2027届高考数学一轮复习 专项训练：函数与导数

2027届高考数学一轮复习专项训练：函数与导数 命题人：李文元 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：函数与导数 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.若函数 A. B. C.x2 D.x2(x≠1) 【答案】D 【详解】令-=1，因为x≠0，所以-1==1-1，所以11，且=1-1， xxx 则f()=(（1-)2-2(1-)+1=2,t≠1，所以f(x)=x2(x≠1). 2.已知函数()是定义在R上的偶函数，对任意，无0，w),且55，有飞)f3>0.若 x1-x2 f(1)=0,则不等式(x-1)f(x)>0的解集是() A.（-1,1)U(1,+∞)B.（-1,1) C.（-o,-1)U(1,+o) D.（-o,-1)U(0,1) 【答案】A 【分析】先由：)-儿：)>0以及函数奇偶性判断出函数在定义域上的单调性，再将不等式 x1-x2 「x-1>0.〔x-1<0 -/(>0转化为>0或/<0：结合f0=0即可求解. 【详解】己知f(x)是定义在R上的偶函数，则f(x)=f(-x), 因为对任意x,x2∈[0，+o),且x≠x2,都有 fx)-s>0, x-x2 所以函数f(x)在[0，+∞)上单调递增，在(-o,0]上单调递减. [x-1>0「x-1<0 又因为f0=0,所以f(-)=f)=0.(x-)f)>0等价为女>0或()<0 x>1 x<1 根据函数f(x)的单调性，可知 或 x>1或x<-1 -1<x<1' 解得x>1或-1<x<1,即不等式的解集为(-1,1)U(1,+∞)， a.e',x≤0 3.已知函数f(x)= n,x>0（a>0,其中c为自然对数的底数)，若关于x的方程f(f(s)=0有且只 有一个实数解，则实数a的取值范围为() A.(1,+∞) B.(1,2) c.(0,1) D.(0,1)U(1,+∞) 【答案】C 【分析】利用f(x),先解出f(x)=0的根，又由f(f(x)=0得到f(x)=1,再利用函数f(x)的图象即可 得a的取值范围， 【详解】当x≤0时，a>0,则f(x)=ae>0:当x>0时，则f(x)=-lnx=0,得x=1. 因为f(f(x)=0,所以f(x)=1.又关于x的方程f(f(x)=0有且只有一个实数解，所以f(x)=1有且只 有一个实数解如图，作出函数f(x)的图象，又f(0)=a>0,由图可得0<a<1. y=f(x) 4.函数f(x)=xcosx与g(x)=sinx在(0,2π)上交点的个数为() A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】B 【分析】将两函数交点问题转化为构造函数的零点问题，根据导数与单调性的关系，结合零点存在定理求 解即可. 【详解】f(x)=xcosx与g(x)=sinx在(0,2π)上的交点个数，等价于方程xcOSx=sinx在(0,2π)上的解的 个数 构造函数h(x)=xcoSx-sinx,x∈(0,2π).对h(x)求导得：(x)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx 当xe(0,π)时，x>0,sinx>0,则h(x)=-xsinx<0,故h(x)在(0，π)上单调递减 又h(0)=0×cos0-sin0=0,故对任意x∈(0，π)，h(x)<0,此时无零点， 当x∈（π，2π）时，x>0,sinx<0,则h(x)=-xsinx>0,故h(x)在（π，2π）上单调递增. 又h(π)=πcosπ-sinπ=-π<0，h(2π)=2πcos2π-sin2π=2π>0， 根据零点存在定理，存在唯一x∈（π，2π）使得h(x)=0 综上，h(x)在(0,2π)上仅有1个零点，即两函数交点个数为1. 5.已知偶函数f(x)及其导函数∫'(x)的定义域均为R,f(x)在[0，+o)上单调递减，f(-3)=0,x≠0时， '(x)≠0，则关于x的不等式f(x)f'(x)<0的解集为(). A.（-3,0)U(0,3) B.（-0,-3)U(0,3) C.（-3,0)U(3,+∞) D.（-∞，-3)U(3,+o) 【答案】B 【分析】利用偶函数的对称性得到f(x)在(-o,0]上的单调性及f(3)=0,再分x>0和x<0讨论f(x)与 f'(x)的符号，求解乘积小于0的区间. 【详解】因为f(x)是定义域为R的偶函数，故f(3)=f(-3)=0,且f(x)图象关于y轴对称， 已知f(x)在[0，+∞)上单调递减，由对称性可得f(x)在(-o,0]上单调递增， 当x>0时，f(x)单调递减，故f'(x)<0,此时不等式f(x)f'(x)<0等价于f(x)>0, 由于x>0时f(x)单调递减，且f(3)=0,因此f(x)>0的解集为(0,3)， 当x<0时，f(x)单调递增，故f'(x)>0,此时不等式f(x)f'(x)<0等价于f(x)<0, 由于x<0时f(x)单调递增，且f(-3)=0,因此f(x)<0的解集为(-o,-3), 综上，不等式f(x)f'(x)<0的解集为(-o,-3)(0,3) 6.若函数f(x)=x3+2x2-8x+4在区间(-1,2)上是单调函数，则实数a的取值范围是() A. 1,2 30 5 D 4 2 【答案】D 【详解】函数求导得f'(x)=3x2+4-8,f'(0)=-8<0, f'(-1)≤0.「-5-4a≤0 若函数在(-1,2)上是单调函数， 则 f'(2)≤0 4+8a≤0' 解得、5 1 51 2 故实数a的取值范围是 42 7.若x=3是函数f(x)=alx-二+x+1的极小值点，则函数f(x)的极大值为() A.-5 B.3-4n3 C.-1 D.1 【答案】C 【分析】根据极值点列方程，求得a,进而求得f(x)的极大值 【i详解】函数f(y)=ainr-3+x+l的定义域是(0，+o), f-2+1)-号号1-a=4.e)-4m1 r=之+1--+3--》 x2 x2 所以f(x)在区间(0,1)，(3，+o)上f'(x)>0,f(x)单调递增，在区间(1,3)上，f(x)<0,f(x)单调递减， 所以f(x)的极大值为f(1)=-4lnl-3+1+1=-1. 8.已知x=反是函数=写*2x+30)的一个极值点，则)的极大值为（) A.22 B.32 C.42 D. 8v2 3 3 【答案】D 【分析】利用极值点处的导数是0求出b,再根据单调性求出极大值， 【详解】根据题意求出f'(x)=2x2+b, 因为x=√2是极值点，所以f(V2)=0,求出b=4,所以f(x)=2x2-4, 令f"(x)=2x2-4=0,得x=±V2,所以x<-V2,f'(x)>0,函数在(0，-V2)上递增： -V2<x<2,f'(x)<0,函数在(-V2,V2)上递减：x>√2，f'(x)>0,函数在(V2,+∞递增， 所以在x=V2处取得极大值f(V)=8y2 3 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知函数f(x)=x(x-c)}2,则() A.c∈R,函数f(x)为增函数 B.c∈R,函数f(x)为奇函数 C.若c=3,则f(4+x)+f(-x)=4 D.若x=2为极大值点，则c=6 【答案】BCD 【分析】先求导分析函数的单调性、极值，再结合奇偶性、对称性的定义逐一验证选项 【详解】对于A:对f(x)=x(x-c)2求导得f'(x)=(x-c)2+2x(x-c)=(3x-cx-c), 当c≠0时，导函数'(x)存在两个不同零点，故原函数f(x)存在单调递减区间，不是R上的增函数，A错 误：对于B:当c=0时，f(x)=x3,满足f(-x)=-x=-fx),是奇函数，故B正确： 对于C:当c=3时，f(x)=x(x-3)2,则f(-x)=-x(x+3)2=-x3-6x2-9x, f(4+x)=(4+x)x+1)2=(x+4)(x2+2x+)=x3+6x2+9x+4, 则f(4+x)+f(-x)=x3+6x2+9x+4-x3-6x2-9x=4,故C正确： 对于D:令f'(2)=0得(6-c(2-c)=0,即c=2或c=6, 当c=2时、因-6x2x-2,由/>0可利x<号或x>2.由/<0可得号<2， 即晒数在（子和2+0）上单调递增，在，2)上单调造减。放x=2为极小值点，合去： 而当c=6时，f'(x)=3(x-2)(x-6),由f'(x)>0可得x<2或x>6,由f'(x)<0可得2<x<6, 即函数在(-0,2)和(6，+∞)上单调递增，在(2,6)上单调递减，此时x=2为极大值点，c=6,故D正确. 10.设函数f(x)=x3(nx-1),则() A.f(x)有且仅有2个零点 B.f(x)有且仅有1个极值点 C.不等式f(x)之-1恒成立 D.f(x)在区间(0，)上单调递减 【答案】BD 【分析】由f(x)=x(x-I)及其定义域可直接求零点：利用f'(x)可判断f(x)单调性，从而得到极值点： 利用f)=1及f(x)单调性即可判断f(x)≥-1不恒成立；利用'(x)可判断f(x)单调性. 【详解】对于选项A,函数f(x)=x(nx-1)的定义域为(0，+oo).由f(x)=0,得x3(nx-1)=0,故lnx-1=0, 解得x=e,所以f(x)有且仅有1个零点，故A错误： 对于选项B,f)=3xx-)+=x3nx-2),令f)=0,得x=e,当0<x<e时，f)<0, 当x>e时，'(：>0，所以f四在x=e处取得极小值，故f(田有且仅有1个极值点，故B正确： 21 对于选项C,因为f0=-1,且1<e3,而fx)在0，e上单调递减，所以当1<x<时，f)<f0=-山， 故不等式f(x)≥-I不恒成立，故C错误； 对于选项D,由B知，f(x)在区间(0,1)上单调递减，故D正确 11.已知函数f(x)=lg(mx2-mx+3),则下列选项正确的有() 4若)的定义城为(-2列，则m= B.若f(x)的定义域为R,则m∈(0,12) C.若f(x)的值域为R,则m∈[12，+o) D.者f2 上单调递增，则m∈(0,12) 【答案】AC 【分析】对于A,由mx2-mx+3>0的解集为(-2,3)，得-2,3为方程mx2-mx+3=0的两个根，进而判断： 对于B,由mx2-mx+3>0对于x∈R恒成立，进而判断；对于C,令t=mx2-mx+3,根据二次函数的性 质结合条件进而判新：对于D,令1=m2-mx+3,由外离数y=g为增函致，得1=m心-+3在 上单调递增，进而判断 【详解】对于A,由f(x)的定义域为(-2,3)，所以mx2-mx+3>0的解集为(-2,3)， m<0 1 所以-2,3为方程m2-m+3=0的两个根，所以-2+3=州→m=,故A正确： m -2×3=3 m 对于B,由f(x)的定义域为R,所以mx2-mx+3>0对于x∈R恒成立， 当m=0时，3>0满足题意， 当m≠0时， m>0 A=m-12m<0→0<m<12,所以m∈[0,12)，故B错误； 对于C,由f(x)的值域为R,令t=mx2-mx+3,则(0，+o)s{tt=mx2-mx+3}, 当m=0时，1=3不满足题意， m>0 当m≠0时， A=m2-12m≥0→m≥12，所以m∈[l2,+∞)，故C正确： 对于D,由f()在2+松小上单调递增，令1=m2-m+3, 当m=0时，t=3不满足题意， 1 当m≠0时，二次函数t=mx2-mx+3的对称轴为x= 由外函数y=lgt为增函数，所以t=mx2-mx+3在 2,+0 上单调递增， m>0 所以对于xE 1>0恒成立，所以 m+3≥0 →0<m≤12，所以m∈(0,12]，故D错误 m. 2 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 2x,x≤0 12. 若函数f(=/x-)fx-2.0则f(2026)= 【答案】1 【分析】利用递推关系式变形推出函数周期，计算2026对周期的余数，转化为求较小自变量的函数值 【详解】由f(x)=f(x-1)-f(x-2),得f(x+1)=f(x)-f(x-1),两式相加得f(x+1)=-f(x-2): 即f(x+3)=-f(x)所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x),所以T=6. f(0)=2=1,f(-1)=2)=2,f0)=f(0)-f(-)=1-2=-1,f(2)=f(0-f(0)=-1-1=-2, f(3)=f(2)-f0)=-2-(-1)=-1,f(4)=f(3)-f(2)=-1-(-2)=1,f(5)=f(4)-f(3)=1-（-1)=2, f(6)=f(5)-f(4)=2-1=1.2026=6×337+4→f(2026)=f(4④=1. 13.己知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x+4)=f(x-2),当x∈[-3,0]时，f(x)=2,则 f(2019)= 【答案】8 【详解】因为f(x+4)=f(x-2),所以f(x+6)=f(x),即函数f(x)的周期为6， 又函数为偶函数，所以f(2019)=f(3+6×336)=f(3)=f(-3)=2=8 14.若函数f(x)=-x-2+lr在区间-a,3-2d内单调递增，则a的取值范围是 【答案】 【分析】利用导数求出f(x)的单调递增区间，要使f(x)在区间1-a,3-2a内单调递增，即区间 [1-a,3-2a]是函数f(x)单调递增区间的子集，由此列出不等式组，解不等式组即可求解 2.1 【详解】函数定义域(0，+o),对f)求导f)=-1+子+于 令f20,得-1+2+1三 +-20,即x2-x-2≤0， 结合x>0,解得0<x≤2，即f(x)的单调递增区间为(0,2]， 函数f(x)在1-a,3-2a]内单调递增，则[1-a,3-2a是(0,2]的子集， 1-a<3-2a a<2 故1-a>0 ,解得a<1,则a的取值范围是 3-2a≤2 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)已知函数y=f(x)的定义域为R,并对一切实数x,都满足f(2+x)=f(2-x). (1)证明：函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称： (2)若f(x)是偶函数，且xe[0,2]时，f(x)=2x-1,求x∈[-4,0]时，f(x)的表达式. 【答案】()证明：设P(o,%)是函数y=f(x)图象上任一点，则%=f(),点P关于直线x=2的对称点 为P'(4-x%),因为f(4-x)=f[2+(2-x)]=f[2-(2-x)门=f(x)=, 所以P'也在y=f(x)的图象上，所以函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称. (2)f(x)= [2x+7,x∈[-4，-2]， -2x-l,x∈[-2,0] 【详解】(1)略 (2)当x∈[-2,0]时，-x∈[0,2]，所以f(-x)=-2x-1.又因为f(x)为偶函数， 所以f(x)=f(-x)=-2x-1,x∈[-2,0]. 当x∈[4，-2]时，4+x∈[0,2]，所以f(4+x)=2(4+x)-1=2x+7, 而f(4+x)=f[2+(2+x)]=f[2-(2+x)]=f(-x)=f(x),所以f(x)=2x+7,x∈[4，-2]， 所以f(x)= ∫2x+7,x∈[-4，-2， -2x-1,x∈[-2,0] 16.(15分)已知函数f(x)=x2+2x-1+a. (1)若关于x的方程f(x)=4x在(1,2)上有实数解，求a的取值范围： (2)设g(x)=log2(a2+1),若对任意的x,为2∈[0,2]，都有g(x)<f(x)a,求a的取值范围. 【答案】(1)(2,3) 【分析】(1)函数f(x)先去绝对值，再代入方程，然后分离参数得到新函数h(x)=-(x-1+3,新函数 是一个二次函数，通过二次函数的性质即可解得α的取值范围」 (2)函数f(x)先去绝对值后取得在区间0,2]上的最小值，再将其与g(x)一同代入不等式中，对不等式 进行转化即可解得a的取值范围. 【详解】(1)当x∈(1,2)时，x-1>0,故x-1=x-1, 代入f(x)=4x,得：x2+2(x-1)+a=4x→x2-2x-2+a=0 分离参数a,得：a=-x2+2x+2=-（x-1)+3, 又因为函数h(x)=-(x-1)2+3开口向下且其对称轴为x=1,所以-(1-1)2+3>a>-(2-1)+3, 所以a的取值范围为(2,3). (2)当x∈[0，时，x-1=1-x,f(x)=x2+2(1-x)+a=(x-1)2+1+a, 因为f(x)在[0，上单调递减，所以f(x)≥f(): 当x∈[l,2]时，x-l=x-1,f(x)=x2+2(x-l)+a=(x+l2-3+a, 因为f(x)在[l,2]上单调递增，所以f(x)≥f(),所以f(x)≥1+a: 2a< 8()小kf3)-a→lg,(a-2*+l)<1+a-a→0<a-2r+1<23-1< 24 又因为xe习，所以1，ss日所以a<na>牙a份取值范围为 1 11 4 -44 17.(15分)已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f(x)=x2-2x+2. (1)求f(x)在x>0时的解析式： (2)解不等式：f(2x-3)>f(x+2): 诺s2r++2a-在[ 上恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)f(x)=x2+2x+2 U(5. (3)(-0,-1-V13]U[-1+V13,+o) 【详解】(1)当x≤0时，f(x)=x2-2x+2,.当x>0时，-x<0, .f(-x)=(-x)2-2(-x)+2=x2+2x+2 又f(x)是定义在R上的偶函数，.f(x)=f(-x)=x2+2x+2,故当x>0时，f(x)=x2+2x+2 (2)易知f(x)在(-0,0)上单调递减，在(0，+o)上单调递增 则不等式f2x-3)>f(x+2)即为f(2x-3到>f(x+2),可得2x-3>x+2,解得x<,或x>5 2 即所求不等式的解集为 图)由四≤2+a+2a在x9分 上恒成立， .x2+2x+2-2≤a2+2a- 上恒成立， d+2a92(+2x+2-2r 又y=+2x+2与y=2”在xe[别上单调遥0， (+2x+2-2）=P+2+2-2=9 a+2a5≥)解得a≤1-B或a21+13,故实数a的取值范围为(-0，-1-V3u[-1+13,+∞ 18.（17分)己知函数f(x)=(x-1)e-ax2,a∈R (1)当a=0时， 过侵0作重线y=的切线，求切线的斜*： (2)若x=0是函数f(x)的极小值点，求实数a的取值范围. 【答案】()2e或ye 1 2-0,2 【分析】(1)设切点为(m,(m-I)e”),结合导数的几何意义及斜率两点式列方程求参数值，进而求出对应 切线斜率； (2)对函数求导，应用分类讨论研究导数的区间符号，结合极小值点求参数范围 【详解】(1)a=0时，f(x)=(x-l)e*,则f'(x)=xe, 设切点为(aa-小e且P0)则f网--g 3 m- 所以me”=m-)e” 整理得2m2-5m+2=0,解得m=2或m=2, 1 当m=2时，切线斜率k=f'(2)=2e2, 当m时切践舞=/付 (2)由题设f'(x)=xe-2ax=x(e-2a, ①当2a≤0，即a≤0时， 由f'(x)=0,得x=0, 由f'(x)>0,得x>0, 由f'(x)<0,得x<0, 所以f(x)在(-o,0)上为减函数，在(0，+o)上为增函数， 则x=0为极小值点，符合题意， ②当0<2a<1,即0<a<时， 由f'(x)=0,得x=0或x=ln2a, 由f'(x)>0,得x>0或x<ln2a, 由f'(x)<0,得ln2a<x<0, 所以f(x)在(-o,n2ad和(0，+oo)上为增函数，在(n2a,0)上为减函数， 所以x=0为极小值点，符合题意， ③当2a>l,即a>2时， 由f'(x)=0,得x=0或x=ln2a, 由f'(x)>0,得x>ln2a或x<0, 由f'(x)<0,得0<x<ln2a, 所以f(x)在(-oo,0)和(n2a,+oo)上为增函数，在(0，ln2ad)上为减函数， 所以x=0为极大值点，不符合题意， ④当2a=1,即a=时，f20恒成立，则)在（←e+四上为增函数， 所以f(x)无极值，不符合题意， 综上，x=0是函数f(x)的极小值点，a的取值范围是 19.(17分)已知函数f(x)=e-2-ax+1,aeR. (1)若曲线y=f(x)在点(3，f(3)处的切线1的斜率为e-1,求1的方程； (2)在（1)的条件下，若f(lnx+2)≥ac-xnx-1恒成立，求实数k的取值范围. 【答案】(1)y=(e-1)x-2e+1 (2)(-o,1] 【分析】(1)求f'(x),再求f'(3),即得a的值，再求∫(3)，从而得到切线的点斜式方程，进而得到1的 般方程： (2)结合(1)及分离参数得到k≤1+nr-血x 再构造函数，求导，分析函数的单调性，从而得到 最小值，进而即可求出实数k的取值范围. 【详解】(1)由题意得f'(x)=e-2-a,则切线的斜率为f'(3)=e-a=e-l,所以a=1, 又f(3)=e-2,所以曲线y=f(x)在点(3，f3)处的切线方程为y-(e-2)=(e-)(x-3), 即y=(e-1)x-2e+1. (2)f(lnx+2)≥c-xnx-1,结合(1)得a=1,又f(nx+2)≥c-xnx-1, 则x-(nr+2)+1≥&r-xnx-l,整理得k≤1+lnr-nr, 令h()=1+nr-r,则h)=-1-lr_x+lnx-L, x x2 x2 由于y=x-1+lnx为(0，+oo)上的单调递增函数，且当x=1时，y=0, 故当x∈(0,1)时，y=x-1+lnx<0,则h(x)<0; 当x∈(L,+o)时，y=x-1+lnx>0,则h(x)>0,所以h(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+o)上单调递增， 因此h(x)min=h(I)=1,故k的取值范围为(-oo, 2027届高考数学一轮复习 专项训练：函数与导数 命题人：李文元 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：函数与导数 第一部分（选择题 共58分） 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若函数，则（ ） A． B． C． D． 2．已知函数是定义在上的偶函数，对任意，且，有．若，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 3．已知函数，（，其中为自然对数的底数），若关于的方程有且只有一个实数解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．函数与在上交点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．已知偶函数及其导函数的定义域均为，在上单调递减，，时，，则关于的不等式的解集为（    ）. A． B． C． D． 6．若函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．若是函数的极小值点，则函数的极大值为（    ） A． B． C． D．1 8．已知是函数的一个极值点，则的极大值为（     ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，则（    ） A．，函数为增函数 B．，函数为奇函数 C．若，则 D．若为极大值点，则 10．设函数，则（    ） A．有且仅有2个零点 B．有且仅有1个极值点 C．不等式恒成立 D．在区间上单调递减 11．已知函数，则下列选项正确的有（   ） A．若的定义域为，则 B．若的定义域为R，则 C．若的值域为R，则 D．若在上单调递增，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若函数，则__________. 13．已知是定义在上的偶函数，且，当时，，则________． 14．若函数在区间内单调递增，则的取值范围是_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知函数的定义域为，并对一切实数，都满足． (1)证明：函数的图象关于直线对称； (2)若是偶函数，且时，，求时，的表达式． 16．（15分）已知函数. (1)若关于的方程在上有实数解，求的取值范围； (2)设，若对任意的，，都有，求的取值范围. 17．（15分）已知是定义在上的偶函数，当时，． (1)求在时的解析式； (2)解不等式：； (3)若在上恒成立，求实数的取值范围． 18．（17分）已知函数． (1)当时，过作曲线的切线，求切线的斜率； (2)若是函数的极小值点，求实数a的取值范围． 19．（17分）已知函数，． (1)若曲线在点处的切线的斜率为，求的方程； (2)在（1）的条件下，若恒成立，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高考数学一轮复习 专项训练：函数与导数 命题人：李文元 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：函数与导数 第一部分（选择题 共58分） 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，因为，所以，所以，且， 则，，所以． 2．已知函数是定义在上的偶函数，对任意，且，有．若，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由以及函数奇偶性判断出函数在定义域上的单调性，再将不等式转化为或，结合即可求解． 【详解】已知是定义在上的偶函数，则， 因为对任意，且，都有， 所以函数在上单调递增，在上单调递减． 又因为，所以．而等价为或， 根据函数的单调性，可知或， 解得或，即不等式的解集为． 3．已知函数，（，其中为自然对数的底数），若关于的方程有且只有一个实数解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用，先解出的根，又由得到，再利用函数的图象即可得的取值范围. 【详解】当时，，则；当时，则，得. 因为，所以.又关于的方程有且只有一个实数解，所以有且只有一个实数解.如图，作出函数的图象，又，由图可得. 4．函数与在上交点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】将两函数交点问题转化为构造函数的零点问题，根据导数与单调性的关系，结合零点存在定理求解即可. 【详解】与在上的交点个数，等价于方程在上的解的个数. 构造函数，.对求导得： . 当时，，，则，故在上单调递减. 又，故对任意，，此时无零点. 当时，，，则，故在上单调递增. 又，， 根据零点存在定理，存在唯一使得. 综上，在上仅有1个零点，即两函数交点个数为1. 5．已知偶函数及其导函数的定义域均为，在上单调递减，，时，，则关于的不等式的解集为（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用偶函数的对称性得到在上的单调性及，再分和讨论与的符号，求解乘积小于的区间. 【详解】 因为是定义域为的偶函数，故，且图象关于轴对称， 已知在上单调递减，由对称性可得在上单调递增， 当时，单调递减，故，此时不等式等价于， 由于时单调递减，且，因此的解集为， 当时，单调递增，故，此时不等式等价于， 由于时单调递增，且，因此的解集为， 综上，不等式的解集为. 6．若函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数求导得，， 若函数在上是单调函数，则， 解得，故实数的取值范围是. 7．若是函数的极小值点，则函数的极大值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据极值点列方程，求得，进而求得的极大值. 【详解】函数的定义域是， ， ， 所以在区间上单调递增，在区间上，单调递减， 所以的极大值为. 8．已知是函数的一个极值点，则的极大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用极值点处的导数是0求出,再根据单调性求出极大值. 【详解】根据题意求出， 因为是极值点,所以,求出,所以， 令，得，所以,,函数在上递增； ,,函数在上递减；,,函数在递增, 所以在处取得极大值. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，则（    ） A．，函数为增函数 B．，函数为奇函数 C．若，则 D．若为极大值点，则 【答案】BCD 【分析】先求导分析函数的单调性、极值，再结合奇偶性、对称性的定义逐一验证选项. 【详解】对于A：对求导得， 当时，导函数存在两个不同零点，故原函数存在单调递减区间，不是上的增函数，A错误；对于B：当时，，满足，是奇函数，故B正确； 对于C：当时，，则， ， 则，故C正确； 对于D：令得，即或， 当时，，由可得或，由可得， 即函数在和上单调递增，在上单调递减，故为极小值点，舍去； 而当时，，由可得或，由可得， 即函数在和上单调递增，在上单调递减，此时为极大值点，，故D正确. 10．设函数，则（    ） A．有且仅有2个零点 B．有且仅有1个极值点 C．不等式恒成立 D．在区间上单调递减 【答案】BD 【分析】由及其定义域可直接求零点；利用可判断单调性，从而得到极值点；利用及单调性即可判断不恒成立；利用可判断单调性. 【详解】对于选项A，函数的定义域为.由，得，故，解得，所以有且仅有1个零点，故A错误； 对于选项B，，令，得，当时，，当时，，所以在处取得极小值，故有且仅有1个极值点，故B正确； 对于选项C，因为，且，而在上单调递减，所以当时，，故不等式不恒成立，故C错误； 对于选项D，由B知，在区间上单调递减，故D正确. 11．已知函数，则下列选项正确的有（   ） A．若的定义域为，则 B．若的定义域为R，则 C．若的值域为R，则 D．若在上单调递增，则 【答案】AC 【分析】对于A，由的解集为，得为方程的两个根，进而判断；对于B，由对于恒成立，进而判断；对于C，令，根据二次函数的性质结合条件进而判断；对于D，令，由外函数为增函数，得在上单调递增，进而判断. 【详解】对于A，由的定义域为，所以的解集为， 所以为方程的两个根，所以，故A正确； 对于B，由的定义域为，所以对于恒成立， 当时，满足题意， 当时，，所以，故B错误； 对于C，由的值域为R，令，则， 当时，不满足题意， 当时，，所以，故C正确； 对于D，由在上单调递增，令， 当时，不满足题意， 当时，二次函数的对称轴为， 由外函数为增函数，所以在上单调递增， 所以对于，恒成立，所以，所以，故D错误. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若函数，则__________. 【答案】1 【分析】利用递推关系式变形推出函数周期，计算2026对周期的余数，转化为求较小自变量的函数值. 【详解】由，得，两式相加得， 即 ，所以 ，所以. ，，，， ，，， .. 13．已知是定义在上的偶函数，且，当时，，则________． 【答案】8 【详解】因为，所以，即函数的周期为6， 又函数为偶函数，所以. 14．若函数在区间内单调递增，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】利用导数求出的单调递增区间，要使在区间内单调递增，即区间是函数单调递增区间的子集，由此列出不等式组，解不等式组即可求解. 【详解】函数定义域，对求导， 令，得，即， 结合，解得，即的单调递增区间为， 函数在内单调递增，则是的子集， 故，解得，则a的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知函数的定义域为，并对一切实数，都满足． (1)证明：函数的图象关于直线对称； (2)若是偶函数，且时，，求时，的表达式． 【答案】(1)证明：设是函数图象上任一点，则，点关于直线的对称点为，因为， 所以也在的图象上，所以函数的图象关于直线对称． (2) 【详解】（1）略 （2）当时，，所以．又因为为偶函数， 所以，． 当时，，所以， 而，所以，， 所以 16．（15分）已知函数. (1)若关于的方程在上有实数解，求的取值范围； (2)设，若对任意的，，都有，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）函数先去绝对值，再代入方程，然后分离参数得到新函数，新函数是一个二次函数，通过二次函数的性质即可解得的取值范围. （2）函数先去绝对值后取得在区间上的最小值，再将其与一同代入不等式中，对不等式进行转化即可解得的取值范围. 【详解】（1）当时，，故， 代入，得： 分离参数，得：， 又因为函数开口向下且其对称轴为，所以， 所以的取值范围为. （2）当时，，， 因为在上单调递减，所以； 当时，，， 因为在上单调递增，所以，所以； 又因为，所以，，所以且，的取值范围为. 17．（15分）已知是定义在上的偶函数，当时，． (1)求在时的解析式； (2)解不等式：； (3)若在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）∵当时，，∴当时，， 又是定义在上的偶函数，，故当时， （2）易知在上单调递减，在上单调递增 则不等式即为,可得，解得或 即所求不等式的解集为 （3）由在上恒成立， 在上恒成立， 又与在上单调递增， ，解得或，故实数的取值范围为 18．（17分）已知函数． (1)当时，过作曲线的切线，求切线的斜率； (2)若是函数的极小值点，求实数a的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）设切点为，结合导数的几何意义及斜率两点式列方程求参数值，进而求出对应切线斜率； （2）对函数求导，应用分类讨论研究导数的区间符号，结合极小值点求参数范围. 【详解】（1）时，，则， 设切点为，且，则， 所以，则， 整理得，解得或， 当时，切线斜率， 当时，切线斜率； （2）由题设， ①当，即时， 由，得， 由，得， 由，得， 所以在上为减函数，在上为增函数， 则为极小值点，符合题意， ②当，即时， 由，得或， 由，得或， 由，得， 所以在和上为增函数，在上为减函数， 所以为极小值点，符合题意， ③当，即时， 由，得或， 由，得或， 由，得， 所以在和上为增函数，在上为减函数， 所以为极大值点，不符合题意， ④当，即时，恒成立，则在上为增函数， 所以无极值，不符合题意， 综上，是函数的极小值点，a的取值范围是. 19．（17分）已知函数，． (1)若曲线在点处的切线的斜率为，求的方程； (2)在（1）的条件下，若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求，再求，即得的值，再求，从而得到切线的点斜式方程，进而得到的一般方程； （2）结合（1）及分离参数得到，再构造函数，求导，分析函数的单调性，从而得到最小值，进而即可求出实数的取值范围． 【详解】（1）由题意得，则切线的斜率为，所以， 又，所以曲线在点处的切线方程为， 即． （2），结合（1）得，又， 则，整理得， 令，则， 由于为上的单调递增函数，且当时，， 故当时，，则； 当时，，则，所以在上单调递减，在上单调递增， 因此，故的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高考数学一轮复习专项训练：函数与导数 命题人：李文元 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：函数与导数 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.若函数 A. B C.x2 D.x2(x≠1) 2.已知函数f()是定义在R上的偶函数，对任意k0+m),且5≠x,有)f儿西0.若 1-x2 f()=0,则不等式(x-1)f(x)>0的解集是() A.（-1,1)U(1,+∞）B.（-1,1) C.（-o,-U(1,+∞）D.(-∞，-lU(0,1) 3.已知函数f(x)= ae,x≤0 -Inx,x>0 ,(a>0,其中e为自然对数的底数)，若关于x的方程f(f(x)=0有且只 有一个实数解，则实数a的取值范围为() A.(1,+o0) B.(（1,2) C.(0,1) D.(0,1)U(1,+∞) 4.函数f(x)=xcoSx与g(x)=sinx在(0,2π)上交点的个数为() A.0 B.1 C.2 D.3 5.已知偶函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,f(x)在[0，+o)上单调递减，f(-3)=0,x≠0时， ∫'(x)≠0，则关于x的不等式f(x)'(x)<0的解集为(). A.（-3,0)U(0,3)B.(-o,-3)U(0,3)C.（-3,0)U(3,+∞)D.（-∞，-3)U(3,+0) 6.若函数f(x)=x3+2a2-8x+4在区间(-1,2)上是单调函数，则实数a的取值范围是() A.- [ 7.若x=3是函数f(x)=alx-二+x+1的极小值点，则函数f(x)的极大值为() A.-5 B.3-4ln3 C.-1 D.1 8.已知x=巨是函数f)=写2x+30)的一个极值点，则f(四的极大值为〈) A.2W2 B.3√2 c.4V2 D.&2 3 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知函数f(x)=x(x-c)2,则() A.c∈R,函数f(x)为增函数 B.3c∈R,函数f(x)为奇函数 C.若c=3,则f(4+x)+f(-x)=4 D.若x=2为极大值点，则c=6 10.设函数f(x)=x3(nx-1),则() A.f(x)有且仅有2个零点 B.f(x)有且仅有1个极值点 C.不等式f(x)≥-1恒成立 D.f(x)在区间(0，)上单调递减 11.已知函数f(x)=lgmx2-mx+3),则下列选项正确的有() A若f)的定义域为(-23)，则m=习 B.若f(x)的定义域为R,则m∈(0,12) C.若f(x)的值域为R,则m∈[12，+o) D.若fs)在3m上单调递增，则mc(012) 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 2x,x≤0 12.若函数f)/k-)-fc-2,心0则f2026) 13.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x+4)=f(x-2),当x∈[-3,0]时，f(x)=2,则 f(2019)= 14.若函数f()=-x-2+nr在区间-a,3-2al内单调递增，则a的取值范围是】 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知函数y=f(x)的定义域为R,并对一切实数x,都满足f(2+x)=f(2-x). (1)证明：函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称； (2)若f(x)是偶函数，且x∈[0,2]时，f(x)=2x-1,求x∈[-4,0]时，f(x)的表达式， 16.(15分)已知函数f(x)=x2+2x-1+a. (1)若关于x的方程f(x)=4x在(1,2)上有实数解，求a的取值范围： (2)设g(x)=log,(a:2+1),若对任意的x,x∈[0,2]，都有g(x)<f(x)-a,求a的取值范围 17.(15分)已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f(x)=x2-2x+2. (1)求f(x)在x>0时的解析式： (2)解不等式：f(2x-3)>f(x+2): )者回s2+。+2-在x上恒成立，求交数a的取位范围。 18.(17分)已知函数f(x)=(x-l)e-ax2,a∈R. ④当a=0时，过r侵0作曲线y=f)的切线，求切线的斜率 (2)若x=0是函数f(x)的极小值点，求实数a的取值范围. 19.(17分)已知函数f(x)=e2-+1,aeR, (1)若曲线y=f(x)在点(3，f(3)处的切线I的斜率为e-1,求l的方程： (2)在(1)的条件下，若f(lnx+2)≥c-xx-1恒成立，求实数k的取值范围.