28.1锐角三角函数同步训练2025-2026学年人教版数学九年级下册

28.1 锐角三角函数 同步训练 一、单选题 1．的值为（ ） A． B．1 C． D． 2．已知中，，，则的值为（） A．3 B． C． D． 3．如图，中，，则的正弦值可以表示为（   ） A． B． C． D． 4．九宫格起源于河图洛书，被认为是中华文明的起源，宇宙的魔方．它是由9个正方形组成的图案．如图，点、、在正方形网格的格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．如图，深圳地铁某站自动扶梯的截面可抽象为，其中扶梯长度米，垂直高度米，则与水平面的夹角的正弦值是（   ） A． B． C． D． 6．如图，，，平分，交于点D，垂直平分，交于点E，则的正切值为（   ） A． B． C． D．1 7．如图，矩形中，，E为边上一点，沿将对折，使点D正好落在边上的点F处，等于（　　） A． B． C． D． 二、填空题 8． ． 9．已知为锐角，，则的度数是 ． 10．在中，，则是 三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”） 11．如图，在中，，点在边上，若，，，则的值为 ． 三、解答题 12． 计算题: (1) (2) 13．要求用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知线段，求作：，使，，且． 14．在四边形中，，，． (1)求证：； (2)若，，求． 15．如图，根据提供的数据回答下列问题： (1)在图①中，___________，___________，___________； 在图②中，___________，___________，___________． 通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？请用含锐角的等式表示出来___________ (2)利用你发现的规律求解以下题目：已知是锐角，且满足，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值即可作答． 【详解】解：， 故选：B． 2．B 【分析】本题考查三角函数，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．设，则，利用勾股定理求，再根据正切的定义求解． 【详解】解：设， ∵，， ∴， 即， （负值舍去）， ∴． 故选：B． 3．B 【分析】本题主要考查了求一个角的正弦值，直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该锐角所对的边的长与斜边的长的比值，据此可得答案． 【详解】解：∵中，， ∴， 故选：B． 4．B 【分析】本题主要考查三角函数，熟练掌握正弦的定义是解题的关键；因此此题可根据正弦的定义进行求解即可． 【详解】解：如图， 由网格可知：， ∴， ∴， ∴； 故选B． 5．B 【分析】本题主要考查了求一个角的正弦值，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．根据三角函数的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵在中，，米，米， ∴． 故选：B． 6．A 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值、垂直平分线的性质、三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据垂直平分线的性质得到，则有，根据角平分线的定义得到，设，利用三角形内角和定理列出方程，求出的值，再利用特殊角的三角函数值即可求出的正切值． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 设，则， 在中，， 解得， ∴， ∴． 故选：A． 7．B 【分析】根据折叠的性质以及矩形的性质，易得；在中，有，，由勾股定理易得的长．根据三角函数的定义，易得的值，依据，可得的值． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 根据折叠的性质得：，， ∴， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， 则， ∴，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了矩形的折叠问题，求三角函数值，勾股定理，余角的性质，根据折叠和勾股定理求出，是解题的关键． 8． 【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值的混合运算，熟记特殊角度的三角函数值是关键．将特殊角的三角函数值代入表达式并计算． 【详解】解：，，， 所以 ． 故答案为：． 9． 【分析】本题考查特殊锐角三角函数值，根据特殊角的三角函数值，余弦值为的锐角是． 【详解】∵为锐角，，， ∴ 故答案为． 10．钝角 【分析】本题考查了绝对值，平方数的非负性，特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，利用绝对值和平方的非负性可得，，求出的度数，再根据三角形内角和定理即可求解，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴ ∴是钝角三角形， 故答案为：钝角． 11． 【分析】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，根据正切的定义可得，即得，进而根据勾股定理得，再根据正弦的定义解答即可求解，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：，，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 12．(1)2 (2) 【分析】本题主要考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值． （1）计算负整数指数幂，代入特殊角的三角函数值，再根据互余两角的正切值互为倒数计算，然后进行加减计算； （2）代入特殊角的三角函数值，再进行实数的混合运算． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴原式 ； （2）解： 13．见解析 【分析】本题主要考查了复杂作图，三角函数，复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．在直线上取点，过点作直线的垂线，在垂线上截取；在直线上截取，作线段的垂直平分线，交直线于点；连接，即为所求． 【详解】解：如图所示，即为所求． 作法：在直线上取点，过点作直线的垂线，在垂线上截取； 在直线上截取，作线段的垂直平分线，交直线于点； 连接，即为所求． 证明：∵，，， ∴， ∴． 14．(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、锐角三角函数，借助相似三角形对应边成比例求线段长是解题关键． （1）根据平行线推出角相等，再结合直角证明； （2）利用相似得，代入已知条件求得，再用三角函数定义求． 【详解】（1）解： ，， ，， ． （2）解： ， ， ， 已知，， ，即， ． 答：． 15．(1)，，；，，； (2) 【分析】本题考查锐角三角函数的定义以及发现规律的能力，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）根据锐角三角函数的定义，即可得到锐角三角函数的正弦值和余弦值，从而发现规律； （2）根据（1）中的规律，即可求解． 【详解】（1）解：图①中，，，， 图②中，，，， 规律：对于任意锐角有； （2）解：∵为锐角， ∴，， 由，得 解得（负值已经舍去）． 学科网（北京）股份有限公司 $