斜边直角边，代入公式计算，开方取线段正数长度。 【易错】分不清斜边，盲目代入公式；线段长度舍去负根。 10．（25-26八年级下·广西南宁·期中）我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．在直角三角形中，若勾为6，股为8，则弦为（    ） A．10 B．9 C．11 D．12 【答案】A 【分析】已知直角三角形两条直角边的长度，直接利用勾股定理计算斜边长度即可． 【详解】解：∵直角三角形中，勾和股分别为两条直角边，长度为和，弦为斜边， 根据勾股定理，斜边的平方等于两条直角边的平方和， ∴弦长 ． 11．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，是边上一点．若，则的长为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理和等腰直角三角形，过点A作于点E，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理解答即可． 【详解】解：过点A作于点E， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 12．（25-26八年级上·江苏常州·期末）如图，在中，，是边上的高，是边上的中线．若，，则的长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边中线的性质．在中，利用勾股定理求得，再利用直角三角形斜边中线的性质求解即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∵是边上的中线，且， ∴， 故选：D． 题型5 判断三边能否构成直角三角形（共3小题） 【模型】取三边中最长边，验证较短两边平方和是否等于最长边平方。 【步骤】找出最长边，分别计算三边平方，验算平方等量关系。 【易错】不找最长边直接验算；满足等式才是直角三角形。 13．（25-26八年级下·广东广州·期中）在中，，，，则的度数为______． 【答案】 【分析】可证明，则由勾股定理逆定理即可求解的度数． 【详解】解：∵在中，，，， ∴，， ∴， ∴ 14．（25-26八年级下·河北雄安·期中）如图，在三角形支架中， (1)求的长； (2)判断支架外框的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)为直角三角形，理由如下： 由（1）知，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴ ∴是直角三角形． 【分析】（1）对和运用勾股定理求解即可； （2）证明三边长满足，由勾股定理的逆定理可知，为直角三角形． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在中，，， ∴ 在中，， ∴ ∴的长为； （2）略 15．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，点在边上，连接，，，，． (1)求证：； (2)求的面积． 【答案】(1) 证明：，， ， ， 即． (2) 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理： （1）利用勾股定理逆定理，即可得证； （2）勾股定理求出，进而求出的长，再利用面积公式进行计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：在中，根据勾股定理，得， 即， ． ． ． 题型6 网格中判断直角三角形（共3小题） 16．（22-23八年级下·广西钦州·期中）如图，在的正方形方格图中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，则是__________三角形． 【答案】直角 【分析】结合网格图，先根据勾股定理求出、和，再根据勾股定理的逆定理即可作答． 【详解】由图可知，，，， ∴， ∴是直角三角形， 故答案为：直角． 【点睛】本题考查的是勾股定理及其逆定理的知识，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 17．（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）如图，在正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别画三角形，则图中直角三角形是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】根据勾股定理及其逆定理计算判断即可． 【详解】解：①中三角形三边的平方分别为9、13、10，由于9+10=19≠13，所以①不是直角三角形； ②中三角形三边的平方分别为5、20、25，由于5+20=25，所以②是直角三角形； ③中三角形三边的平方分别为8、10、10，由于8+10=18≠10，所以③不是直角三角形； ④中三角形三边的平方分别为8、5、9，由于8+5=13≠9，所以④不是直角三角形 故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握在网格中判断直角三角形的方法是解答的关键． 18．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在四个均由十六个小正方形组成的正方形网格中，各有一个三角形，那么这四个三角形中，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求四个选项中各边长，根据勾股定理的逆定理可以判定直角三角形，即可解题． 【详解】解：A、三角形各边长为、、，，故该三角形为钝角三角形，符合题意； B、各边长、、，，故该三角形为直角三角形，不符合题意； C、各边长、、，，故该三角形为直角三角形，不符合题意； D、各边长、、，，故该三角形为直角三角形，不符合题意． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理判定直角三角形，熟练掌握勾股定理的逆定理是解本题的关键． 题型7 勾股定理的简单应用（共3小题） 19．（25-26八年级上·江苏·期中）一架云梯长，如图那样斜靠在一面墙上．当这架云梯的顶端位于A处时，它的底端位于B处，底端离墙． (1)这架云梯的顶端到地面的距离是多少？ (2)当这架云梯的顶端从A处下滑到达处时，它的底端从B处滑动到处，云梯底端在水平方向滑动的距离也是吗？ 【答案】(1)这架云梯的顶端到地面的距离是 (2)云梯底端在水平方向滑动的距离为，不是 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． （1）根据勾股定理进行计算即可； （2）根据勾股定理求出，再求出结果即可． 【详解】（1）解：由题意，得，，， 由勾股定理，得； 答：这架云梯的顶端到地面的距离是； （2）解：由题意，得，， 由勾股定理，得， ∴， 故云梯底端在水平方向滑动的距离为，不是． 20．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）在社团活动中，徐老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在A的正下方物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离，物体C到定滑轮的垂直距离．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若物体C升高至处，求滑块B向左滑动至处的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）在中利用勾股定理直接计算即可； （2）由（1）得绳子的总长度为，得到，在中利用勾股定理求出，再利用线段和差即可解答． 【详解】（1）解：由题意得，， 在中，， ， ． 答：绳子的总长度为． （2）解：由题意得，， ， 由（1）得，绳子的总长度为， ， 在中，， ， ， 答：滑块向左滑动的距离为． 21．（25-26八年级上·江苏常州·期中）勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 【答案】绳索的长是 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键． 由题意可知，，，，设，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：由题意可知，，，， ， 设，则， 由勾股定理得：， ， 解得：， 即绳索的长是． 提升·进阶突破 题型8 用勾股定理解三角形（共3小题） 【模型】作高分割斜三角形为两个直角三角形，公共高搭桥，列勾股方程。 【步骤】过顶点作高线，设底边分段未知数，两个 Rt△联立方程求解。 【易错】高在三角形外部时容易漏解，忽略钝角三角形高的位置。 22．（26-27八年级上·江苏宿迁·期中）已知，如图，平分，是的中点，，，，若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．4 D．3 【答案】B 【分析】连接、，根据垂直平分线的性质，得；根据角平分线的性质，得，,，通过证明，得；设，根据勾股定理，列一元一次方程并求解，得，从而完成求解． 【详解】解：连接、，如下图： ∵是的中点，， ∴， ∵平分，，， ∴，,， 在和中 ， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴ ， ∴ ∴． 23．（2026·江苏徐州·模拟预测）如图，四边形中，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）证明即可得出结论； （2）根据勾股定理求出，再由即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：∵在中，，， ∴， ∴． 24．（2026·江苏无锡·一模）如图，在直角中，， (1)尺规作图：作的角平分线，交于点D，在上作一点E，使得；（不写作法，保留痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，则________．（若需画图，请用备用图） 【答案】(1)如图，和点即为所求； (2) 【分析】（1）利用角平分线和线段垂直平分线的作法进行作图； （2）过点作于点，根据角平分线的性质得出，根据等面积得出，证明，得出，假设，根据线段垂直平分线的性质以及勾股定理列出方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点作于点， ∵平分，且， ∴， 由勾股定理得， ∴， 即， 解得， 在和中， ∴， ∴， 由线段的垂直平分线的性质可得， 假设，则， 由勾股定理得， 即， 解得， 即． 题型9 以直角三角形三边为边长的图形面积（共3小题） 【模型】直角三角形两直角边向外图形面积之和，等于斜边向外图形面积。 【步骤】写出三个图形面积表达式，结合勾股定理，替换平方关系求面积。 25．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）如图，已知正方形的面积为，正方形的面积为，则正方形的面积为（   ）． A．10 B．14 C．24 D．48 【答案】B 【分析】根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；正方形面积等于边长的平方，因此正方形、的面积对应直角三角形两条直角边的平方，正方形的面积对应斜边的平方，将两个正方形面积相加即可求出正方形的面积． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为， 由正方形面积公式得：，， 图中三角形为直角三角形，根据勾股定理得：， 正方形的面积，代入得：． 26．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，在中，，是斜边上的高，分别以为直径向的内侧作半圆，恰好交于点D．若，，则阴影部分的面积为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是得出阴影部分的面积． 根据勾股定理得出，再根据阴影部分的面积求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴阴影部分的面积 ． 故答案为：． 27．（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若已知三个正方形的面积依次为，，，则另一个正方形的面积为（    ）． A．38 B．34 C．42 D．44 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，关键是发现两个直角三角形的斜边是公共边． 利用勾股定理，分别得出同一个直角三角形的两直角边上的两个正方形面积和都是，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ， 根据勾股定理，得，， ，， ， ， ． 故选：A． 题型10 利用勾股定理求两条线段的平方和（共3小题） 28．（2026·安徽六安·一模）如图，点是等腰直角斜边上一点（不与点、重合），，则等于（） A．1 B．2 C．4 D．不能确定 【答案】C 【分析】取斜边中点，得，设，则，由勾股定理得代入变形求解即可． 【详解】解：取斜边中点， ∵是等腰直角三角形， 则，且， 设，则， 在中，由勾股定理：， 则， 即：， 故． 29．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，四边形的对角线交于点O，若，，，则______． 【答案】38 【分析】本题主要考查了勾股定理，灵活运用勾股定理是解题的关键． 先利用勾股定理求出、、、，再说明，最后代入数据即可解答． 【详解】解：∵四边形的对角线交于点O，， ∴在中，； 在中，； 在中，； 在中，； ∴． 故答案为：38． 30．（25-26八年级上·湖北十堰·期末）如图，等腰直角，等腰直角，，连接相交于点M，则______． 【答案】50 【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键．设交于点F，由等腰直角三角形的性质得，，，可证明，求得，，再证明△，得，则，推导出，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设交于点F， ∵和都是等腰直角三角形，，，， ∴，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， 故答案为：50． 题型11 利用勾股定理的逆定理求解（共3小题） 31．（25-26八年级下·天津红桥·期末）如图，在四边形中，，，，，． (1)求证：； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)证明：，，． 由勾股定理，得， ，， ， 为直角三角形， (2)36 【分析】（1）利用勾股定理求出的长，进而可证明，据此可证明结论； （2）根据列式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：． 32．（25-26八年级下·全国·期中）如图，在四边形中，，，，，，四边形的面积为（   ） A．12 B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，可知，由勾股定理的逆定理得到是一个直角三角形，则四边形面积可求． 【详解】解：连接，如图所示： 在 中， ， ∴ 在中，， 即， ∴为直角三角形， ∴. 33．（25-26八年级下·广西南宁·期中）如图，四边形中，，，，，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)5 (2)18.5 【分析】本题考查勾股定理，以及勾股定理逆定理的运用，熟练掌握相关定理是解题的关键． （1）在中，直接利用勾股定理求解即可； （2）利用勾股定理逆定理得到是直角三角形，再根据求解，即可解题； 【详解】（1）解： ，，， 在中，． （2）解：，， 则，， ， 是直角三角形， ． 题型12 勾股定理逆定理的实际应用（共3小题） 34．（25-26八年级下·天津南开·期末）如图所示，某小区的两个喷泉，之间的距离为，现要为喷泉铺设供水管道，，供水点在小路上，供水点到的距离的长为，的长为． (1)求供水点到喷泉需要铺设的管道的长； (2)试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)供水点M到喷泉A需要铺设的管道的长为； (2)解：， 理由：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）在中利用勾股定理求出的长，则可得到的长，再在中利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）根据（1）所求可证明，则，即． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵的长为，的长为， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：供水点M到喷泉A需要铺设的管道的长为； （2）略 35．（25-26八年级下·广东河源·期中）【问题情境】如图①，在中，为边上的高． 【特例研究】 (1)若，，，求证：； 【问题解决】 (2)如图②是某木质房梁的侧面图，小华照此结构设计出右侧房梁示意图如图③，已知斜梁，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁不垂直则为不安全房梁，请判断小华设计的房梁是否安全？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)不安全，理由见解析 【分析】（1）先利用勾股定理求得、，然后求得，即；最后根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，从而证明结论； （2）由勾股定理可得，进而得到，再利用勾股定理逆定理进行判断即可． 【详解】（1）解：∵． ∴， ∴，， ∵，， ∴，即， ∴， ∴是直角三角形，且． （2）解：小华设计的房梁不安全，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，即， ∴与不垂直， ∴小华设计的房梁不安全． 36．（25-26八年级上·四川甘孜·期末）如图，学校A前面有一条笔直的公路，学生放学后走两条路可到达公路．经测量，，，现需新修建一条从学校到公路的路，则学校到公路的最短距离为_____． 【答案】 【分析】由勾股定理逆定理得出，再根据计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型13 勾股定理与网格问题（共3小题） 37．（25-26八年级下·贵州遵义·期中）如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1，点A，B在格点上（每个小正方形的顶点称为格点）．按要求回答问题： (1)直接写出AB的长为______； (2)在网格中找到一格点C，使得，，判断的形状，并求点A到BC的距离． 【答案】(1) (2)如图：点C即为所求的格点；是直角三角形；点A到BC的距离为2． 【分析】（1）直接利用勾股定理求解即可； （2）根据勾股定理画出线段，，并根据勾股定理的逆定理判断的形状，再利用等面积法求点A到BC的距离即可． 【详解】（1）解：． （2）解：作图略； ∵，，， ， 是直角三角形． 设点A到BC的距离为h， ∵， ∴，解得：， ∴点A到BC的距离为2． 38．（2026·河南商丘·模拟预测）如图，在的小正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点、、都在格点（网格线的交点）上，是的高线，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用勾股定理得到，，，证明出为等腰直角三角形，再由等腰三角形三线合一的性质和直角三角形斜边上的中线为斜边一半解答即可． 【详解】解：，，， ∴ ∴为等腰直角三角形， ∵为的高， ∴是斜边上的中线， ∴． 39．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形（不需要写画法）． (1)在图1中，画一个正方形，使它的面积是； (2)在图2中，已知点，画一个，使它的三边长分别为：、、，并计算边上的高为________．（直接写出结果） 【答案】(1) 如图1，即为所求； (2)边上的高为 如图2，即为所求， 【分析】（1）根据，画一个正方形，使它的面积是； （2）根据，，作图即可得到，证明是直角三角形，根据等面积法求边上的高． 【详解】（1）解：略； （2）解：它的三边长分别为、、， ， 是直角三角形， 设边上的高为， ， 即， 解得． 即边上的高为． 题型14 勾股定理与折叠问题（共3小题） 【模型】折叠前后对应边相等，设未知数，在直角三角形列勾股方程。 【步骤】标记折叠相等线段，设未知边，锁定 Rt△，列方程求解。 【易错】找错折叠对应边；选错直角三角形，方程列式错误。 40．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期中）如图，在中，，，，沿和将纸片折叠，使点和点都落在边上的点，则长为_____． 【答案】 【分析】根据题意可得，，，可得，然后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点P处， ∴，， ∵折叠纸片，使点C与点P重合， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 整理得，， 解得：． 41．（22-23九年级下·江苏泰州·期中）如图，中，，，，点D是的中点，将沿翻折得到，连接，则线段的长等于（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】连接交于点，过点作于点，根据勾股定理求出的长，利用“等面积法”求出的长，根据翻折的性质得到垂直平分，进而求出，根据等腰三角形性质易求出，最后利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：连接交于点，过点作于点， 在中，，由勾股定理得： ， ， ， ， 由翻折的性质可知：、、， 垂直平分， 点D是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， 在中，由勾股定理得： ． 42．（24-25八年级下·辽宁铁岭·期中）【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，，点，分别在边，上，将沿折叠，使点与点重合．，求的长； 【深入探究】 （2）如图2．将长方形纸片沿对角线折叠，使点C落在点处，交于点E．若，，求的长． 【答案】（1）12；（2）3 【分析】此题考查了图形的翻折变换及其性质，勾股定理． （1）先求出，由折叠性质得：，在中，由勾股定理即可求出的长； （2）根据长方形性质得，，，由折叠性质得，，由此依据判定和全等得，设，则，，然后在中，由勾股定理求出，继而可得的长． 【详解】解：（1）在中，，， ∵， ∴， 由折叠性质得：， 在中，由勾股定理得：； （2）∵四边形是长方形，，， ∴，，， 由折叠性质得：，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴． 题型15 勾股定理的实际应用（共3小题） 【模型】生活场景抽象直角三角形，运用勾股定理，求解距离高度等。 【步骤】画出示意图，标出已知边长，构建 Rt△，代入公式计算。 【易错】示意图理解偏差，非直角模型，错误使用勾股定理。 43．（25-26八年级下·广东东莞·期中）为了让学生更好地学会用勾股定理，某校八年级数学兴趣小组的同学把“测量风筝的垂直高度”作为一项课题，利用课余时间完成了实践调查，并利用皮尺等工具采集了如下的实验数据． 【采集数据】如图，利用皮尺测量水平距离米，然后根据手中剩余风筝线的长度得出风筝线的长度，最后测量放风筝的小康同学的身高米． 【数据应用】已知图中各点均在同一平面内，点，，，在同一直线上． (1)若米，求此时风筝的垂直高度． (2)若站在点不动，想把风筝沿着的方向从点的位置上升到点的位置，此时测得米，且，求风筝上升的高度多少米？ 【答案】(1)风筝的垂直高度为米 (2)风筝上升的高度米 【分析】（1）根据题意可得米，，再由勾股定理求出的长即可得到答案； （2）设米，则米，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，米，， 在中，由勾股定理得米， 米， 此时风筝的垂直高度为米； （2）解：设米，则米， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， 风筝上升的高度米． 44．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图1，将某型号消防车救援场景进行数学抽象：消防车车身的高度（云梯连接点A到地面的距离）米，云梯最大伸展长度为40米．某居民楼发生火灾，楼体B处有老人需要救援，救援时云梯已伸展至最大长度并精准抵达B点．若以云梯与车身接连点为基准确定消防车的停放位置，则此时点A与居民楼之间的水平距离为32米． (1)求点B到地面的距离； (2)如图2，消防员发现在B处的上方8米的D处还有一名受困人员，便立即前进至处，消防车至少向居民楼方向前进多少米，才能实施救援？ 【答案】(1)点B到地面的距离为米； (2)消防车至少向居民楼方向前进8米，才能成功实施救援 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型． （1）过点A作于点H，根据勾股定理求得，，进而可得出结论； （2）连接并延长交于点H，由勾股定理求得，，即可得出结论． 【详解】（1）解：过点A作于点H， 由题意得米，米，米， ∵在中，，即， ∴， ∴（米）， 答：点B到地面的距离为米； （2）解：连接并延长交于点H，则，又，故A、C、H三点共线， ∵，， ∴， ∵当云梯伸至最长40米时，前进的距离最小， 此时，在中，即， 解得， ∴（米）， 答：消防车至少向居民楼方向前进8米，才能成功实施救援． 45．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）如图，一根垂直于地面的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部的距离．    (1)求旗杆折断处点距离地面的高度； (2)工人在修复的过程中，发现在折断处的下方1.4m的点处，有一明显裂痕，若下次大风将修复好的旗杆从点处吹断，旗杆的顶部落在水平地面上的处，形成一个，请求出的长． 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图． （1）由题意可知米，根据勾股定理可得：，又因为米，所以可求得的长； （2）先求出点距地米，米，再根据勾股定理可以求得的长． 【详解】（1）解：由题意可知：米， ， ， 又米， ， 米； （2）解：点距地面米， 米， （米． 题型16 勾股定理中的超速问题（共3小题） 46．（25-26八年级下·甘肃张掖·期中）为切实做好防溺水与道路交通安全宣讲工作，某镇政府使用移动广播车开展巡回宣传．如图，笔直公路旁有一村庄A，村庄A到公路的距离为400米（即于点B），广播车的有效收听半径为500米．广播车在公路上沿方向匀速行驶，当车行至点P时，村民开始听到广播；行至点Q时仍可收听，驶过点Q后则无法听到广播．求该村村民能够连续听到广播宣传时，广播车行驶的路程的长． 【答案】广播车行驶的路程的长为米． 【分析】根据题意可得米，易证，利用勾股定理求出米，即可得到． 【详解】解：∵广播车的有效收听半径为500米，当车行至点P时，村民开始听到广播；行至点Q时仍可收听，驶过点Q后无法听到广播， ∴米， ∵， ∴， 由勾股定理得：（米）， ∴（米）， 答：广播车行驶的路程的长为米． 47．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，已知某高速公路限速，一辆大巴车在这条公路上沿直线行驶，与这条路平行的直线上的点处有一车速检测仪．某一时刻，大巴车刚好行驶到车速检测仪处正前方的处，经过后，大巴车到达处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为． (1)求的距离； (2)通过计算说明这辆大巴车是否超速．（参考数据） 【答案】(1)米 (2)大巴车超速了 【分析】本题考查勾股定理的应用，读懂题意，熟练掌握勾股定理是关键． （1）由勾股定理求出线段长度即可得到答案； （2）先计算出大巴车的速度，将速度化为，与高速公路限速比较即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可知，在中，，，，则由勾股定理可得， 的距离为米； （2）解：大巴车的速度为， 则， ， 大巴车超速了． 48．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）如图，小亮与小红进行遥控赛车游戏，终点为点A，小亮的赛车从点C出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小红的赛车从点B出发，以3米/秒的速度由南向北行驶，已知整个过程两辆赛车均沿直线行驶，米，米． (1)经过4秒，两赛车之间的距离是多少米？ (2)已知赛车之间的距离小于或等于25米时，遥控信号会产生相互干扰，若某一时刻，这两辆赛车距点A的距离之和为35米，则此时遥控信号是否会产生相互干扰？ 【答案】(1)两赛车之间的距离是30米 (2)当两赛车的距离之和为米时，遥控信号将会产生干扰 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据题意求得米，米，得到 米，米，根据勾股定理即可得到结论； （2）设出发秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰，根据题意列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：如图， 出发秒钟时，米，米 米，米 米，米 （米） 答：两赛车之间的距离是30米． （2）解：设出发秒钟时，两赛车距 A 点的距离之和为 35 米， 由题意得，，解得 此时， 此时， 即两赛车间的距离是25米，所以遥控信号将会受到干扰， 答：当两赛车的距离之和为米时，遥控信号将会产生干扰． 题型17 勾股定理中的台风影响问题（共3小题） 49．（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，某台风中心沿直线从左向右移动，已知点为某海港，点与直线上，两点的距离分别为和，且，以台风中心为圆心，周围以内为受影响区域． (1)求证：； (2)当地气象部门在通知中说海港会受到台风影响，请用所学数学知识说明缘由； (3)若台风的速度为，则台风持续影响该海港的时间有多长？ 【答案】(1) 证明：∵，，， ∴， ∴为直角三角形， ∴； (2) 解：海港C会受到台风影响，理由如下： 如图所示，过点C作于D点， ∴， ∴， ∴， ∵以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， ∴海港C会受到台风影响； (3)台风持续影响该海港 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形； （2）利用三角形面积得出的长，进而得出海港C是否受台风影响； （3）利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由（2）得， 如图所示，当时，即台风经过段时，正好影响到海港C，此时为等腰三角形， ， ∴， ∵台风的速度为， ∴， ∴台风影响该海港持续的时间有． 50．（24-25七年级下·陕西西安·期末）为了美化城市，洒水车需要在一条长为的重要路段段以50米/分钟行驶进行洒水，在洒水的同时会播放音乐进行提醒．如图，学校位于点位置，洒水车由向移动，学校与路段上的两个路口的距离分别为，，经测量，发现在及以内的区域会受到音乐的影响．判断学校是否会受到影响？若不会受到影响，请说明理由；若会受到影响，请求出受多长时间影响． 【答案】会受到影响，影响时间为4分钟 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理以及三角形的面积等知识，利用勾股定理，求出学校会受到影响区域（线段）的长度是解题的关键．在中，由，可得出，过点作于点，利用面积法可求出的长，由该值小于260，学校会受到影响，设直线上点到点的距离为，连接，利用勾股定理，可求出的长，结合，可求出的长，再利用时间路程速度，即可求出学校受影响的时长． 【详解】解：在中，， ∵， ∴， ∴． 过点作于点，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴学校会受到影响． 设直线上点到点的距离为，连接，如图所示： 则， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴受影响时间为（分钟）， 答：学校会受到影响，受4分钟影响． 51．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）今年第6号台风“烟花”登陆我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点的距离分别为，，又，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响．已知台风中心的移动速度为． (1)求的度数． (2)海港是否受台风影响？若受影响，求出影响时长；若不受影响，说明理由． 【答案】(1) (2)海港受台风影响，时间为5小时 【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用． （1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而得出的度数； （2）利用三角形面积得出的长，进而得出海港C是否受台风影响，利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1）解：，，， ， 是直角三角形，； （2）解：海港受台风影响． 过点作于， 是直角三角形， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， 海港受台风影响； 当，时，正好影响港口， ， ， 台风的速度为40米/小时， （小时）． 答：台风影响该海港持续的时间为5小时． 题型18 勾股定理中的选址问题（共3小题） 52．（25-26八年级下·河北雄安·期中）如图，在一条东西走向的街道l上有两个快递投放点B，C．，快递投放点C的正北方向有一小区A，小区A到快递投放点B的距离为． (1)求小区A到快递投放点C的距离． (2)在街道l上有另一个快递投放点D到小区A与快递投放点B的距离相等，求快递投放点B，D之间的距离． 【答案】(1)小区A到快递投放点C的距离为 (2)快递投放点B，D之间的距离为 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）设，则，根据勾股定理列方程求解即可； 【详解】（1）解：∵小区A在点C的正北方向， ∴， ∴，， ∴， ∴小区A到快递投放点C的距离为； （2）解：设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴快递投放点B，D之间的距离为． 53．（25-26八年级下·河南焦作·期中）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，其中有著名的数学家，也有数学爱好者． (1)如图1，这是美国第20任总统詹姆斯·加菲尔德的“总统证法”图形，，，，，请依据图1推导勾股定理． (2)如图2，在中，，，，，垂足为，求的长． (3)如图3，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，，为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为，，千米，千米，现要在上建造一个供应站，使得，请用尺规作图在图中作出点的位置并直接写出的距离．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1) ∵ ， 整理得： (2) (3) 点P即为所求， 的距离为16千米 【分析】（1）用两种方法表示出梯形的面积，再根据它们相等整理即可证明结论； （2）设，分别在和中，表示出，列出方程，求出x，再利用勾股定理即可求出的值. （3）先根据，作的垂直平分线交于P，设千米，则千米，根据勾股定理列式代入数值计算化简，即可作答． 【详解】（1）解：略； （2）解：设 ∵ ∴ ∴和都是直角三角形 在中， 在中， ∴ ∵，， 则 解得，即 在中，由勾股定理，得. （3）解：如图，连接，作的垂直平分线交于P， 设千米，则千米， 在中，， 在中，， ， ， 解得 54．（24-25八年级上·陕西西安·期中）【问题背景】 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． 【探索求证】 （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，与按如图所示位置放置，连接，其中，请你利用图②推导勾股定理； 【问题解决】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【延伸扩展】 （3）在第（2）向中若时，，，，，设，求的值． 【答案】 （1）， ， ∴， 即； （2）新路比原路少5千米；（3） 【分析】此题主要考查了勾股定理的证明与应用： （1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设千米，则千米，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果； （3）在和中，由勾股定理得求出，列出方程求解即可得到结果． 【详解】解：（1） 略 （2）设千米，则千米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， 即千米， ∴（千米）， ∴新路比原路少5千米； （3）设，则， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 即， 解得：． 拔高·压轴破难 题型19 勾股定理中的折叠问题（共3小题） 55．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如图，在中，，，为的中点，已知． （1）如图①，____________； （2）如图②，将沿折叠，使点落在外点处，连接，则线段的长为___________． 【答案】 90 7.2 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理求得是直角三角形，即可求得； （2）连接交于O．由折叠的性质得到，从而得到是线段的垂直平分线，即有，．由的面积，求出的长，得到的长．再由证明是直角三角形，利用勾股定理即可得出结论． 【详解】解：（1）∵为的中点， ∴， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴； （2）连接交于O． ∵，为的中点， ∴． ∵（折叠的性质）， ∴， ∴是线段的垂直平分线， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 56．（25-26八年级上·山西运城·期末）如图，在中，，，，点D是上一点，连接，将沿着折叠，使点C落在上的点E处，过点B作，交的延长线于点F，则的长为_________． 【答案】 【分析】首先利用勾股定理求出，由折叠得，，，，设，则，利用勾股定理求出，，然后利用等面积法求解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴ 由折叠得，，， ∴ 设，则 ∴在中， ∴ 解得 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 57．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，将边长为的正方形折叠，使得点落在边上的点处，折痕为．若的长为，则的长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，平行线间的距离，作于点，连接，设与交于点，则，又四边形是正方形，所以，，，根据平行线间的距离相等得，又将边长为的正方形折叠，使得点落在边上的点处，折痕为，则，然后证明，所以，最后通过勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，作于点，连接，设与交于点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， 根据平行线间的距离相等得， ∵将边长为的正方形折叠，使得点落在边上的点处，折痕为， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得：， 故答案为：． 题型20 勾股定理中的动点问题（共3小题） 58．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，在长方形中，，，点是边上的一个动点，把沿折叠，点的对应点为．若存在点使得是以为底的等腰三角形，则的取值范围是______． 【答案】且 【分析】求出点与点重合，点恰好落在的垂直平分线上和点恰好落在的中点上，两种情况进行求解，即可得出结果． 【详解】解：在长方形中，，， 当是以为底的等腰三角形时，， ∴点在的垂直平分线上， 当点与点重合，点恰好落在的垂直平分线上时，如图， 则，， 由折叠可得，， 在中，， 在中，， ∴，解得， 当点恰好落在边的中点上时，如图，则， ∴； ∴当存在点使得是以为底的等腰三角形时，且． 59．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，，点M为射线上一动点，连接，过点B作交于点N． (1)若，则_________； (2)点M在线段上运动时，的值是否发生变化？若不变，求出此值；若变化，说明理由． (3)当时，求的值． 【答案】(1)1 (2)不变，8 (3)26或38 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线间的距离，三角形的面积，勾股定理，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键： （1）勾股定理求出的长，线段的和差关系求出的长即可； （2）作，交的延长线于点，平行线间的距离得到，进而得到，同角的余角相等，得到，证明，得到，设，得到，进而求出的值即可； （3）分点在线段上和点在线段的延长线上，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：不变； 作，交的延长线于点，则， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴；即的值不变为8； （3）解：当点在线段上时： 由（2）可知：，， ∴ ∵，， ∴ ， ∴； 当点在线段的延长线上时，如图： 同（2）法可得： ，， 设，则：， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∴； 综上：或． 60．（25-26八年级上·江苏常州·期中）在四边形中，，，． (1)如图（1），为边上一点，将沿直线翻折至的位置（点落在点处）． ①如图（2），当点落在边上时，利用尺规作图，在图（2）中作出折痕，画出，（不写做法，保留作图痕迹）并直接写出此时_______． ②在①的条件下，求的长． (2)已知为射线上的一个动点，将沿直线翻折，点落在直线上的点处，求的长． 【答案】(1) ①即为所求， ； ② (2)或 【分析】本题主要考查图形折叠的性质和勾股定理，尺规作图——作角平分线，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． （1）①以点为圆心，以的长为半径作圆，交于点，连接，作的角平分线，交于一点，该点即为，连接，，即为所求；然后根据图形折叠的性质可知，利用勾股定理即可求得； ②设，则，根据图形折叠的性质可知，根据勾股定理即可求得答案； （2）分两种情况计算：当点在线段上时；当点在线段的延长线上时；根据折叠的性质和勾股定理构建方程即可解答． 【详解】（1）解：如图所示，以点为圆心，以的长为半径作圆，交于点，连接，作的角平分线，交于一点，该点即为，连接，， 根据图形折叠的性质可知，，， 在中，． 故答案为：． ②设，则，， ∵，， ∴， 在中，，即． 解得，即． （2）解：①如图所示，当点在线段上时． 设，则， 根据图形折叠的性质可知，，， 在中，， 则， 在中，， 即， 解得，即； ②如图所示，当点在线段的延长线上时， 根据图形折叠的性质可知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴； 综上所述，或． 题型21 勾股定理中的最值问题（共3小题） 61．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，C为线段上一动点，分别过点B、D作，连接，已知，设． (1)则的长为_______（用含x的代数式表示），的长为_______（用含x的代数式表示）； (2)当点C在上运动时，求的最小值； (3)根据（2）中的规律和结论，则代数式的最小值为_______； (4)仿照上面的方法，则代数式（x是任意实数）的最大值为_______． 【答案】(1)； (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了勾股定理，实数与数轴，两点之间线段最短等知识，解题的关键是正确运用数形结合的思想． （1）对运用勾股定理求解； （2）当 A、C、E 三点共线时，的值最小，即为，过点作交的延长线于点，然后对运用勾股定理求解; （3）可作，过点作，过点作，使，，当点共线时，则的长即为代数式的最小值，然后构造，根据勾股定理即可求得的值； （4）构造数轴，设点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，过点A作，且，过点作，且， 则，，过点作于点，则同上可得，则，那么由勾股定理得，，，，由，得当点共线时，的长即为代数式的最大值，即可求解． 【详解】（1）解：，则， ∵， ∴由勾股定理得：， ， 故答案为：；； （2）解：当 A、C、E 三点共线时，的值最小，即为，如图： 过点作交的延长线于点， ∵， ∴， ∵， ∴，同理， ∴， ∴的最小值为； （3）解：如图所示，作线段，C为线段上一动点，过点作，过点作，使，， 设，则， ∴由勾股定理得：，， ∴， ∴当点共线时，取得最小值即，即为的长， 过点作交的延长线于点， 则同上可得，，， ， 即的最小值为13． （4）解：如图，构造数轴，设点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，过点A作，且，过点作，且， ∴，， 过点作于点，则同上可得， ∴， ∴由勾股定理得，，，， ∵三角形任意两边之差小于第三边， ∴， ∴ ∴当点共线时，的长即为代数式的最大值， ∴的最大值为． 62．（2026·江苏扬州·二模）如图，是等边三角形，，在上且，是直线上一动点，线段绕点逆时针旋转，得到线段，当点运动时，则线段的最小值是________． 【答案】 【分析】过E作于G，过A作于P，过F作于H，则，证明，即可得到，进而得到当点D运动时，点F与直线的距离始终为，据此可得当时，的最小值为. 【详解】解：过E作于G，过A作于P，过F作于H， 则， ∵线段绕点逆时针旋转，得到线段， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵是等边三角形，，， ∴，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴当点D运动时，点F与直线的距离始终为， ∴当时，最小，最小值为. 63．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，中，，，，点，点分别是边，边上的动点，则的最小值是______． 【答案】/ 【分析】本题考查了垂线段最短，轴对称求线段和最值问题，勾股定理及其逆定理．作点关于的对称点，连接，，，当时，最短，根据垂线段最短以及两点之间线段最短，可知的最小值是线段的长，利用等积法即可求解． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，，，当时，最短， ∵中，，，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵点关于的对称点， ∴，， ∴， 当三点共线时，且时，取得最小值， 如图，延长交的延长线于点， ∵，，且， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即的最小值为， 故答案为：． 题型22 勾股定理中的存在性问题（共3小题） 64．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）如图，中，，，，若点P从点A出发，以每秒的速度沿折线－－－运动，设运动时间为． (1)在上是否存在点P，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； (2)若点P恰好在的角平分线上，于点M，求的值； (3)当为何值时，为等腰三角形且？求出此时的长． 【答案】(1)存在，s (2) (3)①，；②， 【分析】本题考查了勾股定理、全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据勾股定理即可计算； （2）证明≌，在中运用勾股定理即可； （3）分两种情况讨论，当在上时和当在上时，结合等腰三角形的性质进行解题． 【详解】（1）解：由题意知，， 设存在点P，使得，此时，， 在中，， 即， 解得：， 故当时，； （2）解：∵平分， ∴， 在与中， ∴≌， ∴，， 又∵，， ∴， ∵， 即， 解得：； （3）解：①当P在上时，， 即，解得：， 此时； ②当P在上时，过C作于F，如图： 若，则有， ， ∴， 解得：，， 此时， ； 综上所述，或时，； 当时，； 当时，． 65．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图1，已知点B、C、F、D均在直线l上，，且，，现保持不动，将沿l向左平移，平移的过程中，设所在的直线与所在的直线交于点M． (1)若平移到点F与点B重合，如图2． ①判断、的位置关系，并说明理由； ②连接，求的面积． (2)在平移的过程中，是否存在长为4的情况，若存在，直接写出此时的面积． 【答案】(1) ①，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平移到点与点重合， ∴， ∴， ∴， ∴． ② (2)存在，或14 【分析】本题考查了勾股定理、全等三角形的性质、算术平方根等知识，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键． （1）①先得出，再根据全等三角形的性质可得，则可得，然后求出，由此即可得； ②先利用三角形的面积公式可得的长，则可得的长，再利用勾股定理可得的长，然后利用三角形的面积公式求解即可得； （2）分两种情况：①在点与点重合之前，存在，②在点与点重合之后，存在，利用三角形的面积公式求出的长，由此即可得． 【详解】（1）解：①略 ②如图，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平移到点与点重合， ∴， ∴， ∴． （2）解：①如图，在点与点重合之前，存在， 连接， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图，在点与点重合之后，存在， 过点作于点，过点作于点，过点作于点，连接， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上，在平移的过程中，存在长为4的情况，此时的面积为或14． 66．（25-26八年级下·广东佛山·期中）在学习《图形的平移与旋转》这一课时，李老师给我们展示了一道这样的数学题目： (1)【初步感知】 如图1，在中，，点为斜边上一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则______；若，则点D到点E的距离等于______． (2)【探究应用】 如图2，点为等边内一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，若、、三点共线，求证：平分； (3)【拓展提升】 如图3，在中，，平面内存在一点D，使于点，若，请直接写出的长． 【答案】(1)45； (2)见解析 (3)或 【分析】（1）先证明，得到，进而得到，勾股定理求出即可； （2）由旋转的性质可得，，由“”可证，可得，从而求得，即可得出结论； （3）分点在下方和点在上方，两种情况，进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：∵旋转， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵将线段绕点A逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∵、、三点共线， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （3）解：①当点在下方时，如图，延长至点，使， ∵，于点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理，得； ②当点在上方时，如图，作交于点， 则， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得； 综上：或. 题型23 勾股定理中的蚂蚁爬行最短路径问题（共3小题） 67．（26-27八年级上·宁夏银川·期中）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少？（杯壁厚度不计），请画出平面展开图并计算结果． 【答案】 【分析】先画出圆柱的侧面展开图，作点A关于的对称点，可得即为最短距离，在利用勾股定理，求解即可． 【详解】解：如图，将该圆柱的侧面展开，作点A关于的对称点，连接，则即为最短距离， 过点作，交的延长线于点D， 根据题意，得，，， 故由勾股定理，得． 68．（24-25八年级上·山东青岛·期中）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，在线段的三等分点（靠近点）处有一只蚂蚁，中点处有一米粒，则蚂蚁沿长方体表面爬到米粒处的最短距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将长方体表面展开，分前面与右面展开、前面与顶面展开两种情况，利用勾股定理计算的长，比较大小即可． 【详解】解：如图1，将前面和顶面展开在同一平面内， ，，，在线段的三等分点（靠近点）处有一只蚂蚁，中点处有一米粒， ，， ； 如图2，将前面和右面展开在同一平面内， ，，，在线段的三等分点（靠近点）处有一只蚂蚁，中点处有一米粒， ，，， ． ， 最短距离为． 69．（25-26八年级下·广东·期末）综合与实践 【问题】在圆柱表面，蚂蚁怎么爬行路径最短？（计算过程中的取3） 素材1  如图1，圆柱形纸盒的高为12厘米，底面直径为6厘米，在圆柱下底圆周上的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面圆周上与A点对应的B点处的食物． 素材2  如图3所示的实践活动器材包括：底面直径为6厘米，高为10厘米的木质圆柱、橡皮筋、细线（借助细线来反映爬行的路线）、直尺，通过调节橡皮筋的位置达到改变圆柱的高度的目的，（1）中两种路线路程的长度如下表所示（单位：厘米）： 圆柱高度 沿路线一路程x 沿路线二路程y 比较x与y的大小 5 11 10.3 4 10 9.85 3 a 9.49 b (1)若蚂蚁沿图1中的折线A→C→B爬行的最短路径记为“路线一”，此时最短路程是厘米．将圆柱沿着将侧面展开得到图2，请在图2中画出蚂蚁爬行的最短路径（此路径记为“路线二”），此时最短路程是_______厘米；比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线______（用“一”或“二”填空） (2)填空：表格中a的值是________；表格中b表示的大小关系是_________； (3)经历上述探究后，请你思考：若圆柱的半径为r，圆柱的高为h．在r不变的情况下，当圆柱半径为r与圆柱的高度h存在怎样的数量关系时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等？ 【答案】(1)画出蚂蚁爬行的最短路径,如图 15；二； (2)， (3) 【分析】（1）根据勾股定理以及线段长度得出即可； （2）利用圆柱形木块的高为，底面半径为6，即可得出沿爬行的路程长并比较大小； （3）构造方程即可得到结论． 【详解】（1）解：展开后，半圆长为， 此时最短路程是厘米， ∵ 比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线二， （2）解：， ∵， ∴表格中b表示的大小关系是； （3）解：根据题意可得， 即， ∴， 故当时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等． 题型24 勾股定理中的新定义问题（共3小题） 70．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）定义：任意三个数，，若满足，则称为，的“调和数”． (1)若，，则，的“调和数”_______． (2)若，，求，的“调和数”； (3)若，的“调和数”满足且，，均为正整数，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或或 【分析】（1）根据“调和数”的定义得出关于的一元一次方程，求解即可； （2）利用完全平方公式计算得出或，分两种情况，分别利用“调和数”的定义，计算即可得出结果； （3）求出，再结合且，，均为正整数，得出，，为勾股数组合，由此计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得， 解得； （2）解：∵， ∴或， 当时，， ∴， 当时，， ∴； 综上所述，或； （3）解：由题意可得， ∴， ∵， ∴， 整理得， ∵，，均为正整数， ∴， ∴将两边同时除以得， ∴， ∴， ∵且，，均为正整数， ∴，，为勾股数组合， 当，，为勾股数，，时，，，，满足和，符合题意； 当，，为勾股数，，时，，，，满足和，符合题意； 当，，为勾股数，，时，，，，满足和，符合题意； 验证其他常见勾股数均不满足条件，因此的取值为或或． 71．（25-26八年级下·江苏淮安·期末）【问题背景】某研究学习小组在学习《简单的图案设计》时，发现一种特殊的四边形，如图1，在四边形中，若，，我们就把这种四边形称为“邻等对补四边形”．于是规定：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．那么“邻等对补四边形”都有哪些特殊的性质呢？该学习小组根据学习经验，进行如下研究． (1)【概念辨析】用分别含和角的直角三角形纸板拼出如图2所示的4个四边形，其中是“邻等对补四边形”的是______（填序号）． (2)【深入探究】学习小组在探究“邻等对补四边形”的边和对角线时，如图3，四边形是“邻等对补四边形”，其中，得到猜想：平分．请对猜想进行证明． (3)【拓展应用】如图3，在“邻等对补四边形”中，，若，，，求长． (4)如图4，在边长为12的等边三角形中，是的中点，是边上一动点，将沿翻折得到，延长交直线于点．若，则的长为______． 【答案】(1)②④ (2)证明：如图，过A作于H，作交延长线于K， ∵四边形是“邻等对补四边形”， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴平分； (3) (4)或 【分析】（1）根据“邻等对补四边形”的定义可得答案； （2）过A作于H，作交延长线于K，证明，可得，故平分； （3）延长交于点，根据三角形内角和得出，根据“邻等对补四边形”得出，进而可得，进而根据含30度角的直角三角形的性质得出的长，即可求解； （4）根据题意分情况讨论，当点G在上时，过点D作于点M，于点N，当点G在的延长线上时，过点D作于点P，，交的延长线于点Q，利用角的平分线的性质，新定义，勾股定理，解答即可． 【详解】（1）解：根据“邻等对补四边形”的定义可得，②④为“邻等对补四边形”； （2）略 （3）解：如图，延长交于点， ∵，， ∴， ∵四边形是“邻等对补四边形”，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴, 在中，, ∴． （4）解：在边长为12的等边三角形中，D是的中点，， ∴，，， 当点G在上时，， ∵沿翻折得到，延长交直线于点G． ∴，， ∴，， ∴， ∴四边形是“对补四边形”， 连接， ∵， ∴， 过点D作于点M，于点N， ∴， ∴，， ∴， ∵， ， ∴． ∴， ∵折叠， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， 过点G作于点， ∵，， ∴， 设， 则，， 根据勾股定理，得， 解得． 故的长为． 当点G在的延长线上时， 过点D作于点P，，交的延长线于点Q， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ， ∴． ∴， ∵折叠， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴， 设， 则，， 过点G作，交的延长线于点K， 则， ∴，，， ∴， 根据勾股定理，得， 故， 解得． 故的长为． 综上所述，的长为或． 72．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）【阅读】 定义：对角线互相垂直的四边形称为垂美四边形．如图1，在凸四边形中，对角线，垂足为点E，则四边形为垂美四边形．垂美四边形中有一个重要的结论：垂美四边形的面积等于其对角线乘积的一半．即．证明过程如下： ． 【理解】 如图2，在凹四边形中，对角线，上述结论是否仍然成立?如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由． 【应用】 （1）如图3，在中，，设，，，将绕着点C顺时针旋转90°，得到． ①试判断与的位置关系，并说明理由： ②连接、，我国著名数学家张景中利用图中阴影部分图形面积验证了勾股定理（即）．请你利用前面的结论写出推理过程； （2）如图4，在钝角中，已知为钝角，，，，将绕着点C顺时针旋转得到，连接、．试求出的面积（用含m、n的代数式表示）． 【答案】 【理解】仍然成立，证明如下： 如图，延长交于点E，即， ． 【应用】（1）①，理由如下： 如图，延长，交于点F， ∵绕着点C顺时针旋转90°，得到， ∴． 又， ． ， ， ， ∴， ∴，即． ②由旋转得，，，， 由①可知，， 四边形是垂美四边形， ． 又， ∴， ∴． （2） 【分析】本题主要考查了垂美四边形的定义与面积公式，勾股定理的推导，旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识点，掌握定理内容并熟练运用是解题的关键．根据即可得证；根据垂美四边形的定义与面积公式，旋转的性质，即可得证以及验证勾股定理；先连接、，再根据旋转的性质，得出和均为等腰直角三角形，进一步得出，因此可得，最后利用根据垂美四边形的定义与面积公式，即可求出答案． 【详解】解：【理解】略 【应用】（1）解：①略 ②略 （2）解：如图，连接、， ∵将绕着点C顺时针旋转90°得到， ，，，， ∴和均为等腰直角三角形，则． ∵， ， ， 和同底等高， ∴， ． 同理（1）可得，四边形是垂美四边形， ， ． ∵，， ∴． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 勾股定理 基础·固本强基 题型1 勾股定理的证明方法 题型2 弦图为背景的计算题（重点） 题型3 勾股数问题 题型4 用勾股定理解简单三角形 题型5 判断三边能否构成直角三角形 题型6 网格中判断直角三角形 题型7 勾股定理的简单应用 提升·进阶突破 题型8 用勾股定理解三角形（重点） 题型9 以直角三角形三边为边长的图形面积（重点） 题型10 利用勾股定理求两条线段的平方和 题型11 利用勾股定理的逆定理求解 题型12 勾股定理逆定理的实际应用 题型13 勾股定理与网格问题（重点） 题型14 勾股定理与折叠问题（重点） 题型15 勾股定理的实际应用（重点） 题型16 勾股定理中的超速问题 题型17 勾股定理中的台风影响问题（重点） 题型18 勾股定理中的选址问题 拔高·压轴破难 题型19 勾股定理中的折叠问题（难点） 题型20 勾股定理中的动点问题（难点） 题型21 勾股定理中的最值问题（难点） 题型22 勾股定理中的存在性问题（难点） 题型23 勾股定理中的蚂蚁爬行最短路径问题（难点） 题型24 勾股定理中的新定义问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 勾股定理的证明方法（共3小题） 【模型】利用图形面积割补，用两种方式表示同一图形面积，化简推导出勾股关系式。 【步骤】拆分图形，分别列式算总面积，建立等式，消去同类项得到勾股公式。 【易错】面积表达式写错，图形边长对应错误，混淆面积与边长平方关系。 1．（25-26八年级上·江苏常州·期中）下列数学家中，用如图所示的“弦图”证明了勾股定理的是（　　） A．刘徽 B．祖冲之 C．赵爽 D．秦九韶 2．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）我国汉代的数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”，是一种用面积证明勾股定理的方法．下面四幅图中，不能用面积证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·河北保定·期中）利用四个全等的直角三角形可以拼成如下图所示的“赵爽弦图”，在用“赵爽弦图”的面积验证勾股定理时，用到的相等关系是（    ） A． B． C． D． 题型2 弦图为背景的计算题（共3小题） 【模型】赵爽弦图由四个全等 Rt△围正方形，利用大小正方形面积差求直角边 【步骤】设直角边未知数，结合大小正方形边长，联立勾股方程求解线段。 【易错】混淆大小正方形边长，看错直角边与弦图边长的对应关系。 4．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）沭阳花木节以赵爽弦图为背景制作一个展台．该图由四个全等的直角三角形（直角边分别为和，斜边为）围绕一个正方形拼成一个大正方形（如图）．若图中直角三角形的面积为，中间小正方形的面积为，则__________． 5．（25-26八年级上·江苏·期末）我国古代“赵爽弦图”是勾股定理的重要证明方法，由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成．若直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，小正方形边长为1，则 ________． 6．（25-26八年级上·陕西汉中·期中）勾股定理在我国有着悠久的历史．汉末三国初数学家、天文学家赵爽给《周髀》作注时，给出了相对完整的表述：“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之，即弦．”其设计图是由四个完全相同的直角三角形(两条直角边长分别为，，且，斜边为)拼成一个边长为的正方形(如图)，直观地论证了勾股定理，该图被后人称为“赵爽弦图”． (1)请你借助“赵爽弦图”验证勾股定理． (2)若，，求中间小正方形(阴影部分)的面积． 题型3 勾股数问题（共3小题） 【模型】满足a2+b2=c2的三个正整数为勾股数，整数倍仍为一组勾股数。 【步骤】验证三正整数平方关系；记住常见勾股数，倍数快速判断。 【易错】小数、分数不是勾股数；不要把勾股数倍数当成全新一组。 7．（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）清代数学家罗士琳提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为________． 8．（25-26八年级上·辽宁丹东·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A．，， B．1.5，2，2.5 C．5，12，11 D．7，24，25 9．（25-26八年级下·四川绵阳·期末）如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形．已知正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积为（     ） A．40 B．45 C．47 D．50 题型4 用勾股定理解简单三角形（共3小题） 【模型】在直角三角形内，已知两边长，代入a2+b2=c2求第三条边长。 【步骤】分清斜边直角边，代入公式计算，开方取线段正数长度。 【易错】分不清斜边，盲目代入公式；线段长度舍去负根。 10．（25-26八年级下·广西南宁·期中）我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．在直角三角形中，若勾为6，股为8，则弦为（    ） A．10 B．9 C．11 D．12 11．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，是边上一点．若，则的长为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 12．（25-26八年级上·江苏常州·期末）如图，在中，，是边上的高，是边上的中线．若，，则的长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 题型5 判断三边能否构成直角三角形（共3小题） 【模型】取三边中最长边，验证较短两边平方和是否等于最长边平方。 【步骤】找出最长边，分别计算三边平方，验算平方等量关系。 【易错】不找最长边直接验算；满足等式才是直角三角形。 13．（25-26八年级下·广东广州·期中）在中，，，，则的度数为______． 14．（25-26八年级下·河北雄安·期中）如图，在三角形支架中， (1)求的长； (2)判断支架外框的形状，并说明理由． 15．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，点在边上，连接，，，，． (1)求证：； (2)求的面积． 题型6 网格中判断直角三角形（共3小题） 16．（22-23八年级下·广西钦州·期中）如图，在的正方形方格图中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，则是__________三角形． 17．（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）如图，在正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别画三角形，则图中直角三角形是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 18．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在四个均由十六个小正方形组成的正方形网格中，各有一个三角形，那么这四个三角形中，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 题型7 勾股定理的简单应用（共3小题） 19．（25-26八年级上·江苏·期中）一架云梯长，如图那样斜靠在一面墙上．当这架云梯的顶端位于A处时，它的底端位于B处，底端离墙． (1)这架云梯的顶端到地面的距离是多少？ (2)当这架云梯的顶端从A处下滑到达处时，它的底端从B处滑动到处，云梯底端在水平方向滑动的距离也是吗？ 20．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）在社团活动中，徐老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在A的正下方物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离，物体C到定滑轮的垂直距离．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若物体C升高至处，求滑块B向左滑动至处的距离． 21．（25-26八年级上·江苏常州·期中）勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 提升·进阶突破 题型8 用勾股定理解三角形（共3小题） 【模型】作高分割斜三角形为两个直角三角形，公共高搭桥，列勾股方程。 【步骤】过顶点作高线，设底边分段未知数，两个 Rt△联立方程求解。 【易错】高在三角形外部时容易漏解，忽略钝角三角形高的位置。 22．（26-27八年级上·江苏宿迁·期中）已知，如图，平分，是的中点，，，，若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．4 D．3 23．（2026·江苏徐州·模拟预测）如图，四边形中，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 24．（2026·江苏无锡·一模）如图，在直角中，， (1)尺规作图：作的角平分线，交于点D，在上作一点E，使得；（不写作法，保留痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，则________．（若需画图，请用备用图） 题型9 以直角三角形三边为边长的图形面积（共3小题） 【模型】直角三角形两直角边向外图形面积之和，等于斜边向外图形面积。 【步骤】写出三个图形面积表达式，结合勾股定理，替换平方关系求面积。 25．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）如图，已知正方形的面积为，正方形的面积为，则正方形的面积为（   ）． A．10 B．14 C．24 D．48 26．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，在中，，是斜边上的高，分别以为直径向的内侧作半圆，恰好交于点D．若，，则阴影部分的面积为_______． 27．（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若已知三个正方形的面积依次为，，，则另一个正方形的面积为（    ）． A．38 B．34 C．42 D．44 题型10 利用勾股定理求两条线段的平方和（共3小题） 28．（2026·安徽六安·一模）如图，点是等腰直角斜边上一点（不与点、重合），，则等于（） A．1 B．2 C．4 D．不能确定 29．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，四边形的对角线交于点O，若，，，则______． 30．（25-26八年级上·湖北十堰·期末）如图，等腰直角，等腰直角，，连接相交于点M，则______． 题型11 利用勾股定理的逆定理求解（共3小题） 31．（25-26八年级下·天津红桥·期末）如图，在四边形中，，，，，． (1)求证：； (2)求四边形的面积． 32．（25-26八年级下·全国·期中）如图，在四边形中，，，，，，四边形的面积为（   ） A．12 B． C． D． 33．（25-26八年级下·广西南宁·期中）如图，四边形中，，，，，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 题型12 勾股定理逆定理的实际应用（共3小题） 34．（25-26八年级下·天津南开·期末）如图所示，某小区的两个喷泉，之间的距离为，现要为喷泉铺设供水管道，，供水点在小路上，供水点到的距离的长为，的长为． (1)求供水点到喷泉需要铺设的管道的长； (2)试判断与的位置关系，并说明理由． 35．（25-26八年级下·广东河源·期中）【问题情境】如图①，在中，为边上的高． 【特例研究】 (1)若，，，求证：； 【问题解决】 (2)如图②是某木质房梁的侧面图，小华照此结构设计出右侧房梁示意图如图③，已知斜梁，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁不垂直则为不安全房梁，请判断小华设计的房梁是否安全？并说明理由． 36．（25-26八年级上·四川甘孜·期末）如图，学校A前面有一条笔直的公路，学生放学后走两条路可到达公路．经测量，，，现需新修建一条从学校到公路的路，则学校到公路的最短距离为_____． 题型13 勾股定理与网格问题（共3小题） 37．（25-26八年级下·贵州遵义·期中）如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1，点A，B在格点上（每个小正方形的顶点称为格点）．按要求回答问题： (1)直接写出AB的长为______； (2)在网格中找到一格点C，使得，，判断的形状，并求点A到BC的距离． 38．（2026·河南商丘·模拟预测）如图，在的小正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点、、都在格点（网格线的交点）上，是的高线，则的长为（ ） A． B． C． D． 39．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形（不需要写画法）． (1)在图1中，画一个正方形，使它的面积是； (2)在图2中，已知点，画一个，使它的三边长分别为：、、，并计算边上的高为________．（直接写出结果） 题型14 勾股定理与折叠问题（共3小题） 【模型】折叠前后对应边相等，设未知数，在直角三角形列勾股方程。 【步骤】标记折叠相等线段，设未知边，锁定 Rt△，列方程求解。 【易错】找错折叠对应边；选错直角三角形，方程列式错误。 40．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期中）如图，在中，，，，沿和将纸片折叠，使点和点都落在边上的点，则长为_____． 41．（22-23九年级下·江苏泰州·期中）如图，中，，，，点D是的中点，将沿翻折得到，连接，则线段的长等于（    ） A．2 B． C． D． 42．（24-25八年级下·辽宁铁岭·期中）【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，，点，分别在边，上，将沿折叠，使点与点重合．，求的长； 【深入探究】 （2）如图2．将长方形纸片沿对角线折叠，使点C落在点处，交于点E．若，，求的长． 题型15 勾股定理的实际应用（共3小题） 【模型】生活场景抽象直角三角形，运用勾股定理，求解距离高度等。 【步骤】画出示意图，标出已知边长，构建 Rt△，代入公式计算。 【易错】示意图理解偏差，非直角模型，错误使用勾股定理。 43．（25-26八年级下·广东东莞·期中）为了让学生更好地学会用勾股定理，某校八年级数学兴趣小组的同学把“测量风筝的垂直高度”作为一项课题，利用课余时间完成了实践调查，并利用皮尺等工具采集了如下的实验数据． 【采集数据】如图，利用皮尺测量水平距离米，然后根据手中剩余风筝线的长度得出风筝线的长度，最后测量放风筝的小康同学的身高米． 【数据应用】已知图中各点均在同一平面内，点，，，在同一直线上． (1)若米，求此时风筝的垂直高度． (2)若站在点不动，想把风筝沿着的方向从点的位置上升到点的位置，此时测得米，且，求风筝上升的高度多少米？ 44．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图1，将某型号消防车救援场景进行数学抽象：消防车车身的高度（云梯连接点A到地面的距离）米，云梯最大伸展长度为40米．某居民楼发生火灾，楼体B处有老人需要救援，救援时云梯已伸展至最大长度并精准抵达B点．若以云梯与车身接连点为基准确定消防车的停放位置，则此时点A与居民楼之间的水平距离为32米． (1)求点B到地面的距离； (2)如图2，消防员发现在B处的上方8米的D处还有一名受困人员，便立即前进至处，消防车至少向居民楼方向前进多少米，才能实施救援？ 45．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）如图，一根垂直于地面的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部的距离．    (1)求旗杆折断处点距离地面的高度； (2)工人在修复的过程中，发现在折断处的下方1.4m的点处，有一明显裂痕，若下次大风将修复好的旗杆从点处吹断，旗杆的顶部落在水平地面上的处，形成一个，请求出的长． 题型16 勾股定理中的超速问题（共3小题） 46．（25-26八年级下·甘肃张掖·期中）为切实做好防溺水与道路交通安全宣讲工作，某镇政府使用移动广播车开展巡回宣传．如图，笔直公路旁有一村庄A，村庄A到公路的距离为400米（即于点B），广播车的有效收听半径为500米．广播车在公路上沿方向匀速行驶，当车行至点P时，村民开始听到广播；行至点Q时仍可收听，驶过点Q后则无法听到广播．求该村村民能够连续听到广播宣传时，广播车行驶的路程的长． 47．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，已知某高速公路限速，一辆大巴车在这条公路上沿直线行驶，与这条路平行的直线上的点处有一车速检测仪．某一时刻，大巴车刚好行驶到车速检测仪处正前方的处，经过后，大巴车到达处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为． (1)求的距离； (2)通过计算说明这辆大巴车是否超速．（参考数据） 48．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）如图，小亮与小红进行遥控赛车游戏，终点为点A，小亮的赛车从点C出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小红的赛车从点B出发，以3米/秒的速度由南向北行驶，已知整个过程两辆赛车均沿直线行驶，米，米． (1)经过4秒，两赛车之间的距离是多少米？ (2)已知赛车之间的距离小于或等于25米时，遥控信号会产生相互干扰，若某一时刻，这两辆赛车距点A的距离之和为35米，则此时遥控信号是否会产生相互干扰？ 题型17 勾股定理中的台风影响问题（共3小题） 49．（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，某台风中心沿直线从左向右移动，已知点为某海港，点与直线上，两点的距离分别为和，且，以台风中心为圆心，周围以内为受影响区域． (1)求证：； (2)当地气象部门在通知中说海港会受到台风影响，请用所学数学知识说明缘由； (3)若台风的速度为，则台风持续影响该海港的时间有多长？ 50．（24-25七年级下·陕西西安·期末）为了美化城市，洒水车需要在一条长为的重要路段段以50米/分钟行驶进行洒水，在洒水的同时会播放音乐进行提醒．如图，学校位于点位置，洒水车由向移动，学校与路段上的两个路口的距离分别为，，经测量，发现在及以内的区域会受到音乐的影响．判断学校是否会受到影响？若不会受到影响，请说明理由；若会受到影响，请求出受多长时间影响． 51．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）今年第6号台风“烟花”登陆我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点的距离分别为，，又，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响．已知台风中心的移动速度为． (1)求的度数． (2)海港是否受台风影响？若受影响，求出影响时长；若不受影响，说明理由． 题型18 勾股定理中的选址问题（共3小题） 52．（25-26八年级下·河北雄安·期中）如图，在一条东西走向的街道l上有两个快递投放点B，C．，快递投放点C的正北方向有一小区A，小区A到快递投放点B的距离为． (1)求小区A到快递投放点C的距离． (2)在街道l上有另一个快递投放点D到小区A与快递投放点B的距离相等，求快递投放点B，D之间的距离． 53．（25-26八年级下·河南焦作·期中）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，其中有著名的数学家，也有数学爱好者． (1)如图1，这是美国第20任总统詹姆斯·加菲尔德的“总统证法”图形，，，，，请依据图1推导勾股定理． (2)如图2，在中，，，，，垂足为，求的长． (3)如图3，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，，为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为，，千米，千米，现要在上建造一个供应站，使得，请用尺规作图在图中作出点的位置并直接写出的距离．（不写作法，保留作图痕迹） 54．（24-25八年级上·陕西西安·期中）【问题背景】 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． 【探索求证】 （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，与按如图所示位置放置，连接，其中，请你利用图②推导勾股定理； 【问题解决】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【延伸扩展】 （3）在第（2）向中若时，，，，，设，求的值． 拔高·压轴破难 题型19 勾股定理中的折叠问题（共3小题） 55．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如图，在中，，，为的中点，已知． （1）如图①，____________； （2）如图②，将沿折叠，使点落在外点处，连接，则线段的长为___________． 56．（25-26八年级上·山西运城·期末）如图，在中，，，，点D是上一点，连接，将沿着折叠，使点C落在上的点E处，过点B作，交的延长线于点F，则的长为_________． 57．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，将边长为的正方形折叠，使得点落在边上的点处，折痕为．若的长为，则的长为______． 题型20 勾股定理中的动点问题（共3小题） 58．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，在长方形中，，，点是边上的一个动点，把沿折叠，点的对应点为．若存在点使得是以为底的等腰三角形，则的取值范围是______． 59．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，，点M为射线上一动点，连接，过点B作交于点N． (1)若，则_________； (2)点M在线段上运动时，的值是否发生变化？若不变，求出此值；若变化，说明理由． (3)当时，求的值． 60．（25-26八年级上·江苏常州·期中）在四边形中，，，． (1)如图（1），为边上一点，将沿直线翻折至的位置（点落在点处）． ①如图（2），当点落在边上时，利用尺规作图，在图（2）中作出折痕，画出，（不写做法，保留作图痕迹）并直接写出此时_______． ②在①的条件下，求的长． (2)已知为射线上的一个动点，将沿直线翻折，点落在直线上的点处，求的长． 题型21 勾股定理中的最值问题（共3小题） 61．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，C为线段上一动点，分别过点B、D作，连接，已知，设． (1)则的长为_______（用含x的代数式表示），的长为_______（用含x的代数式表示）； (2)当点C在上运动时，求的最小值； (3)根据（2）中的规律和结论，则代数式的最小值为_______； (4)仿照上面的方法，则代数式（x是任意实数）的最大值为_______． 62．（2026·江苏扬州·二模）如图，是等边三角形，，在上且，是直线上一动点，线段绕点逆时针旋转，得到线段，当点运动时，则线段的最小值是________． 63．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，中，，，，点，点分别是边，边上的动点，则的最小值是______． 题型22 勾股定理中的存在性问题（共3小题） 64．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）如图，中，，，，若点P从点A出发，以每秒的速度沿折线－－－运动，设运动时间为． (1)在上是否存在点P，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； (2)若点P恰好在的角平分线上，于点M，求的值； (3)当为何值时，为等腰三角形且？求出此时的长． 65．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图1，已知点B、C、F、D均在直线l上，，且，，现保持不动，将沿l向左平移，平移的过程中，设所在的直线与所在的直线交于点M． (1)若平移到点F与点B重合，如图2． ①判断、的位置关系，并说明理由； ②连接，求的面积． (2)在平移的过程中，是否存在长为4的情况，若存在，直接写出此时的面积． 66．（25-26八年级下·广东佛山·期中）在学习《图形的平移与旋转》这一课时，李老师给我们展示了一道这样的数学题目： (1)【初步感知】 如图1，在中，，点为斜边上一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则______；若，则点D到点E的距离等于______． (2)【探究应用】 如图2，点为等边内一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，若、、三点共线，求证：平分； (3)【拓展提升】 如图3，在中，，平面内存在一点D，使于点，若，请直接写出的长． 题型23 勾股定理中的蚂蚁爬行最短路径问题（共3小题） 67．（26-27八年级上·宁夏银川·期中）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少？（杯壁厚度不计），请画出平面展开图并计算结果． 68．（24-25八年级上·山东青岛·期中）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，在线段的三等分点（靠近点）处有一只蚂蚁，中点处有一米粒，则蚂蚁沿长方体表面爬到米粒处的最短距离为（     ） A． B． C． D． 69．（25-26八年级下·广东·期末）综合与实践 【问题】在圆柱表面，蚂蚁怎么爬行路径最短？（计算过程中的取3） 素材1  如图1，圆柱形纸盒的高为12厘米，底面直径为6厘米，在圆柱下底圆周上的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面圆周上与A点对应的B点处的食物． 素材2  如图3所示的实践活动器材包括：底面直径为6厘米，高为10厘米的木质圆柱、橡皮筋、细线（借助细线来反映爬行的路线）、直尺，通过调节橡皮筋的位置达到改变圆柱的高度的目的，（1）中两种路线路程的长度如下表所示（单位：厘米）： 圆柱高度 沿路线一路程x 沿路线二路程y 比较x与y的大小 5 11 10.3 4 10 9.85 3 a 9.49 b (1)若蚂蚁沿图1中的折线A→C→B爬行的最短路径记为“路线一”，此时最短路程是厘米．将圆柱沿着将侧面展开得到图2，请在图2中画出蚂蚁爬行的最短路径（此路径记为“路线二”），此时最短路程是_______厘米；比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线______（用“一”或“二”填空） (2)填空：表格中a的值是________；表格中b表示的大小关系是_________； (3)经历上述探究后，请你思考：若圆柱的半径为r，圆柱的高为h．在r不变的情况下，当圆柱半径为r与圆柱的高度h存在怎样的数量关系时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等？ 题型24 勾股定理中的新定义问题（共3小题） 70．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）定义：任意三个数，，若满足，则称为，的“调和数”． (1)若，，则，的“调和数”_______． (2)若，，求，的“调和数”； (3)若，的“调和数”满足且，，均为正整数，求的值． 71．（25-26八年级下·江苏淮安·期末）【问题背景】某研究学习小组在学习《简单的图案设计》时，发现一种特殊的四边形，如图1，在四边形中，若，，我们就把这种四边形称为“邻等对补四边形”．于是规定：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．那么“邻等对补四边形”都有哪些特殊的性质呢？该学习小组根据学习经验，进行如下研究． (1)【概念辨析】用分别含和角的直角三角形纸板拼出如图2所示的4个四边形，其中是“邻等对补四边形”的是______（填序号）． (2)【深入探究】学习小组在探究“邻等对补四边形”的边和对角线时，如图3，四边形是“邻等对补四边形”，其中，得到猜想：平分．请对猜想进行证明． (3)【拓展应用】如图3，在“邻等对补四边形”中，，若，，，求长． (4)如图4，在边长为12的等边三角形中，是的中点，是边上一动点，将沿翻折得到，延长交直线于点．若，则的长为______． 72．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）【阅读】 定义：对角线互相垂直的四边形称为垂美四边形．如图1，在凸四边形中，对角线，垂足为点E，则四边形为垂美四边形．垂美四边形中有一个重要的结论：垂美四边形的面积等于其对角线乘积的一半．即．证明过程如下： ． 【理解】 如图2，在凹四边形中，对角线，上述结论是否仍然成立?如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由． 【应用】 （1）如图3，在中，，设，，，将绕着点C顺时针旋转90°，得到． ①试判断与的位置关系，并说明理由： ②连接、，我国著名数学家张景中利用图中阴影部分图形面积验证了勾股定理（即）．请你利用前面的结论写出推理过程； （2）如图4，在钝角中，已知为钝角，，，，将绕着点C顺时针旋转得到，连接、．试求出的面积（用含m、n的代数式表示）． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $