3.2 圆心角 课时作业 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

浙教版数学九年级上册　第3章　圆的基本性质　课时作业 浙教版九年级上册　第3章　圆的基本性质 3.2　圆心角　课时作业 班级：__________　姓名：__________　学号：________　得分：________ 一、学习目标 1．认识圆的旋转不变性，知道圆既是轴对称图形，又是中心对称图形． 2．理解圆心角的概念，掌握圆心角定理及其推论，并能运用它们进行计算和证明． 3．理解弧的度数与圆心角度数的关系． 二、知识点梳理 知识点1　圆的对称性 （1）圆绕圆心旋转任意角度后，都能与原来的图形重合，这就是圆的旋转不变性． （2）圆是中心对称图形，对称中心是圆心；圆也是轴对称图形，任何一条经过圆心的直线（直径所在的直线）都是它的对称轴，圆有无数条对称轴． 知识点2　圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角．如图中的∠AOB就是圆心角，它所对的弧是⌒AB，所对的弦是AB． 判断一个角是否是圆心角，关键看顶点是否在圆心． 知识点3　圆心角定理及推论 （1）圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． （3）注意：定理和推论都有“在同圆或等圆中”这一前提，不能省略；一条弦所对的弧有两条（一条优弧和一条劣弧），应用时通常指劣弧． 知识点4　弧的度数 （1）把顶点在圆心的周角等分成360份，每一份的圆心角是1°的角，1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧． （2）圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．半圆的度数为180°，整个圆的度数为360°． （3）若劣弧的度数为n°，则它所对的优弧的度数为（360－n）°． 三、典例精析 例1　如图，在⊙O中，⌒AB＝⌒AC，∠B＝70°，求∠A的度数． 例1图 分析：由等弧可得等弦，从而得到等腰三角形． 解：∵⌒AB＝⌒AC，∴AB＝AC（在同圆中，相等的弧所对的弦相等），∴∠C＝∠B＝70°． ∴∠A＝180°－∠B－∠C＝180°－70°－70°＝40°． 例2　如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且∠AOB＝∠COD．求证：AC＝BD． 例2图 分析：要证弦AC＝BD，只需证它们所对的圆心角∠AOC＝∠BOD． 证明：∵∠AOB＝∠COD，∴∠AOB－∠COB＝∠COD－∠COB，即∠AOC＝∠BOD． ∴AC＝BD（在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等）． 例3　如图，⊙O的弦AB把圆分成度数之比为1∶3的两条弧，⊙O的半径为2，求弦AB的长． 例3图 解：∵弦AB把圆分成1∶3两部分，∴劣弧⌒AB的度数为360°×＝90°，∴∠AOB＝90°． 在Rt△AOB中，OA＝OB＝2，∴AB＝＝＝． 点评：弧的度数与圆心角的度数相等，是把“弧”的问题转化为“角”的问题的桥梁． 易错警示 易错点1：忽视“在同圆或等圆中”这一前提，如认为“相等的圆心角所对的弧相等”一定成立． 易错点2：把“弧的度数”与“弧的长度”混为一谈．度数相等的弧，长度不一定相等． 易错点3：误认为“弧长是另一条弧的2倍，则弦长也是另一条弦的2倍”．事实上，弦与弧不成比例关系． 四、基础巩固 （一）选择题 1．下列说法中，正确的是（　　） A．相等的圆心角所对的弧相等 B．相等的弦所对的弧相等 C．在同圆中，相等的弧所对的弦相等 D．弧的度数就是弧的长度 2．在⊙O中，弦AB所对的劣弧为圆的，则∠AOB的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 3．在⊙O中，若⌒AB＝2⌒CD，则弦AB与2CD的大小关系是（　　） A．AB＞2CD B．AB＝2CD C．AB＜2CD D．不能确定 4．关于圆的对称性，下列说法正确的是（　　） A．圆只是轴对称图形 B．圆只是中心对称图形 C．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 D．圆既不是轴对称图形，也不是中心对称图形 5．⊙O的半径为1，弦AB＝1，则弦AB所对的圆心角的度数为（　　） A．30° B．60° C．90° D．120° 6．如图，AB是⊙O的直径，⌒BC＝⌒CD＝⌒DE，∠COD＝34°，则∠AOE的度数是（　　） 第6题图 A．51° B．56° C．68° D．78° 7．在同圆中，若⌒AB＝2⌒CD，则∠AOB与∠COD的关系是（　　） A．∠AOB＝2∠COD B．∠AOB＞2∠COD C．∠AOB＜2∠COD D．不能确定 8．钟表的分针从1点走到1点20分，分针转过的角度是（　　） A．60° B．100° C．120° D．150° （二）填空题 9．一条弦把圆分成2∶7两部分，则劣弧所对的圆心角的度数为________． 10．在⊙O中，∠AOB＝∠COD＝70°，AB＝5，则CD＝________． 11．如图，AB是⊙O的直径，∠AOC＝110°，D是⌒BC的中点，则∠BOD＝________°． 第11题图 12．在半径为6的⊙O中，弦AB所对的圆心角为120°，则弦AB的长为________． 13．在⊙O中，弦AB的长等于半径，则弦AB所对的劣弧的度数为________，所对的优弧的度数为________． 14．已知A，B，C是⊙O上的三点，且⌒AB＝⌒BC＝⌒CA，则△ABC是________三角形，∠AOB＝________°． （三）解答题 15．如图，在⊙O中，⌒AB＝⌒AC，∠ACB＝60°．求证：∠AOB＝∠BOC＝∠AOC． 第15题图 16．如图，AB，CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，⌒CE的度数为40°，求∠AOC的度数． 第16题图 17．如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且AB＝CD．求证：AD＝BC． 第17题图 五、能力提升 18．在⊙O中，弦AB所对的劣弧为圆周的，⊙O的半径为4，求弦AB的长及圆心O到弦AB的距离． 19．如图，AB是⊙O的直径，C，D是半圆上的两点，且⌒AC＝⌒CD＝⌒DB．（1）求∠COD的度数；（2）若AB＝6，求弦CD的长． 第19题图 20．如图，C，D是⊙O的直径AB上的两点，且AC＝BD，过点C，D分别作AB的垂线，交⊙O于点M，N（点M，N在AB的同侧）．求证：⌒AM＝⌒BN． 第20题图 21．已知⊙O的半径为2，弦AB＝，求弦AB所对的圆心角的度数以及弦AB所对的两条弧的度数． 六、拓展探究 22．在同一个圆中，如果弦AB＞CD，那么∠AOB与∠COD的大小关系如何？请说明理由． 23．在⊙O中，AB是直径，C是⊙O上一点，∠BOC＝40°，点D在⊙O上，且⌒BD＝⌒BC（D与C不重合），求∠COD和∠AOD的度数． 参考答案与解析 四、基础巩固 1．C　解析：A，B都缺少“在同圆或等圆中”的前提，且一条弦对着两条弧；弧的度数与弧的长度是两个不同的概念，D错误． 2．C　解析：劣弧的度数为360°×＝60°，所以∠AOB＝60°． 3．C　解析：取⌒AB的中点E，连结AE，BE，则⌒AE＝⌒BE＝⌒CD，∴AE＝BE＝CD．在△ABE中，AE＋BE＞AB，即2CD＞AB． 4．C　解析：圆既是轴对称图形（对称轴是直径所在的直线），又是中心对称图形（对称中心是圆心）． 5．B　解析：OA＝OB＝AB＝1，△AOB是等边三角形，∴∠AOB＝60°． 6．D　解析：∵⌒BC＝⌒CD＝⌒DE，∴∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝34°，∴∠AOE＝180°－3×34°＝78°． 7．A　解析：圆心角的度数等于它所对弧的度数，⌒AB的度数是⌒CD的2倍，所以∠AOB＝2∠COD． 8．C　解析：分针每分钟转6°，20分钟转过20×6°＝120°． 9．80°　解析：劣弧的度数为360°×＝80°． 10．5　解析：同圆中，相等的圆心角所对的弦相等． 11．35　解析：∠BOC＝180°－110°＝70°．∵D是⌒BC的中点，∴∠BOD＝∠BOC＝35°． 12．　解析：过点O作OH⊥AB于H，∵OA＝OB，∠AOB＝120°，∴∠A＝30°，∠AOH＝60°，OH＝OA＝3，AH＝＝，∴AB＝2AH＝． 13．60°；300°　解析：OA＝OB＝AB，△AOB为等边三角形，∠AOB＝60°． 14．等边；120　解析：三条弧相等，则三条弦相等，每条弧的度数为120°． 15．证明：∵⌒AB＝⌒AC，∴AB＝AC．又∵∠ACB＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝CA． ∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC（在同圆中，相等的弦所对的圆心角相等）． 16．解：连结OE．∵⌒CE的度数为40°，∴∠COE＝40°．∵OC＝OE，∴∠OCE＝∠OEC＝＝70°． ∵CE∥AB，∴∠AOC＝∠OCE＝70°（两直线平行，内错角相等）． 17．证明：∵AB＝CD，∴∠AOB＝∠COD， ∴∠AOB＋∠BOD＝∠COD＋∠BOD，即∠AOD＝∠BOC，∴AD＝BC． （另证：∵AB＝CD，∴⌒AB＝⌒CD，∴⌒AB＋⌒BD＝⌒CD＋⌒BD，即⌒AD＝⌒BC，∴AD＝BC．） 五、能力提升 18．解：∵劣弧⌒AB为圆周的，∴∠AOB＝360°×＝120°． 过点O作OH⊥AB于H，∵OA＝OB，∴AH＝BH，∠AOH＝60°，∠A＝30°，∴OH＝OA＝2． AH＝＝＝，∴AB＝．即弦AB的长为，圆心O到AB的距离为2． 19．解：（1）∵⌒AC＝⌒CD＝⌒DB，∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝＝60°． （2）∵OC＝OD，∠COD＝60°，∴△COD是等边三角形，∴CD＝OC＝AB＝3． 20．证明：连结OM，ON．∵OA＝OB，AC＝BD，∴OC＝OD． ∵MC⊥AB，ND⊥AB，∴∠OCM＝∠ODN＝90°．又∵OM＝ON，∴Rt△OCM≌Rt△ODN（HL）， ∴∠AOM＝∠BON，∴⌒AM＝⌒BN． 21．解：∵OA²＋OB²＝2²＋2²＝8，AB²＝（）²＝8，∴OA²＋OB²＝AB²，∴∠AOB＝90°． ∴弦AB所对的圆心角为90°，所对的劣弧的度数为90°，优弧的度数为360°－90°＝270°． 六、拓展探究 22．解：∠AOB＞∠COD．理由如下： 用反证法．假设∠AOB≤∠COD．将∠COD绕点O旋转，使OC与OA重合，点D落在点D′处（D′与B在OA同侧），则AD′＝CD，∠AOD′＝∠COD． ①若∠AOB＝∠COD，则AB＝CD，与AB＞CD矛盾； ②若∠AOB＜∠COD，则射线OB在∠AOD′内部，设OB与AD′交于点E． 在△OED′中，OE＋ED′＞OD′＝OB＝OE＋EB，∴ED′＞EB． ∴AB≤AE＋EB＜AE＋ED′＝AD′＝CD，与AB＞CD矛盾． 综上，∠AOB＞∠COD． 结论：在同圆或等圆中，弦越长，它所对的圆心角（劣弧的度数）越大． 23．解：∵⌒BD＝⌒BC，∴∠BOD＝∠BOC＝40°．∵D与C不重合，∴点C，D在直径AB的两侧， ∴∠COD＝∠BOC＋∠BOD＝80°，∠AOD＝180°－∠BOD＝140°． 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $