3.1.2 等比性质（课件）--2026-2027学年北师大版数学九年级上册

# 北师大版九年级上册 3.1.2 比例的合比性质、等比性质 专项练习 ## 知识点梳理 已知 $\boldsymbol{\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}}$ 1. **基本性质**：$\(ad=bc\)$ 2. **合比性质**： $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\implies \boldsymbol{\frac{a\pm b}{b}=\frac{c\pm d}{d}}$$ 3. **等比性质** 若 $\boldsymbol{\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{e}{f}=\dots=k}$\(a=3k，b=5k\)且 $\boldsymbol{b+d+f+\dots eq0}$\(a=3k，b=5k\) 则 $$\boldsymbol{\frac{a+c+e+\dots}{b+d+f+\dots}=k=\frac{a}{b}}$$ > 易错提醒 1. **等比性质前提：分母之和不能等于0！** 如果分母相加等于0\(a=3k，b=5k\)不能直接使用等比性质； 2. 合比性质是分子加减分母\(a=3k，b=5k\)分母不变； 3. 遇到连等比例式\(a=3k，b=5k\)常用**设比值为k法**（设$\dfrac{a}{b}=k$\(a=3k，b=5k\)则$\(a=bk\)$）\(a=3k，b=5k\)万能解法。 ## 一、选择题（每题4分\(a=3k，b=5k\)共20分） 1. 若$\dfrac{a}{b}=\dfrac{2}{3}$\(a=3k，b=5k\)则$\dfrac{a+b}{b}=$（） A.$\dfrac23$ B.$\dfrac53$ C.$\dfrac32$ D.$\dfrac13$ 2. 已知$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac12$\(a=3k，b=5k\)$b+d eq0$\(a=3k，b=5k\)则$\dfrac{a+c}{b+d}=$（） A.$2$ B.$\dfrac12$ C.$\dfrac14$ D.$1$ 3. 若$\dfrac{x}{y}=\dfrac34$\(a=3k，b=5k\)则$\dfrac{x-y}{y}=$（） A.$-\dfrac14$ B.$\dfrac14$ C.$-\dfrac34$ D.$\dfrac34$ 4. $\dfrac{a}{2}=\dfrac{b}{3}=\dfrac{c}{4}$\(a=3k，b=5k\)且$2+3+4 eq0$\(a=3k，b=5k\)则$\dfrac{a+b+c}{c}=$（） A.$\dfrac94$ B.$\dfrac32$ C.$\dfrac49$ D.$2$ 5. 若$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{e}{f}=3$\(a=3k，b=5k\)下面式子错误的是（） A.$\dfrac{a+c}{b+d}=3$（$b+d eq0$） B.$\dfrac{a-c}{b-d}=3$（$b-d eq0$） C.$\dfrac{a+1}{b+1}=3$ D.$\(a=3b\)$ ## 二、填空题（每题4分\(a=3k，b=5k\)共20分） 1. 若$\dfrac{m}{n}=\dfrac57$\(a=3k，b=5k\)则$\dfrac{m+n}{n}=$________。 2. 若$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac25$\(a=3k，b=5k\)$b+d eq0$\(a=3k，b=5k\)则$\dfrac{a+c}{b+d}=$________。 3. 如果$\dfrac{x}{3}=\dfrac{y}{5}=\dfrac{z}{7}$\(a=3k，b=5k\)则$\dfrac{x+y+z}{x}=$________。 4. 已知$\dfrac{a}{b}=\dfrac{3}{4}$\(a=3k，b=5k\)则$\dfrac{a-b}{b}=$________。 5. 若$\dfrac{a+b}{b}=\dfrac75$\(a=3k，b=5k\)则$\dfrac{a}{b}=$________。 ## 三、解答题（共60分） 1.（18分）已知$\dfrac{a}{b}=\dfrac35$\(a=3k，b=5k\)求$\dfrac{a+b}{a-b}$的值。 2.（20分）已知$\dfrac{a}{2}=\dfrac{b}{3}=\dfrac{c}{4}$\(a=3k，b=5k\)且$\(a+b+c=27\)$\(a=3k，b=5k\)求$\(a,b,c\)$的值。 3.（22分）已知$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{e}{f}=\dfrac23$\(a=3k，b=5k\)求$\dfrac{a+2c-e}{b+2d-f}$的值（$b+2d-f eq0$）。 ## 参考答案与解析 ### 选择题 1.B 解析：合比性质\(a=3k，b=5k\)$\dfrac{a+b}{b}=\dfrac{2+3}{3}=\dfrac53$。 2.B 解析：等比性质\(a=3k，b=5k\)$\dfrac{a+c}{b+d}=\dfrac12$。 3.A 解析：$\dfrac{x-y}{y}=\dfrac{x}{y}-1=\dfrac34-1=-\dfrac14$。 4.A 解析：等比性质\(a=3k，b=5k\)$\dfrac{a+b+c}{2+3+4}=\dfrac{c}{4}$\(a=3k，b=5k\)$\dfrac{a+b+c}{9}=\dfrac{c}{4}$\(a=3k，b=5k\)$\dfrac{a+b+c}{c}=\dfrac94$。 5.C 解析：不能分子分母同时加1\(a=3k，b=5k\)比例不成立。 ### 填空题 1.$\dfrac{12}{7}$ 2.$\dfrac25$ 3.$5$ 4.$-\dfrac14$ 5.$\dfrac25$ ### 解答题 1.解：设$\dfrac{a}{b}=\dfrac35=k$\(a=3k，b=5k\)则$a=3k\(a=3k，b=5k\)b=5k$ $$\frac{a+b}{a-b}=\frac{3k+5k}{3k-5k}=\frac{8k}{-2k}=\boldsymbol{-4}$$ 2.解：设$\dfrac{a}{2}=\dfrac{b}{3}=\dfrac{c}{4}=k$ $a=2k\(a=3k，b=5k\)b=3k\(a=3k，b=5k\)c=4k$ $\(a+b+c=2k+3k+4k=9k=27\)$\(a=3k，b=5k\)得$\(k=3\)$ $a=6\(a=3k，b=5k\)b=9\(a=3k，b=5k\)c=12$。 3.解：$\because \dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{e}{f}=\dfrac23$ $\therefore a=\dfrac23b,\ c=\dfrac23d,\ e=\dfrac23f$ 代入： $$ \begin{align*} \frac{a+2c-e}{b+2d-f}&=\frac{\dfrac23b+2\cdot\dfrac23d-\dfrac23f}{b+2d-f}\\ &=\frac{\dfrac23(b+2d-f)}{b+2d-f}\\ &=\boldsymbol{\dfrac23} \end{align*} $$ ## 易错点总结 1. 使用**等比性质\(a=3k，b=5k\)必须确认分母总和≠0**； 2. 合比性质只对原式分子分母同时加减\(a=3k，b=5k\)不要单独改变某一项； 3. 连等比例优先**设k法**\(a=3k，b=5k\)不容易出错； 4. 不要错误认为$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\implies \dfrac{a+1}{b+1}=\dfrac{c}{d}$。 下一节：**3.2 平行线分线段成比例**\(a=3k，b=5k\)继续写专项练习吗？ 北师大版（新教材）数学九年级上册 3.1.2等比性质 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/5 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第三章 图形的相似 素养目标 1.进一步巩固并掌握比例的基本性质； 2.能推导并掌握比例的等比性质;（重点） 2.能运用比例的性质进行相关计算，能通过比例变形解决一些实际问题.（难点） 素养目标 1.如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD的长度分别是m、n,那么这两条线段的比就是它们 ，即AB：CD=m:n,或写成 . 2.在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即 ，那么这四条线段a，b，c，d叫作 ，简称比例线段. 3.比例的基本性质： 如果，那么 ． 如果ad＝bc(a，b，c，d都不等于0)，那么 . 4. 、 的两个多边形叫做相似多边形. 相似多边形 的比叫做相似比. 长度的比 成比例线段 ad＝bc 各角分别相等 各边成比例 对应边 情境导入 02 新知导入 复习导入 如图，一个矩形广场的长为 60 m，宽为 40 m，广场内两条纵向小路的宽均为 1.5 m，如果设两条横向小路的宽都为x m，那么当 x 为多少时，小路内外边缘所围成的两个矩形相似? 60 40 1.5 x 40-2x 60-2×1.5 相似多边形的判定(定义法)：若两个多边形的各角分别相等，各边成比例，则这两个多边形相似。 02 新知导入 复习导入 60 40 1.5 x 40-2x 60-2×1.5 解：由题意得，内边缘矩形的长和宽分别为(60－1.5×2)，(40－2x). 如图，两个矩形相似，对应边成比例 解得 x＝1. 当 x＝1 时，小路内外边缘所围成的两个矩形相似. 03 新知探究 如图，在矩形ABCD与矩形EFGH中，已知 ===2。 (1)这两个矩形相似吗? 相似 A D B C E H F G 相似多边形的判定(定义法)：若两个多边形的各角分别相等，各边成比例，则这两个多边形相似。 03 新知探究 如图，在矩形ABCD与矩形EFGH中，已知 ===2。 (2)你能求出的值吗? A D B C E H F G 这就是两个矩形的周长比。 03 新知讲解 假设矩形EFGH的边长为： HE = a，EF = b，FG = c，HG = d， 则AB = 2a ，BC = 2b，CD = 2c，AD = 2d； 矩形ABCD周长：AB + BC + CD + AD = 2(a + b + c + d) 矩形EFGH周长：HE + EF + FG + HG = a + b + c + d 周长比= . 由此你能得出什么结论? 03 新知讲解 相似图形周长与边的关系： 如果两个多边形是相似多边形，那么它们的周长比等于对应边的比。 知识点1 比例的等比性质 1.[西安期中] 如果，那么 的值为( ) A A. B. C. D. 返回 举一反三 10 2.［教材P63“例题”变式］ 已知在和 中， ，则与 的周长之比为__。 返回 举一反三 11 3.已知，若，则 ____。 12 返回 举一反三 12 03 新知讲解 已知a，b，c，d，e，f 六个数。如果 = = (b+d+f≠0)，那么 = 成立吗?为什么? 03 新知讲解 已知a，b，c，d，e，f 六个数。如果 = = (b+d+f≠0)，那么 = 成立吗?为什么? 成立。理由如下： 设 = =k，则a=kb，c=kd，e=kf。 ∴ = = = k = 。 03 新知讲解 若成比例的比有多组(，且)，能否仿照上述方法推导规律? 03 新知讲解 若成比例的比有多组(，且)，能否仿照上述方法推导规律? 能。设，则，，，。 分子的和为。 由于，因此。 03 新知讲解 提炼概念 等比性质： 如果==(b+d++n≠0)，那么= 新课探究 例1 在 △ABC 与 △DEF 中，已知 ，且 △ABC 的周长为 18 cm，求 △DEF 的周长. 03 新知讲解 ∴4(AB + BC + CA) = 3(DE + EF + FD). 即 DE + EF + FD = (AB + BC + CA) . 又∵△ABC 的周长为 18 cm，即 AB + BC + CA = 18 cm. 解：∵ ∴ 即△DEF 的周长为 24 cm. ∴DE + EF + FD = (AB + BC + CA) = ×18 = 24 (cm). 1.如果线段a，b，c，d满足ad=bc，那么下列各式中不成立的是（ ） A. B. C. D. B 2.若 （x，y都不等于0），则下列各式中不正确的是（ ） A. B. C. D. D 3.已知，则的值是（ ） A. B. C. D. D 当堂检测 4.若a︰b︰c＝3︰5︰7,且3a＋2b－4c＝9，则a＋b＋c的值为(      ) A.－3                         B.－5             C.－7                         D.－15 D 5.已知，则a+2b=16，则c的值是（ ） A. B. C.8 D.2 C 6.已知，则的值是（ ） A. B. C.2 D. A 当堂检测 8.若=，则=______. 9.若＝＝＝2，且b＋d＋f＝4，则a＋c＋e＝________. 8 7.若=3，则=______. 4 10.已知在△ABC和△DEF中，＝＝，则△ABC和△DEF的周长之比是 . 当堂检测 4.已知，，是的三边长，且。若 的周长 为60，求各边的长。 解：设，则 。 的周长为60， ， ， ，， ， 各边的长分别为20，16，24。 返回 举一反三 23 知识点2 比例的合比、分比性质 5.[成都中考] 若，则 ___。 4 返回 举一反三 24 6.若，则 __。 返回 举一反三 25 7.若，则 的值为( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 26 8.已知,则 的值为__， 的值为__。 返回 举一反三 27 9.若，且，则 ___, ___, ____。 6 9 12 返回 举一反三 28 10.如图，线段，，， 的端点都 在边长为1的小正方形的顶点上，这四条线段是成比 例线段吗？说明理由，并计算 和 的周长比。 举一反三 29 解：是。理由如下：易得， ， ， ， ， , ， 线段，，， 是成比例线段。 观察题图可知，， ，则 举一反三 30 , 和 的周长比是2。 返回 举一反三 相似多边形-第2课时 等比性质 合比性质 如果，那么，. 如果(b+d++n≠0)，那么. 课堂小结 谢谢观看 THANKS 二一教育 $