28.2.2解直角三角形应用举例同步训练2025-2026学年人教版数学九年级下册

28.2.2 解直角三角形 应用举例 同步训练 一、单选题 1．一条上山直道的坡度为，沿这条直道上山，每前进所上升的高度为（     ） A． B． C． D． 2．如图是拦水坝的横断面，斜坡的水平宽度为米，斜面坡度为，则斜坡的长为（ ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．如图，甲、乙两位登山者同时从点A出发，一段时间后，甲步行m米到达点C，乙步行n米到达点B．若坡角为，则甲、乙两人的垂直距离可以表示为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 4．2025年10月31日23点44分，搭载神舟二十一号载人飞船的火箭在酒泉卫星发射中心成功发射．当火箭上升到点时，位于海平面上的观测点到的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（    ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 5．某露营爱好者在营地搭建一种“天幕”（如图①），其截面示意图是轴对称图形（如图②），对称轴是垂直于地面的支杆所在的直线，排开的遮阳面和的长均为的度数为，则此时“天幕”的宽度是（　　） A． B． C． D． 6．山东枣庄·冠世榴园报国塔是一座砖木结构的建筑，共有八角七层，某数学兴趣小组用无人机测量报国塔的高度．测量方案如图所示．无人机在距水平地面的点M处测得报国塔顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点N处，测得报国塔底端B的俯角为（点M，N，A，B在同一平面内）．则报国塔的高度约为（    ）（结果精确到．参考数据：） A． B． C． D． 二、填空题 7．雪上项目占据了2022年北京冬奥会的大部分比赛项目，由自由式滑雪、越野滑雪、跳台滑雪、无舵雪橇、有舵雪橇、高山滑雪等．如图，某滑雪运动员在坡度为的雪道上下滑91米，则该滑雪运动员沿竖直方向下滑的高度为 米． 8．如图，在建筑物前面的平地上取点C，测得建筑物顶端的仰角为，从C点沿方向走100米到D点（C，D，B在同一直线上），测得建筑物顶端的仰角为，则的高度为 米． 9．如图，两束光线从成像图层的点O处发出，经过平面镜的反射后在成像图层上形成光点M和N．若入射角，，平面镜与成像图层平行，它们之间的距离为，则M，N两点之间的距离为 ． 10．图1为《天工开物》记载的用于舂捣谷物的工具—“碓”，图2为其平面示意图．已知于点B，与水平线l相交于点O，，若分米，分米，，则 分米． 三、解答题 11．如图，平地上一幢建筑物与铁塔相距，在建筑物的顶部分别观测铁塔底部的俯角为、铁塔顶部的仰角，求铁塔的高度（精确到）（参考数据） 12．某中学校园教学楼前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草间，小明站在雕像前，自C处测得雕像顶A的仰角为，小颖站在教学楼门前的台阶上，自D处测得雕像顶A的仰角为，此时，两人的水平距离为，已知教学楼门前台阶斜坡的坡比为．请计算台阶的高度，并求出孔子雕像的高度．（参考数据：，，） 13．如图1，一扇窗户打开后可以用窗钩将其固定，窗钩的一个端点A固定在窗户底边上，且，窗钩的另一个端点B在窗框边上的滑槽上移动，构成一个三角形．如图2，当窗钩端点B与点O之间的距离是时（即），窗户打开的的度数为，过点A作，垂足为点D． (1)求此时的长； (2)求此时的值．（参考数据：） 14．圭表（如图）是我国古代度量日影长度的天文仪器，它包括一根直立的杆（称为“表”）和一把南北方向水平放置且与杆垂直的标尺（称为“圭”）．当正午的阳光照射在“表”上时，“表”的影子便会投射在“圭”上．我国古代历法将一年中白昼最短的那一天（当日正午“表”在“圭”上的影子长度为全年最长）定为冬至；白昼最长的那一天（当日正午“表”在“圭”上的影子长度为全年最短）定为夏至．某地发现一个圭表遗迹（如图），但由于“表”已损坏，仅能测得“圭”上记录的夏至线与冬至线间的距离（即的长）为米．某地质小组制定方案，通过测量获得相关数据，并利用数据推测损坏的“表”原来的高度（即的长）方案如下： 课题 推测损坏的“表”原来的高度（即的长） 工具 测量仪器等 示意图 说明 现已知该地冬至正午太阳高度角（即）为，夏至正午太阳高度角（即）为，结果保留整数． 参考数据 ，，，，， 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】本题主要考查坡比解直角三角形的运用，坡度表示垂直高度与水平距离之比，设上升高度为h，则水平距离为，利用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：∵一条上山直道的坡度为， ∴设上升的高度为，则水平距离为， ∵斜边长为， ∴由勾股定理，得+=， 即， 化简得，， ∴， ∴每前进所上升的高度为， 故选：B． 2．B 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，理解坡度的定义是解题关键． 先根据坡度定义求出斜坡的垂直高度，再利用勾股定理计算斜坡的长度． 【详解】解：斜坡的坡度是垂直高度与水平宽度的比， 斜坡的水平宽度为米，斜面坡度为， ，米， 米， 据勾股定理可得米． 答：米． 3．B 【分析】本题考查了三角函数的应用，理解题意是关键；由题意得米，，由正弦函数关系式即可求解． 【详解】解：如图，米， ∵， ∴， 在中，， ∴米， 故选：B． 4．D 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用；由题意可知，在中，即可求出结果． 【详解】解：由题意可知，在中， ； 此时火箭距海平面的高度为千米． 故选：D． 5．A 【分析】本题主要考查了解直角三角形、三线合一的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 由“三线合一”的性质可得，，再根据正弦函数解直角三角形即可解答． 【详解】解：如图：设与相交于点E， ∵，对称轴是垂直于地面的支杆所在的直线，的度数为， ∴， ∵ ∴， ∴． 故选：A． 6．D 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，理解俯角的含义并利用三角函数求解是关键． 延长交于D，由正切函数得，，设，则，在中，由正切函数关系建立方程即可求解． 【详解】解：如图，延长交于D， 由题意得， 在中，，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 即， 解得：， 即报国塔的高度约为， 故选：D． 7．35 【分析】本题考查了坡比的概念以及勾股定理的应用，理解坡比的概念是解题的关键．坡比是指坡面的垂直高度和水平距离的比值，已知坡比和下滑的斜边长度，设该滑雪运动员沿竖直方向下滑的高度为米，根据勾股定理建立方程求解竖直方向下滑的高度． 【详解】解：设该滑雪运动员沿竖直方向下滑的高度为米，因为雪道坡比为，所以水平方向移动的距离为米， 根据勾股定理，可列方程：， 解得或(长度不能为负舍去)， 因此，该滑雪运动员沿竖直方向下滑的高度为35米． 故答案为：35． 8． 【分析】本题主要考查三角函数，熟练掌握三角函数是解题的关键；由题意易得，，然后根据三角函数可得，进而求解即可． 【详解】解：由题意得：，， ∴，， ∴， ∴， 解得：； 故答案为． 9．/ 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，轴对称中的光线反射问题，其他问题（解直角三角形的应用）等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 分别过反射点作成像图层的垂线，构建直角三角形，利用三角函数求出和的长度，再通过计算出两点间距离． 【详解】解：如图，分别过反射点作成像图层的垂线，设平面镜上两个反射点为、，过作于，过作于． 由题意知，平面镜与成像图层平行，且距离为， ∴． 对于的光线： 根据反射定律，入射角等于反射角， ∴是等腰直角三角形（）， 在中，， 即， 解得：． 又∵垂直平分（反射对称性）， ∴， 对于的光线： 在中，， 即， ∴， 同理，垂直平分， ∴． ∴． 故答案为：． 10． 【分析】本题考查解直角三角形的应用，合理的构造直角三角形进行求解是解题的关键． 延长交l于点G，易得，则，设为，则，，那么可得的余弦值，根据的余弦值列出方程求得x的值，即可求得的长即可． 【详解】解：延长交l于点G， ，，， ， ，， ， ， ， ， 设为，则， ， ， 分米，分米， ， 解得：， 分米， 故答案为：． 11．铁塔的高度为 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，过点A作于E，由题意可知，，解直角三角形求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点A作于E， 由题意可知：，， 在中，， 在中，， ∴， 答：铁塔的高度为． 12．， 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角，解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）根据教学楼门前台阶斜坡的坡比为计算即可； （2）作于，根据矩形的性质得到，，设，则，可证得，则，根据列方程求解得到答案． 【详解】解：教学楼门前台阶斜坡的坡比为，为， ， ， 即台阶的高度为； 如图所示，作于， 由题意得，四边形是矩形， ，， 设，则， 在中，， ， ， ， 即， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：孔子雕像的高度约． 13．(1)12 (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用， 对于（1），设，根据勾股定理得，求出x可得答案； 对于（2），作，设，根据勾股定理得，求出，可得，进而求出，再根据勾股定理求出，最后根据得出答案． 【详解】（1）解：在中，， 设，根据勾股定理，得 ， 即， 解得（负值舍去）， ∴； （2）解：过点B作，交于点G 在中，， 设，根据勾股定理，得 ， 即， 解得（负值舍去）， ∴， ∴． 在中，根据勾股定理，得 ， 即， 解得， ∴． 14．9米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握解直角三角形是解题的关键．设，根据三角函数求出的值，再得出的长． 【详解】解：设， ∵， ∴（）， 在中，， ∴（）， 在中，'， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． ∴（）， 答：损坏的“表”原来的高度（即的长）约为米． 学科网（北京）股份有限公司 $