第05章 函数与导数 专项训练-2027届高三数学一轮复习（安徽适用）

参考答案与解析 第05章 函数与导数 (一)函数及其性质 1.函数的概念与三要素 例1 解析：需x-1≥0且x-2≠0，故定义域为[1,2)U2,+∞。 2.函数的表示法与分段函数 例2 解析：令t=x+1,则x=t-1,故ft=t-12+2t-1=2-1,即fx=x2-1 例3 解析：fx=x-12-1,对称轴x=1∈[0,3]，最小值为f1=-1:端点值 f0=0,f3=3,最大值为3，故值域为[-1,3]。 4.函数的奇偶性 例4 解析：f-x=-x3+-x=-x+x=-fx,故fx)为奇函数： g-x=x2+1=gx,故gx为偶函数。 6.函数的对称性 例5 解析：由f1+x=f1-x知图象关于直线x=1对称，故 f3=f1+2=f1-2=f-1；仅由对称性无法唯一确定f3,需更多条件。 高考数学知识点总结(2027版) (二)指数函数、对数函数与幂函数 1.指数与指数运算 例6 解析：8=2=2=4： 2 故原式=4+2=6。 3.对数与对数运算 例7 解折：1og:8=3,1og日-2，g2+1g5=g10=1,故原式3-2+1-2。 6.指、对、幂的大小比较 例8 解析：a=0.09,b=23>2°=1，c=log20.3<log21=0。故c<a<b。 (三)一元函数的导数及其应用 1.导数的概念与几何意义 例9 解析：y'=3x2,y1=3,故切线方程为y-1=3x-1,即y=3x-2。 2.导数的运算 例10 解析：f'x=3x2-6x。 3.函数的单调性与导数 例11 高考数学知识点总结(2027版) 解析：fx=3x2-3=3x-1川x+1。令f'x>0得 x<-1或x>1令 f'x<0得-1<x<1。故递增区间为-∞，-1与1，+∞，递减区间为 -1,1。 4.函数的极值与最值 例12 解析：由例11，fx在[0,1)递减、在(1,3]递增。按下例值比较：f0=0 ,f1=-2,f3=18。故最大值为18，最小值为-2。 5.导数与不等式恒成立 例13 解析：由>0，分离参数得Q> x因x+2,故+-2，从 而a>-2。 6.导数的综合应用 例14 解析：令gx=e-x-1,则g'x=e-1。当x<0时g'x<0,gx递减： 当x>0时g'x>0,gx递增。故gx的最小值为g0=0,即gx≥0， 从而e*≥x+1。 例15 解析：fx在0，+∞上连续且递增(fx=1+1>0)。又f1=-1<0, f2=n2>0,由零点存在定理知在1,2内确有一个零点。 (四)典型题型与方法 题型一函数三要素与求解析式 例16 3 高考数学知识点总结(2027版) 解析：设fx=x+b(k0),则ffx=kkx+b+b=kx+kb+b。比较系 数：k2=4,b+b=3。当k=2时b=1;当k=-2时b=-3。故fx=2x+1 或fx=-2x-3。 题型二单调性与奇偶性 例17 解析：fx+fx-2>0~fx>-fx-2=f2-x。由fx在R上递增（奇函 数)，得x>2-x,即x>1。 题型三周期性与对称性 例18 解析：由fx+2=-fx得fx+4=-fx+2=fx,故周期T=4。又 2025=4×506+1,故f2025=f1=3.。 题型四指、对、幂的大小比较 例19 解析：1og053<log051=0;21>2°=1；0<0.52=0.25<1。故10g53<0.52<21。 题型五 导数与单调性、极值 例20 解析：f'x=3x2-3a=3X-a。令f'x=0得x=±Va。fx在-o,-Va 递增、-Va,Va递减、a,+o递增。故极大值f-Va=2aVa,极小值 fRVa=-2aVa。 题型六恒成立与零点问题 例21 解析：设9x=x-3x,其极大值g-1=2,极小值91=-2。方程有三个不 同实根÷-2<-m<2,故-2<m<2。 4 高考数学知识点总结(2027版) (七)巩固练习 参考答案 1.A。2.B。3.B(23=8)。4.A。 5.3x2.6.2(y'=2x,y'1=2)。7.3+lg10=3+1=4。 8.f-x=-x-x=-x+x=-fx,故为奇函数。 9.fx=x-22-1,对称轴x=2,递减区间为（-o,2]。 10.fx=3x2-6x=3xx-2。x=0时f=2,x=2时f=-2,x=3时f=2。 故最大值为2，最小值为-2。 参考答案 11.由奇函数f-2=-f2=-4-2=-2。 12.f'x=e+xe=x+1e。 13.f'x=3x2-3,极值f-1=2、f1=-2;端点f-2=-2、f2=2。故最 大值2，最小值-2。 14.1og8=logm23=31ogm2=3m。 (八)综合提升训练 参考答案 1定义拔，f-x+x,故为奇函数：f1号 2.fx)=2xlnx+x.I=2xlnx+x. 3.f'x=3x2-2ax,由f'1=3-2a=0得 a22 3 此时 f'x=3x2-3x=3xx-1,在x=1处左负右正，确为极小值点。 5 高考数学知识点总结(2027版) 4f”x=11X令f”x>0得0<x<1,故递增区何为0,1B X 5南x0分离得k经令9g1-2,9在X=e处取 最大值已故k≥。最小值为己 6.周期为2且偶函数，f3.5=f3.5-4=f-0.5=f10.5=0.5。 7.f'x=e*-1,在x=0处取最小值f0=1。 8.f'(x=3x2-3,极大值f-1=3,极小值f1=-1,且f-2=-1<0, f2=3>0。图象与x轴有三个交点，故实根个数为3。 (十)章末综合检测 参考答案 1.A。2.B。3.A。4.C(y'=3x2,y1=3)。 38+号号.6-2.711 8.f'x=3x-6x=3xx-2。递增区间-oo,0、2,+o;递减区间0,2。极 大值f0=2,极小值f2=-2。 9.对称轴x=a:当a<1时ga=f1=2-2a;当1≤a≤2时 ga=fa=1-a；当a>2时ga=f2=5-4a。 (十一)补充练习 参考答案 1.f'x=-1+1 2.fx=x-12-1,最小值f1=-1,最大值f3=3,值域[-1,3]。 6 高考数学知识点总结(2027版) 3.定义域R,f-x+fx=ln1=0,故f-x=-fx,为奇函数。 4.y'=2x,y'1=2,切线方程y-2=2x-1,即y=2x。 5.极大值f-1=2+m=4,故m=2。 6f'x=nx+1,令fx=0得x极小值f侣己。 高考数学知识点总结（2027 版） 高考数学知识点总结 （2027 版） ───────────── 第 05 章　函数与导数 适用对象：2027 届高考考生 · 一轮复习 2026 年 9 月 目　录 第 05 章　函数与导数 4 （一）函数及其性质 4 1. 函数的概念与三要素 4 2. 函数的表示法与分段函数 4 3. 函数的单调性 5 4. 函数的奇偶性 5 5. 函数的周期性 5 6. 函数的对称性 5 7. 函数图象的变换 6 8. 函数的最值与零点 6 （二）指数函数、对数函数与幂函数 6 1. 指数与指数运算 6 2. 指数函数 7 3. 对数与对数运算 7 4. 对数函数 7 5. 幂函数 8 6. 指、对、幂的大小比较 8 （三）一元函数的导数及其应用 8 1. 导数的概念与几何意义 8 2. 导数的运算 8 3. 函数的单调性与导数 9 4. 函数的极值与最值 9 5. 导数与不等式恒成立 9 6. 导数的综合应用 10 （四）典型题型与方法 10 题型一　函数三要素与求解析式 10 题型二　单调性与奇偶性 10 题型三　周期性与对称性 10 题型四　指、对、幂的大小比较 10 题型五　导数与单调性、极值 10 题型六　恒成立与零点问题 10 （五）易错警示 11 （六）本章小结与口诀 11 （七）巩固练习 12 A 组　选择题 12 B 组　填空题 12 C 组　解答题 12 D 组　拓展练习 12 （八）综合提升训练 13 （九）本章知识清单（速记） 13 （十）章末综合检测 13 （十一）补充练习 14 第 05 章　函数与导数 （一）函数及其性质 1. 函数的概念与三要素 函数：设 是非空的实数集，如果按照某种确定的对应关系 ，使对于集合 中的任意一个数 ，在集合 中都有唯一确定的数 与之对应，那么就称 为从集合 到集合 的一个函数，记作 ，。 三要素：定义域、值域、对应关系（对应法则）。其中定义域与对应关系一旦确定，值域也就随之确定。 求定义域的常见限制： · 分母不为 ； · 偶次根式的被开方数 ； · 对数的真数 >，底数 > 且 ； · 中 ； · 由实际问题确定的取值范围。 例 1　求函数 的定义域。 2. 函数的表示法与分段函数 表示法：解析法、列表法、图象法。 分段函数：在定义域的不同子集上用不同解析式表示的函数。 求解析式的常用方法： · 待定系数法：已知函数类型（一次、二次等）时设出解析式； · 换元法：令 ，反解 ； · 配凑法：把已知式配成关于 的式子； · 方程组法：利用 与 （或 ）构造方程组。 例 2　已知 ，求 。 例 3　已知 ，求 在 上的值域。 3. 函数的单调性 定义：设函数 的定义域为 ，区间 。若对任意 且 ，都有 ，则称 在 上单调递增；若都有 ，则称 在 上单调递减。 判定方法： · 定义法：作差 判断符号； · 导数法： 递增， 递减； · 复合函数：同增异减（内、外层单调性相同则增，相反则减）。 常用结论：增函数 + 增函数 = 增函数；增函数 - 减函数 = 增函数。 4. 函数的奇偶性 前提：函数的定义域关于原点对称。 · 奇函数：，图象关于原点对称； · 偶函数：，图象关于 轴对称。 常用结论： · 若奇函数 在 处有定义，则 ； · 奇 奇 = 偶，偶 偶 = 偶，奇 偶 = 奇； · 奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同；偶函数则相反。 例 4　判断 与 的奇偶性。 5. 函数的周期性 周期函数：若存在非零常数 ，使对定义域内任意 都有 ，则称 为周期函数， 为其一个周期。 常见等价形式（设 ）： · ； · ； · 。 6. 函数的对称性 · 轴对称： 图象关于直线 对称； · 中心对称： 图象关于点 对称。 对称与周期的联系：若 的图象关于直线 与 （）都对称，则 。 例 5　已知 满足 ，且 ，求 与对称轴。 7. 函数图象的变换 · 平移： 是把 的图象向右（）平移 个单位（“左加右减”）； 是向上平移（“上加下减”）。 · 对称： 关于 轴对称； 关于 轴对称； 关于原点对称。 · 伸缩：（）横坐标变为原来的 倍；（）纵坐标变为原来的 倍。 · 绝对值： 是把 轴下方的图象翻折到上方； 是保留 轴右侧图象，再把它翻折到左侧。 8. 函数的最值与零点 最值：设 分别为 在区间 上的最大值、最小值，则对 有 。 零点存在定理：若函数 在闭区间 上图象连续不断，且 ，则 在 内至少有一个零点。 二分法：不断取区间中点，逐步缩小零点所在区间，逼近零点。 （二）指数函数、对数函数与幂函数 1. 指数与指数运算 根式：（ 为奇数）或 （ 为偶数）。 分数指数幂：（），。 运算性质（，）： · ； · ； · 。 例 6　计算 。 2. 指数函数 定义：（ 且 ）。 图象与性质： · 定义域 ，值域 ； · 恒过点 ； · 当 时在 上单调递增，当 时单调递减； · 图象以 轴为渐近线，永不与 轴相交。 3. 对数与对数运算 定义：若 （），则 。 运算性质（，）： · ； · ； · ； · ，； · 。 换底公式：；特别地 。 例 7　计算 。 4. 对数函数 定义：（ 且 ）。 图象与性质： · 定义域 ，值域 ； · 恒过点 ； · 当 时单调递增，当 时单调递减； · 图象以 轴为渐近线。 反函数： 与 互为反函数，图象关于直线 对称。 5. 幂函数 定义：（ 为常数）。 常见幂函数：，，，，。 共同性质： · 所有幂函数图象都过点 ； · 当 时，在 上单调递增；当 时单调递减。 6. 指、对、幂的大小比较 方法： · 同底数的用单调性比较； · 同指数的用幂函数或指数函数比较； · 既不同底又不同指的，借助中间量（如 ）搭桥； · 必要时构造函数用导数比较。 例 8　比较 ，， 的大小。 （三）一元函数的导数及其应用 1. 导数的概念与几何意义 平均变化率：。 导数：。 几何意义： 是曲线 在点 处切线的斜率。切线方程为 例 9　求曲线 在点 处的切线方程。 2. 导数的运算 基本初等函数的导数： · ；； · ，； · ，； · ，。 四则运算法则： · ； · ； · （）。 复合函数： 的导数 （链式法则）。 例 10　求 的导数。 3. 函数的单调性与导数 定理：在区间 内， · 单调递增； · 单调递减。 求单调区间的步骤：求定义域 求 解 （或 <） 与定义域取交集。 例 11　求 的单调区间。 4. 函数的极值与最值 极值：，且在 左侧 、右侧 ，则 为极大值；反之（左负右正）为极小值。 闭区间 上的最值：比较 的所有极值与端点值 ，最大者为最大值，最小者为最小值。 例 12　求 在 上的最大值与最小值。 5. 导数与不等式恒成立 常用方法： · 参变分离：把参数与变量分离，转化为求最值； · 最值法： 恒成立 ； · 构造法：把不等式变形为 ，再用导数研究 。 例 13　若 对任意 恒成立，求 的取值范围。 6. 导数的综合应用 例 14　证明：对任意实数 ，都有 。 例 15　判断 在 内是否有零点。 （四）典型题型与方法 题型一　函数三要素与求解析式 方法：待定系数、换元、配凑、方程组。 例 16　已知 是一次函数，且 ，求 。 题型二　单调性与奇偶性 方法：定义法或导数法判断单调性；用奇偶性定义验证。 例 17　已知奇函数 在 上单调递增，解不等式 。 题型三　周期性与对称性 方法：把已知关系式转化为 或对称关系式。 例 18　已知 满足 ，且 ，求 。 题型四　指、对、幂的大小比较 方法：同底用单调性，不同底借中间量 搭桥。 例 19　比较 、、 的大小。 题型五　导数与单调性、极值 方法：求导 定号 判断单调、极值；含参时分类讨论。 例 20　求 （）的极值。 题型六　恒成立与零点问题 方法：参变分离、利用最值、结合零点存在定理。 例 21　若关于 的方程 有三个不同实根，求 的取值范围。 （五）易错警示 1. 定义域优先：讨论单调性、奇偶性、求导之前，务必先确定定义域。 1. 判断奇偶先看定义域：定义域不关于原点对称的函数，既非奇也非偶。 1. “在某区间单调”与”单调区间”不同：前者用不等号连区间，后者用”和”（不能用 ）连接。 1. 极值点处 是必要不充分条件：如 在 处 但无极值。 1. 单调递增不排斥个别点导数为 ： 在区间上递增只需 （允许有限个点为 ）。 1. 对数运算注意真数为正： 的变形须 。 1. 切线问题勿把”过点”当”在点处”：已知切线过某点求切点需设切点坐标再解方程。 （六）本章小结与口诀 知识主线：函数的概念与性质 指对幂函数 导数及其应用。 核心口诀： · 单调性：“导数正增负减”； · 奇偶性：“奇关于原点，偶关于 轴”； · 周期性：“加负倒数，周期翻倍”； · 对称性：“同号对称轴，异号对称中心”； · 切线：“导数即斜率，点斜写方程”； · 恒成立：“分离参数求最值”。 三要素、四性质：定义域、值域、对应关系；单调性、奇偶性、周期性、对称性。 （七）巩固练习 A 组　选择题 1. 函数 的定义域是（　　） A. 　B. 　C. 　D. 2. 下列函数为偶函数的是（　　） A. 　B. 　C. 　D. 3. 的值是（　　） A. 　B. 　C. 　D. 4. 函数 在 上（　　） A. 单调递增　B. 单调递减　C. 先增后减　D. 是偶函数 B 组　填空题 5. 函数 的导数是 。 6. 曲线 在点 处的切线斜率为 。 7. 计算 = 。 C 组　解答题 8. 判断 的奇偶性。 9. 求 的单调递减区间。 10. 求 在 上的最大值与最小值。 D 组　拓展练习 11. 已知 是定义在 上的奇函数，且 时 ，求 。 12. 求 的导数。 13. 若 在 上，求其最大值与最小值。 14. 已知 ，用 表示 。 （八）综合提升训练 1. 已知 ，判断其奇偶性并求 。 2. 求 的导数。 3. 若函数 在 处取得极小值，求 的值。 4. 求函数 的单调递增区间。 5. 若不等式 对 恒成立，求 的最小值。 6. 已知 是周期为 的偶函数，且当 时 ，求 。 7. 求 的最小值。 8. 已知 ，求方程 的实根个数。 （九）本章知识清单（速记） 知识点 核心内容 三要素 定义域、值域、对应关系 单调性 导数正增负减；复合函数同增异减 奇偶性 奇关于原点，偶关于 轴；定义域须对称 周期性 或 则周期为 对称性 同号对称轴，异号对称中心 指数函数 过 ， 增， 减 对数函数 过 ， 增， 减 换底公式 对数的比等于真数对数比上底数对数 导数几何意义 切线斜率 导数公式 幂、指、对、三角函数的导数 极值判定 导数左正右负为极大，左负右正为极小 恒成立 分离参数，转化为求最值 （十）章末综合检测 一、选择题（每小题 5 分，共 20 分） 1. 函数 的定义域是（　　） A. 　B. 　C. 　D. 2. 下列函数是奇函数的是（　　） A. 　B. 　C. 　D. 3. 函数 在 上（　　） A. 单调递增　B. 单调递减　C. 是偶函数　D. 有最大值 4. 曲线 在点 处的切线斜率为（　　） A. 　B. 　C. 　D. 二、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 5. 计算 = 。 6. = 。 7. 函数 的最小值为 。 三、解答题（共 25 分） 8.（12 分）已知 ，求其单调区间与极值。 9.（13 分）已知函数 在 上的最小值为 ，求 的解析式。 （十一）补充练习 1. 求 的导数。 2. 求 在 上的值域。 3. 判断 的奇偶性。 4. 求曲线 在点 处的切线方程。 5. 若 的极大值为 ，求 。 6. 求 的极小值。 1 学科网（北京）股份有限公司 $