第8讲 函数与导数之零点个数讨论专项训-2027届高三数学一轮复习

函数与导数之零点个数讨论 高三数学专题复习 · 专题第八讲 0 题型概说 本讲研究的问题：函数 的零点个数（即方程 的实根个数、图象与 轴交点个数）的讨论与由零点个数反求参数。讨论的通用流程是：求导划分单调区间，取每个极值点与区间端点（含极限值）的函数值，逐段用零点存在定理计数；含参数时，可将参数分离为”水平线 与曲线 的交点个数”问题，也可对复合结构 换元后做双重图解。 识别信号总览： 问题特征 方法指向 单元 直接设问”讨论（判断）零点的个数” 单调分段＋端点与极限的标准流程 单元一 “恰有（有且仅有） 个零点，求参数” 分离参数化为水平线与曲线的交点 单元二 指定区间上恰有 个零点，或证零点的和、积、对称性质 端点与极值联合定位、取点验证 单元三 、、因式乘积为零的方程 换元后双重图解 单元四 单元一 零点个数的判定流程 1.1 识别特征 设问为”讨论函数 零点的个数”或”判断零点个数”，函数可能含参数也可能不含参数；导函数的零点可解（或可分类讨论）。 1.2 结论与推导 结论 1.1（单调分段逐段计数）　求出 并确定其零点与符号，把定义域划分为若干单调段；每一段上，若两端函数值（含端点处的函数值或端点外的极限值）异号，则该段恰有一个零点，同号则无零点。全函数的零点个数即各段个数之和。 推导：严格单调函数至多一个零点，故”整体数根”化为”逐段验号”；段的端点异号时由零点存在定理保证存在，由单调性保证唯一。 结论 1.2（关键值的取法）　关键值包括：各极值点处的函数值、区间端点处的函数值；端点不在定义域内或端点在无穷远时，取”当 趋近于该端时 的趋势值”参与异号判定。 推导：连续不断的函数在无零点的地段符号不变，趋势值决定端点附近的符号。 结论 1.3（闭端点与开端点）　段的闭端点处函数值恰为零时，该端点是零点；若函数值仅在开端点的极限为零（该点取不到、或不在该段内），则该段内部并不因此产生零点。临界情形（极值恰为零、端点恰为零）决定参数的临界值，须逐一单独验证。 推导：零点要求”函数值为零”且”在定义域内”；极限为零只说明趋势，不给出零点。 1.3 方法决策表 步骤 内容 ① 定单调区间 求 ，确定零点与符号，划分单调区间（含参数时按参数分类） ② 取关键值 各极值点函数值、端点函数值或趋势值（结论 1.2） ③ 逐段计数 每段按两端异号与否计数（结论 1.1），区分闭端点与开端点（结论 1.3） ④ 临界点明 极值恰为零、端点恰为零的情形单独验证，定参数临界值 例题精讲 例 1（解答题） 已知函数 。若 ，讨论函数 的零点个数。 ●解析 ，令 得 。当 或 时 ，当 时 ，故 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增。两个关键值： 且当 趋于 时 趋于 ，当 趋于 时 趋于 。 的零点即曲线 与直线 的交点。按结论 1.1 与 1.2，以 相对两个极值的位置分类： ① 当 ，即 时，直线介于两个极值之间，与曲线有 3 个交点， 有 3 个零点； ② 当 或 ，即 或 时，直线恰好通过极值点，与曲线有 2 个交点， 有 2 个零点； ③ 当 或 ，即 或 时，直线在两个极值的同侧之外，与曲线只有 1 个交点， 有 1 个零点。 例 2（解答题） 已知函数 。若 在区间 上有且仅有两个零点，求实数 的取值范围。 ●解析 定义域为 ，。 若 ，则 恒成立， 在 上单调递增，在 上至多有 1 个零点，不合题意，故 。 当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减。当 从右侧趋近于 时 趋于 （  趋于 ， 趋于  ）。 按结论 3.1，要使 在 上恰有两个零点，两段必须各贡献一个零点，故需极值点落在区间内且相应函数值异号： 逐一解出：；；。 三个条件的交集为 （注意  ）。此时 保证 内恰有一个零点（左端极限  ）； 不在开区间 内，按结论 1.3 须 严格成立，从而 内恰有一个零点。故恰有两个零点。 例 3（解答题） 已知函数 ，讨论 的零点个数。 ●解析 定义域为 。 当 时， 有唯一零点 ，即 1 个零点。 当 时，。按结论 2.1 分离参数，设 ，则 ： 上 递增， 上 递减， 为最大值；；当 从右侧趋近于 时 趋于 ；当 趋于 时 趋于 （取不到，结论 2.2）。 零点个数即直线 与曲线 的交点个数： ① 当 ，即 时：右段 上 ，不取非正值；若 ，交点仅 ；若 ，左段 上 从 增至 ，与负值恰有 1 个交点。故恰有 1 个零点； ② 当 ，即 时：左段 1 个交点，右段上 从 递减趋于 ，与 内的 恰有 1 个交点，共 2 个零点； ③ 当 ，即 时：直线恰过最大值点 ，仅 1 个交点，即 1 个零点； ④ 当 ，即 时：无交点，即 0 个零点。 变式训练 变 1（单项选择题） 已知实数 满足 ，则函数 的零点个数为（  ） A．0　　B．1　　C．2　　D．3 变 2（解答题） 已知函数 。若 在区间 上恰有一个零点，求实数 的取值范围。 变 3（解答题） 已知 ，讨论函数 （  ）的零点个数。 单元二 由零点个数反求参数 2.1 识别特征 设问为”若函数恰有（有且仅有） 个零点（或方程恰有 个实根），求参数的取值范围”。参数在函数解析式中，或在等价变形后可移到等号一侧。 2.2 结论与推导 结论 2.1（分离参数的交点模型）　方程整理为 后，零点个数等于直线 与曲线 的公共点个数：求出 的单调区间、最值与两端趋势，交点个数由 相对最值（含极限值）的位置决定； 恰等于最值的情形单独验证。 推导：方程的同解变形；“方程有根”即”常数 属于 的取值范围”，公共点个数即根的个数。 结论 2.2（渐近线极限值计入计数）　曲线以水平线 为渐近线（当 趋于端点时 趋于 且取不到）时： 的交点是否产生，取决于曲线在该端附近能否到达 ——趋近而取不到则不产生交点，计数时按”取不到”处理。 推导：公共点要求双方函数值相等且在定义域内；渐近线只是趋势。 结论 2.3（定义域断点两侧分别计数）　定义域有断点（如 的真数为零、分母为零）时，方程在断点两侧分别计数；断点本身不是零点，变形时约去含参因子会把断点处的情形丢失，须补回单独验证。 推导：定义域是计数的范围；断点把定义域分成两段，每段独立应用结论 1.1。 2.3 方法决策表 条件形态 构造方向 参数可分离 整理为 ，交点模型（结论 2.1） 函数值含参 整理为 ，水平线与曲线的交点按单元一流程计数 含渐近线 极限值参与比较但”取不到”，按结论 2.2 处理 定义域有断点 断点两侧分别计数（结论 2.3） 例题精讲 例 4（解答题） 已知函数 （  ），讨论 零点的个数。 ●解析 。按结论 2.1 分离参数，设 ，则 ： 上递减， 上递增， 为最小值； 时 ；当 趋于 时 趋于 （取不到，结论 2.2）；当 趋于 时 趋于 。 零点个数即直线 与曲线 的交点个数： ① 当 ：直线低于最小值，无交点， 有 0 个零点； ② 当 ：直线恰过最小值点 ，恰 1 个交点，有 1 个零点；当 ：左支 上 的值域为 ，不取非负值，右支 上 从 增至 ，与 恰有 1 个交点（  时交点为  ），有 1 个零点； ③ 当 ：左支上 从 减到 ，与 恰 1 个交点；右支上 从 增到 ，与 恰 1 个交点，共 2 个零点。 例 5（解答题） 已知函数 ，讨论 的零点个数。 ●解析 定义域为 。。按结论 2.1 分离参数，设 ，则 上 ， 递减； 上 ， 递增，故 为最小值。又 ；当 从右侧趋近于 时 趋于 ，故 趋于 ；当 趋于 时 趋于 （且 时 ，0 取不到，结论 2.2）。 零点个数即直线 与曲线 的交点个数： ① 当 ：低于最小值，无交点， 有 0 个零点； ② 当 ：恰过最小值点 ，1 个交点，有 1 个零点；当 ：左段 上 从 减到 ，与 恰有 1 个交点，右段 上 的值域为 ，不取 ，故有 1 个零点； ③ 当 ：左段 1 个交点，右段上 从 增至 ，与 恰有 1 个交点，共 2 个零点。 例 6（解答题） 已知函数 （  ）， 为 的导函数，讨论 的零点个数。 ●解析 。。 按结论 2.1 分离参数，设 （  ），则 时 ， 递减； 时 ， 递增，故 为最小值。又 ；当 从右侧趋近于 时 趋于 ；当 趋于 时 趋于 （  后 ，趋于 0 取不到，结论 2.2）。 零点个数即直线 与曲线 的交点个数： ① 当 ：无交点， 有 0 个零点； ② 当 ：恰过最小值点，1 个交点，有 1 个零点；当 ：递减段 上 从 降到 ，与 恰有 1 个交点（  时为  ），递增段 上 的值域为 ，不取 ，故有 1 个零点； ③ 当 ：递减段与递增段各恰有 1 个交点，共 2 个零点。 例 7（解答题） 已知函数 ，讨论 零点的个数。 ●解析 。按结论 2.1 分离参数，设 ，则 或 时 ， 时 ，故 在 上递减、 上递增、 上递减；（极小值），（极大值）。趋势：当 趋于 时 趋于 （  时 ，0 取不到）；当 趋于 时 趋于 ；。 零点个数即直线 与曲线 的交点个数，按 与关键值 的大小分类： ① 当 ：直线在极大值上方，无交点，0 个零点； ② 当 ：恰过极大值点，1 个交点；当 ：左段 的值域 与中段 的值域 均不含 ，仅右段 上 从 降到 恰有 1 个交点，二者均为 1 个零点； ③ 当 ：左段恰在端点 处取得，中段仅 处取得（同一点），右段恰有 1 个交点，共 2 个零点；当 ：左段值域不含 （  而左段上  ），中段恰 1 个交点，右段恰 1 个交点，共 2 个零点（  时交点为  ）； ④ 当 ：左段（  从 降到 ）、中段（  从 升到 ）、右段（  从 降到  ）各恰有 1 个交点，共 3 个零点。 变式训练 变 4（单项选择题） 若函数 有且仅有两个零点，则 的最小值为（  ） A．　　B．　　C．　　D． 变 5（解答题） 已知函数 。若 有且仅有 1 个零点，求实数 的值。 变 6（解答题） 已知函数 。若方程 有且只有一个实数根，求实数 的取值范围。 变 7（填空题） 已知函数 有且仅有 1 个零点，则 = ________． 单元三 零点的分布与性质 3.1 识别特征 设问为” 在区间 上恰有 个零点”，或给出零点 ，证明其和、积、相对位置等性质。 3.2 结论与推导 结论 3.1（区间定位的联合条件）　区间 上恰有 个零点，由区间端点函数值、区间内极值联合列条件：各单调段按零点存在定理逐段要求；端点是否属于区间决定相应条件取等与否——闭端点允许函数值恰为零，开端点要求严格不等号。 推导：每段的零点存在由两端异号（或端点为零）保证，唯一性由单调性保证；端点的归属改变”函数值为零是否算作区间内零点”。 结论 3.2（取点验证）　验证零点存在时，取定义域内的特殊点代入验号：含 时取使 为整数的点、含参数时取使参数表达简化的点；两点函数值一正一负且区间上单调，即锁定唯一零点。 推导：零点存在定理只需一对异号点；特殊点使函数值的符号易于判定。 结论 3.3（折返结构）　 满足 型对称关系时，若 是零点则 也是零点；借此可把远端零点折返到已知区间，得到零点之间的等量关系（如  ），再以基本不等式收束对称目标。 推导：；互倒映射交换区间 与 。 结论 3.4（绝对值分带）　含绝对值或乘积结构的零点问题，按绝对值内（或各因式）的零点把定义域分带：带内、带外分别去绝对值化简，得到不同的方程后逐带计数；带边界点单独代入验证。 推导：绝对值内的式子变号处即分带点；每带内符号固定，绝对值可去掉。 3.3 方法决策表 条件形态 构造方向 区间上恰有 个零点 端点与极值联合列条件，开端点取严格不等号（结论 3.1） 验证零点存在 特殊点取值验号＋单调夹逼（结论 3.2） 零点的和、积、对称性质 方程关系变形消参，或用 型折返（结论 3.3） 含绝对值 按变号点分带，逐带去绝对值计数（结论 3.4） 例题精讲 例 8（解答题） 已知函数 。若关于 的方程 在区间 上恰有两个实数根，求实数 的取值范围。 ●解析 方程即 在 上恰有两根。注意到 ，即 恒为根，故只需 在 上恰有一个根。 记 （分子， 时与 同号）。 ① 当 ： 时 且 ，故 ，， 在 上递增，，无根，不合； ② 当 ： 是开口向下的二次函数，对称轴 ，故 在 上递减，，。 若 ：，故 于 ， 递增，无根，不合； 若 ：，故 于 ， 递减，，无根，不合； 若 ：，存在唯一 使 ， 在 上递增、 上递减，且 。按结论 3.1（右端点 闭合，允许  ）， 上 从正值降到 ，恰有一个根等价于 由 知 ，与 相容。 例 9（解答题） 已知函数 。（1）讨论 的零点个数；（2）若 有 3 个零点 ，，（  ），证明：。 ●解析 （1）定义域为 ，且 。 当 ：若 ，则 ；若 ，判别式 ，也有 。故 ， 在 上单调递增，仅有一个零点 。 当 ： 有两正根 ，，，故 （且 ， ）。 在 上增、 上减、 上增，。 按结论 3.2 取点验证：。记 （  ），则 （  ），故 递减，（  ）。于是 ，结合 与 在 上递增，得 内恰有一个零点 。同理 ，结合 与 在 上递增，得 内恰有一个零点 ；中段 内 严格递减且 ，唯一零点 。故此时有 3 个零点。 综上：当 时有 1 个零点；当 时有 3 个零点。 （2）由（1），，。按结论 3.3，计算 于是 ，且 ，故 是大于 1 的零点；大于 1 的零点唯一（为  ），故 。从而 （ ，基本不等式取等不成立）。 例 10（解答题） 已知函数 ，其中 。（1）求证：当 时，；（2）讨论 的零点个数。 ●解析 （1） 令 ，则 。当 时 ，故 ， 在 上递增，，从而 ， 在 上递增，。 （2）① 当 ：， 故 在 上递增（仅 处 ，零点孤立，不影响单调性），，有且仅有 1 个零点。 ② 当 ： 的零点为 ， 在 上递减、其后递增； 从 （  从右侧趋近于  ）出发，，故存在唯一 使 ，且 在 上为正、 上为负、 上为正。于是 在 上递增、 上递减、 上递增。 当 从右侧趋近于 时， 的增长快于 ， 趋于 ，而 ，故 内恰有 1 个零点； 内 递减且 ，无内部零点（  是零点）； 内 递增且 ，无新零点。故恰有 2 个零点。 综上：当 时有 1 个零点；当 时有 2 个零点。 变式训练 变 8（填空题） 已知 有且仅有两个零点，则所有满足条件的 的乘积为________． 变 9（填空题） 若函数 恰有两个零点，则实数 的取值范围是________． 变 10（填空题） 若函数 有且仅有一个零点 ，且 ，则实数 的取值范围为________． 单元四 复合型零点 4.1 识别特征 方程呈复合结构： 或 ，或若干因式乘积为零（各因式含超越结构）；设问为根的个数或由根数反求参数。 4.2 结论与推导 结论 4.1（换元双重图解）　：换元 ，先解外层 得诸 值；再对每个 数内层方程 的根数（按 的图象与水平线 的交点计数，用结论 2.1）；各 的根数求和。参数的临界值由某一层相切或取等产生，两层临界的先后决定参数范围的端点开闭。 推导：复合方程的根是”外层根 的原像”之并集；每层都是水平线交点模型。 结论 4.2（严格递增的复合等价）　 在定义域上严格递增时，：若 ，则 ；若 ，则 ；故只有 可能。该等价对严格递减的 不成立。 推导：严格递增保序，把”两层”压回”一层”；递减时两个不等号方向相反，推理断裂。 结论 4.3（因式乘积分拆与去重）　因式乘积为零的方程，按因式分拆为若干方程，分别计数后取并集；两因式的根重叠时只计一次，重叠判定单独验证（如由两根满足的同一关系推出重合）。 推导：乘积为零等价于至少一个因式为零；并集的元素个数需扣除公共元素。 结论 4.4（分段与周期结构的分段计数）　分段函数（含 型周期延拓）的零点问题，先弄清各段的解析式、单调性与值域（含端点的开闭），再按段计数：每段严格单调时至多一根，根的存在由 （或  ）落入该段值域判定；跳跃点两侧的取值单独核对。 推导：分段函数的图象逐段衔接，零点个数是各段个数的和；跳跃处左右值不等，值域端点的开闭由解析式直接读出。 4.3 方法决策表 结构形态 构造方向 换元 ，双重图解逐层计数（结论 4.1） 且 严格递增 等价于 （结论 4.2） 因式乘积为零 分拆计数取并集，重叠去重（结论 4.3） 分段 / 周期延拓 分段算清值域与单调性，逐段计数（结论 4.4） 例题精讲 例 11（填空题） 已知分段函数 ：当 时，；当 时，。若关于 的方程 恰有三个不相等的实数根，则实数 的取值范围是________． ●解析 先弄清 的结构：两段均严格递增； 时 ， 时 ；，，当 趋于 时 趋于 ，当 趋于 时 趋于 。 按结论 4.4 分段计算 （记内层  ）： 当 时 ，；当 时 ，；当 时 ，。 三段各自严格递增，值域分别为 、（  ）、；在 与 两处图象向下跳跃（左值 2 对右侧极限 0、左值 对右侧极限 0，两侧的 0 均取不到）。 按结论 4.1，方程 的根数＝各段上 落入该段值域的段数（每段严格递增，至多 1 根）：需 （段 1）、（段 2）、（段 3）三者同时成立（跳跃处右极限 0 不影响值域的开闭），即 。 例 12（填空题） 已知函数 。当关于 的方程 的不同实数根的个数最多时，实数 的取值范围是________． ●解析 先研究内层：， 时 ， 时 ， 在 上递增、 上递减， 为最大值。趋势：当 趋于 时 趋于 （取不到 0）；当 趋于 时 趋于 。故按结论 4.1 的内层计数：当 时 恰有 2 个根（左右两支各一）；当 或 时恰有 1 个根。 换元 ：外层方程 （ ，因 代入得  ），分离参数 记 ： 时 （  取等）， 时 （  取等）。直线 与 （限制在  ）的交点逐段计数（每个交点 再按内层规则折算 根数）： ：正根仅 一个（另一正根 被限制舍去），供 2 个 根；： 与 ，分别供 2 个与 1 个，共 3 个；：两正根 且都不等于 1，各供 2 个，共 4 个；： 一个，供 2 个；：无正根；：无负根（  时 供 1 个）；：两负根，各供 1 个，共 2 个。 故不同实根个数最多为 4，当且仅当 ，即 。 例 13（填空题） 已知分段函数 ：当 时，；当 时，。若函数 恰有 3 个不同的零点，则实数 的取值范围是________． ●解析 由 （  ）， 在 上以 1 为周期重复 上的图象； 上 ，是开口向下、顶点 的抛物线段，在 上从 递减到 （右端取不到）。故每个周期段 （  ）上 从 递减到 （右端取不到），。 按结论 4.4 分段计数。左侧 ：，即 ，判别式 ： 当 时无实根，0 个零点；当 时恰 1 个（切点  ）；当 时两根之积 、之和 ，两根均为负，恰 2 个零点；当 时两根一正一负；当 时两根为 与 （  处 ，不是零点）——负根恰 1 个，得 1 个零点。 右侧 ：方程 。当 （  ）时 ，无零点。当 时，在周期段 （  ）上， 在左端取值 、在右端趋于 ，函数递减而 递增，故恰有一个交点当且仅当 该区间内正整数 的个数： 时恰为 2 个（  ）； 时恰为 1 个（  ）； 时为 0 个。 合计： 时 个； 时 个； 时 个； 时 1 个； 时 0 个。故恰有 3 个零点当且仅当 。 变式训练 变 11（单项选择题） 已知函数 ，则函数 的零点个数为（  ） A．0　　B．1　　C．2　　D．3 变 12（单项选择题） 若关于 的方程 （  ）恰有四个不同的实根 ，，，（  ），则（  ） A．　　B．　　C．　　D． 变 13（单项选择题） 已知分段函数 ：当 时，；当 时，。若 恰有 4 个零点，则 的取值范围为（  ） A．　　B．　　C．　　D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 函数与导数之零点个数讨论 高三数学专题复习 · 专题第八讲 0 题型概说 本讲研究的问题：函数 的零点个数（即方程 的实根个数、图象与 轴交点个数）的讨论与由零点个数反求参数。讨论的通用流程是：求导划分单调区间，取每个极值点与区间端点（含极限值）的函数值，逐段用零点存在定理计数；含参数时，可将参数分离为”水平线 与曲线 的交点个数”问题，也可对复合结构 换元后做双重图解。 识别信号总览： 问题特征 方法指向 单元 直接设问”讨论（判断）零点的个数” 单调分段＋端点与极限的标准流程 单元一 “恰有（有且仅有） 个零点，求参数” 分离参数化为水平线与曲线的交点 单元二 指定区间上恰有 个零点，或证零点的和、积、对称性质 端点与极值联合定位、取点验证 单元三 、、因式乘积为零的方程 换元后双重图解 单元四 单元一 零点个数的判定流程 1.1 识别特征 设问为”讨论函数 零点的个数”或”判断零点个数”，函数可能含参数也可能不含参数；导函数的零点可解（或可分类讨论）。 1.2 结论与推导 结论 1.1（单调分段逐段计数）　求出 并确定其零点与符号，把定义域划分为若干单调段；每一段上，若两端函数值（含端点处的函数值或端点外的极限值）异号，则该段恰有一个零点，同号则无零点。全函数的零点个数即各段个数之和。 推导：严格单调函数至多一个零点，故”整体数根”化为”逐段验号”；段的端点异号时由零点存在定理保证存在，由单调性保证唯一。 结论 1.2（关键值的取法）　关键值包括：各极值点处的函数值、区间端点处的函数值；端点不在定义域内或端点在无穷远时，取”当 趋近于该端时 的趋势值”参与异号判定。 推导：连续不断的函数在无零点的地段符号不变，趋势值决定端点附近的符号。 结论 1.3（闭端点与开端点）　段的闭端点处函数值恰为零时，该端点是零点；若函数值仅在开端点的极限为零（该点取不到、或不在该段内），则该段内部并不因此产生零点。临界情形（极值恰为零、端点恰为零）决定参数的临界值，须逐一单独验证。 推导：零点要求”函数值为零”且”在定义域内”；极限为零只说明趋势，不给出零点。 1.3 方法决策表 步骤 内容 ① 定单调区间 求 ，确定零点与符号，划分单调区间（含参数时按参数分类） ② 取关键值 各极值点函数值、端点函数值或趋势值（结论 1.2） ③ 逐段计数 每段按两端异号与否计数（结论 1.1），区分闭端点与开端点（结论 1.3） ④ 临界点明 极值恰为零、端点恰为零的情形单独验证，定参数临界值 例题精讲 例 1（解答题） 已知函数 。若 ，讨论函数 的零点个数。 ●解析 ，令 得 。当 或 时 ，当 时 ，故 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增。两个关键值： 且当 趋于 时 趋于 ，当 趋于 时 趋于 。 的零点即曲线 与直线 的交点。按结论 1.1 与 1.2，以 相对两个极值的位置分类： ① 当 ，即 时，直线介于两个极值之间，与曲线有 3 个交点， 有 3 个零点； ② 当 或 ，即 或 时，直线恰好通过极值点，与曲线有 2 个交点， 有 2 个零点； ③ 当 或 ，即 或 时，直线在两个极值的同侧之外，与曲线只有 1 个交点， 有 1 个零点。 【答案】当 或 时， 有 1 个零点；当 或 时，有 2 个零点；当 时，有 3 个零点 例 2（解答题） 已知函数 。若 在区间 上有且仅有两个零点，求实数 的取值范围。 ●解析 定义域为 ，。 若 ，则 恒成立， 在 上单调递增，在 上至多有 1 个零点，不合题意，故 。 当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减。当 从右侧趋近于 时 趋于 （  趋于 ， 趋于  ）。 按结论 3.1，要使 在 上恰有两个零点，两段必须各贡献一个零点，故需极值点落在区间内且相应函数值异号： 逐一解出：；；。 三个条件的交集为 （注意  ）。此时 保证 内恰有一个零点（左端极限  ）； 不在开区间 内，按结论 1.3 须 严格成立，从而 内恰有一个零点。故恰有两个零点。 【答案】 例 3（解答题） 已知函数 ，讨论 的零点个数。 ●解析 定义域为 。 当 时， 有唯一零点 ，即 1 个零点。 当 时，。按结论 2.1 分离参数，设 ，则 ： 上 递增， 上 递减， 为最大值；；当 从右侧趋近于 时 趋于 ；当 趋于 时 趋于 （取不到，结论 2.2）。 零点个数即直线 与曲线 的交点个数： ① 当 ，即 时：右段 上 ，不取非正值；若 ，交点仅 ；若 ，左段 上 从 增至 ，与负值恰有 1 个交点。故恰有 1 个零点； ② 当 ，即 时：左段 1 个交点，右段上 从 递减趋于 ，与 内的 恰有 1 个交点，共 2 个零点； ③ 当 ，即 时：直线恰过最大值点 ，仅 1 个交点，即 1 个零点； ④ 当 ，即 时：无交点，即 0 个零点。 【答案】当 或 时，有 1 个零点；当 时，有 2 个零点；当 时，有 0 个零点 变式训练 变 1（单项选择题） 已知实数 满足 ，则函数 的零点个数为（  ） A．0　　B．1　　C．2　　D．3 ●解析 先确定 ： 即 ，左端 单调递增、右端 单调递减，故该方程至多一根；又 时 ， 时 ，由零点存在定理得 。 ： 或 时 ， 时 ，故 在 上递增、 上递减、 上递增。关键值 （因  ），（因  ）。 按结论 1.1 三段逐段计数：当 趋于 时 趋于 ，故 在 上从 增至 ，恰有 1 个零点； 上从 减至 ，恰有 1 个零点； 上从 增至 ，恰有 1 个零点。共 3 个零点。 【答案】D 变 2（解答题） 已知函数 。若 在区间 上恰有一个零点，求实数 的取值范围。 ●解析 ，即 是零点但不在开区间 内，故只需考察区间内部。（  ）两边乘正数 ：。令 ，按结论 2.1 分离参数，方程化为 设 （  ）：， 时 ， 时 ，故 在 上递减、 上递增，（最小）， 趋于 （  从右侧趋近于  ），（端点不计）。 方程 的右端是过定点 、斜率为 的直线。记 交点个数即 在 内的零点个数。（端点不计）； 随 递增（因 递增），故 至多一个零点， 在 上先减后增（或单调），至多有两个零点。按 分类： ① 当 （即  ）：当 从右侧趋近于 时， 趋于 ； 的根 ，最小值 。由 满足 、（  ）得 ，即 ，故 。于是 在 上从正减到负，恰有 1 个零点；在 上递增回 ，无内部零点。恰 1 个交点，合题意。 ② 当 （即  ）： 恒成立（由 ，仅 取等）， 内无零点，不合。 ③ 当 （即  ）：， 于 ， 严格递减， 从 （  从右侧趋近于  ）降到 ，故 于 ，无零点，不合。 ④ 当 （即  ）：，其中 且 ，故 于 ，无零点，不合。 综上， 的取值范围是 。 【答案】 变 3（解答题） 已知 ，讨论函数 （  ）的零点个数。 ●解析 （两边均为正）。两边取自然对数：，即 按结论 2.1 分离参数，设 （  ），则 ： 上递增， 上递减， 为最大值；；当 趋于 时 趋于 ； 时 。 把 看作关于 的函数：它在 上递增、 上递减，故对 恒有 ，当且仅当 时取等。 ① 当 ：方程 仅在 处成立，此时 有 1 个零点； ② 当 或 ：，直线 与曲线 在 与 内各恰有一个交点，此时 有 2 个零点。 【答案】当 时，有 1 个零点；当 且 时，有 2 个零点 单元二 由零点个数反求参数 2.1 识别特征 设问为”若函数恰有（有且仅有） 个零点（或方程恰有 个实根），求参数的取值范围”。参数在函数解析式中，或在等价变形后可移到等号一侧。 2.2 结论与推导 结论 2.1（分离参数的交点模型）　方程整理为 后，零点个数等于直线 与曲线 的公共点个数：求出 的单调区间、最值与两端趋势，交点个数由 相对最值（含极限值）的位置决定； 恰等于最值的情形单独验证。 推导：方程的同解变形；“方程有根”即”常数 属于 的取值范围”，公共点个数即根的个数。 结论 2.2（渐近线极限值计入计数）　曲线以水平线 为渐近线（当 趋于端点时 趋于 且取不到）时： 的交点是否产生，取决于曲线在该端附近能否到达 ——趋近而取不到则不产生交点，计数时按”取不到”处理。 推导：公共点要求双方函数值相等且在定义域内；渐近线只是趋势。 结论 2.3（定义域断点两侧分别计数）　定义域有断点（如 的真数为零、分母为零）时，方程在断点两侧分别计数；断点本身不是零点，变形时约去含参因子会把断点处的情形丢失，须补回单独验证。 推导：定义域是计数的范围；断点把定义域分成两段，每段独立应用结论 1.1。 2.3 方法决策表 条件形态 构造方向 参数可分离 整理为 ，交点模型（结论 2.1） 函数值含参 整理为 ，水平线与曲线的交点按单元一流程计数 含渐近线 极限值参与比较但”取不到”，按结论 2.2 处理 定义域有断点 断点两侧分别计数（结论 2.3） 例题精讲 例 4（解答题） 已知函数 （  ），讨论 零点的个数。 ●解析 。按结论 2.1 分离参数，设 ，则 ： 上递减， 上递增， 为最小值； 时 ；当 趋于 时 趋于 （取不到，结论 2.2）；当 趋于 时 趋于 。 零点个数即直线 与曲线 的交点个数： ① 当 ：直线低于最小值，无交点， 有 0 个零点； ② 当 ：直线恰过最小值点 ，恰 1 个交点，有 1 个零点；当 ：左支 上 的值域为 ，不取非负值，右支 上 从 增至 ，与 恰有 1 个交点（  时交点为  ），有 1 个零点； ③ 当 ：左支上 从 减到 ，与 恰 1 个交点；右支上 从 增到 ，与 恰 1 个交点，共 2 个零点。 【答案】当 时，有 0 个零点；当 或 时，有 1 个零点；当 时，有 2 个零点 例 5（解答题） 已知函数 ，讨论 的零点个数。 ●解析 定义域为 。。按结论 2.1 分离参数，设 ，则 上 ， 递减； 上 ， 递增，故 为最小值。又 ；当 从右侧趋近于 时 趋于 ，故 趋于 ；当 趋于 时 趋于 （且 时 ，0 取不到，结论 2.2）。 零点个数即直线 与曲线 的交点个数： ① 当 ：低于最小值，无交点， 有 0 个零点； ② 当 ：恰过最小值点 ，1 个交点，有 1 个零点；当 ：左段 上 从 减到 ，与 恰有 1 个交点，右段 上 的值域为 ，不取 ，故有 1 个零点； ③ 当 ：左段 1 个交点，右段上 从 增至 ，与 恰有 1 个交点，共 2 个零点。 【答案】当 时，有 0 个零点；当 或 时，有 1 个零点；当 时，有 2 个零点 例 6（解答题） 已知函数 （  ）， 为 的导函数，讨论 的零点个数。 ●解析 。。 按结论 2.1 分离参数，设 （  ），则 时 ， 递减； 时 ， 递增，故 为最小值。又 ；当 从右侧趋近于 时 趋于 ；当 趋于 时 趋于 （  后 ，趋于 0 取不到，结论 2.2）。 零点个数即直线 与曲线 的交点个数： ① 当 ：无交点， 有 0 个零点； ② 当 ：恰过最小值点，1 个交点，有 1 个零点；当 ：递减段 上 从 降到 ，与 恰有 1 个交点（  时为  ），递增段 上 的值域为 ，不取 ，故有 1 个零点； ③ 当 ：递减段与递增段各恰有 1 个交点，共 2 个零点。 【答案】当 时，有 0 个零点；当 或 时，有 1 个零点；当 时，有 2 个零点 例 7（解答题） 已知函数 ，讨论 零点的个数。 ●解析 。按结论 2.1 分离参数，设 ，则 或 时 ， 时 ，故 在 上递减、 上递增、 上递减；（极小值），（极大值）。趋势：当 趋于 时 趋于 （  时 ，0 取不到）；当 趋于 时 趋于 ；。 零点个数即直线 与曲线 的交点个数，按 与关键值 的大小分类： ① 当 ：直线在极大值上方，无交点，0 个零点； ② 当 ：恰过极大值点，1 个交点；当 ：左段 的值域 与中段 的值域 均不含 ，仅右段 上 从 降到 恰有 1 个交点，二者均为 1 个零点； ③ 当 ：左段恰在端点 处取得，中段仅 处取得（同一点），右段恰有 1 个交点，共 2 个零点；当 ：左段值域不含 （  而左段上  ），中段恰 1 个交点，右段恰 1 个交点，共 2 个零点（  时交点为  ）； ④ 当 ：左段（  从 降到 ）、中段（  从 升到 ）、右段（  从 降到  ）各恰有 1 个交点，共 3 个零点。 【答案】当 时，有 0 个零点；当 或 时，有 1 个零点；当 或 时，有 2 个零点；当 时，有 3 个零点 变式训练 变 4（单项选择题） 若函数 有且仅有两个零点，则 的最小值为（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 。若 ，则 ， 单调递增，至多 1 个零点，不合题意；故 。令 ，则 ， 在 上递增、 上递减、 上递增，极大值 ，极小值 ，且当 趋于 时 趋于 ，当 趋于 时 趋于 。 按结论 1.3：恰有两个零点当且仅当极大值与极小值中恰有一个为零（两者同号时零点个数为 1；3 个零点需极大值为正而极小值为负）： 于是 。令 ，，： 时递减， 时递增，故 的最小值为 （此时 ，，可取到）。 【答案】B 变 5（解答题） 已知函数 。若 有且仅有 1 个零点，求实数 的值。 ●解析 （  ）即 ，按结论 2.1 解出参数： 设 （  ），则 令 ，则 ， 单调递增，且 ：故 时 ， 时 ， 在 上递减、 上递增， 为最小值。又，当 从右侧趋近于 时 趋于 且 趋于 ， 趋于 ；当 趋于 时 趋于 ， 趋于 。 方程 ：当 时恰有 1 解（  ）；当 时恰有 2 解；当 时无解。故 有且仅有 1 个零点当且仅当 。 【答案】 变 6（解答题） 已知函数 。若方程 有且只有一个实数根，求实数 的取值范围。 ●解析 定义域要求 且 （即  ）； 时 无意义，舍去。 方程 （  在定义域内）等价于 ，即 ① 当 ： 恒成立， 在 上严格递减（定义域断点 两侧皆递减，且 ，与递减及 相容）；，故 时 ， 时 ，按结论 2.3 断点两侧合计，方程有唯一根 （ ，在定义域内）。 ② 当 ：，零点 ， 在 上递减、 上递增，最小值 （断点 处 ，断点不是根，不影响计数。）当 从右侧趋近于 与当 趋于 时 都趋于 ，故按最小值的符号分类：最小值大于 时无根；最小值等于 时恰 1 根；最小值小于 时恰 2 根。恰有 1 根等价于 。设 （  ）：， 在 上递减、 上递增，，故 有唯一解 。 验证 ：，方程 即 ，即 ，由 （当且仅当 取等）知唯一根 ，符合。 【答案】 或 变 7（填空题） 已知函数 有且仅有 1 个零点，则 = ________． ●解析 ，故 为偶函数，零点关于原点成对出现。若有非零零点 ，则 也是零点，与”仅有 1 个”矛盾，故唯一零点必为 ： 验证： 时 ，当 时 ，故 ，仅 一个零点； 时 ，当 时 ，也仅 一个零点。均符合。 【答案】 或 单元三 零点的分布与性质 3.1 识别特征 设问为” 在区间 上恰有 个零点”，或给出零点 ，证明其和、积、相对位置等性质。 3.2 结论与推导 结论 3.1（区间定位的联合条件）　区间 上恰有 个零点，由区间端点函数值、区间内极值联合列条件：各单调段按零点存在定理逐段要求；端点是否属于区间决定相应条件取等与否——闭端点允许函数值恰为零，开端点要求严格不等号。 推导：每段的零点存在由两端异号（或端点为零）保证，唯一性由单调性保证；端点的归属改变”函数值为零是否算作区间内零点”。 结论 3.2（取点验证）　验证零点存在时，取定义域内的特殊点代入验号：含 时取使 为整数的点、含参数时取使参数表达简化的点；两点函数值一正一负且区间上单调，即锁定唯一零点。 推导：零点存在定理只需一对异号点；特殊点使函数值的符号易于判定。 结论 3.3（折返结构）　 满足 型对称关系时，若 是零点则 也是零点；借此可把远端零点折返到已知区间，得到零点之间的等量关系（如  ），再以基本不等式收束对称目标。 推导：；互倒映射交换区间 与 。 结论 3.4（绝对值分带）　含绝对值或乘积结构的零点问题，按绝对值内（或各因式）的零点把定义域分带：带内、带外分别去绝对值化简，得到不同的方程后逐带计数；带边界点单独代入验证。 推导：绝对值内的式子变号处即分带点；每带内符号固定，绝对值可去掉。 3.3 方法决策表 条件形态 构造方向 区间上恰有 个零点 端点与极值联合列条件，开端点取严格不等号（结论 3.1） 验证零点存在 特殊点取值验号＋单调夹逼（结论 3.2） 零点的和、积、对称性质 方程关系变形消参，或用 型折返（结论 3.3） 含绝对值 按变号点分带，逐带去绝对值计数（结论 3.4） 例题精讲 例 8（解答题） 已知函数 。若关于 的方程 在区间 上恰有两个实数根，求实数 的取值范围。 ●解析 方程即 在 上恰有两根。注意到 ，即 恒为根，故只需 在 上恰有一个根。 记 （分子， 时与 同号）。 ① 当 ： 时 且 ，故 ，， 在 上递增，，无根，不合； ② 当 ： 是开口向下的二次函数，对称轴 ，故 在 上递减，，。 若 ：，故 于 ， 递增，无根，不合； 若 ：，故 于 ， 递减，，无根，不合； 若 ：，存在唯一 使 ， 在 上递增、 上递减，且 。按结论 3.1（右端点 闭合，允许  ）， 上 从正值降到 ，恰有一个根等价于 由 知 ，与 相容。 【答案】 例 9（解答题） 已知函数 。（1）讨论 的零点个数；（2）若 有 3 个零点 ，，（  ），证明：。 ●解析 （1）定义域为 ，且 。 当 ：若 ，则 ；若 ，判别式 ，也有 。故 ， 在 上单调递增，仅有一个零点 。 当 ： 有两正根 ，，，故 （且 ， ）。 在 上增、 上减、 上增，。 按结论 3.2 取点验证：。记 （  ），则 （  ），故 递减，（  ）。于是 ，结合 与 在 上递增，得 内恰有一个零点 。同理 ，结合 与 在 上递增，得 内恰有一个零点 ；中段 内 严格递减且 ，唯一零点 。故此时有 3 个零点。 综上：当 时有 1 个零点；当 时有 3 个零点。 （2）由（1），，。按结论 3.3，计算 于是 ，且 ，故 是大于 1 的零点；大于 1 的零点唯一（为  ），故 。从而 （ ，基本不等式取等不成立）。 【答案】（1）当 时有 1 个零点，当 时有 3 个零点；（2）证明见解析 例 10（解答题） 已知函数 ，其中 。（1）求证：当 时，；（2）讨论 的零点个数。 ●解析 （1） 令 ，则 。当 时 ，故 ， 在 上递增，，从而 ， 在 上递增，。 （2）① 当 ：， 故 在 上递增（仅 处 ，零点孤立，不影响单调性），，有且仅有 1 个零点。 ② 当 ： 的零点为 ， 在 上递减、其后递增； 从 （  从右侧趋近于  ）出发，，故存在唯一 使 ，且 在 上为正、 上为负、 上为正。于是 在 上递增、 上递减、 上递增。 当 从右侧趋近于 时， 的增长快于 ， 趋于 ，而 ，故 内恰有 1 个零点； 内 递减且 ，无内部零点（  是零点）； 内 递增且 ，无新零点。故恰有 2 个零点。 综上：当 时有 1 个零点；当 时有 2 个零点。 【答案】（1）证明见解析；（2）当 时有 1 个零点，当 时有 2 个零点 变式训练 变 8（填空题） 已知 有且仅有两个零点，则所有满足条件的 的乘积为________． ●解析 零点满足 （  ）。右端 在 上递减，，；左端是以 为顶点的 V 型折线，左支 （斜率  ），右支 。 按结论 3.4 分带讨论：由 得 ，于是 ，当且仅当 取等——即直线 位于 的下方且相切于 。故左支 与 ： 当 时相切（  一点）； 时左支在切线下方，无交点； 时左支在 处高于 （  ），而当 从右侧趋近于 时 趋于 高于左支，故左支在 内恰有 1 个交点（  在 上递减， 从 降到  ）。再考察左支在 上的交点： 在 上递增，——当 时 ，得左支第二交点（在 内）； 时 ，交点恰为 ； 时 ，无第二交点。右支 （斜率  ）与递减的 的交点满足 ，记 ，则 严格递增，当 从右侧趋近于 时 趋于 ，当 趋于 时 趋于 ，故方程 恰有一根，交点是否有效取决于该根是否落在右支范围 。故右支的交点： 时恰有 1 个交点当且仅当 ，即 （  时交点即 ，与左支交点重合为同一点）； 时 ，根落在 内，右支同样恰有 1 个交点。 逐段合计交点数：：左支 0 个＋右支 1 个＝1；：左支 2 个＋右支 1 个＝3；：左支 1 个（切点）＋右支 1 个＝2；：左支 2 个（  内一点与  ）＋右支 1 个（ ，与前重合）＝2；：左支 1 个＋右支 0 个＝1。 故恰有两个零点当且仅当 或 ，乘积为 。 【答案】 变 9（填空题） 若函数 恰有两个零点，则实数 的取值范围是________． ●解析 零点满足 ，须 。按结论 3.4，按抛物线 的符号分带。 ① 当 ：判别式 ， 恒成立，方程即 ，即 。它有两不等实根需 ，即 ，故 或 ；两根之积为 1、之和为 ，当 时两根均为负，此时 成立，均为零点；当 时两根均为正，也均为零点。合计恰好 2 个零点，符合。 ② 当 ： 有两正根 （  ）。在 内 ，此时 ，无零点；在 上 ，方程即 ，其两根 都在 之外（  可由 平方验证，大根同理），故恰有 2 个零点，符合。 ③ 当 ：与 ② 对称（两负根，带内同样无零点，带外 两根均落带外），恰有 2 个零点，符合。 ④ 当 （且  ）： 无不等实根（  ），无零点或仅 1 个（  时重根），不符合。 综上， 的取值范围是 。 【答案】 变 10（填空题） 若函数 有且仅有一个零点 ，且 ，则实数 的取值范围为________． ●解析 即 。注意 。 先看 ：此时 。若 ，则左端 ，不成立；故必须有 ，即 （  ）。于是当 时函数在 上无零点——而最终答案将落在 内，自动满足”零点为正”的要求；当 时正零点计数（下文）为 0 个，不符合”恰有一个且为正”，故 直接排除。 在 上零点满足 ，按结论 3.4 以 与 1 的大小分带去绝对值： 当 ：。记 ，（  时 ，故  ）， 严格递增；当 从右侧趋近于 时 趋于 ， 从左侧趋近于 时 趋于 （取不到）。故此段对 恰供 1 个零点，对 供 0 个。 当 ：。记 ，， 在 上严格递减；，当 趋于 时 趋于 （取不到）。故此段对 恰供 1 个零点，对其余 供 0 个。 两段合计正零点个数： 时为 个（  是右段值域的开端，取不到，右段供 0 个）； 时为 个； 时为 个（左段上 取不到）； 时为 个； 时正零点 0 个（且该情形已被排除）。 故 的取值范围是 。 【答案】 单元四 复合型零点 4.1 识别特征 方程呈复合结构： 或 ，或若干因式乘积为零（各因式含超越结构）；设问为根的个数或由根数反求参数。 4.2 结论与推导 结论 4.1（换元双重图解）　：换元 ，先解外层 得诸 值；再对每个 数内层方程 的根数（按 的图象与水平线 的交点计数，用结论 2.1）；各 的根数求和。参数的临界值由某一层相切或取等产生，两层临界的先后决定参数范围的端点开闭。 推导：复合方程的根是”外层根 的原像”之并集；每层都是水平线交点模型。 结论 4.2（严格递增的复合等价）　 在定义域上严格递增时，：若 ，则 ；若 ，则 ；故只有 可能。该等价对严格递减的 不成立。 推导：严格递增保序，把”两层”压回”一层”；递减时两个不等号方向相反，推理断裂。 结论 4.3（因式乘积分拆与去重）　因式乘积为零的方程，按因式分拆为若干方程，分别计数后取并集；两因式的根重叠时只计一次，重叠判定单独验证（如由两根满足的同一关系推出重合）。 推导：乘积为零等价于至少一个因式为零；并集的元素个数需扣除公共元素。 结论 4.4（分段与周期结构的分段计数）　分段函数（含 型周期延拓）的零点问题，先弄清各段的解析式、单调性与值域（含端点的开闭），再按段计数：每段严格单调时至多一根，根的存在由 （或  ）落入该段值域判定；跳跃点两侧的取值单独核对。 推导：分段函数的图象逐段衔接，零点个数是各段个数的和；跳跃处左右值不等，值域端点的开闭由解析式直接读出。 4.3 方法决策表 结构形态 构造方向 换元 ，双重图解逐层计数（结论 4.1） 且 严格递增 等价于 （结论 4.2） 因式乘积为零 分拆计数取并集，重叠去重（结论 4.3） 分段 / 周期延拓 分段算清值域与单调性，逐段计数（结论 4.4） 例题精讲 例 11（填空题） 已知分段函数 ：当 时，；当 时，。若关于 的方程 恰有三个不相等的实数根，则实数 的取值范围是________． ●解析 先弄清 的结构：两段均严格递增； 时 ， 时 ；，，当 趋于 时 趋于 ，当 趋于 时 趋于 。 按结论 4.4 分段计算 （记内层  ）： 当 时 ，；当 时 ，；当 时 ，。 三段各自严格递增，值域分别为 、（  ）、；在 与 两处图象向下跳跃（左值 2 对右侧极限 0、左值 对右侧极限 0，两侧的 0 均取不到）。 按结论 4.1，方程 的根数＝各段上 落入该段值域的段数（每段严格递增，至多 1 根）：需 （段 1）、（段 2）、（段 3）三者同时成立（跳跃处右极限 0 不影响值域的开闭），即 。 【答案】 例 12（填空题） 已知函数 。当关于 的方程 的不同实数根的个数最多时，实数 的取值范围是________． ●解析 先研究内层：， 时 ， 时 ， 在 上递增、 上递减， 为最大值。趋势：当 趋于 时 趋于 （取不到 0）；当 趋于 时 趋于 。故按结论 4.1 的内层计数：当 时 恰有 2 个根（左右两支各一）；当 或 时恰有 1 个根。 换元 ：外层方程 （ ，因 代入得  ），分离参数 记 ： 时 （  取等）， 时 （  取等）。直线 与 （限制在  ）的交点逐段计数（每个交点 再按内层规则折算 根数）： ：正根仅 一个（另一正根 被限制舍去），供 2 个 根；： 与 ，分别供 2 个与 1 个，共 3 个；：两正根 且都不等于 1，各供 2 个，共 4 个；： 一个，供 2 个；：无正根；：无负根（  时 供 1 个）；：两负根，各供 1 个，共 2 个。 故不同实根个数最多为 4，当且仅当 ，即 。 【答案】 例 13（填空题） 已知分段函数 ：当 时，；当 时，。若函数 恰有 3 个不同的零点，则实数 的取值范围是________． ●解析 由 （  ）， 在 上以 1 为周期重复 上的图象； 上 ，是开口向下、顶点 的抛物线段，在 上从 递减到 （右端取不到）。故每个周期段 （  ）上 从 递减到 （右端取不到），。 按结论 4.4 分段计数。左侧 ：，即 ，判别式 ： 当 时无实根，0 个零点；当 时恰 1 个（切点  ）；当 时两根之积 、之和 ，两根均为负，恰 2 个零点；当 时两根一正一负；当 时两根为 与 （  处 ，不是零点）——负根恰 1 个，得 1 个零点。 右侧 ：方程 。当 （  ）时 ，无零点。当 时，在周期段 （  ）上， 在左端取值 、在右端趋于 ，函数递减而 递增，故恰有一个交点当且仅当 该区间内正整数 的个数： 时恰为 2 个（  ）； 时恰为 1 个（  ）； 时为 0 个。 合计： 时 个； 时 个； 时 个； 时 1 个； 时 0 个。故恰有 3 个零点当且仅当 。 【答案】 变式训练 变 11（单项选择题） 已知函数 ，则函数 的零点个数为（  ） A．0　　B．1　　C．2　　D．3 ●解析 定义域 ，， 在 上严格递增。 按结论 4.2：对严格递增的 ，若 ，则 ；若 ，则 。故方程 （此时 ，复合有意义）等价于 。 设 （  ），则 上 ， 递增； 上 ， 递减，（  ）为最大值；当 从右侧趋近于 时 趋于 ，当 趋于 时 趋于 。故 在 与 内各恰有一根，共 2 个零点。 【答案】C 变 12（单项选择题） 若关于 的方程 （  ）恰有四个不同的实根 ，，，（  ），则（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 按结论 4.3 分拆两因式：（  ）；（ ， ）。 设 ，： 与 上递减， 上递增； 时 ，，当 从右侧趋近于 时 趋于 。故 或 时 仅 1 根， 时恰 2 根（记  ）， 时无根。 关键结构：。故第二个方程等价于 等于 的根。要有四个不同实根，须 ，此时四个根为 （由 得 ，即  ）。四数排序有两种可能： 或 ，无论哪种，均有 故 D 正确、C 错误。又 （  在 上严格递增且  ），故 ，A、B 均错。 【答案】D 变 13（单项选择题） 已知分段函数 ：当 时，；当 时，。若 恰有 4 个零点，则 的取值范围为（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 ，故 恒为 的零点；其余零点满足 （  ），即 按结论 4.4 分段研究 ：当 ，，最小值 （  ），，当 趋于 时 趋于 ，；当 ，，， 上递增、 上递减， 为最大值，，当 从右侧趋近于 时 趋于 ，当 趋于 时 趋于 。 恰有 4 个零点等价于 与 恰有 3 个交点（再加  ）。逐段计数： ： 段 2 个（两抛物线支各一）， 段 1 个（  时根落在 内）——共 3 个；： 段 2 个（  ）， 段 1 个（  ）——共 3 个；： 段 2 个（ ，方程 的两根 分别落在 与 内）， 段 1 个（切点  ）——共 3 个；： 段 2 个、 段 2 个——共 4 个，不合；： 段 2 个、 段 0 个——共 2 个，不合；：方程 的右根 落出 的范围， 段 1 个、 段 0 个——共 1 个，不合；： 段至多 1 个，合计至多 2 个，不合。 故 。 【答案】D 学科网（北京）股份有限公司 $