23.3 锐角三角函数 题型专练2026-2027学年华东师大版九年级上数学册

华东师大版（2024）九年级上册 23.3 锐角三角函数 题型专练 【题型1】用计算器求锐角三角函数值 【典例】已知cosA＝0.5592，运用科学计算器在开机状态下求锐角A时，按下的第一个键是（　　） A． B． C． D． 【举一反三1】若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin36°18′，按键顺序正确的是（　　） A． B． C． D． 【举一反三2】用科学计算器计算：12×tan13°＝__________.(结果精确到0.01)． 【举一反三3】使用计算器求下列三角函数值(精确到0.000 1)： (1)sin71°24′； (2)cos54°21′18″； (3)tan 21°17′23″. 【题型2】已知锐角三角函数值用计算器求角的度数 【典例】已知sinα＝0.5，求α，若用计算器计算且结果为“30”，最后按键(　　) A．AC10N B．SHIET C．MODE D．SHIFT 【举一反三1】已知tan α＝6.866，用计算器求锐角α(精确到1″)，按键顺序正确的是(　　) A． B． C． D． 【举一反三2】已知，运用科学计算器在开机状态下求锐角时，按下的第一个键是（ ） A． B． C． D． 【举一反三3】利用计算器求值：若tanα＝0.5758，则锐角α≈__________.(精确到1′) 【举一反三4】填表： 【举一反三5】已知三角函数值，求锐角(精确到1″)． (1)已知sinα＝0.501 8，求锐角α； (2)已知tanθ＝5，求锐角θ. 【举一反三6】已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应的锐角： (1)sinA＝0.7325，sinB＝0.0547； (2)cosA＝0.6054，cosB＝0.1659； (3)tanA＝4.8425，tanB＝0.8816. 【题型3】直接由定义求正弦值 【典例】已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则sinA的值是(　　) A． B． C． D． 【举一反三1】如图，△ABC中，∠C＝90°，则∠A的正弦值可以表示为(　　) A． B． C． D． 【举一反三2】在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，则sinA的值是__________． 【举一反三3】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，BC＝1，AC＝. (1)求sinA的值． (2)你能通过sinA的值求sin∠CBD的值吗？若能，请求出sin∠CBD的值，若不能，请说明理由． 【题型4】利用勾股定理求正弦值 【典例】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，BC＝1，则sinB的值是(　　) A． B． C． D．2 【举一反三1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则sinB的值等于(　　) A． B． C． D． 【举一反三2】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，则sinB的值为(　　) A． B． C． D． 【举一反三3】△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，那么sinB＝__________. 【举一反三4】如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE＝3AE，试求sin∠ECM的值． 【举一反三5】在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边c＝5，两直角边的长a，b是关于x的一元二次方程x2－mx＋2m－2＝0的两个根，求Rt△ABC中较小锐角的正弦值． 【题型5】在正方形网格中求正弦值 【典例】如图，每个小正方形的边长为1，点A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的正弦值为(　　) A． B． C． D．不能确定 【举一反三1】如图，将∠AOB放置在5×5的正方形网格中，则sin∠AOB的值是(　　) A． B． C． D． 【举一反三2】如图，△ABC的三个顶点都在正方形网格的格点上，则sin∠ACB的值为__________． 【题型6】平面直角坐标系中求正弦值 【典例】如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点(2，1)，则sinα的值是(　　) A． B． C． D．2 【举一反三1】如图，P是∠α的边OA上一点，点P的坐标为(12，5)，则sinα等于(　　) A． B． C． D． 【举一反三2】如图，已知∠α的一边在x轴上，另一边经过点A(2，4)，顶点为(－1，0)，则sinα的值是(　　) A． B． C． D． 【举一反三3】如图，若点A的坐标为(1，)，则sin∠1＝__________. 【举一反三4】如图，在Rt△OAB中，∠OBA＝90°，且点B的坐标为(0，4)． (1)写出点A的坐标； (2)画出△OAB绕点O顺时针旋转90°后的△O1A1B1； (3)求出sin∠A1OB1的值． 【题型7】根据正弦值确定角的大小 【典例】已知sinα＝，则(　　) A．0°＜α＜30° B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．60°＜α＜90° 【举一反三1】如果∠A为锐角，sinA＝，那么(　　) A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45° C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90° 【举一反三2】已知∠A是Rt△ABC的一个内角，且sinA＜，那么∠A的取值范围是__________． 【题型8】正弦值的变化情况 【典例】在钝角△ABC中，∠C是钝角，sinA＝，现在拿一个放大三倍的放大镜置于∠A上方，则放大镜中的∠A的正弦值为(　　) A． B． C． D．条件不足，无法确定 【举一反三1】已知0°＜θ＜30°，且sinθ＝km＋(k为常数且k＜0)，则m的取值范围是__________． 【举一反三2】在Rt△ABC中，∠C＝90°.当∠A确定时，它的正弦值是否随之确定？请说明理由． 【题型9】直接由定义求余弦值 【典例】在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，则cosB的值等于(　　) A． B． C． D． 【举一反三1】已知CD是Rt△ABC斜边上的高线，且AB＝10，若BC＝8，则cos∠ACD＝__________. 【举一反三2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则cosA＝__________. 【题型10】利用勾股定理求余弦值 【典例】如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，则cosB的值是(　　) A． B． C． D． 【举一反三1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，CA＝12，则cosB的值是(　　) A． B． C． D． 【举一反三2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC∶BC＝3∶4，那么cosA的值为__________． 【举一反三3】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，M是直角边AC上一点，MN⊥AB于点N，AN＝3，AM＝4，求cosB的值． 【题型11】在正方形网格中求余弦值 【典例】如图，将一面三角形的小旗放在边长都为1的小正方形方格中(三角形的各顶点均在小正方形的顶点上)，则cosA的值为(　　) A． B． C． D． 【举一反三1】现有一个由6块长为2 cm、宽为1 cm的长方形组成的网格，△ABC的顶点都是网格中的格点，则cos∠ABC的值(　　) A． B． C． D． 【举一反三2】如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在格点上，则cosA＝__________. 【举一反三3】如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则cos∠AOB的值是__________． 【题型12】根据余弦值确定角的大小 【典例】α是锐角，且cosα＝，则(　　) A．0°＜α＜30° B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．60°＜α＜90° 【举一反三1】当锐角A的cosA＞时，∠A的值为(　　) A．小于45° B．小于30° C．大于45° D．大于30° 【举一反三2】若cosα＝，则锐角α的大致范围是(　　) A．0°＜α＜30° B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．0°＜α＜90° 【举一反三3】已知＜cosA＜sin70°，则锐角A的取值范围是__________． 【题型13】余弦值的变化情况 【典例】把Rt△ABC各边的长度都扩大3倍得Rt△A′B′C′，则锐角A、A′的余弦值之间的关系为(　　) A．cosA＝cosA′ B．cosA＝3cosA′ C．3cosA＝cosA′ D．不能确定 【举一反三1】把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的余弦函数值(　　) A．不变 B．缩小为原来的13 C．扩大为原来的3倍 D．不能确定 【举一反三2】随着锐角α的增大，cosα的值(　　) A．增大 B．减小 C．不变 D．增大还是减小不确定 【举一反三3】比较大小：cos36°__________cos37°. 【题型14】直接由定义求正切值 【典例】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，△ABC的面积为2，则tan A＋tan B等于(　　) A． B． C． D．4 【举一反三1】在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b＝1，a＝，则tan ∠B＝__________. 【举一反三2】在正方形ABCD中，E是AD的中点，求tan∠ABE的值． 【题型15】利用勾股定理求正切值 【典例】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，已知AB＝6，AC＝3，则tan ∠BCD的值为(　　) A． B． C． D． 【举一反三1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，那么tan B＝__________. 【举一反三2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，求tan A和tan B. 【举一反三3】如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，若∠BPC＝∠BAC，求tan ∠BPC的值． 【题型16】在正方形网格中求正切值 【典例】如图，△ABC的三个顶点均在正方形网格的格点上，则tanB的值为(　　) A．1 B． C． D． 【举一反三1】在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则tanA的值为(　　) A． B． C． D． 【举一反三2】在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则tan B的值为(　　) A． B． C． D． 【举一反三3】如图，∠AOB放置在正方形网格中，则∠AOB的正切值是__________． 【举一反三4】如图，在3×3的网格中点C也在格点上，设∠CAB＝α，当△ABC面积最大时，tanα的值可以是__________． 【题型17】平面直角坐标系中求正切值 【典例】根据图中的信息，经过估算，下列数值与tanα值最接近的是(　　) A．0.26 B．0.43 C．0.90 D．2.23 【举一反三1】如图，点A(t,3)在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝2，则t的值是(　　) A．1 B．1.5 C．2 D．3 【举一反三2】如图，P(12，a)在反比例函数y＝60x图象上，PH⊥x轴于H，则tan∠POH的值为__________． 【举一反三3】如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点(2,1)，则tanα的值是__________． 【举一反三4】如图，在直角坐标系平面内有一点P(3,4)，求OP与x轴的正半轴的夹角α及y轴的正半轴的夹角β的正切值． 【题型18】根据正切值确定角的大小 【典例】已知tan α＝，则锐角α的取值范围是(　　) A．0°＜α＜30° B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．60°＜α＜90° 【举一反三1】若α为锐角，且tan α＝，则有(　　) A．0°＜α＜30° B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．60°＜α＜90° 【举一反三2】已知tanA＝0.7，则∠A__________30°(填“＜”或“＞”)． 【题型19】正切值的变化情况 【典例】在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果把Rt△ABC的各边的长都缩小为原来的，则∠A的正切值（　　） A．缩小为原来的 B．扩大为原来的4倍 C．缩小为原来的 D．没有变化 【举一反三1】随着锐角α的增大，tanα的值(　　) A．增大 B．减小 C．不变 D．增大还是减小不确定 【举一反三2】在一个直角三角形中，如果各边的长度都扩大4倍，那么它的两个锐角的正切值__________． 【题型20】锐角三角函数的定义 【典例】直线y＝2x与x轴正半轴的夹角为α，那么下列结论正确的是(　　) A．tanα＝2 B．tanα＝ C．sinα＝ D．cosα＝ 【举一反三1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝13，则tanA的值是　　． 【举一反三2】已知在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝2，BC＝3，则cosB的值是　　． 【举一反三3】如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，求sinC，cosC，tanC的值． 【题型21】锐角三角函数值的变化情况 【典例】在Rt△ABC中，若各边的长度同时都扩大b倍，则锐角A的正弦值与余弦值的情况(　　) A．都扩大n倍 B．都缩小n倍 C．都不变 D．正弦值扩大n倍，余弦值缩小n倍 【举一反三1】如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D沿BC自B向C运动（点D与点B、C不重合），作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，则BE+CF的值（　　） A．不变 B．增大 C．减小 D．先变大再变小 【举一反三2】梯子与地面的夹角为A，tanA的值越　　，梯子越陡；sinA的值越　　，梯子越陡；cosA的值越　　，梯子越陡． 【举一反三3】对于锐角α，sinα的值随α的增大而　　，cosa的值随α的增大而　　，tanα的值随α的增大而　　． 【举一反三4】当0°＜∠A＜90°时，sinA的值在什么范围内变化？为什么？ 【题型22】求特殊角的三角函数值 【典例】已知α为等腰直角三角形的一个锐角，则cosα等于(　　) A． B． C． D． 【举一反三1】已知∠A＝30°，下列判断正确的是(　　) A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．以上都不对 【举一反三2】若一个三角形三个内角度数的比为1∶2∶3，那么这个三角形最小角的正切值为(　　) A． B． C． D． 【举一反三3】在中，，，为边上一点，．则的值为__________ ． 【举一反三4】如图，在扇形中，点C，D在上，将沿弦折叠后恰好与，相切于点E，F．已知，，则的度数为__________ ；折痕的长为__________ ． 【举一反三5】(1)计算； (2)解方程：． 【举一反三6】同学们，在我们进入高中以后，将还会学到下面三角函数公式： sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ， cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ. 例：sin15°＝sin(45°－30°)＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝. (1)试仿照例题，求出cos15°的准确值； (2)我们知道，tan α＝sinαcosα，试求出tan 15°的准确值． 【题型23】由特殊角的三角函数值求角的度数 【典例】若sin(α－10°)＝，则∠α为(　　) A．30° B．40° C．60° D．70° 【举一反三1】已知sinα＝，则锐角α的度数是(　　) A．30° B．37° C．45° D．60° 【举一反三2】若∠A是锐角，且cosA＝sinA，则∠A的度数是(　　) A．30° B．45° C．60° D．不能确定 【举一反三3】若tan (x＋10°)＝1，则锐角x的度数为__________． 【举一反三4】对于钝角α，定义它的三角函数值如下：sinα＝sin(180°－α)，cosα＝－cos(180°－α)；若一个三角形的三个内角的比是1∶1∶4，A，B是这个三角形的两个顶点，sinA，cosB是方程4x2－mx－1＝0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的大小． 【题型24】由特殊角的三角函数值判断三角形的形状 【典例】若△ABC的三个内角满足|tanA－1|＋(cosB-)2＝0，则△ABC的形状是(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【举一反三1】在△ABC中，若cosA＝，tanB＝，则这个三角形一定是(　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形 【举一反三2】在△ABC中，(2cosA-)2＋|1－tanB|＝0，则△ABC一定是(　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【举一反三3】△ABC中，若|2sinA－|＋(cosB-)2＝0，则△ABC是__________三角形． 【举一反三4】在△ABC中，∠A、∠B均为锐角，且有|tan A－1|＋(2cosB-)2＝0，则△ABC的形状是__________． 【举一反三5】在△ABC中，∠A、∠B为锐角，且sinA＝，cosB＝，试判断△ABC的形状． 【举一反三6】在△ABC中，已知∠A＝60°，∠B为锐角，且tan A，cosB恰为一元二次方程2x2－3mx＋3＝0的两个实数根．求m的值并判断△ABC的形状． 【题型25】已知三角函数值求另一个三角函数值 【典例】若∠A＋∠B＝90°，且cosB＝，则sinA的值为(　　) A． B． C． D． 【举一反三1】若∠A为锐角，cosA＝，则tanA等于(　　) A．1 B． C． D． 【举一反三2】已知A为锐角，且cosA＝，则tanA＝__________. 【题型26】特殊角的三角函数值的运算（移题） 【典例】计算tan60°＋|－3sin30°|－cos2 45°的结果等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【举一反三1】计算2tan260°的值等于(　　) A．5 B．6 C．5 D．6 【举一反三2】2cos45°－(π＋1)0＝__________ . 【举一反三3】计算：2sin60°＝__________. 【举一反三4】计算：cos2 45°-＋＋cos230°. 【题型27】同角或等角三角函数的关系 【典例】三角函数sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是（　　） A．sin70°＞cos70°＞tan70° B．tan70°＞cos70°＞sin70° C．tan70°＞sin70°＞cos70° D．cos70°＞tan70°＞sin70° 【举一反三1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA，则tanA＝__________． 【举一反三2】已知∠A为锐角，且5cosA﹣3＝0，则sinA的值为__________． 【举一反三3】如图，直角三角形ABC， （1）写出其中三角函数是哪些边的比：． （2）若∠A＝60°，∠C＝90°，直接写出三角函数的值：sinA=________，cosA=________， tanA=________. 【举一反三4】已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）求证：sin2A+cos2A＝1； （2）若sinA+cosA，求sinA•cosA的值． 【题型28】互余两角的三角函数关系 【典例】在△ABC中，∠C＝90°，sinB，则tanA＝（　　） A． B． C． D． 【举一反三1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若，则sinA的值为（　　） A． B． C． D． 【举一反三2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA，则cosB＝　　． 【举一反三3】在Rt△ABC中，∠C＝90°．若tanA，则sinB的值是　　． 【举一反三4】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，sinB． （1）求BC； （2）求sinA． 华东师大版（2024）九年级上册 23.3 锐角三角函数 题型专练（参考答案） 【题型1】用计算器求锐角三角函数值 【典例】已知cosA＝0.5592，运用科学计算器在开机状态下求锐角A时，按下的第一个键是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据锐角三角比的数值求角度时，首先先按2ndf键， 故选：A． 【举一反三1】若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin36°18′，按键顺序正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】采用的科学计算器计算sin36°18′，按键顺序正确的是D选项中的顺序， 故选：D． 【举一反三2】用科学计算器计算：12×tan13°＝__________.(结果精确到0.01)． 【答案】2.77 【解析】12×tan13°≈12×0.231≈2.77. 【举一反三3】使用计算器求下列三角函数值(精确到0.000 1)： (1)sin71°24′； (2)cos54°21′18″； (3)tan 21°17′23″. 【答案】解　(1)sin 71°24′＝0.94776≈0.9478； (2)cos54°21′18″＝0.68276≈0.5828； (3)tan 21°17′23″＝0.38967≈0.3897. 【题型2】已知锐角三角函数值用计算器求角的度数 【典例】已知sinα＝0.5，求α，若用计算器计算且结果为“30”，最后按键(　　) A．AC10N B．SHIET C．MODE D．SHIFT 【答案】D 【解析】“SHIFT”表示使用该键上方的对应的功能．故选D. 【举一反三1】已知tan α＝6.866，用计算器求锐角α(精确到1″)，按键顺序正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由tanα＝6.866，得2nd tan 6.866，故选D. 【举一反三2】已知，运用科学计算器在开机状态下求锐角时，按下的第一个键是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：根据锐角三角比的数值求角度时，首先先按键， 故选：A． 【举一反三3】利用计算器求值：若tanα＝0.5758，则锐角α≈__________.(精确到1′) 【答案】29°56′ 【解析】∵tanα＝0.575 8，∴α≈29.93°≈29°56′. 【举一反三4】填表： 【答案】78.52°；80.21°；80.10° 【解析】sinA＝0.98，∠A≈78.52°；cosA＝0.17，∠A≈80.21°；tan A＝30.2，∠A≈80.10°. 【举一反三5】已知三角函数值，求锐角(精确到1″)． (1)已知sinα＝0.501 8，求锐角α； (2)已知tanθ＝5，求锐角θ. 【答案】解　(1)∵sinα＝0.501 8，∴α≈30.119 1°.∴a≈30°7′9″； ∵tanθ＝5，∴θ＝78.690 0°≈78°41′24″. 【举一反三6】已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应的锐角： (1)sinA＝0.7325，sinB＝0.0547； (2)cosA＝0.6054，cosB＝0.1659； (3)tanA＝4.8425，tanB＝0.8816. 【答案】解　(1)∵sinA＝0.732 5，∴∠A≈47.1°，∵sinB＝0.054 7，∴∠B≈3.1°； (2)∵cosA＝0.605 4，∴∠A≈52.7°，∵cosB＝0.1659，∴∠B≈80.5°； (3)∵tanA＝4.842 5，∴∠A≈78.3°，∵tanB＝0.8816，∴∠B≈41.4°. 【题型3】直接由定义求正弦值 【典例】已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则sinA的值是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】sinA＝＝，故选A. 【举一反三1】如图，△ABC中，∠C＝90°，则∠A的正弦值可以表示为(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据正弦函数的定义可知，sinA＝，故选A. 【举一反三2】在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，则sinA的值是__________． 【答案】 【解析】∵在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5， ∴sinA＝＝. 【举一反三3】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，BC＝1，AC＝. (1)求sinA的值． (2)你能通过sinA的值求sin∠CBD的值吗？若能，请求出sin∠CBD的值，若不能，请说明理由． 【答案】解：(1)在Rt△ABC中，sinA＝＝＝； (2)能．∵BD⊥AC， ∴∠BDC＝90°， ∵∠CBD＋∠C＝90°，∠A＋∠C＝90°， ∴∠A＝∠CBD， ∴sin∠CBD＝sinA＝. 【题型4】利用勾股定理求正弦值 【典例】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，BC＝1，则sinB的值是(　　) A． B． C． D．2 【答案】C 【解析】根据勾股定理可得AC＝＝， ∴sin B＝＝.故选C. 【举一反三1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则sinB的值等于(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB＝＝5，sinB＝＝， 故选C. 【举一反三2】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，则sinB的值为(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴AB＝＝＝10， ∴sin B＝＝＝.故选D. 【举一反三3】△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，那么sinB＝__________. 【答案】 【解析】过A作AD⊥BC于D， ∵AB＝AC＝5，BC＝8， ∴∠ADB＝90°，BD＝BC＝4， 由勾股定理得AD＝＝3， ∴sinB＝＝. 【举一反三4】如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE＝3AE，试求sin∠ECM的值． 【答案】解　设AE＝x，则BE＝3x，BC＝4x，AM＝2x，CD＝4x， 则EC＝＝5x，EM＝＝x，CM＝＝2x， ∵EM2＋CM2＝CE2，∴△CEM是直角三角形，∴sin∠ECM＝＝. 【举一反三5】在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边c＝5，两直角边的长a，b是关于x的一元二次方程x2－mx＋2m－2＝0的两个根，求Rt△ABC中较小锐角的正弦值． 【答案】解　∵a，b是方程x2－mx＋2m－2＝0的解， ∴a＋b＝m，ab＝2m－2， 在Rt△ABC中，由勾股定理得a2＋b2＝c2， 而a2＋b2＝(a＋b)2－2ab，c＝5， ∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝25，即m2－2(2m－2)＝25，解得m1＝7，m2＝－3， ∵a，b是Rt△ABC的两条直角边的长， ∴a＋b＝m＞0，m＝－3不合题意，舍去， ∴m＝7，当m＝7时，原方程为x2－7x＋12＝0，解得x1＝3，x2＝4， 不妨设a＝3，则sinA＝＝，∴Rt△ABC中较小锐角的正弦值为. 【题型5】在正方形网格中求正弦值 【典例】如图，每个小正方形的边长为1，点A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的正弦值为(　　) A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【解析】如图，连接AC，根据勾股定理可以得到AC＝AB＝，BC＝2. ∵()2＋()2＝(2)2.∴AC2＋AB2＝BC2. ∴△CAB是等腰直角三角形．∴∠ABC的正弦值为=.故选B. 【举一反三1】如图，将∠AOB放置在5×5的正方形网格中，则sin∠AOB的值是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，作AC⊥OB于C，在直角△OAC中，OC＝2，AC＝3， 则OA＝＝＝，则sin∠AOB＝＝＝.故选D. 【举一反三2】如图，△ABC的三个顶点都在正方形网格的格点上，则sin∠ACB的值为__________． 【答案】 【解析】设小正方形的边长为1，如图，作AN⊥BC于N，设网格格点为E、D、F， 则由勾股定理得BC＝＝5，AC＝＝， ∵S△ABC＝S△BDC－S正方形EAFD－S△AFC－S△BEA＝×4×3－1×1－×1×2－×3×1＝， ∴·BC·AN＝，∴AN＝1，∴sin∠ACB＝＝＝. 【题型6】平面直角坐标系中求正弦值 【典例】如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点(2，1)，则sinα的值是(　　) A． B． C． D．2 【答案】B 【解析】作BD⊥x轴于D，由题意得OD＝2，BD＝1， 由勾股定理得OB＝＝，则sinα＝＝＝，故选B. 【举一反三1】如图，P是∠α的边OA上一点，点P的坐标为(12，5)，则sinα等于(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】过P作PE⊥x轴于E， ∵P(12，5)，∴PE＝5，OE＝12， ∴OP＝＝13，∴sinα＝＝，故选A. 【举一反三2】如图，已知∠α的一边在x轴上，另一边经过点A(2，4)，顶点为(－1，0)，则sinα的值是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】作AC⊥x轴于点C，由题意得，BC＝3，AC＝4， 由勾股定理得AB＝5，则sinα＝＝，故选D. 【举一反三3】如图，若点A的坐标为(1，)，则sin∠1＝__________. 【答案】 【解析】如图，过点A作AB⊥x轴于点B， ∵点A的坐标为(1，) ， ∴OB＝1，AB＝， 由勾股定理，得OA＝＝2，sin∠1＝＝. 【举一反三4】如图，在Rt△OAB中，∠OBA＝90°，且点B的坐标为(0，4)． (1)写出点A的坐标； (2)画出△OAB绕点O顺时针旋转90°后的△O1A1B1； (3)求出sin∠A1OB1的值． 【答案】解 (1)从图上读出点A的坐标(3，4)； (2)如图所示. (3)根据勾股定理得O1A1＝＝5，故sin∠A1OB1＝. 【题型7】根据正弦值确定角的大小 【典例】已知sinα＝，则(　　) A．0°＜α＜30° B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．60°＜α＜90° 【答案】B 【解析】∵sin30°＝＝0.5，sin45°＝≈0.707，sin60°＝≈0.866，≈0.67， ∴30°＜α＜45°，故选B. 【举一反三1】如果∠A为锐角，sinA＝，那么(　　) A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45° C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90° 【答案】A 【解析】∵sin30°＝12，0＜＜，∴0°＜∠A＜30°.故选A. 【举一反三2】已知∠A是Rt△ABC的一个内角，且sinA＜，那么∠A的取值范围是__________． 【答案】0°＜∠A＜45° 【解析】∵∠A是Rt△ABC的一个内角，∴∠A＜90°， ∵sinA＜，∴0°＜∠A＜45°. 【题型8】正弦值的变化情况 【典例】在钝角△ABC中，∠C是钝角，sinA＝，现在拿一个放大三倍的放大镜置于∠A上方，则放大镜中的∠A的正弦值为(　　) A． B． C． D．条件不足，无法确定 【答案】A 【解析】sinA＝，现在拿一个放大三倍的放大镜置于∠A上方，则放大镜中的∠A的正弦值为，故选A. 【举一反三1】已知0°＜θ＜30°，且sinθ＝km＋(k为常数且k＜0)，则m的取值范围是__________． 【答案】＜m＜ 【解析】∵0°＜θ＜30°，∴sin0°＜sinθ＜sin30°，即0＜km＋＜， ∴-＜km＜，∴＜m＜. 【举一反三2】在Rt△ABC中，∠C＝90°.当∠A确定时，它的正弦值是否随之确定？请说明理由． 【答案】解　在Rt△ABC中，∠C＝90°.当∠A确定时，它的正弦值是随之确定，理由是：sinA＝，∠A确定，∠A对边与斜边的比值是不变的． 【题型9】直接由定义求余弦值 【典例】在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，则cosB的值等于(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，得cosB＝＝，故选D. 【举一反三1】已知CD是Rt△ABC斜边上的高线，且AB＝10，若BC＝8，则cos∠ACD＝__________. 【答案】 【解析】∵CD是Rt△ABC斜边上的高线，∴CD⊥AB，∴∠A＋∠ACD＝90°， ∵∠ACB＝90°，∴∠B＋∠A＝90°，∴∠ACD＝∠B， ∴cos∠ACD＝cosB＝＝＝. 【举一反三2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则cosA＝__________. 【答案】 【解析】如图，∵∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，∴cosA＝＝＝.故答案为. 【题型10】利用勾股定理求余弦值 【典例】如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，则cosB的值是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1， 由勾股定理，得AB＝＝.cosB＝＝＝，故选C. 【举一反三1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，CA＝12，则cosB的值是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，CA＝12， ∴根据勾股定理AB＝＝13，∴cosB＝＝，故选C. 【举一反三2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC∶BC＝3∶4，那么cosA的值为__________． 【答案】 【解析】如图所示，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC：BC＝3：4， ∴设AC＝3x，BC＝4x，则由勾股定理得AB＝5x，则cosA＝＝＝. 【举一反三3】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，M是直角边AC上一点，MN⊥AB于点N，AN＝3，AM＝4，求cosB的值． 【答案】解　∵∠C＝90°，MN⊥AB，∴∠C＝∠ANM＝90°， ∴∠A＋∠B＝90°，∠A＋∠AMN＝90°， ∴∠B＝∠AMN，又AN＝3，AM＝4， ∴MN＝＝， ∴cosB＝cos∠AMN＝＝. 【题型11】在正方形网格中求余弦值 【典例】如图，将一面三角形的小旗放在边长都为1的小正方形方格中(三角形的各顶点均在小正方形的顶点上)，则cosA的值为(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵∠A的对边长是3，邻边长是4，∴根据勾股定理得到斜边长是5.∴cosA＝. 故选A. 【举一反三1】现有一个由6块长为2 cm、宽为1 cm的长方形组成的网格，△ABC的顶点都是网格中的格点，则cos∠ABC的值(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】作AD⊥BC的延长线于点D，如图，∵由6块长为2 cm、宽为1 cm的长方形， ∴∠D＝90°，AD＝3×1＝3(cm)，BD＝2×2＝4(cm)， ∴在Rt△ABD中，AB＝＝5(cm)，∴cos∠ABC＝＝.故选D. 【举一反三2】如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在格点上，则cosA＝__________. 【答案】 【解析】如图，作CD⊥AB于点D，由勾股定理，得AC＝＝＝5. 则cosA＝＝. 【举一反三3】如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则cos∠AOB的值是__________． 【答案】 【解析】连接AB，∵OA2＝12＋32＝10，AB2＝12＋32＝10，OB2＝22＋42＝20， ∴OA2＋AB2＝OB2，OA＝AB，∴△AOB是等腰直角三角形，即∠OAB＝90°， ∴∠AOB＝45°，∴cos ∠AOB＝cos45°＝. 【题型12】根据余弦值确定角的大小 【典例】α是锐角，且cosα＝，则(　　) A．0°＜α＜30° B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．60°＜α＜90° 【答案】B 【解析】∵在锐角三角函数中，余切值都是随着角的增大而减小， 又知cos30°＝，cos 45°＝，故30°＜α＜45°，故选B. 【举一反三1】当锐角A的cosA＞时，∠A的值为(　　) A．小于45° B．小于30° C．大于45° D．大于30° 【答案】A 【解析】根据cos45°＝，锐角的余弦值随角增大而减小，则∠A一定小于45°. 故选A. 【举一反三2】若cosα＝，则锐角α的大致范围是(　　) A．0°＜α＜30° B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．0°＜α＜90° 【答案】C 【解析】∵cos30°＝，cos45°＝，cos60°＝，且＜＜， ∴cos 45°＜cosα＜cos 60°，∴锐角α的范围是45°＜α＜60°.故选C. 【举一反三3】已知＜cosA＜sin70°，则锐角A的取值范围是__________． 【答案】20°＜∠A＜30° 【解析】∵＜cosA＜sin 70°，sin70°＝cos20°， ∴cos30°＜cosA＜cos20°，∴20°＜∠A＜30°. 【题型13】余弦值的变化情况 【典例】把Rt△ABC各边的长度都扩大3倍得Rt△A′B′C′，则锐角A、A′的余弦值之间的关系为(　　) A．cosA＝cosA′ B．cosA＝3cosA′ C．3cosA＝cosA′ D．不能确定 【答案】A 【解析】由题意，得∠A＝∠A′.cosA＝cos A′，故选：A. 【举一反三1】把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的余弦函数值(　　) A．不变 B．缩小为原来的13 C．扩大为原来的3倍 D．不能确定 【答案】A 【解析】因为△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似，所以锐角A的大小没改变，故锐角A的余弦函数值也不变．故选A. 【举一反三2】随着锐角α的增大，cosα的值(　　) A．增大 B．减小 C．不变 D．增大还是减小不确定 【答案】B 【解析】随着锐角α的增大，cosα的值减小．故选B. 【举一反三3】比较大小：cos36°__________cos37°. 【答案】＞ 【解析】因为锐角的余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)． 所以cos36°＞cos37°.故答案为＞. 【题型14】直接由定义求正切值 【典例】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，△ABC的面积为2，则tan A＋tan B等于(　　) A． B． C． D．4 【答案】D 【解析】∵△ABC的面积为2，∴ab＝4. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4， ∴a2＋b2＝42＝16， ∴tanA＋tanB＝＋＝＝＝4.故选D. 【举一反三1】在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b＝1，a＝，则tan ∠B＝__________. 【答案】 【解析】∵在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b＝1，a＝， ∴tan∠B＝＝＝.故答案是. 【举一反三2】在正方形ABCD中，E是AD的中点，求tan∠ABE的值． 【答案】解　∵在正方形ABCD中，E是AD的中点，∴AE＝AB， ∴tan∠ABE＝＝. 【题型15】利用勾股定理求正切值 【典例】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，已知AB＝6，AC＝3，则tan ∠BCD的值为(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵AB＝6，AC＝3，∴BC＝＝3， ∵CD⊥AB，∴∠BCD＋∠B＝90°， ∵∠A＋∠B＝90°，∴∠BCD＝∠A， 则tan∠BCD＝tan∠A＝＝＝.故选A. 【举一反三1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，那么tan B＝__________. 【答案】 【解析】∵∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，∴BC＝＝4， 则tanB＝＝，故答案为. 【举一反三2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，求tan A和tan B. 【答案】解　∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13， ∴BC＝＝＝12， ∴tanA＝＝，tanB＝＝. 【举一反三3】如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，若∠BPC＝∠BAC，求tan ∠BPC的值． 【答案】解　过点A作AE⊥BC于点E，∵AB＝AC＝5， ∴BE＝BC＝×8＝4，∠BAE＝∠BAC， ∵∠BPC＝∠BAC，∴∠BPC＝∠BAE. 在Rt△BAE中，由勾股定理得AE＝＝＝3， ∴tan∠BPC＝tan ∠BAE＝＝. 【题型16】在正方形网格中求正切值 【典例】如图，△ABC的三个顶点均在正方形网格的格点上，则tanB的值为(　　) A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，过A点作AD⊥BC的延长线于点D，设每个小正方形边长为1， 故在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AD＝4，BD＝5，则tanB＝＝，故选D. 【举一反三1】在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则tanA的值为(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】连接CD，∵CD2＝2，AC2＝4＋16＝20，AD2＝9＋9＝18， ∴AC2＝CD2＋AD2，AD＝＝3，CD＝，∴∠ADC＝90°， ∴tanA＝＝＝.故选C. 【举一反三2】在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则tan B的值为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设每个小正方形的边长为1， 在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴tanB＝＝，故选B. 【举一反三3】如图，∠AOB放置在正方形网格中，则∠AOB的正切值是__________． 【答案】 【解析】如图，过A作AC⊥BO于点C，设小正方格的边长为1，则AC＝2，OC＝4， 在Rt△AOC中，tan∠AOB＝＝＝. 【举一反三4】如图，在3×3的网格中点C也在格点上，设∠CAB＝α，当△ABC面积最大时，tanα的值可以是__________． 【答案】2,1， 【解析】如图，因为△ABC面积最大时点C到AB的距离是2， 所以tanα＝＝2，或tanα＝＝1，或tanα＝， 综上所述，tanα可以是2,1，.故答案为2,1，. 【题型17】平面直角坐标系中求正切值 【典例】根据图中的信息，经过估算，下列数值与tanα值最接近的是(　　) A．0.26 B．0.43 C．0.90 D．2.23 【答案】B 【解析】如图，AB≈2.6，OB＝6，tanα＝≈2.6÷6≈0.43.故选B. 【举一反三1】如图，点A(t,3)在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝2，则t的值是(　　) A．1 B．1.5 C．2 D．3 【答案】B 【解析】如图，tan α＝＝2，即3t＝2，解得t＝1.5.故选B. 【举一反三2】如图，P(12，a)在反比例函数y＝60x图象上，PH⊥x轴于H，则tan∠POH的值为__________． 【答案】 【解析】∵P(12，a)在反比例函数y＝60x图象上，∴a＝＝5， ∵PH⊥x轴于H，∴PH＝5，OH＝12，∴tan∠POH＝. 【举一反三3】如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点(2,1)，则tanα的值是__________． 【答案】 【解析】如图，作BC⊥x轴于点C，∵BC＝1，OC＝2，∴tanα＝＝，故答案为. 【举一反三4】如图，在直角坐标系平面内有一点P(3,4)，求OP与x轴的正半轴的夹角α及y轴的正半轴的夹角β的正切值． 【答案】解　过P作PA⊥x轴于A，PB⊥y轴于B， ∵P点坐标为(3,4)，∴OA＝PB＝3，OB＝AP＝4， ∴tanα＝＝，tanβ＝＝. 【题型18】根据正切值确定角的大小 【典例】已知tan α＝，则锐角α的取值范围是(　　) A．0°＜α＜30° B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．60°＜α＜90° 【答案】C 【解析】∵tan30°＝≈0.577，tan45°＝1，tan60°＝≈1.732， 又∵tan α＝＝1.2，∴tan45°＜tan α＜tan60°， ∵锐角的正切值随角度的增大而增大，∴45°＜α＜60°，故选C. 【举一反三1】若α为锐角，且tan α＝，则有(　　) A．0°＜α＜30° B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．60°＜α＜90° 【答案】C 【解析】∵tan45°＝1，tan60°＝，α为锐角，α越大，正切值越大． 又1＜＜，∴45°＜α＜60°.故选C. 【举一反三2】已知tanA＝0.7，则∠A__________30°(填“＜”或“＞”)． 【答案】＞ 【解析】∵tanA＝0.7，tan30°＝≈0.577，∴∠A＞30°,故答案为∠A＞30°. 【题型19】正切值的变化情况 【典例】在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果把Rt△ABC的各边的长都缩小为原来的，则∠A的正切值（　　） A．缩小为原来的 B．扩大为原来的4倍 C．缩小为原来的 D．没有变化 【答案】D 【解析】∵在Rt△ABC中，如果每个边都缩小为原来的， ∴锐角A的对边与邻边的比值不变， ∴锐角A的正切值不变． 故选：D． 【举一反三1】随着锐角α的增大，tanα的值(　　) A．增大 B．减小 C．不变 D．增大还是减小不确定 【答案】A 【解析】当角度在0°～90°间变化时，正切值随着角度的增大而增大，故选A. 【举一反三2】在一个直角三角形中，如果各边的长度都扩大4倍，那么它的两个锐角的正切值__________． 【答案】不变 【解析】∵锐角的正切值是该角的对边与邻边的比， ∴当各边都扩大为原来的4倍时，比值不变． 【题型20】锐角三角函数的定义 【典例】直线y＝2x与x轴正半轴的夹角为α，那么下列结论正确的是(　　) A．tanα＝2 B．tanα＝ C．sinα＝ D．cosα＝ 【答案】A 【解析】过点A作AB⊥x轴于B. ∵直线y＝2x与x轴正半轴的夹角为α， 设OB＝x，则AB＝2x，根据勾股定理得OA＝x， ∴tanα＝＝＝2，sinα＝＝＝，cosα＝＝＝. 故选A. 【举一反三1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝13，则tanA的值是　　． 【答案】 【解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝13， ∴AC12， ∴tanA． 故答案为：． 【举一反三2】已知在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝2，BC＝3，则cosB的值是　　． 【答案】 【解析】∵在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝2，BC＝3， ∴cosB， 故答案为：． 【举一反三3】如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，求sinC，cosC，tanC的值． 【答案】解：∵Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4， ∴BC5， 则sinC；cosC；tanC． 【题型21】锐角三角函数值的变化情况 【典例】在Rt△ABC中，若各边的长度同时都扩大b倍，则锐角A的正弦值与余弦值的情况(　　) A．都扩大n倍 B．都缩小n倍 C．都不变 D．正弦值扩大n倍，余弦值缩小n倍 【答案】C 【解析】由sin A＝，cosA＝，故选C. 【举一反三1】如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D沿BC自B向C运动（点D与点B、C不重合），作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，则BE+CF的值（　　） A．不变 B．增大 C．减小 D．先变大再变小 【答案】C 【解析】∵BE⊥AD于E，CF⊥AD于F， ∴CF∥BE， ∴∠DCF＝∠DBE，设∠DCF＝∠DBE＝α， ∴CF＝DC•cosα，BE＝DB•cosα， ∴BE+CF＝（DB+DC）cosα＝BC•cosα， ∵∠ABC＝90°， ∴O＜α＜90°， 当点D从B向C运动时，α是逐渐增大的， ∴cosα的值是逐渐减小的， ∴BE+CF＝BC•cosα的值是逐渐减小的． 故选C． 【举一反三2】梯子与地面的夹角为A，tanA的值越　　，梯子越陡；sinA的值越　　，梯子越陡；cosA的值越　　，梯子越陡． 【答案】大；大；小 【解析】梯子与地面的夹角为A，tanA的值越大，梯子越陡；sinA的值越大，梯子越陡；cosA的值越小，梯子越陡. 故答案为：大；大；小． 【举一反三3】对于锐角α，sinα的值随α的增大而　　，cosa的值随α的增大而　　，tanα的值随α的增大而　　． 【答案】增大；减小；增大 【解析】由三角函数的增减性可得，对于锐角α，sinα的值随α的增大，而cosa的值随α的增大而减小，tanα 的值随α的增大而增大． 故答案为：增大；减小；增大． 【举一反三4】当0°＜∠A＜90°时，sinA的值在什么范围内变化？为什么？ 【答案】解：∵0°＜∠A＜90°， ∴0＜sinA＜1． 【题型22】求特殊角的三角函数值 【典例】已知α为等腰直角三角形的一个锐角，则cosα等于(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】cosα＝cos45°＝.故选B. 【举一反三1】已知∠A＝30°，下列判断正确的是(　　) A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．以上都不对 【答案】A 【解析】∵∠A＝30°，∴sinA＝，cosA＝，tanA＝，故选：A. 【举一反三2】若一个三角形三个内角度数的比为1∶2∶3，那么这个三角形最小角的正切值为(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵三角形三个内角度数的比为1∶2∶3，∴设三个内角分别为k、2k、3k， ∴k＋2k＋3k＝180°，解得k＝30°，3k=90°,最小角的正切值＝tan30°＝.故选C. 【举一反三3】在中，，，为边上一点，．则的值为__________ ． 【答案】 【解析】作于点，则点是的中点， 在外作，则， 作，，则（角平分线的性质）， 在和中，， ， 所以． 又因为，， 所以， 因此． 故答案为：． 【举一反三4】如图，在扇形中，点C，D在上，将沿弦折叠后恰好与，相切于点E，F．已知，，则的度数为__________ ；折痕的长为__________ ． 【答案】60° ； 【解析】作O关于CD的对称点M，则ON=MN 连接MD、ME、MF、MO，MO交CD于N ∵将沿弦折叠 ∴点D、E、F、B都在以M为圆心，半径为6的圆上 ∵将沿弦折叠后恰好与，相切于点E，F． ∴ME⊥OA，MF⊥OB ∴ ∵ ∴四边形MEOF中 即的度数为60°； ∵， ∴（HL） ∴ ∴ ∴ ∵MO⊥DC ∴ ∴ 故答案为：60°；. 【举一反三5】(1)计算； (2)解方程：． 【答案】(1) ． (2)， ∵，，， ， ∴， ∴，； 【举一反三6】同学们，在我们进入高中以后，将还会学到下面三角函数公式： sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ， cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ. 例：sin15°＝sin(45°－30°)＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝. (1)试仿照例题，求出cos15°的准确值； (2)我们知道，tan α＝sinαcosα，试求出tan 15°的准确值． 【答案】解　(1)cos15°＝cos(45°－30°)=cos45°cos30°＋sin 45°sin30° ＝×＋×＝； (2)tan15°＝＝÷＝2－. 【题型23】由特殊角的三角函数值求角的度数 【典例】若sin(α－10°)＝，则∠α为(　　) A．30° B．40° C．60° D．70° 【答案】D 【解析】sin(α－10°)＝，得α－10°＝60°，α＝70°，故选D. 【举一反三1】已知sinα＝，则锐角α的度数是(　　) A．30° B．37° C．45° D．60° 【答案】D 【解析】∵sin α＝，∴锐角α＝60°.故选D. 【举一反三2】若∠A是锐角，且cosA＝sinA，则∠A的度数是(　　) A．30° B．45° C．60° D．不能确定 【答案】B 【解析】∵∠A是锐角，且cosA＝sinA，∴cos 45°＝sin45°，∴∠A＝45°.故选B. 【举一反三3】若tan (x＋10°)＝1，则锐角x的度数为__________． 【答案】20° 【解析】∵tan (x＋10°)＝1，∴tan (x＋10°)＝＝， ∴x＋10°＝30°，∴x＝20°. 【举一反三4】对于钝角α，定义它的三角函数值如下：sinα＝sin(180°－α)，cosα＝－cos(180°－α)；若一个三角形的三个内角的比是1∶1∶4，A，B是这个三角形的两个顶点，sinA，cosB是方程4x2－mx－1＝0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的大小． 【答案】解　∵三角形的三个内角的比是1∶1∶4， ∴三个内角分别为30°，30°，120°， ①∠A＝30°，∠B＝120°时，方程的两根为，－， 将代入方程，得4×122－m×12－1＝0，解得m＝0， 经检验－是方程4x2－1＝0的根，∴m＝0符合题意； ②当∠A＝120°，∠B＝30°时，两根为，，不符合题意； ③当∠A＝30°，∠B＝30°时，两根为，， 将代入方程得：4×(12)2－m×12－1＝0，解得m＝0， 经检验不是方程4x2－1＝0的根． 综上所述：m＝0，∠A＝30°，∠B＝120°. 【题型24】由特殊角的三角函数值判断三角形的形状 【典例】若△ABC的三个内角满足|tanA－1|＋(cosB-)2＝0，则△ABC的形状是(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【解析】由题意得，tanA－1＝0，cos B-＝0， 则tan A＝1，cosB＝，∠A＝45°，∠B＝45°， 则∠C＝180°－45°－45°＝90°， 故△ABC为等腰直角三角形．故选C. 【举一反三1】在△ABC中，若cosA＝，tanB＝，则这个三角形一定是(　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形 【答案】D 【解析】∵cosA＝，tan B＝，∴∠A＝45°，∠B＝60°，∴∠C＝75°， 则这个三角形一定是锐角三角形．故选D. 【举一反三2】在△ABC中，(2cosA-)2＋|1－tanB|＝0，则△ABC一定是(　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【解析】由(2cos A-)2＋|1－tanB|＝0，得2cosA＝，1－tanB＝0. 解得A＝45°，B＝45°，则△ABC一定是等腰直角三角形，故选D. 【举一反三3】△ABC中，若|2sinA－|＋(cosB-)2＝0，则△ABC是__________三角形． 【答案】等边 【解析】∵△ABC中，|2sinA－|＋(cosB-)2＝0，∴sinA＝，cosB＝， ∴∠A＝60°，∠B＝60°，∴∠C＝180°－60°－60°＝60°.∴△ABC是等边三角形． 【举一反三4】在△ABC中，∠A、∠B均为锐角，且有|tan A－1|＋(2cosB-)2＝0，则△ABC的形状是__________． 【答案】等腰直角三角形 【解析】∵|tanA－1|＋(2cosB-)2＝0，∴tanA－1＝0,2cosB-＝0， ∴tanA＝1，cosB＝，∴∠A＝45°，∠B＝45°， ∴∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－45°－45°＝90°， 则△ABC是等腰直角三角形． 【举一反三5】在△ABC中，∠A、∠B为锐角，且sinA＝，cosB＝，试判断△ABC的形状． 【答案】解　由△ABC中，∠A、∠B为锐角，且sinA＝，cos B＝，得∠A＝∠B＝30°， △ABC是等腰三角形． 【举一反三6】在△ABC中，已知∠A＝60°，∠B为锐角，且tan A，cosB恰为一元二次方程2x2－3mx＋3＝0的两个实数根．求m的值并判断△ABC的形状． 【答案】解　∵∠A＝60°，∴tan A＝. 把x＝代入方程2x2－3mx＋3＝0，得2()2－3m＋3＝0，解得m＝. 把m＝代入方程2x2－3mx＋3＝0得2x2－3x＋3＝0，解得x1＝，x2＝. ∴cosB＝，即∠B＝30°.∴∠C＝180°－∠A－∠B＝90°， 即△ABC是直角三角形． 【题型25】已知三角函数值求另一个三角函数值 【典例】若∠A＋∠B＝90°，且cosB＝，则sinA的值为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得sinA＝cosB＝，故选B. 【举一反三1】若∠A为锐角，cosA＝，则tanA等于(　　) A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】∵cosA＝，∴∠A＝30°，∴tanA＝tan30°＝.故选C. 【举一反三2】已知A为锐角，且cosA＝，则tanA＝__________. 【答案】 【解析】∵A为锐角，且cosA＝，∴∠A＝60°，则tanA＝tan60°＝. 【题型26】特殊角的三角函数值的运算（移题） 【典例】计算tan60°＋|－3sin30°|－cos2 45°的结果等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】tan 60°＋|－3sin 30°|－cos2 45°＝＋3×－（）2＝3＋－＝4. 故选D. 【举一反三1】计算2tan260°的值等于(　　) A．5 B．6 C．5 D．6 【答案】D 【解析】原式＝2×3＝6，故选D. 【举一反三2】2cos45°－(π＋1)0＝__________ . 【答案】－1 【解析】原式＝2×－1＝－1. 【举一反三3】计算：2sin60°＝__________. 【答案】 【解析】2sin60°＝2×＝. 【举一反三4】计算：cos2 45°-＋＋cos230°. 【答案】解　cos245°－1sin30°＋1tan30°＋cos2 30°＝（）2-＋＋（）2＝－2＋＋＝-＋. 【题型27】同角或等角三角函数的关系 【典例】三角函数sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是（　　） A．sin70°＞cos70°＞tan70° B．tan70°＞cos70°＞sin70° C．tan70°＞sin70°＞cos70° D．cos70°＞tan70°＞sin70° 【答案】C 【解析】∵cos70°＝sin（90°﹣70°）＝sin20°，sin70°＞sin20°， ∴1＞sin70°＞cos70°， 又∵tan70°＞tan45°＝1， ∴tan70°＞1＞sin70°＞cos70°， 故选：C． 【举一反三1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA，则tanA＝__________． 【答案】 【解析】∵∠C＝90°， ∴sinA， 设BC＝24x，AB＝25x， ∴BC7x， ∴tanA． 故答案为：． 【举一反三2】已知∠A为锐角，且5cosA﹣3＝0，则sinA的值为__________． 【答案】 【解析】∵5cosA﹣3＝0， ∴cosA， ∵∠A为锐角， ∴sinA， 故答案为：． 【举一反三3】如图，直角三角形ABC， （1）写出其中三角函数是哪些边的比：． （2）若∠A＝60°，∠C＝90°，直接写出三角函数的值：sinA=________，cosA=________， tanA=________. 【答案】解：（1）sinA，cosA，tanA． （2）sin60°，cos60°，tan60°． 故答案为：，，． 【举一反三4】已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）求证：sin2A+cos2A＝1； （2）若sinA+cosA，求sinA•cosA的值． 【答案】（1）证明：∵sinA，cosA， ∴sin2A+cos2A， ∵∠C＝90°， ∴根据勾股定理，得BC2+AC2＝AB2， ∴sin2A+cos2A＝1． （2）解：∵sinA+cosA， ∴（sinA+cosA）2＝（）2，即sin2A+cos2A+2sinA•cosA， ∵sin2A+cos2A＝1， ∴1+2sinA•cosA， ∴sinA•cosA． 【题型28】互余两角的三角函数关系 【典例】在△ABC中，∠C＝90°，sinB，则tanA＝（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵∠C＝90°，sinB， ∴令AC＝4x，则AB＝5x， ∴BC3x， ∴tanA． 故选：B． 【举一反三1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若，则sinA的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵tanB， ∴设AC＝4x，BC＝3x， 由勾股定理得：AB5x， ∴sinA． 故选：B． 【举一反三2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA，则cosB＝　　． 【答案】 【解析】由∠C＝90°，若sinA，得cosB＝sinA， 故答案为：． 【举一反三3】在Rt△ABC中，∠C＝90°．若tanA，则sinB的值是　　． 【答案】 【解析】∵Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA， ∴设BC＝3x，则AC＝4x，AB5x． ∴sinB． 故答案为：． 【举一反三4】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，sinB． （1）求BC； （2）求sinA． 【答案】解：（1）在△ABC中，∠C＝90°， ∵AB＝4，sinB． ∴AC， ∴BC3； （2）在△ABC中，∠C＝90°，sinA． 学科网（北京）股份有限公司 $