2.2 简单随机事件的概率【分层作业】- 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

**基本信息** 本练习以“分层递进+素养融合”为特色，通过前置梳理-基础应用-能力拓展-素养探究-中考衔接的五级设计，构建从概念理解到综合应用的完整巩固路径，适配新授课差异化教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |知识梳理|概率定义、公式、取值范围|填空式概念梳理，夯实抽象能力基础| |基础达标|概念辨析、摸球/数字模型计算|结合生活情境（降水概率、摸球），强化运算能力| |能力提升|概率求未知量、两步试验、几何概率|渗透方程思想（求白球数量）、空间观念（赵爽弦图概率）| |素养探究|方案设计与游戏公平性|非遗打卡、邮票抽取等真实情境，培养模型意识与应用能力| |中考链接|选择/填空/解答题|2026年各地中考真题，衔接阶段测评需求|

2.2 简单随机事件的概率【分层作业】 2026—2027学年浙教版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.基础达标 2 【题型1】概率概念辨析 2 【题型2】摸球模型基础概率计算 3 【题型3】数字、卡片类概率计算 4 三.能力提升 4 【题型1】利用概率求未知数量 4 【题型2】两步试验概率计算 5 【题型3】几何概率 7 四.素养探究 8 【题型】概率方案设计与游戏公平性探究 8 五.中考链接 10 六.自我评价 12 一.知识梳理（前置作业） 请自主梳理本节核心知识点，完成基础填空，夯实课前认知： 请自主梳理本节核心知识点，完成基础填空，夯实课前认知，熟练掌握简单随机事件概率的基础概念与计算公式。 1. 概率定义：一般地，对于随机事件A，刻画事件A发生可能性大小的数值叫做事件A发生的______，记作______。 2. 古典概型概率公式：在一次试验中，所有可能出现的结果是有限个，且每种结果发生的可能性相等，若总结果数为n，事件A包含的结果数为m（0≤m≤n），则事件A发生的概率：。 3. 概率取值范围： 必然事件一定发生，概率为______；不可能事件一定不发生，概率为______；随机事件可能发生也可能不发生，概率取值范围为__________。 4. 求解等可能随机事件概率的常用方法：__________、__________，可有效避免结果重复、遗漏。 二.基础达标 【题型1】概率概念辨析 核心考点：理解概率的本质意义，区分概率大小与事件必然发生的区别，规避概率认知误区 1．（25-26七年级下·广东佛山·期末）如图所示，天气预报软件显示“佛山市明天的降水概率为”，下列对这条信息的说法中，正确的是（     ） A．当天佛山市将有的地方会下雨 B．当天佛山市将有的时间会下雨 C．当天佛山市下雨的可能性较大 D．当天佛山市下雨的总降水量一定为 2．（24-25七年级下·贵州六盘水·期末）据六盘水市天气预报显示，明天全市降雨概率高达，下列说法中正确的是（     ）． A．明天全市下雨的可能性较高 B．明天全市一定不会下雨 C．明天全市下雨的可能性较低 D．明天全市一定会下雨 3．（25-26八年级下·江苏无锡·期末）谚语能通过生活化的场景帮助人们直观理解事件发生的可能性．下列事件①水往低处流；②东边日出西边雨；③歪打正着．其中发生概率最大的事件是________．（请填写正确的序号） 【题型2】摸球模型基础概率计算 核心考点：熟练运用古典概型公式，计算基础等可能事件概率 1．（2026·北京·中考真题）一个不透明的袋子中仅有个球，其中有个白球、个黄球，其余都是红球，这个球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是（     ） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁铁岭·三模）一个不透明的袋子中装有8个红球，6个白球，4个蓝球，2个黑球，每个球除了颜色外都相同，从中随机摸出1个球，则下列事件发生的概率为的是（   ） A．摸出白球 B．摸出红球 C．摸出黑球 D．摸出蓝球 3．（25-26七年级下·山东烟台·期中）不透明袋子中有红球、绿球和蓝球共6个，这些球除颜色外都相同．若从袋子中随机取出1个球，取出红球的概率是，取出绿球的概率是．小明从中拿出一个红球后，再从剩下的球中随机取出1个球，这个球是蓝球的概率是__________． 【题型3】数字、卡片类概率计算 核心考点：准确统计试验总结果数与符合条件的结果数，规范计算概率 1．（2026·浙江杭州·模拟预测）一个不透明的袋中有三张完全相同的卡片，把它们分别标上数字2，3，4．随机抽取一张卡片作为十位数，不放回，再随机抽取一张卡片作为个位数，这样组成的两位数是偶数的概率是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·随堂练习）现有分别写有1，2，3，4，x的五张卡片，它们除数字外其余完全相同，若把五张卡片背面朝上，洗匀放在桌子上，然后任意抽取一张卡片，上面的数字是奇数的概率为，则x可以是（） A．0 B．2 C．4 D．5 3．（25-26九年级上·重庆·阶段检测）桌面上有四张背面完全一样的卡片，卡片正面分别标有数字1，2，3，4．把四张卡片背面朝上，随机抽取一张卡片后不放回，再随机抽取一张，则两次抽取卡片上的数字之和为5的概率是___________． 4．（2026·湖北省直辖县级单位·一模）甲、乙两人玩抽卡片游戏，4张背面相同的卡片正面标有数字、0、3、5，将4张卡片洗匀后倒扣在桌面．甲先随机抽取一张卡片，记下卡片上的数字，并将卡片放回洗匀，乙再抽取一张卡片，记下卡片上的数字，求出抽取的两数之和是奇数的概率_____． 三.能力提升 【题型1】利用概率求未知数量 核心考点：结合概率公式列简单方程，逆向求解物体数量，渗透方程思想 1．（2026·山东枣庄·模拟预测）在一个不透明的布袋中装有2个红球和8个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是红球的概率是，需要向袋子里添加红球的个数为（     ）个 A．6 B．7 C．8 D．10 2．（25-26九年级下·四川达州·期中）一个不透明的盒子中装有红、黑、白三种不同颜色的球，其中红球有2个，黑球有4个，白球有m个，这些球除颜色外其余均相同．若从盒子中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，则m的值为_____． 3．（25-26七年级下·甘肃兰州·期中）一个不透明的布袋里装有3个红球，2个黑球，若干个白球，从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是，求袋中白球的个数？ 4．（25-26七年级下·内蒙古包头·期末）某大型超市店庆开展幸运摸球抽奖活动，抽奖箱中装有红色一等奖球、黄色二等奖球、白色纪念球共计50个，小球大小、重量一模一样，无法靠手感区分．顾客随机从中摸取1个小球，摸到红球斩获一等奖．工作人员清点奖品球数量时得知：黄球的数量比白球数量的2倍少5个，摸到红球的概率为． （1）求抽奖箱中白球的个数； （2）求从抽奖箱中摸出一个球是黄球的概率； （3）从抽奖箱中取走2个白球和3个黄球后，求从剩余的球中摸出一个球是红球的概率． 【题型2】两步试验概率计算 核心考点：初步运用列举法分析两步等可能试验，统计所有结果，计算对应事件概率 1．（2026·黑龙江大庆·中考真题）现有三双除颜色外其它都相同的运动鞋，分别是红色、黄色和绿色，将左脚的运动鞋都放在一个盒子里，将右脚的运动鞋都放在另一个盒子里，从每个盒子里随机取出一只，这两只运动鞋颜色相同的概率为（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）从三个写有数字“，，1”的相同硬纸片中随机抽取一张记为x，记下硬纸片上的数字，放回后洗匀，再抽取一张记为y，则点在二次函数的图象上的概率为______． 3．（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）陕西作为中华文化的重要发源地之一，有着悠久的文化底蕴和历史积淀，也拥有着许多珍贵的文化遗产．如：西安鼓乐、陕北秧歌、秦腔和华阴老腔深受人们喜爱．为了促进同学们热爱家乡的意识，班里准备召开“我为家乡代言”的主题班会． （1）若从中随机抽选一种，喜欢“鼓乐”的小明同学恰好抽到心仪的项目的概率是 ； （2）班里决定在以上四种项目中任选一种进行宣传和推广，请利用列表或画树状图的方法分析甲、乙两名同学恰好选中同一种的概率． 4．（2026·广东广州·中考真题）为提升学生的科学素养，某校举办了航天科技创意大赛，共有50名学生参赛．根据获奖结果，整理得到如下不完整的统计表． 获奖结果 特等奖 一等奖 二等奖 三等奖 未获奖 合计 人数 4 6 m 20 8 50 频率 n 1 请根据表中的信息解答下列问题： （1）统计表中的__________，__________； （2）已知获得特等奖的是2名男生和2名女生，现从这4名学生中随机抽取2名学生进行采访，求所抽取的2名学生都是女生的概率． 【题型3】几何概率 1．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，点O为正方形的中心，点E、F分别在正方形的边上，且．随机地往图中投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·山东淄博·期末）汉末三国初数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图中，四个直角三角形均全等，且每个直角三角形的两条直角边的比都为．若向该图形内随机投掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为______． 3．（25-26九年级上·广东梅州·阶段检测）在边长为的正方形内任意选取一点，分别连接，构成． （1）求的面积小于的概率． （2）求的面积在至之间的概率． 4．（25-26七年级下·山东枣庄·期末）按要求完成以下问题 （1）如图1，一边长为的正方形木质镖靶，四个角的空白部分是以正方形的顶点为圆心，半径为的扇形，某人向此镖靶投镖，假设每次都投中，求他投中阴影部分的概率． （2）若一个小玻璃球在如图2所示的地砖图案内自由滚动，甲、乙两人打赌．甲说，小玻璃球一定会停在黑色区域上．乙说，小玻璃球一定会停在白色区域上．你认为谁获胜的概率较大？通过计算说明． 四.素养探究 【题型】概率方案设计与游戏公平性探究 1．（2025·陕西·模拟预测）“非遗年里看陕西”，小雅和小泽两位同学计划利用端午假期打卡探究4个“陕西非遗”项目，因时间关系每个人只能选择1个“陕西非遗”项目打卡探究，他们制作了除正面图片不同外，其他完全相同的四张不透明卡片（如图）：A．陕西剪纸，B．西安鼓乐，C．华县皮影，D．茯茶技艺．每人从这四张卡片中随机抽取一张决定要打卡探究的“陕西非遗”项目． （1）小雅从这四张卡片中随机抽取一张，抽到A．陕西剪纸的概率为______； （2）小泽同学随机抽取一张卡片记录下字母后，放回并洗匀，小雅同学再从中随机抽取一张，请用列表法或画树状图法求他们打卡探究同一个“陕西非遗”项目的概率． 2．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）数学是与自然对话的工具，是探究世界奥秘的钥匙．如图是2025年3月14日中国邮政发行的一套枚特种邮票《数学之美》，它们除图案外都相同，将这枚邮票放到不透明的盒子里． （1）抽取枚邮票，恰好抽到邮票“勾股定理”的概率是 ； （2）同时抽取枚邮票，求恰好抽到邮票“圆周率”和“欧拉公式”的概率． 3．（25-26九年级上·陕西西安·期末）国家的“双减”政策要求教师注重作业的设计与布置，为了更好落实国家的“双减”政策，某学校七年级为学生设计了丰富多彩的寒假实践作业，作业由两类7项组成，供学生自主选择完成．A类：创作微视频，内容可从以下四方面选择：：一道（类）题的解法研究，：读数学类书籍的心得分享；：魔术与数学；：某个数学知识的探究．B类：创作手抄报，内容可以从以下3个方面选择：：绘制七年级上章节思维导图；：数学家的故事；：数学知识发展史． 同学们可以从以上7项作业中任选一项或两项来完成，请回答下列问题： （1）小明准备随机选择一项去完成，则他选择：魔术与数学的概率为 ； （2）小丽准备从A、B两类中分别随机选择一项完成，求小丽最终选择完成和两项作业的概率． 五.中考链接 一、单选题 1．（2026·山东东营·中考真题）为落实“健康第一”的教育理念，某中学举行“青春逐梦，健康随行”田径运动会，拟招募志愿者，七年级（1）班有两名男生和两名女生报名．若从中任意选择两名学生，恰好为一男一女的概率是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·浙江·中考真题）科学实验课上，老师准备了除酸碱性外其他都相同的3瓶溶液，弱酸性溶液、弱碱性溶液和中性溶液各1瓶．若从中随机选取1瓶溶液让学生检测，则选到弱酸性溶液的概率是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·甘肃兰州·中考真题）甘肃是中国简牍大省，河西走廊乃汉简之都，部分简牍上的文字用篆体书写．小宇参观甘肃简牍博物馆后，在四张材质、大小完全相同的卡片正面用篆体分别写上“”“”“”“”（我爱兰州），将这四张卡片背面朝上洗匀放好．小宇从中随机抽取两张卡片，恰好能组成“”一词的概率是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（2026·山东东营·中考真题）一个不透明盒子中装有1个红球、2个白球和3个黑球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，则摸到白球的概率是___________． 5．（2026·湖南长沙·中考真题）年月日是全球的第七个“国际数学日”．为了让同学们更好地领略数学的魅力，某校开展了“玩转魔方”、“我爱数独”、“速算点”、“趣拼七巧板”、“巧解鲁班锁”、“走出华容道”六个数学活动，现从中随机抽取一个数学活动进行展示，则抽中“玩转魔方”进行展示的概率是____________． 6．（2026·山西·中考真题）小思有三张分别印有“燕式七巧板”“曲线七巧板”“心形九巧板”图案的书签，它们除正面图案外，其余完全相同．小思要将其中的两张送给小伟，将它们背面朝上放在桌面上．小伟从中随机抽取一张，不放回，再随机抽取一张，他抽到的两张书签恰好印有“曲线七巧板”和“心形九巧板”图案的概率是_____． 三、解答题 7．（2026·江西·中考真题）某校一年级开设人数相同的A，B，C三个班级，甲、乙两位学生是该校一年级新生，开学初学校对所有一年级新生进行电脑随机分班． （1）“学生甲分到A班”的概率是______； （2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位新生分到同一个班的概率． 8．（2025·江苏镇江·中考真题）一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有数字2、3、5、7，这些球除数字外都相同．从袋子中随机摸出2个球，用列表或画树状图的方法，求摸出标有数字2和3的两个球的概率． 9．（2026·陕西·中考真题）某班拟召开读书分享会，老师让每位同学从阅读过的书籍《红岩》《西游记》《骆驼祥子》《红星照耀中国》中随机选取一本进行分享．学习委员在四个小球上分别写上A，B，C，D（字母A，B，C，D分别对应《红岩》《西游记》《骆驼祥子》《红星照耀中国》），这四个小球除所写字母外都相同，并将它们装入一个不透明的盒子中．每位同学需从盒中随机摸出一个小球，摸出的小球上所写的字母就对应自己将要分享的那本书． （1）将盒中这四个小球摇匀，从中随机摸出一个小球，摸出的小球上写有“A”的概率为_________； （2）将盒中这四个小球摇匀，小智先从盒中随机摸出一个小球，记下结果后放回，摇匀，小慧再从盒中随机摸出一个小球，记下结果后放回．请用列表或画树状图的方法，求小智和小慧两位同学中至少有一位同学分享《红星照耀中国》的概率． 六.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 基础达标 □顺利 □有困难 能力提升 □顺利 □有困难 素养探究 □顺利 □有困难 中考链接 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2 简单随机事件的概率【分层作业】 2026—2027学年浙教版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.基础达标 2 【题型1】概率概念辨析 2 【题型2】摸球模型基础概率计算 4 【题型3】数字、卡片类概率计算 6 三.能力提升 8 【题型1】利用概率求未知数量 8 【题型2】两步试验概率计算 11 【题型3】几何概率 15 四.素养探究 20 【题型】概率方案设计与游戏公平性探究 20 五.中考链接 24 六.自我评价 31 一.知识梳理（前置作业） 请自主梳理本节核心知识点，完成基础填空，夯实课前认知： 请自主梳理本节核心知识点，完成基础填空，夯实课前认知，熟练掌握简单随机事件概率的基础概念与计算公式。 1. 概率定义：一般地，对于随机事件A，刻画事件A发生可能性大小的数值叫做事件A发生的______，记作______。 2. 古典概型概率公式：在一次试验中，所有可能出现的结果是有限个，且每种结果发生的可能性相等，若总结果数为n，事件A包含的结果数为m（0≤m≤n），则事件A发生的概率：。 3. 概率取值范围： 必然事件一定发生，概率为______； 不可能事件一定不发生，概率为______； 随机事件可能发生也可能不发生，概率取值范围为__________。 4. 求解等可能随机事件概率的常用方法：__________、__________，可有效避免结果重复、遗漏。 【参考答案】 1. 概率；P（A） 2. 3. 1；0； 4. 列表法；树状图法 二.基础达标 【题型1】概率概念辨析 核心考点：理解概率的本质意义，区分概率大小与事件必然发生的区别，规避概率认知误区 1．（25-26七年级下·广东佛山·期末）如图所示，天气预报软件显示“佛山市明天的降水概率为”，下列对这条信息的说法中，正确的是（     ） A．当天佛山市将有的地方会下雨 B．当天佛山市将有的时间会下雨 C．当天佛山市下雨的可能性较大 D．当天佛山市下雨的总降水量一定为 【答案】C 【分析】根据概率反映随机事件出现的可能性大小，即可进行解答． 解：“佛山市明天的降水概率为”，说明当天佛山市下雨的可能性较大． 2．（24-25七年级下·贵州六盘水·期末）据六盘水市天气预报显示，明天全市降雨概率高达，下列说法中正确的是（     ）． A．明天全市下雨的可能性较高 B．明天全市一定不会下雨 C．明天全市下雨的可能性较低 D．明天全市一定会下雨 【答案】A 【分析】本题考查概率的意义，概率用于表示事件发生可能性的大小，只需根据降雨概率的含义判断选项即可． 解：∵概率表示事件发生可能性的大小，是接近的概率， ∴该数据说明明天全市下雨的可能性较高，但降雨不是必然事件，也不是不可能事件， 由此可得：A：“可能性较高”正确；B：“一定不会下雨”错误；C：“可能性较低”错误；D：“一3．（25-26八年级下·江苏无锡·期末）谚语能通过生活化的场景帮助人们直观理解事件发生的可能性．下列事件①水往低处流；②东边日出西边雨；③歪打正着．其中发生概率最大的事件是________．（请填写正确的序号） 【答案】① 【分析】先判断三个事件的类型，得到各事件发生的概率范围，比较概率大小即可得到结果． 解：根据事件的分类可知， ①水往低处流是必然事件，发生概率为， ②东边日出西边雨是随机事件，发生概率满足， ③歪打正着是随机事件，发生概率满足， 比较概率大小可得，大于任意满足的概率，因此发生概率最大的事件是①． 定会下雨”错误． 【题型2】摸球模型基础概率计算 核心考点：熟练运用古典概型公式，计算基础等可能事件概率 1．（2026·北京·中考真题）一个不透明的袋子中仅有个球，其中有个白球、个黄球，其余都是红球，这个球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出红球的个数，再用红球个数除以球的总个数，即可得到摸出红球的概率． 解：∵袋子中共有个球，其中个白球，个黄球， ∴红球的个数为 ， ∴随机摸出一个球是红球的概率为． 2．（2025·辽宁铁岭·三模）一个不透明的袋子中装有8个红球，6个白球，4个蓝球，2个黑球，每个球除了颜色外都相同，从中随机摸出1个球，则下列事件发生的概率为的是（   ） A．摸出白球 B．摸出红球 C．摸出黑球 D．摸出蓝球 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据概率公式计算概率，分别求出各自的概率即可得出答案． 解：．摸出白球的概率为：，故该选项不符合题意； ．摸出红球的概率为 ，故该选项不符合题意； ．摸出黑球的概率为，故该选项符合题意； ．摸出蓝球的概率为 ，故该选项不符合题意； 故选：C． 3．（25-26七年级下·山东烟台·期中）不透明袋子中有红球、绿球和蓝球共6个，这些球除颜色外都相同．若从袋子中随机取出1个球，取出红球的概率是，取出绿球的概率是．小明从中拿出一个红球后，再从剩下的球中随机取出1个球，这个球是蓝球的概率是__________． 【答案】 【分析】先根据概率公式求出三种颜色球的个数，再计算拿出1个红球后剩余球的总个数和蓝球个数，最后根据概率公式求解取出蓝球的概率． 解：∵袋子中有红球、绿球和蓝球共6个，取出红球的概率为，取出绿球的概率为， ∴红球个数为 （个），绿球个数为（个）， ∴蓝球个数为（个）， ∵拿出个红球后，剩余球的总个数为（个），蓝球个数仍为个， ∴再随机取出个球是蓝球的概率为． 【题型3】数字、卡片类概率计算 核心考点：准确统计试验总结果数与符合条件的结果数，规范计算概率 1．（2026·浙江杭州·模拟预测）一个不透明的袋中有三张完全相同的卡片，把它们分别标上数字2，3，4．随机抽取一张卡片作为十位数，不放回，再随机抽取一张卡片作为个位数，这样组成的两位数是偶数的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与组成的两位数是偶数的情况，再利用概率公式即可求得答案． 解：画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，组成的两位数是偶数有4种情况， ∴组成的两位数是偶数的概率是：． 2．（24-25七年级下·全国·随堂练习）现有分别写有1，2，3，4，x的五张卡片，它们除数字外其余完全相同，若把五张卡片背面朝上，洗匀放在桌子上，然后任意抽取一张卡片，上面的数字是奇数的概率为，则x可以是（） A．0 B．2 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键．利用概率公式进行计算即可． 解：∵任意抽取一张共有5种等可能的情况，其中抽取的奇数的概率为， ∴奇数的卡片有（张）， ∴x是奇数， 故选项D符合题意． 故选：D． 3．（25-26九年级上·重庆·阶段检测）桌面上有四张背面完全一样的卡片，卡片正面分别标有数字1，2，3，4．把四张卡片背面朝上，随机抽取一张卡片后不放回，再随机抽取一张，则两次抽取卡片上的数字之和为5的概率是___________． 【答案】 【分析】本题考查了画树状图求概率，先理解题意，再画树状图，共有种等可能的结果，两次抽取卡片上的数字之和为5的结果有4种，即可列式计算，得出两次抽取卡片上的数字之和为5的概率． 解：依题意，画树状图，如图所示： 共有种等可能的结果，两次抽取卡片上的数字之和为5的结果有4种， ∴两次抽取卡片上的数字之和为5的概率是， 故答案为：． 4．（2026·湖北省直辖县级单位·一模）甲、乙两人玩抽卡片游戏，4张背面相同的卡片正面标有数字、0、3、5，将4张卡片洗匀后倒扣在桌面．甲先随机抽取一张卡片，记下卡片上的数字，并将卡片放回洗匀，乙再抽取一张卡片，记下卡片上的数字，求出抽取的两数之和是奇数的概率_____． 【答案】 【分析】画树状图，共有16种等可能的结果，其中抽取的两数之和是奇数的结果有8种，再由概率公式求解即可． 解：画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中抽取的两数之和是奇数的结果有8种， ∴抽取的两数之和是奇数的概率为， 故答案为：． 【点拨】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 三.能力提升 【题型1】利用概率求未知数量 核心考点：结合概率公式列简单方程，逆向求解物体数量，渗透方程思想 1．（2026·山东枣庄·模拟预测）在一个不透明的布袋中装有2个红球和8个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是红球的概率是，需要向袋子里添加红球的个数为（     ）个 A．6 B．7 C．8 D．10 【答案】D 【分析】设需要向袋子里添加个红球，则红球个数为个，球的总数为个，据此根据概率公式建立方程求解即可． 解：设需要向袋子里添加个红球， 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴需要向袋子里添加红球的个数为10个． 2．（25-26九年级下·四川达州·期中）一个不透明的盒子中装有红、黑、白三种不同颜色的球，其中红球有2个，黑球有4个，白球有m个，这些球除颜色外其余均相同．若从盒子中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，则m的值为_____． 【答案】3 【分析】根据概率公式，利用摸到白球的概率为建立关于的方程，求解即可得到结果． 解：盒子中球的总个数为， 根据题意得， 交叉相乘得， 移项合并得， 解得， 经检验，是原方程的解． 故m的值为3． 3．（25-26七年级下·甘肃兰州·期中）一个不透明的布袋里装有3个红球，2个黑球，若干个白球，从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是，求袋中白球的个数？ 【答案】 【分析】设白球有个，根据摸出的球是红球的概率是，利用概率所求情况数总情况数列出方程即可求解． 解：设白球有个， 由题意可得，， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴袋中白球有个． 4．（25-26七年级下·内蒙古包头·期末）某大型超市店庆开展幸运摸球抽奖活动，抽奖箱中装有红色一等奖球、黄色二等奖球、白色纪念球共计50个，小球大小、重量一模一样，无法靠手感区分．顾客随机从中摸取1个小球，摸到红球斩获一等奖．工作人员清点奖品球数量时得知：黄球的数量比白球数量的2倍少5个，摸到红球的概率为． （1）求抽奖箱中白球的个数； （2）求从抽奖箱中摸出一个球是黄球的概率； （3）从抽奖箱中取走2个白球和3个黄球后，求从剩余的球中摸出一个球是红球的概率． 【答案】（1）抽奖箱中白球的个数为15个；（2）从抽奖箱中摸出一个球是黄球的概率为；（3）从剩余的球中摸出一个球是红球的概率为． 【分析】（1）总个数乘以红球的概率求出红球个数，据此得出黄、白球的总个数，设抽奖箱中白球的个数为x个，根据黄球个数比白球个数的2倍少5个及球的总个数列出关于x的方程，解之即可； （2）用黄球的个数除以球的总个数即可； （3）用红球的个数除以抽奖箱中剩余球的总个数即可． （1）解：抽奖箱中红球的个数为（个）， 则抽奖箱中黄、白球的总个数为（个）， 设抽奖箱中白球的个数为x个， 则， 解得， ∴抽奖箱中白球有15个； （2）解：由（1）知，抽奖箱中黄球的个数为个， 所以从抽奖箱中摸出一个球是黄球的概率为； （3）解：取走2个白球和3个黄球后，红球有10个，球的总个数为45个， 所以从剩余的球中摸出一个球是红球的概率为． 【题型2】两步试验概率计算 核心考点：初步运用列举法分析两步等可能试验，统计所有结果，计算对应事件概率 1．（2026·黑龙江大庆·中考真题）现有三双除颜色外其它都相同的运动鞋，分别是红色、黄色和绿色，将左脚的运动鞋都放在一个盒子里，将右脚的运动鞋都放在另一个盒子里，从每个盒子里随机取出一只，这两只运动鞋颜色相同的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中从每个盒子里随机取出一只，这两只运动鞋颜色相同的结果有3种，再由概率公式求解即可． 解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中从每个盒子里随机取出一只，这两只运动鞋颜色相同的结果有3种，即红红、黄黄、绿绿， ∴从每个盒子里随机取出一只，这两只运动鞋颜色相同的概率为． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）从三个写有数字“，，1”的相同硬纸片中随机抽取一张记为x，记下硬纸片上的数字，放回后洗匀，再抽取一张记为y，则点在二次函数的图象上的概率为______． 【答案】 【分析】先计算所有等可能的结果总数，再逐个验证点是否在二次函数图象上，统计符合条件的结果数，根据概率公式计算即可． 解：点用列表表示如下： 由表格可知，所有等可能的结果总数为9． 分别代入不同的计算二次函数对应的值， 当时，，可选值中没有，不符合要求； 当时，，可选值中有，点符合要求； 当时，，可选值中有，点符合要求， ∴符合条件的点共有个， ∴所求概率为． 3．（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）陕西作为中华文化的重要发源地之一，有着悠久的文化底蕴和历史积淀，也拥有着许多珍贵的文化遗产．如：西安鼓乐、陕北秧歌、秦腔和华阴老腔深受人们喜爱．为了促进同学们热爱家乡的意识，班里准备召开“我为家乡代言”的主题班会． （1）若从中随机抽选一种，喜欢“鼓乐”的小明同学恰好抽到心仪的项目的概率是 ； （2）班里决定在以上四种项目中任选一种进行宣传和推广，请利用列表或画树状图的方法分析甲、乙两名同学恰好选中同一种的概率． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）直接利用概率公式求解即可； （2）利用列表法以及概率公式求解即可． （1）解：喜欢“鼓乐”的小明同学恰好抽到心仪的项目的概率是； （2）解：分别用A，B，C，D表示陕北秧歌、秦腔、西安鼓乐和华阴老腔，用列表法把所有等可能结果表示出来如下： A B C D A （A，A） （B，A） （C，A） （D，A） B （A，B） （B，B） （C，B） （D，B） C （A，C） （B，C） （C，C） （D，C） D （A，D） （B，D） （C，D） （D，D） 共有16种等可能结果，其中甲、乙两名同学恰好选中同一种的有4种， ∴甲、乙两名同学恰好选中同一种的概率为． 4．（2026·广东广州·中考真题）为提升学生的科学素养，某校举办了航天科技创意大赛，共有50名学生参赛．根据获奖结果，整理得到如下不完整的统计表． 获奖结果 特等奖 一等奖 二等奖 三等奖 未获奖 合计 人数 4 6 m 20 8 50 频率 n 1 请根据表中的信息解答下列问题： （1）统计表中的__________，__________； （2）已知获得特等奖的是2名男生和2名女生，现从这4名学生中随机抽取2名学生进行采访，求所抽取的2名学生都是女生的概率． 【答案】（1）12，；（2） 【分析】（1）根据总人数减去二等奖之外的其它各项的人数，即可求出m的值，根据1减去三等奖之外的其它各项的频率，即可求出n的值； （2）记男1为A，男2为B，女1为C，女2为D，画出树状图，得到共有12种等可能性结果，其中求所抽取的2名学生都是女生的结果有2种，再根据概率公式进行求解即可． （1）解：， ． （2）解：记男1为A，男2为B，女1为C，女2为D，画树状图，如图 共有12种等可能性结果，其中所抽取的2名学生都是女生的结果有2种， ∴所抽取的2名学生都是女生的概率为． 【题型3】几何概率 1．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，点O为正方形的中心，点E、F分别在正方形的边上，且．随机地往图中投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作正方形两边的垂线，构造出两个全等的直角三角形，利用全等三角形面积相等将阴影部分面积转化为正方形面积的，再根据几何概率公式求解. 解：如图，过点作于，于， 点为正方形的中心， ，， ，， ， 在和中 ， ， ， . 2．（25-26八年级下·山东淄博·期末）汉末三国初数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图中，四个直角三角形均全等，且每个直角三角形的两条直角边的比都为．若向该图形内随机投掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为______． 【答案】/ 【分析】设两直角边分别为，，表示出大正方形的面积和小正方形面积，根据针尖落在阴影区域的概率就是小正方形的面积与大正方形面积的比求解． 解：∵四个直角三角形均全等，两条直角边之比均为， ∴设两直角边分别为，， ∴大正方形的面积为，小正方形的边长为， ∴小正方形面积为， ∴针尖落在阴影区域的概率为． 3．（25-26九年级上·广东梅州·阶段检测）在边长为的正方形内任意选取一点，分别连接，构成． （1）求的面积小于的概率． （2）求的面积在至之间的概率． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）设边上的高为，得，结合概率公式即可求解； （2）由，得，结合概率公式即可求解． （1）解：设边上的高为， 则，得， 如图： 分别为中点，当点在矩形内部时，， 所以； （2）解：由，得， 如图： ，当点在矩形内部时，在至之间， 所以． 【点拨】本题主要考查几何概率，把概率问题化为几何面积的比值是关键． 4．（25-26七年级下·山东枣庄·期末）按要求完成以下问题 （1）如图1，一边长为的正方形木质镖靶，四个角的空白部分是以正方形的顶点为圆心，半径为的扇形，某人向此镖靶投镖，假设每次都投中，求他投中阴影部分的概率． （2）若一个小玻璃球在如图2所示的地砖图案内自由滚动，甲、乙两人打赌．甲说，小玻璃球一定会停在黑色区域上．乙说，小玻璃球一定会停在白色区域上．你认为谁获胜的概率较大？通过计算说明． 【答案】（1）；（2）乙获胜的概率大，理由如下： 图中共有32个小三角形，其中黑色的小三角形有12个，白色的小三角形有20个， ∴甲获胜的概率为：， 乙获胜的概率为：， ， 故乙获胜的概率大． 【分析】（1）根据阴影面积与正方形面积之比得到投中阴影部分的概率； （2）根据黑色、白色小三角形的个数与总共三角形的个数之比确定甲、乙获胜的概率，进而比较大小得到答案． （1）解：根据题意，图中正方形的面积为， 图中阴影部分的面积为：， 则它击中阴影部分的概率； （2）略 四.素养探究 【题型】概率方案设计与游戏公平性探究 1．（2025·陕西·模拟预测）“非遗年里看陕西”，小雅和小泽两位同学计划利用端午假期打卡探究4个“陕西非遗”项目，因时间关系每个人只能选择1个“陕西非遗”项目打卡探究，他们制作了除正面图片不同外，其他完全相同的四张不透明卡片（如图）：A．陕西剪纸，B．西安鼓乐，C．华县皮影，D．茯茶技艺．每人从这四张卡片中随机抽取一张决定要打卡探究的“陕西非遗”项目． （1）小雅从这四张卡片中随机抽取一张，抽到A．陕西剪纸的概率为______； （2）小泽同学随机抽取一张卡片记录下字母后，放回并洗匀，小雅同学再从中随机抽取一张，请用列表法或画树状图法求他们打卡探究同一个“陕西非遗”项目的概率． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了求概率，列表法求概率， 对于（1），根据概率公式计算即可； 对于（2），列表得出所有可能出现的结果，再得出符合条件的结果，然后根据概率公式计算． （1）解：一共有4种可能出现的结果，“陕西非遗”只有1种， 所以随机抽取一张决定要打卡探究的“陕西非遗”项目的概率是. 故答案为：； （2）解：列表如下： A B C D A B C D 由上表可以得出，共有16种等可能的结果，其中两人抽到同一张卡片的结果有4种， ∴P（他们打卡探究同一个“陕西非遗”项目）=． 2．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）数学是与自然对话的工具，是探究世界奥秘的钥匙．如图是2025年3月14日中国邮政发行的一套枚特种邮票《数学之美》，它们除图案外都相同，将这枚邮票放到不透明的盒子里． （1）抽取枚邮票，恰好抽到邮票“勾股定理”的概率是 ； （2）同时抽取枚邮票，求恰好抽到邮票“圆周率”和“欧拉公式”的概率． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据概率公式求解即可； （2）画树状图，先得到同时抽取枚邮票的所有可能结果，再由概率公式求解即可． （1）解：∵共枚邮票，其中邮票“勾股定理”有枚， ∴从中抽取枚邮票，恰好抽到邮票“勾股定理”的概率是； （2）解：将圆周率，勾股定理，欧拉公式和莫比乌斯带的邮票分别记作，，，， 画树状图如图， 共有种可能的结果，其中恰好抽到邮票“圆周率”和“欧拉公式”的结果有种， ∴恰好抽到邮票“圆周率”和“欧拉公式”的概率为． 3．（25-26九年级上·陕西西安·期末）国家的“双减”政策要求教师注重作业的设计与布置，为了更好落实国家的“双减”政策，某学校七年级为学生设计了丰富多彩的寒假实践作业，作业由两类7项组成，供学生自主选择完成．A类：创作微视频，内容可从以下四方面选择：：一道（类）题的解法研究，：读数学类书籍的心得分享；：魔术与数学；：某个数学知识的探究．B类：创作手抄报，内容可以从以下3个方面选择：：绘制七年级上章节思维导图；：数学家的故事；：数学知识发展史． 同学们可以从以上7项作业中任选一项或两项来完成，请回答下列问题： （1）小明准备随机选择一项去完成，则他选择：魔术与数学的概率为 ； （2）小丽准备从A、B两类中分别随机选择一项完成，求小丽最终选择完成和两项作业的概率． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据概率公式直接求解即可； （2）根据树状图法求概率即可． （1）解：寒假实践作业两类共7项， 他选择：魔术与数学的概率为， 故答案为：． （2）画树状图如下： 共有12种等可能的结果，恰好选中最终选择完成和两项作业的结果有1种， ∴选择完成和两项作业的概率为． 【点拨】此题考查了概率公式求概率，树状图法求概率.树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 五.中考链接 一、单选题 1．（2026·山东东营·中考真题）为落实“健康第一”的教育理念，某中学举行“青春逐梦，健康随行”田径运动会，拟招募志愿者，七年级（1）班有两名男生和两名女生报名．若从中任意选择两名学生，恰好为一男一女的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 解：记两名男生为，，两名女生为，， 从4人中任选2人的所有等可能结果为：，，，，，，共6种， 其中恰好为一男一女的结果有，，，，共4种， 故所求概率为． 2．（2026·浙江·中考真题）科学实验课上，老师准备了除酸碱性外其他都相同的3瓶溶液，弱酸性溶液、弱碱性溶液和中性溶液各1瓶．若从中随机选取1瓶溶液让学生检测，则选到弱酸性溶液的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】概率等于所求情况数与总情况数之比． 解：∵从3瓶溶液中随机选取1瓶，共有3种等可能的结果，其中选到弱酸性溶液的结果有1种， ∴选到弱酸性溶液的概率为． 3．（2026·甘肃兰州·中考真题）甘肃是中国简牍大省，河西走廊乃汉简之都，部分简牍上的文字用篆体书写．小宇参观甘肃简牍博物馆后，在四张材质、大小完全相同的卡片正面用篆体分别写上“”“”“”“”（我爱兰州），将这四张卡片背面朝上洗匀放好．小宇从中随机抽取两张卡片，恰好能组成“”一词的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 解：设四张卡片分别为（我）、（爱）、（兰）、（州）， 画树状图如下： 从四张卡片中随机抽取两张，所有可能的结果共种，其中恰好能组成“兰州”的结果有种， 恰好能组成“兰州”一词的概率是． 二、填空题 4．（2026·山东东营·中考真题）一个不透明盒子中装有1个红球、2个白球和3个黑球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，则摸到白球的概率是___________． 【答案】 【分析】根据概率公式，用摸到白球的等可能结果数除以所有等可能结果总数，计算即可． 解：∵盒子中所有球除颜色外都相同，每个球被摸到的可能性相等，总球数为个，其中白球有个， ∴摸到白球的概率为． 5．（2026·湖南长沙·中考真题）年月日是全球的第七个“国际数学日”．为了让同学们更好地领略数学的魅力，某校开展了“玩转魔方”、“我爱数独”、“速算点”、“趣拼七巧板”、“巧解鲁班锁”、“走出华容道”六个数学活动，现从中随机抽取一个数学活动进行展示，则抽中“玩转魔方”进行展示的概率是____________． 【答案】 【分析】总共有6种等可能的抽取结果，抽中“玩转魔方”只有1种符合条件的结果，直接用概率公式计算即可． 解：∵共有6个不同的数学活动，每个活动被抽取的可能性相等，抽中“玩转魔方”的结果只有种， ∴抽中“玩转魔方”的概率为． 6．（2026·山西·中考真题）小思有三张分别印有“燕式七巧板”“曲线七巧板”“心形九巧板”图案的书签，它们除正面图案外，其余完全相同．小思要将其中的两张送给小伟，将它们背面朝上放在桌面上．小伟从中随机抽取一张，不放回，再随机抽取一张，他抽到的两张书签恰好印有“曲线七巧板”和“心形九巧板”图案的概率是_____． 【答案】 【分析】用列表法或画树状图法表示所有等可能结果，再运用概率公式计算即可． 解：分别用A，B，C表示“燕式七巧板”“曲线七巧板”“心形九巧板”图案的书签，用列表法表示所有等可能结果如下， 共有6种等可能结果，其中恰好印有“曲线七巧板”和“心形九巧板”的结果有2种，即， ∴他抽到的两张书签恰好印有“曲线七巧板”和“心形九巧板”图案的概率是 ． 三、解答题 7．（2026·江西·中考真题）某校一年级开设人数相同的A，B，C三个班级，甲、乙两位学生是该校一年级新生，开学初学校对所有一年级新生进行电脑随机分班． （1）“学生甲分到A班”的概率是______； （2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位新生分到同一个班的概率． 【答案】（1）；（2）甲、乙两位新生分到同一个班的概率为． 【分析】本题考查的是求简单事件的概率和两步操作事件的概率，用表格或树状图表示出总结果数是解答此类问题的关键． （1）根据概率公式计算可得； （2）用画树状图列出所有的等可能结果，从中确定符合事件的结果，根据概率公式计算可得． （1）解：有A，B，C三个班级，“学生甲分到A班”有一种情况， 则“学生甲分到A班”的概率是， 故答案为：； （2）解：画树状图如图： 共有9个等可能的结果，甲、乙两位新生分到同一个班的有3种情况， ∴甲、乙两位新生分到同一个班的概率为． 8．（2025·江苏镇江·中考真题）一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有数字2、3、5、7，这些球除数字外都相同．从袋子中随机摸出2个球，用列表或画树状图的方法，求摸出标有数字2和3的两个球的概率． 【答案】 【分析】本题考查了利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键．先画出树状图，则可得从袋子中随机摸出2个球的所有等可能的结果，再找出摸出标有数字2和3的两个球的结果，然后利用概率公式计算即可得． 解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，从袋子中随机摸出2个球共有12种等可能的结果，其中，摸出标有数字2和3的两个球有2种， 则摸出标有数字2和3的两个球的概率为， 答：摸出标有数字2和3的两个球的概率为． 9．（2026·陕西·中考真题）某班拟召开读书分享会，老师让每位同学从阅读过的书籍《红岩》《西游记》《骆驼祥子》《红星照耀中国》中随机选取一本进行分享．学习委员在四个小球上分别写上A，B，C，D（字母A，B，C，D分别对应《红岩》《西游记》《骆驼祥子》《红星照耀中国》），这四个小球除所写字母外都相同，并将它们装入一个不透明的盒子中．每位同学需从盒中随机摸出一个小球，摸出的小球上所写的字母就对应自己将要分享的那本书． （1）将盒中这四个小球摇匀，从中随机摸出一个小球，摸出的小球上写有“A”的概率为_________； （2）将盒中这四个小球摇匀，小智先从盒中随机摸出一个小球，记下结果后放回，摇匀，小慧再从盒中随机摸出一个小球，记下结果后放回．请用列表或画树状图的方法，求小智和小慧两位同学中至少有一位同学分享《红星照耀中国》的概率． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）先列表得到所有等可能的结果，再得出小智和小慧两位同学中至少有一位同学分享《红星照耀中国》的结果数，最后根据概率公式求解即可． （1）解：∵一共有四个球，且每个球被摸出的概率相同， ∴从中随机摸出一个小球，摸出的小球上写有“A”的概率为； （2）解：列表如下： 小慧小智 由表格可知，一共有16种等可能的结果，其中小智和小慧两位同学中至少有一位同学分享《红星照耀中国》的结果有7种， ∴小智和小慧两位同学中至少有一位同学分享《红星照耀中国》的概率为． 六.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 基础达标 □顺利 □有困难 能力提升 □顺利 □有困难 素养探究 □顺利 □有困难 中考链接 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $