第二章 一元二次方程 复习2026--2027学年北师大版九年级数学上册

一元二次方程 回顾与思考(1) 前进初中 游春艳 ax2＋bx＋c＝0 一元二次方 程的解法 一、一元二次方程的基本概念 1.定义： 只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为 ax2＋bx＋c＝0 (a，b，c 为常数，a ≠ 0) 的形式，这样的方程叫作一元二次方程． 2.一般形式： ax2 ＋ bx ＋c＝0 (a，b，c 为常数，a ≠ 0) 3. 项数和系数： ax2 ＋ bx ＋ c ＝0 (a，b，c 为常数，a ≠ 0) 中， 二次项：ax2 二次项系数：a 一次项：bx 一次项系数：b 常数项：c 4. 注意事项： (1) 含有一个未知数； (2) 未知数的最高次数为 2； (3) 二次项系数不为 0； (4) 整式方程． 考点一 一元二次方程的定义 例1 下列为一元二次方程的是（ ） D 【针对训练】 1. 方程 x2 -2x = 4 的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 . 1 -2 -4 例2 若关于 x 的一元二次方程 (m - 1)x2 + x + m2 - 1 = 0 有一个根为 0，则 m = . 解析 根据一元二次方程根的定义，将 x = 0 代入原方程，左右两边相等，则有 m2 - 1 = 0，解得 m = ±1. 舍去 1，应填 -1. 这种解题方法我们称之为“有根必代”. -1 【易错提示】由于原方程是一元二次方程，所以 m 的值为 1 不符合其定义，应舍去，要引起注意. 【拔高训练】 二、解一元二次方程的方法 一元二次方程的各种解法及适用类型 一元二次方程的解法 适用的方程类型 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解 (ax + m)2 = n (a ≠ 0，n≥0) x2 + px + q = 0 ( p2 - 4q≥0) ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0，b2 - 4ac≥0) (ax + m)(bx + n) = 0 (ab ≠ 0) 考点二 一元二次方程的解法 例3 (1) 用配方法解方程 x2 - 4x - 1= 0 时，配方后得到的方程是（ ） A.(x - 2)2 = 1 B.(x - 2)2 = 4 C.(x - 2)2 = 3 D.(x - 2)2 = 5 (2) 三角形两边长分别为 3 和 6，第三边的长是方程 x2﹣6x +8= 0 的根，则该三角形的周长为（　 ） A．11 B． 13 C．11或13 D．11 和 13 D 解析 (1) 配方法的关键是配上一次项系数一半的平方； (2) 先求出方程 x2﹣6x + 8 = 0 的两根，再根据三角形的三边关系，得到符合题意的边，进而求得三角形周长． B 【针对训练】 1. 菱形 ABCD 的一条对角线长为 4，边 AB 的长是方程 x2 - 7x + 12 = 0 的一个根，则菱形 ABCD 的周长为( ) A. 16 B. 12 C. 16 或 12 D. 24 C A 3. 用公式法和配方法分别解方程：x2 - 8x - 20 = 0（要求写出必要解题步骤）. 解： 3. 用公式法和配方法分别解方程：x2 - 8x - 20 = 0（要求写出必要解题步骤）. 解： 3.用十字相乘法解方程 x2 - 8x - 20 = 0 x2 −8x − 20； · × -10 2 ③ 检验确定，横写因式. ② 交叉相乘，积相加； ① 竖分常数项与二次项； 2x + ( −10)x = -8x 解：分解因式，得 (x − 10)(x +2) = 0 . 于是 x − 10 = 0，或 x +2= 0， 即 x1 = 10，x2 = − 2 . 我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0） 根的判别式，通常用符号“ ”表示，即 = b2-4ac. 三、一元二次方程根的判别式 两个不相等实数根 两个相等实数根 没有实数根 两个实数根 判别式的情况 根的情况 > 0 = 0 < 0 ≥ 0 13 考点三 一元二次方程的根的判别式的应用 例4 A.没有实数根 B .有两个相等的实数根 C .有两个不相等的实数根 D.不确定 C 【针对训练】 1. 下列方程有实数解的是（ ） A. x2 + 2 = 0 B. 2x2 - x +1 = 0 C. x2 - 2x + 2 = 0 D. x2 +3x - 2 = 0 D 【拔高训练】 四、（韦达定理） 如果 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、 x2，那么 注意 满足上述关系的前提条件 b2 - 4ac≥0. 考点四 一元二次方程的根与系数的关系 例5 已知一元二次方程 x2 - 5x - 3 = 0 的两根为 m，n，则 m2 - mn + n2 = ． 解析 由根与系数的关系可知 m + n = 5，mn = -3，故 m2 - mn + n2 = (m + n)2 - 3mn = 25 + 9 =34. 34 【重要变形式】 【针对训练】 1. 已知方程 2x2 + 4x - 3 = 0 的两根分别为 x1 和 x2，则 x12 + x22 的值等于（ ） A. 7 B. -2 C. D. A 【拔高训练】 一元二次方程 一元二次方 程的定义 概念：①整式方程；②一元；③二次 一般形式：ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 一元二次方 程的解法 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法 根的判别式及 根与系数的关系 课后作业： 1.书55页知识技能第1题，第2题（1）（2）； 2.复习一元二次方程的应用题. 感谢聆听！ $