23.1 测量+23.2 直角三角形的性质 4大题型（分层作业练题型）数学新教材华东师大版九年级上册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 23.1测量+23.2直角三角形的性质 目录 分层作业 A组巩固过关 题型01测量（相似三角形的应用） 题型02斜边的中线等于斜边的一半 题型03勾股定理解三角形 题型0430°角所对的直角边等于斜边的一半 B组能力进阶 C组思维拔高 拓展链接中考 A组 巩固过关 题型01测量（相似三角形的应用） 1.D 2.10.5 3.12 4.解：如图：作Rt△DEF,∠F=∠AHQ=40°，FE=9cm,∠DEF=∠AQH=90°，测得 DE=7.55cm, D 00 E 由R△DEF-R△AQH可得：正H设 DE_AQ :75品解得：A0252 1/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 该建筑物的高度为：25.2+1.5=26.7（米）. 答：该建筑物的高度为26.7米， 题型02斜边的中线等于斜边的一半 5.D 6.A 7.60 8.1.2 题型03勾股定理解三角形 9.V7 10.B 11.2V2 12.C 题型0430°角所对的直角边等于斜边的一半 13.2 14.2 15.16 16.33 B组 能力进阶 1.D 2.C 3.C 4.9.5 5.60 6.5 7.(1)解：根据光的反射的性质，∠ACB=∠ECD, 又.∠ABC=∠EDC, .△ABC一△EDC, BC AB CD DE' 将AB=1.6m,BC=0.8m,CD=5m,代入上式， 0.8_1.6 得5DE 解得DE=10m, 故旗杆ED的高度为10m: (2)解：，∠BGD=∠B=∠C=90°， ∴.四边形BCDG为矩形， 目测点D到地面的距离DC为1.6米，到旗杆的水平距离DG为18米， ..BG=CD=1.6m,BC=GD=18m, ,∠ADG=∠EDF,∠AGD=∠EFD=90°， 2/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.△DGA△DFE, AG_EF DG DE' DF=0.8米，EF=0.4米， 8o8 AG_0.4 解得AG=9, ,AB=AG+BG=9+1.6=10.6m, 答：旗杆AB的高度10.6米. 8.(1)135-x,135-x (2)证明：连接DO, G M H OG OH DE DF 分别是， 的垂直平分线， ∴.点O在EF的垂直平分线上， OP⊥EF ∴OP垂直平分EF, .DE=DF, ∴.点D在EF的垂直平分线上， D,O,P三点共线， .DH=FH,∠DPF=∠DCF=90°， :.PH-HC=DH-DF. .∠HPD=∠HDP,∠HCD=∠HDC. :.∠PHF=∠HPD+∠HDP=2∠HDP,∠CHF=∠HCD+∠HDC=2∠HDC, .∠CHP=∠PHF+∠CHF=2∠HDP+∠HDC=2∠CDP, 由(1)知，∠CDF=∠ADE=X,设∠EDP=∠FDP=y, ·.∠CDP=∠ADP=X+y=2∠ADC=459, .∠CHP=2×45°=90°， 3/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠OHF=90, ∴，∠OHP+∠FHP=∠FHP+∠NHC=90°， ∴.∠OHP=ㄥNHC 由(1)知，∠POH=∠HNC, .△HNC≌△HOPAAS (3)解：由(2)知，△HNC≌△HOP, ∴.S△HNc=S△HoP .∠ADE=∠CDF=x,AD=CD,∠DAM=∠DCN=45°， ∴.△DAM≌△DCN(ASA), .S1=S3, ,OG,OH分别是DE,DF的垂直平分线， :∠DGO=∠DHO=90,DG=号DE,DH=DF, .DE=DF, .DG=DH, .DO=DO .△DOG≌△DOH(HL), :.S2=2SADOH, 由(2)知，∠ADP=∠CDP=45°， ∴.DP在正方形ABCD的对角线上， ,DE垂直平分EF, ∴，四边形DPEA与四边形DPFC关于DP对称， ∴.S四边形DPFC= 2 S五边形DAEFC, .S1+S2+S3 =2S3+2S△DoH =2S3+S△DoH =2(SADPH-SAHOP+SA DHC+SAHnc =2|S△DPH+S△DHc =2 SADPH+2S△DHc =SADPF+S△DFC =S四，边形DPFC 4/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 SE方形ABCD-S△BEE 2 6×6-4×4÷2 2 =14 H 9.(I)证明：：BE‖CD且BE=CD, ∴.四边形BECD是平行四边形， .在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB的中点， ·.CD=BA,BD=AD=BA, ∴.CD=BD .四边形BECD是菱形： (2)解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4, ∴.∠ABC=90°-∠A=60°，AB=2BC=8, ∴AC=AB-BC2=V82-42=43, D是边AB的中点， CD-号AB=BD=AD=4 .∴.BD=CD=BC=4, .四边形BECD是菱形 ∴.CE‖BD,CE=BD,即CE‖AD, 又.BD=AD=4, ∴CE=AD=4, .CE‖AD, ∴四边形ADEC是平行四边形， ∴.DE=AC=4V3」 5/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C组 思维拔高 1.A 2.B 3. 616 66 4.2 5.解：如图 A M H N FD 用用 令AB交CD于点H,设CH=x, .'AB⊥CD,MN⊥CD,CP⊥PQ ∴.PC‖AB,ABMN, .△EPC一△EBA,△MNF△AHF, 器器路器 FN MN .CD‖PQ, 四边形PBHC是平行四边形， .'PB=CH=x,BH=PC=1.2, ∴.EB=0.4+x,FH=15-x+3=18-x,AH=AB-1.2, .0.4_1.23_1.8 0.4+xAB’18-xAB-1.21 0.4_1.2 由0.4+xAB' 得AB=1.2+3x, :3 1.8 ·18-x1.2+3x-1.21 解得x=3, 经检验，X=3是原方程的解， ∴.AB=1.2+3×3=10.2m 答：路灯AB的高度为10.2m 6.(1)平移：对称 (2)解：在Rt△ABC中，BC=2,∠A=30°， ∴.AB=2BC=4, .AD=3 BD, 6/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .BD=1,AD=3 连接CD,取BC中点H,则BH=CH=1=BD, H D .∠ABC=90°-∠A=60° ∴△BDH为等边三角形， ∴.∠BHD=∠BDH=60°，DH=BH=1=CH, .∠DCH=∠CDH=30, ∴.∠BDC=90°， ∴.CD=BC2-BD2=3, AC-A B-BC=293.AE-23 Γ ÷CE=AC-AE=43 3 在CA上取点C,使CD=CG=3,则EG=CE-CG= 3 .∠ACD=90°-∠DCH=60°， ∴.△DCG为等边三角形， .DG=DC,∠CDG=60°. ,线段DE绕点D顺时针旋转60°至DF, ∴.∠EDF=60°，DE=DF, .∠EDG=∠FDC=60°-∠FDG, ∴.△EDG≌△FDC SAS, CF=EG=3 31 (3)存在，理由如下： 以AB为边向下作等边三角形ABH,则BH=BA,∠ABH=60°， 7/13 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G L E D B H 在等边三角形BFG中，BF=BG,∠FBG=60°， ∴.∠FBH=∠GBA=60°+∠ABF, .△FBH≌△GBA SAS, ,FH=AG」 在AB上截取AK=EF, ,在平行四边形ABCD中，AK‖EF, ∴.四边形AEFK为平行四边形， ∴.AE=FK」 作点K关于直线CD对称的点L,则FK=FL, ∴AE=FK=FL, ∴，AE+AG=FL+FH≥LH,当且仅当L、F、H三点共线时取等号. ZE 300 B 100 AY=300 WH=200 过点H作HW⊥LK,交LK延长线于点W,过点A作AZ⊥CD于点Z,过点H作HY⊥AB于点Y, ,∠D=60°， ∴.∠DAZ=30°， 8113 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :DZ=号AD=150米，AZ=3DZ=150R3米， ∴KL=2AZ=3003米. ,△ABH为等边三角形， :AY=2AB=300米.AH=AB=600米， .KW=YH=VAH2-AY2=300V3米， .LW=KL+KW=600V3米， .EF=100米， ∴.AK=100米， .WH=KY=200米， 在Rt△LWH中，LH=VLw2+WH=400V7米， 即AE+AG的最小值为400V7米. 拓展 链接中考 1.B 2.2+9V13/RV13+2 3. 4. 5. (1)4/5 (2)证明：：点D、E关于点O对称， .O是DE的中点， ,△DEF是等腰直角三角形，即DF=EF, ∴.OFDE: (3)解：当点F落在BC上时，连接A,如图： D 7 ,OF⊥DE,且O为AB的中点，即OF垂直平分AB, ..AF=BF,AO=BO=AB=2/5. 9/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴设AF=BF=X,则CF=BC-BF=8-X, 在Rt△ACF中，AF2=AC2+CF2, x2=42+8-x2,解得x=5, 即AF=5, 在Rt△AOF中，OF=AF2-AO2=V52-25}=V5, ,在Rt△DEF中，OF是斜边DE上的中线， .DE=2OF=25: (4)解：如图，当F在BC的下方时，设OF,BC交于点G,由(3)可得OG=V5,B0=2V5, G ,△DEF是等腰直角三角形， .∠FDE=45°， ,∠DFH+∠EFH=180°， ∴，∠DFH+∠EFD+∠DFH=180°，即2∠DFH+∠EFD=180°， ,∠EFD=90°， .∠DFH=45°， ∴.∠DFH=∠FDE, .FH DE, 又OF⊥DE, ∴.∠BOG=90°， ∴.∠HFG=∠BOG=90°， 又，∠HGF=∠BGO, ∴，△HGF△BGO, FG_FH ∴OGB0 FG 2 污2解得FG=1, .OF=0G+FG=V5+1, .DE=2OF=2V5+2: 10/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图，当F在BC的上方时，延长OF交BC于点G, O H 同理可得HF‖DE, .△BOG一△HFG, FG FH OGBO' FG 2 52' 解得FG=1, .OF=0G-FG=5-1, .DE=2OF=2V5-2, 综上所述，DE=2V5-2或DE=25+2. 6.(①)证明：在△ABC中，∠CAB=90°，E为BC的中点， .∴.BC=2AE, BC=2BF, .∴.AE=BF, 又AEBF, '.四边形ABFE是平行四边形； (2)解：D,E分别为AB,BC的中点， ∴.DE是△ABC的中位线， .DE-AG,DEAG. ∴.∠EDB=∠CAB=90°， ∴ED⊥AB, ,AB=2,AC=3, .AD=1,DE=3 1 :口ABFE的面积为DE×AB=3,△ADE的面积为号DE×AD-是 4 11/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 亠四边形DBFE的面积=口ABFE的面积：△ADE的面积=3.三-9 441 7.(I)证明：，四边形ABCD是菱形， ∴.AC⊥BD,即∠COD=90°， .CE‖OD,DE‖OC ∴.四边形OCED是平行四边形， ∴.四边形OCED是矩形： (2)解：，四边形ABCD是菱形， B0=0D,AB0=号ABC=×60=30,A0=0C,∠A0B=90 AB=2, ∴A0=0C=2AB=L, ..BO=OD=A B2-AO2=3, ∴.BD=2BO=23. :四边形OCED是矩形， .DE=OC=1,∠BDE=90°， ∴BE=VBD2+DE=232+12=V13! 8.(1)解：AB=AC,∠B=30°， ∴.∠C=∠B=30°， 根据作图可知MN为AB的中垂线， .'AD=BD, ∴.∠BAD=∠B=30, ∴∠CAD=180°-30°-30°-30°=90°： (2)解：∠CAD=90°，∠C=30°， ..AD=ICD 2 :BD号CD, BD-3BC-兮×3=1 9.(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， ,AD=BC,AD‖BC 12/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠A=∠CBE .BE=AB ∴.△ABD≌△BEC|SAS (2)解：∠A=30°，AD⊥DB,BD=1, .AB=2 BD=2 .AD=A B2-B D2=22-12=3, ,四边形ABCD是平行四边形，△ABD≌△BEC ..CD=AB=BE=2,BD=CE=1 ∴.四边形AECD的周长=AD+DC+CE+BE+AB=V3+2+1+2+2=3+7 13/13 分层作业 23.1 测量+23.2 直角三角形的性质 目 录 分层作业 A组 巩固过关 题型01 测量（相似三角形的应用） 题型02 斜边的中线等于斜边的一半 题型03 勾股定理解三角形 题型04 30°角所对的直角边等于斜边的一半 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 A组 巩固过关 题型01 测量（相似三角形的应用） 1．（25-26九年级上·广西梧州·期末）无人机送快递是一种创新的配送方式，这种方式快速、灵活，能轻松到达偏远山区、海岛等交通不便地区，既扩大了快递服务范围，也能避开地面交通拥堵．某天，身高（）的小王站在阳光下等待无人机送货过来，此时他的影长（）为，无人机的影长（）为．请问此时无人机高度（）是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据同一时刻物高与影长成比例解答即可． 【详解】解：根据题意得：， ∵，，， ∴, 解得， 故选：D． 2. （2026·江苏淮安·一模）如图，利用标杆测量建筑物的高度．已知标杆高，测得，．则建筑物的高是______m． 【答案】10.5 【难度】0.77 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】先根据垂直于同一直线的两直线平行得到，进而证明 ，利用相似三角形对应边成比例列出比例式，代入已知数据计算即可求出的长． 【详解】解：， ， ， ， ，，， ， ． 3. （25-26九年级上·贵州六盘水·期末）小明利用标杆在阳光下测量旗杆的高度．如图，将标杆底端和旗杆影子顶端重合，已知标杆，测得标杆的影长，旗杆的影长，则旗杆的高_____m． 【答案】12 【难度】0.85 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确理解题意是关键．先证明，即可根据相似三角形的性质列方程求解． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， 解得（m）． 故答案为：12． 4. （26-27九年级上·全国·课后作业）如图，为测量某建筑物的高度，在距该建筑物底部30.0m处，目测其顶，视线与水平线的夹角为，目高为1.5m．试利用相似三角形的知识，求出该建筑物的高度．（精确到0.1m） 【答案】该建筑物的高度为米． 【难度】0.7 【知识点】求一个数的近似数、相似三角形实际应用、利用相似三角形的性质求解 【分析】构造，找出对应边，利用相似三角形对应边成比例求解即可， 【详解】解：如图：作，，，，测得， 由可得：， ∴，解得： 该建筑物的高度为：（米）． 答：该建筑物的高度为米． 题型02 斜边的中线等于斜边的一半 5．（26-27九年级上·海南省直辖县级单位·开学考试）如图，在矩形中，，，平分交于点，连接，取的中点，连接，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.79 【知识点】实数的混合运算、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、根据矩形的性质求线段长 【分析】根据矩形性质和角平分线定义推出，结合等角对等边求得，进而求得，然后根据勾股定理求得，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答． 【详解】解：四边形是矩形， ，，，， 平分， ， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 为的中点，， 是斜边上的中线， ． 6．（25-26八年级下·云南德宏·期末）课堂实践活动中，一名学生用刻度尺（单位：）测量自制直角三角形手工纸片．如图所示，已知，D为斜边的中点，点A，B对应的刻度分别为2和8，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半 【分析】根据直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，据此作答即可． 【详解】解：根据题意得：， ∵为的中点，， ． 7. （26-27九年级上·湖南·阶段检测）如图，在中，点是斜边的中点，，则________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】等边对等角、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】根据直角三角形的斜边中线定理可得，，推出，即可求解． 【详解】解：在中，点是斜边的中点， ，， ， ． 8. （25-26九年级上·福建宁德·阶段检测）如图，公路与互相垂直，公路的中点与点被湖隔开．若测得的长为，则，两点间的距离为______________． 【答案】1.2 【难度】0.85 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解． 【详解】解：∵公路与互相垂直，即， ∴是直角三角形， ∵点是的中点，的长为， ∴，即，两点间的距离为． 题型03 勾股定理解三角形 9. （25-26八年级下·陕西汉中·期末）如图，在中，，是边上的中线，若，，则的长是_______________． 【答案】 【难度】0.7 【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】利用直角三角形斜边中线定理求出斜边长度，再利用勾股定理进行求解． 【详解】解：∵在中，是斜边上的中线，且， ∴， 由勾股定理得． 10. （26-27九年级上·陕西西安·开学考试）如图，菱形的对角线交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、利用菱形的性质求线段长 【分析】由“菱形对角线互相垂直且互相平分”得点是的中点，根据“直角三角形斜边上的中线是斜边的一半”得，在中，，根据勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】解：∵菱形的对角线交于点，， ∴，，， 又， ∴， ∴， 又， ∴， ∴ ． 11. （25-26八年级下·北京海淀·阶段检测）如下图，在中，，，于点D，，E是斜边的中点，则的长是________________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】二次根式的除法、直角三角形的两个锐角互余、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】根据及求出的度数，利用直角三角形两锐角互余求出，根据直角三角形斜边中线性质得出，进而求出，计算出，判定为等腰直角三角形，利用勾股定理求解． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴ ∴； ∵， ∴， ∴； ∵E是斜边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 12. （26-27九年级上·陕西西安·开学考试）如图，正方形中，对角线与相交于点，为边上一点，，为的中点，若的周长为，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、斜边的中线等于斜边的一半、根据正方形的性质求线段长 【分析】利用正方形的性质得出，，根据直角三角形斜边中线的性质得出，根据的周长为，求出，利用勾股定理求出，进而求出，根据三角形中位线的性质即可求出的长． 【详解】解：∵正方形中，对角线与相交于点， ∴，，， ∵为的中点， ∴， ∵的周长为，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 题型04 30°角所对的直角边等于斜边的一半 13. （26-27八年级上·云南·期中）在中，，，斜边的长为4，则长为______． 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】含30度角的直角三角形 【详解】解：∵，，斜边的长为4， ∴． 14. （2026·四川攀枝花·中考真题）在中，是边上的中线，，则的面积为_______． 【答案】 【难度】0.75 【知识点】根据三角形中线求长度、含30度角的直角三角形 【分析】先根据中线定义求出长度，再过作构造含角的直角三角形，利用直角三角形性质求高，最后用三角形面积公式计算面积。 【详解】解：∵是边上的中线，， ∴， 过点作于， ∴， ∵，， ∴， ∴ 15. （26-27九年级上·四川达州·开学考试）如图，在中，，，的垂直平分线交和于点D，E．若，则线段的长度等于 _______ ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形、等边对等角 【分析】连接，根据线段垂直平分线的性质可得，从而，在中，，则，由此即可求解． 【详解】解：连接， 垂直平分， ， ， 在中，，， ， ， 在中，，， ， ， ， ． 16. （26-27九年级上·四川达州·开学考试）如图，在平行四边形中，将沿折叠后，点D恰好落在延长线上的点E处．若，，则为_______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、折叠问题 【分析】根据平行四边形对边相等得到，由翻折落在延长线上知为直角三角形，利用勾股定理即可求出． 【详解】解：在平行四边形中，． 将沿折叠后，点D恰好落在延长线上的点E处， ． 在中，， ∴， ， ． B组 能力进阶 1. （25-26八年级下·北京·期末）《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有树，不知其高，去树五十步，立表高五尺，人却退七步，望表末，与树末参直，人目高四尺，问树高几何？大致意思是：为求树高，在距离树50步的地方，竖立一根5尺长的标杆，再向后退7步，此时眼睛、标杆顶端、树顶端在一条直线上，眼睛离地面的高为4尺，则树高为（   ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】将实际问题转化为几何模型，过C作，分别交标杆、树于点、，证明，利用相似三角形对应边成比例的性质列方程求解即可． 【详解】解：设树高为尺， 如图，过C作，分别交标杆、树于点、， ∵， ∴， ∴， ∴， 由题意可知（尺），步，（步），尺， ∴， 解得， 故树高为尺． 2. （25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在矩形中，，在上取一点，使，则的度数为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、等边三角形的判定和性质、斜边的中线等于斜边的一半、利用矩形的性质证明 【分析】取的中点，连接，根据矩形的性质和已知条件，得到是等边三角形，据此可知，从而求得，然后根据等边对等角和三角形内角和定理得到，继而求得． 【详解】解：如图，取的中点，连接， 四边形是矩形， ，， 点是直角斜边的中点， ， ，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ． 3. （26-27九年级上·广东广州·开学考试）如图，已知等边三角形的边长为10，为上一点，过点作于点，过点作于点，连结，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的性质 【分析】计算出，可得，推出三角形为等边三角形，即可得到，即可推出． 【详解】解：∵在等边三角形中，，， ， ， ∴， ， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ． 4. （25-26八年级下·上海·阶段检测）商丘古城位于河南省商丘市，它像一颗明珠，镶嵌在豫东大地上．某天小明站在地面上给站在古城城楼上的小亮照相时发现：小明的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）．已知小明的眼睛离地面的距离米，凉亭顶端离地面的距离米，小明到凉亭的距离米，凉亭离城楼底部的距离米，小亮身高米，，，三点在同一水平线上，则城楼的高度为________米． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】过点作于点，交于点，构造出相似三角形，利用相似三角形对应边成比例求出的长，再根据线段的和差关系求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点， 由题意可知，，， ∴ ∵， ∴四边形和四边形均为矩形， ∴，，， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴小亮头顶离地面的高度（米）， ∵小亮身高米， ∴城楼的高度为（米） 5. （26-27九年级上·北京西城·开学考试）如图，四边形中，，，平分，取中点，中点，连接，，则________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、等边对等角、与三角形中位线有关的求解问题、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】先利用角平分线定义、直角三角形斜边上的中线定理、等边对等角和三角形外角性质求出的度数，再利用三角形的中位线定理求出，得到的度数，进而求出的度数． 【详解】解：，平分， ， ，是的中点， ， ， 是的外角， ， 是的中点，是的中点， ， ， ∴． 6. （25-26八年级上·广东汕头·期末）如图，三角形纸片中，，，，折叠纸片，使点C和点A重合，折痕与，交于点D和点E，则折痕的长为__________． 【答案】 【难度】0.55 【知识点】三角形内角和定理的应用、含30度角的直角三角形、等边对等角、折叠问题 【分析】先根据等腰三角形的性质，三角形内角和，得到；根据折叠的性质，可以得到，继而得到，利用直角三角形的性质，解答即可． 【详解】解：，， ； 由折叠纸片，使点C和点A重合，折痕与，交于点D和点E， ， ，； ， ， ∵， ， ， ， ， ， ， ． 7. （25-26八年级下·山东泰安·期末）淇淇和嘉嘉在学习了利用相似三角形测高之后分别测量两个旗杆的高度． (1)如图①所示，淇淇采用镜面反射法．将镜子放在地面点处，此时淇淇恰好能从镜子中看到旗杆顶端，已知淇淇眼睛到地面的距离，且，旗杆．，，求旗杆的高度． (2)嘉嘉利用自制的直角三角形硬纸板来测量旗杆的高度，他通过调整测量位置，使斜边与地面保持平行，并使一直角边与旗杆顶点在同一直线上．已知米，米，目测点到地面的距离为1.6米，到旗杆的水平距离为18米，求旗杆的高度． 【答案】(1)旗杆的高度为 (2)旗杆的高度米 【难度】0.62 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、相似三角形实际应用 【分析】（1）根据题意得出，进而利用相似三角形的性质得出答案． （2）证明四边形为矩形，则和，进一步证明，则，即可求得，结合即可． 【详解】（1）解：根据光的反射的性质，， 又∵， ∴， ∴， 将，，，代入上式， 得， 解得， 故旗杆的高度为； （2）解：∵， ∴四边形为矩形， ∵目测点到地面的距离为1.6米，到旗杆的水平距离为18米， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵米，米， ∴， 解得， ∴， 答：旗杆的高度米． 8．（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）如图，在正方形中，分别在边，上取点，，使，分别作，的中垂线，垂足分别为，交于点于点，对角线分别交，于点，得轴对称图形． (1)设，则______，______（都用含的代数式表示） (2)连接，，求证：； (3)设，四边形，的面积分别为，，，当，时，求的值． 【答案】(1)； (2)证明：连接， ，分别是，的垂直平分线， ∴点O在的垂直平分线上， ∵， ∴垂直平分， ∵， ∴点D在的垂直平分线上， ∴三点共线， ∵， ∴． ∴． ∴，， ∴， 由（1）知，，设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 由（1）知，， ∴． (3)14 【难度】0.55 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和HL综合（HL）、线段垂直平分线的性质、多边形内角和问题、斜边的中线等于斜边的一半、根据正方形的性质证明 【分析】（1）首先利用正方形性质和，证明，得到，，结合直角三角形性质得，由正方形性质得，由等腰三角形性质得，得，由四边形内角和性质得．根据正方形性质和三角形外角性质，得． （2）连接，证明点O在的垂直平分线上，点D在的垂直平分线上，得到三点共线，由斜边中线性质得．由三角形外角性质和等腰三角形性质得，，结合正方形性质得，得，由，得．结合，得． （3）由，得，证明，得，再证明，得，由对称性得，得 ，代入已知数据计算即得结果． 【详解】（1）解：正方形中，，且， ∴， ∴，． ∴，． ∴， ∴， ∵是的中垂线， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵正方形对角线平分， ∴， ∴． （2）略； （3）解：由（2）知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，分别是，的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）知，， ∴在正方形的对角线上， ∵垂直平分， ∴四边形与四边形关于对称， ∴， ∴ ． 9. （25-26八年级下·辽宁朝阳·期末）如图，在中，，D是边的中点，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明： 且， 四边形是平行四边形， 在中，，D是边的中点， ， ， 四边形是菱形； (2) 【难度】0.65 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明、斜边的中线等于斜边的一半、利用菱形的性质求线段长、证明四边形是菱形 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再利用直角三角形的性质以及中点的定义可得，从而证明结论； （2）由直角三角形的性质以及勾股定理可得，易得，再根据菱形的性质可得 ，易得，再证明四边形是平行四边形，最后根据平行四边形的性质即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：在中，， ， ， ∴， ∵D是边的中点， ， ， 四边形是菱形， ，即， 又， ， ∵， ∴四边形是平行四边形， ． C组 思维拔高 1．在阳光下，一名同学测得一根长为0.9米的垂直于地面的竹竿的影长为0.6米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为3.84米，则树高为（     ） A．6.36米 B．8米 C．11.8米 D．12米 【答案】A 【难度】0.45 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】连接，过点E作于点F，设米，利用“同一时刻，物高和影长成正比”列出方程，解方程求出的长度，进而可得的长度． 【详解】解：如图所示，连接，过点E作于点F， 由题意，米，米，米， 则（米）， 设米， 由题意，得， 解得：， ∴（米）． 2．（26-27九年级上·山东济南·开学考试）如图，在菱形中，连接，交于点，点，分别是，上的动点，且，点是的中点，若，，则点到线段的距离的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】垂线段最短、三角形三边关系的应用、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、利用菱形的性质求面积 【分析】作，连接，作，则，当三点共线时，有最小值，此时点与点重合，斜边上的中线求出的长，菱形的性质结合勾股定理求出的长，等积法求出的长，进而求出的最小值即可. 【详解】解：过点作于，作于点，连接，，则即为点到线段的距离，， ∴当三点共线时，有最小值为，此时点与点重合， 四边形是菱形，，， ，，， 在中，， ， ，解得 ， ， 是的中点，， ， 点到线段的距离的最小值为. 3．（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）如图矩形，对角线与交于点O，将绕点A顺时针旋转得到，当点落在对角线上时，C、、三点共线，则的值为________． 【答案】/ 【难度】0.4 【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、斜边的中线等于斜边的一半、根据矩形的性质求线段长、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】过点作于点，取的中点，连接，设，，先求出，，，，，的长，再得出，进而可得的长，根据三角形的中位线定理可得的长，然后证出，得出，之间的等量关系，代入计算即可． 【详解】解：如图，过点作于点，取的中点，连接， 设，， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，， 由旋转的性质得：，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在中，点是斜边的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴是的中位线， ∴， ∴， 又∵，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 4. （26-27八年级上·江苏·阶段检测）如图，在中，，点D是边上的动点，以为边，向下作如图所示等边，连接，则长的最小值为__________________ ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】垂线段最短、全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质 【分析】设的中点为点F，连接，证明，得，当时，取最小值，求得此时的，便是的最小值． 【详解】解：如图，设的中点为点F，连接，则， ∵， ∴， ， ∵为等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 当时，取最小值，为， ∴长的最小值为． 5. （2026·陕西宝鸡·模拟预测）在乡村道路建设中，为了方便村民夜间出行，市政部门在道路边安装了路灯．如图，安装路灯的路面比种植树木的地面高（即），小军站在点N处．在路灯的照射下，路基留在地面上的影长，小军留在路面上的影长．已知小军的身高，，，，，．求路灯的高度． 【答案】路灯的高度为 【难度】0.4 【知识点】解分式方程（化为一元一次）、平行四边形性质和判定的应用、相似三角形实际应用 【分析】令交于点，设，推导出，，得到，，则，，推导出四边形是平行四边形，可得到，，推导出，得到， 解得，则，即可解答． 【详解】解:如图 令交于点，设， ，，， ，， ，， ，， ， 四边形是平行四边形， ，， ，，， ，， 由，得， ， 解得， 经检验，是原方程的解， ． 答:路灯的高度为． 6.（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）无动力游乐园是现在提倡的低碳儿童娱乐场所，它不依赖电力、机械等外部动力源驱动游乐设施，主要依靠重力、惯性等自然物理原理和人体力量提供游乐体验，从而大大减少了能源消耗和碳排放．某一游乐园正规划建设无动力娱乐项目． 【问题提出】 (1)如图1，规划可以摆动的龙造型秋千，制作定长度的龙秋千，需要计算搭建的安全框架和绳索用料．如图2，框架最左边距离龙秋千高度为，最右边距离龙秋千高度为，横跨的长度为，龙秋千是定长，假设摆动过程中绳索具有伸缩性，可以让龙秋千在固定的高度所在直线上左右移动，则通过测量实际数据要计算两侧绳索与之和的最小值时，首先要将定长______（在几何变换“对称”、“平移”、“旋转”中选择）至点处，然后将点关于直线______（在几何变换“对称”、“平移”、“旋转”中选择），再计算即可； 【数学模型】 (2)数学兴趣小组在研究一类含等边三角形转动问题时，发现只要将要解决的线段所在三角形绕着已知等边三角形中的定点旋转就能解决问题．如图3在中，，，，点在边上，且，点在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转至，连接、，当点转动到时，请求出此时的长度并说明理由； 【解决问题】 (3)游乐园规划在一块平行四边形休闲场地上建小池塘设置捞鱼项目．如图4是地形平面图平行四边形，经测量知，长为米，长为米，在边上选择一处设置家长休息观赏区，长米，规划从入口处搭建水上吊桥到休息观赏区处，之后以为边在其右侧修建等边型空中步道，还需要修建从入口通往处的吊桥，是否存在方案使得两个吊桥与之和有最小值？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)平移； 对称 (2)解：在中，，， ∴， ∵， ∴，． 连接，取中点，则， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 在上取点，使，则， ∵， ∴为等边三角形， ∴，． ∵线段绕点顺时针旋转至， ∴，， ∴， ∴， ∴． (3)存在，理由如下： 以为边向下作等边三角形，则，， 在等边三角形中，，， ∴， ∴， ∴． 在上截取， ∵在平行四边形中，， ∴四边形为平行四边形， ∴． 作点关于直线对称的点，则， ∴， ∴，当且仅当、、三点共线时取等号． 过点作，交延长线于点，过点作于点，过点作于点， ∵， ∴， ∴米，米， ∴米． ∵为等边三角形， ∴米，米， ∴米， ∴米， ∵米， ∴米， ∴米， 在中，米， 即的最小值为米． 【难度】0.4 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的判定与性质求解、根据成轴对称图形的特征进行求解、根据旋转的性质求解 【分析】（1）因为是定长，所以把平移到处，实现线段的转化；再将点关于直线对称，把折线段转化为两点之间线段最短，利用 “两点之间线段最短” 求最小值即可； （2）先在中算出各边长度，由确定点位置；连接，取中点，易证为等边三角形，进而求得为直角三角形，为等边三角形；线段绕点顺时针旋转至，所以，，是等边三角形，构造手拉手全等三角形，把线段长转化为线段，计算线段长，即可得到线段长度； （3）以为边向下作等边三角形，易证，将线段转化为线段，即；因为是上定长米，所以平移转化；再利用 “两点之间线段最短”，可得，当且仅当、、三点共线时取等号；构造，利用勾股定理求得线段的长度，即可求得的最小值． 【详解】（1）解：将平移至处，点的对应点为点， ∴，, ∴四边形是平行四边形， ∴， 作点关于直线对称点，连接，，则， ∴，则即为的最小值； 首先要将定长平移至点处，然后将点关于直线对称，再计算即可；故答案为； （2）略 （3）略 拓展 链接中考 1．（2026·广东广州·中考真题）如图，在中，，是的角平分线，，垂足为，点是的中点．已知，的周长为12，则长为（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【难度】0.63 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】证明，得出，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得出，结合的周长为12，得出， 在中，勾股定理求出，即可解答； 【详解】解：是的角平分线，， ∴， 又， ∴， ， ， ， 点是的中点， ， 的周长为， ， ， ， ∵在中，， ． 2．（2026·新疆·中考真题）如图，形状为直角三角形的木块，斜靠在竖直的墙上，木块顶点在墙面上滑动，另一顶点在地面上滑动，，，，在同一平面内，若，，则木块顶点到墙角的距离的最大值为____________． 【答案】/ 【难度】0.63 【知识点】三角形三边关系的应用、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】取中点，连接，根据直角三角形的性质求出，利用勾股定理求出，由即可得出结果． 【详解】解：取中点，连接， ∵， ∴， 由题意得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的最大值为， 即木块顶点到墙角的距离的最大值为． 3．（2026·甘肃天水·中考真题）如图，矩形纸片的边上有一点，将纸片沿折叠，点落在点．若，，则点到的距离等于______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】含30度角的直角三角形、矩形与折叠问题、折叠问题 【分析】作于点F，先根据折叠性质和角度关系求出，再利用直角三角形中角所对边等于斜边一半，求出的长度 【详解】解：作于点F， ， 由折叠得，，， 又四边形为矩形， ， ， ， ． 4．（2026·四川凉山·中考真题）如图，点P是的平分线上一点，过点P作交于点C，若，，则点P到的距离的长是_______． 【答案】1 【难度】0.65 【知识点】点到直线的距离、两直线平行内错角相等、角平分线的性质定理、含30度角的直角三角形、根据等角对等边求边长 【分析】根据角平分线定义和平行线性质证得是等腰三角形，求出的长，过点作于点，求出，根据角平分线的性质得出点到的距离． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴,, ∴， 过点作于点， ∴， ∵平分，， ∴, 即点到的距离为1． 5．（2026·吉林长春·中考真题）如图，在中，，，．为边的中点，为线段上一点（不与点重合），点关于点的对称点为点，以为斜边构造等腰直角三角形，点和点在直线的同侧． (1) ； (2)连接，求证：； (3)当点在边上时，求的长； (4)是边上一点，连接．当，且时，直接写出的长． 【答案】(1) (2)证明：点、关于点对称， 是的中点， 是等腰直角三角形，即， ； (3) (4)或 【难度】0.47 【知识点】等腰三角形的性质和判定、三线合一、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、根据成轴对称图形的特征进行求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据勾股定理进行计算即可求解； （2）根据等腰直角三角形的性质即可得出； （3）设，则，在中，根据勾股定理可得的长，在中，根据勾股定理可得的长，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得的长； （4）分两种情况讨论，点在上方和下方时，根据已知条件得出，进而根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴； （2）略 （3）解：当点落在上时， 连接，如图： ∵，且为的中点，即垂直平分， ∴，， ∴设，则， 在中，， ∴，解得， 即， 在中，， ∵在中，是斜边上的中线， ∴； （4）解：如图，当在的下方时，设，交于点，由（3）可得，， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，解得， ∴， ∴； 如图，当在的上方时，延长交于点， 同理可得， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， 综上所述，或． 6．（2026·北京·中考真题）如图，在中，，D，E分别为，的中点，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：在中，，E为的中点， ， ， , 又， 四边形是平行四边形； (2) 【难度】0.62 【知识点】证明四边形是平行四边形、与三角形中位线有关的求解问题、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】（1）根据直角三角形的性质可得，从而得到，即可求证； （2）根据三角形中位线定理可得，，从而得到，，再由四边形的面积的面积的面积，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：，E分别为，的中点， 是的中位线， ，， ， ， ∵，， ∴，， 的面积为，的面积为， 四边形的面积的面积 的面积． 7．（2026·黑龙江大庆·中考真题）如图，在菱形中，对角线与相交于点O．过点C作，过点D作，与相交于点E，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是菱形， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形； (2) 【难度】0.65 【知识点】实数的混合运算、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、利用菱形的性质求线段长 【分析】（1）先由菱形的性质得到，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，即可证明其为矩形； （2）先根据菱形的性质，结合直角三角形的性质求解，再由矩形的性质求出，最后由勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵四边形是矩形， ∴，， ∴． 8．（2026·湖南长沙·中考真题）如图，在中，，，．分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点和，作直线交于点，连接． (1)求的度数； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)、含30度角的直角三角形、等边对等角 【分析】（1）根据作图可知为的中垂线，则，又已知，所以，则在中利用三角形内角和公式即可求解； （2）因为，，则，即，可知，则题目可求． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 根据作图可知为的中垂线， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴． 9．（2026·广西·中考真题）如图，已知四边形是平行四边形，延长至点，使得，连接，． (1)求证：； (2)若，，，求四边形的周长． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∵ ∴ (2) 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解 【分析】（1）通过平行四边形的性质结合证明即可； （2）先根据30度直角三角形的性质以及勾股定理求解，再由平行四边形的性质以及全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，， ∴ ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴四边形的周长 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 23.1 测量+23.2 直角三角形的性质 目 录 分层作业 A组 巩固过关 题型01 测量（相似三角形的应用） 题型02 斜边的中线等于斜边的一半 题型03 勾股定理解三角形 题型04 30°角所对的直角边等于斜边的一半 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 A组 巩固过关 题型01 测量（相似三角形的应用） 1．（25-26九年级上·广西梧州·期末）无人机送快递是一种创新的配送方式，这种方式快速、灵活，能轻松到达偏远山区、海岛等交通不便地区，既扩大了快递服务范围，也能避开地面交通拥堵．某天，身高（）的小王站在阳光下等待无人机送货过来，此时他的影长（）为，无人机的影长（）为．请问此时无人机高度（）是（   ） A． B． C． D． 2. （2026·江苏淮安·一模）如图，利用标杆测量建筑物的高度．已知标杆高，测得，．则建筑物的高是______m． 3. （25-26九年级上·贵州六盘水·期末）小明利用标杆在阳光下测量旗杆的高度．如图，将标杆底端和旗杆影子顶端重合，已知标杆，测得标杆的影长，旗杆的影长，则旗杆的高_____m． 4. （26-27九年级上·全国·课后作业）如图，为测量某建筑物的高度，在距该建筑物底部30.0m处，目测其顶，视线与水平线的夹角为，目高为1.5m．试利用相似三角形的知识，求出该建筑物的高度．（精确到0.1m） 题型02 斜边的中线等于斜边的一半 5．（26-27九年级上·海南省直辖县级单位·开学考试）如图，在矩形中，，，平分交于点，连接，取的中点，连接，则的长为（     ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·云南德宏·期末）课堂实践活动中，一名学生用刻度尺（单位：）测量自制直角三角形手工纸片．如图所示，已知，D为斜边的中点，点A，B对应的刻度分别为2和8，则的长为（     ） A． B． C． D． 7. （26-27九年级上·湖南·阶段检测）如图，在中，点是斜边的中点，，则________． 8. （25-26九年级上·福建宁德·阶段检测）如图，公路与互相垂直，公路的中点与点被湖隔开．若测得的长为，则，两点间的距离为______________． 题型03 勾股定理解三角形 9. （25-26八年级下·陕西汉中·期末）如图，在中，，是边上的中线，若，，则的长是_______________． 10. （26-27九年级上·陕西西安·开学考试）如图，菱形的对角线交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 11. （25-26八年级下·北京海淀·阶段检测）如下图，在中，，，于点D，，E是斜边的中点，则的长是________________． 12. （26-27九年级上·陕西西安·开学考试）如图，正方形中，对角线与相交于点，为边上一点，，为的中点，若的周长为，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 题型04 30°角所对的直角边等于斜边的一半 13. （26-27八年级上·云南·期中）在中，，，斜边的长为4，则长为______． 14. （2026·四川攀枝花·中考真题）在中，是边上的中线，，则的面积为_______． 15. （26-27九年级上·四川达州·开学考试）如图，在中，，，的垂直平分线交和于点D，E．若，则线段的长度等于 _______ ． 16. （26-27九年级上·四川达州·开学考试）如图，在平行四边形中，将沿折叠后，点D恰好落在延长线上的点E处．若，，则为_______． B组 能力进阶 1. （25-26八年级下·北京·期末）《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有树，不知其高，去树五十步，立表高五尺，人却退七步，望表末，与树末参直，人目高四尺，问树高几何？大致意思是：为求树高，在距离树50步的地方，竖立一根5尺长的标杆，再向后退7步，此时眼睛、标杆顶端、树顶端在一条直线上，眼睛离地面的高为4尺，则树高为（   ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 2. （25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在矩形中，，在上取一点，使，则的度数为（     ）． A． B． C． D． 3. （26-27九年级上·广东广州·开学考试）如图，已知等边三角形的边长为10，为上一点，过点作于点，过点作于点，连结，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 4. （25-26八年级下·上海·阶段检测）商丘古城位于河南省商丘市，它像一颗明珠，镶嵌在豫东大地上．某天小明站在地面上给站在古城城楼上的小亮照相时发现：小明的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）．已知小明的眼睛离地面的距离米，凉亭顶端离地面的距离米，小明到凉亭的距离米，凉亭离城楼底部的距离米，小亮身高米，，，三点在同一水平线上，则城楼的高度为________米． 5. （26-27九年级上·北京西城·开学考试）如图，四边形中，，，平分，取中点，中点，连接，，则________． 6. （25-26八年级上·广东汕头·期末）如图，三角形纸片中，，，，折叠纸片，使点C和点A重合，折痕与，交于点D和点E，则折痕的长为__________． 7. （25-26八年级下·山东泰安·期末）淇淇和嘉嘉在学习了利用相似三角形测高之后分别测量两个旗杆的高度． (1)如图①所示，淇淇采用镜面反射法．将镜子放在地面点处，此时淇淇恰好能从镜子中看到旗杆顶端，已知淇淇眼睛到地面的距离，且，旗杆．，，求旗杆的高度． (2)嘉嘉利用自制的直角三角形硬纸板来测量旗杆的高度，他通过调整测量位置，使斜边与地面保持平行，并使一直角边与旗杆顶点在同一直线上．已知米，米，目测点到地面的距离为1.6米，到旗杆的水平距离为18米，求旗杆的高度． 8．（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）如图，在正方形中，分别在边，上取点，，使，分别作，的中垂线，垂足分别为，交于点于点，对角线分别交，于点，得轴对称图形． (1)设，则______，______（都用含的代数式表示） (2)连接，，求证：； (3)设，四边形，的面积分别为，，，当，时，求的值． 9. （25-26八年级下·辽宁朝阳·期末）如图，在中，，D是边的中点，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． C组 思维拔高 1．在阳光下，一名同学测得一根长为0.9米的垂直于地面的竹竿的影长为0.6米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为3.84米，则树高为（     ） A．6.36米 B．8米 C．11.8米 D．12米 2．（26-27九年级上·山东济南·开学考试）如图，在菱形中，连接，交于点，点，分别是，上的动点，且，点是的中点，若，，则点到线段的距离的最小值为（     ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）如图矩形，对角线与交于点O，将绕点A顺时针旋转得到，当点落在对角线上时，C、、三点共线，则的值为________． 4. （26-27八年级上·江苏·阶段检测）如图，在中，，点D是边上的动点，以为边，向下作如图所示等边，连接，则长的最小值为__________________ ． 5. （2026·陕西宝鸡·模拟预测）在乡村道路建设中，为了方便村民夜间出行，市政部门在道路边安装了路灯．如图，安装路灯的路面比种植树木的地面高（即），小军站在点N处．在路灯的照射下，路基留在地面上的影长，小军留在路面上的影长．已知小军的身高，，，，，．求路灯的高度． 6.（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）无动力游乐园是现在提倡的低碳儿童娱乐场所，它不依赖电力、机械等外部动力源驱动游乐设施，主要依靠重力、惯性等自然物理原理和人体力量提供游乐体验，从而大大减少了能源消耗和碳排放．某一游乐园正规划建设无动力娱乐项目． 【问题提出】 (1)如图1，规划可以摆动的龙造型秋千，制作定长度的龙秋千，需要计算搭建的安全框架和绳索用料．如图2，框架最左边距离龙秋千高度为，最右边距离龙秋千高度为，横跨的长度为，龙秋千是定长，假设摆动过程中绳索具有伸缩性，可以让龙秋千在固定的高度所在直线上左右移动，则通过测量实际数据要计算两侧绳索与之和的最小值时，首先要将定长______（在几何变换“对称”、“平移”、“旋转”中选择）至点处，然后将点关于直线______（在几何变换“对称”、“平移”、“旋转”中选择），再计算即可； 【数学模型】 (2)数学兴趣小组在研究一类含等边三角形转动问题时，发现只要将要解决的线段所在三角形绕着已知等边三角形中的定点旋转就能解决问题．如图3在中，，，，点在边上，且，点在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转至，连接、，当点转动到时，请求出此时的长度并说明理由； 【解决问题】 (3)游乐园规划在一块平行四边形休闲场地上建小池塘设置捞鱼项目．如图4是地形平面图平行四边形，经测量知，长为米，长为米，在边上选择一处设置家长休息观赏区，长米，规划从入口处搭建水上吊桥到休息观赏区处，之后以为边在其右侧修建等边型空中步道，还需要修建从入口通往处的吊桥，是否存在方案使得两个吊桥与之和有最小值？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由． 拓展 链接中考 1．（2026·广东广州·中考真题）如图，在中，，是的角平分线，，垂足为，点是的中点．已知，的周长为12，则长为（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．（2026·新疆·中考真题）如图，形状为直角三角形的木块，斜靠在竖直的墙上，木块顶点在墙面上滑动，另一顶点在地面上滑动，，，，在同一平面内，若，，则木块顶点到墙角的距离的最大值为____________． 3．（2026·甘肃天水·中考真题）如图，矩形纸片的边上有一点，将纸片沿折叠，点落在点．若，，则点到的距离等于______． 4．（2026·四川凉山·中考真题）如图，点P是的平分线上一点，过点P作交于点C，若，，则点P到的距离的长是_______． 5．（2026·吉林长春·中考真题）如图，在中，，，．为边的中点，为线段上一点（不与点重合），点关于点的对称点为点，以为斜边构造等腰直角三角形，点和点在直线的同侧． (1) ； (2)连接，求证：； (3)当点在边上时，求的长； (4)是边上一点，连接．当，且时，直接写出的长． 6．（2026·北京·中考真题）如图，在中，，D，E分别为，的中点，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求四边形的面积． 7．（2026·黑龙江大庆·中考真题）如图，在菱形中，对角线与相交于点O．过点C作，过点D作，与相交于点E，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 8．（2026·湖南长沙·中考真题）如图，在中，，，．分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点和，作直线交于点，连接． (1)求的度数； (2)求的长． 9．（2026·广西·中考真题）如图，已知四边形是平行四边形，延长至点，使得，连接，． (1)求证：； (2)若，，，求四边形的周长． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $