第7讲 函数与导数之公切线与双函数专项训练-2027届高三数学一轮复习

函数与导数之公切线与双函数 高三数学专题复习 · 专题第七讲 0 题型概说 本讲研究两类以”两个函数”为对象的问题。其一，公切线问题：一条直线同时与两条曲线相切，核心是把相切的几何条件转写为函数值与导数值的方程组，再联立消参。其二，双函数问题：两个不同函数的函数值由存在量词与全称量词联结，核心是把量词语言转译为两个值域集合之间的相交、包含与最值比较关系。当两个函数由 与 构成时，两侧经取对数、取指数或代元 后常可改写为同一个单调函数的函数值，严格单调性随之给出自变量之间的等量关系。 识别信号总览： 问题特征 方法指向 单元 两条曲线与”公切线”“同一条切线”“公共点处切线相同”，求切线方程或求参数 切点的方程组联立 单元一 “存在公切线求参数范围”或”公切线的条数” 消元后化为值域问题或方程根的个数 单元二 两个函数、两个自变量分属两个集合，以”存在／任意”联结函数值 值域的相交、包含与最值比较 单元三 双函数问题中两函数由 与 构成 改写为同一单调函数的函数值 单元四 单元一 公切线的判定与求解 1.1 识别特征 题干给出两条曲线，出现”公切线”“同一条切线”，或”在公共点处有相同的切线”；设问为求公切线方程，或由公切线的存在反求参数。“在公共点处有相同的切线”是同一点相切；“一条直线分别与两条曲线相切”时切点一般不同（也可能重合，此时即同一点相切）——两类条件的方程组形态不同。 1.2 结论与推导 结论 1.1（同一点相切的方程组）　两条曲线在公共点 处有相同的切线，等价于 　且　， 两个方程联立解出 与参数。 推导：切点在两条曲线上给出函数值相等；切线相同首先是斜率相同，而公共点处切线相同必然函数值也相同，故两条都列。 结论 1.2（不同点相切的方程组）　一条直线与曲线 切于 、与曲线 切于 （  ），等价于 （斜率相等）　且　（截距相等）。 两切点的连线就是公切线本身，故第二条件也可写成”连线斜率等于切线斜率”：。 推导： 在 处的切线为 ；两条切线是同一条直线，斜率与截距分别相等。连线斜率式由”公切线过两切点”直接写出。 结论 1.3（已知切线求参数）　已知切线 与曲线 相切，等价于存在切点横坐标 满足 且 ，两个方程联立。 推导：切点既在切线上又在曲线上，导数值等于切线斜率。 1.3 方法决策表 切的类型 联立条件 同一点相切 设公共点横坐标为 ： 且 （结论 1.1） 不同点相切 设两切点横坐标为 ，：斜率相等＋截距相等（结论 1.2） 已知切线求参数 切点在已知直线上，且导数值等于已知斜率（结论 1.3） 公切线只要求同一条直线分别在两条曲线上相切，不要求切点相同；两条曲线相交时仍可能存在公切线。 例题精讲 例 1（单项选择题） 已知函数 ，，若直线 是曲线 与曲线 的公切线，则 的方程为（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 设 与曲线 切于点 ，与曲线 切于点 。由 ，，按结论 1.2 列斜率相等条件 在 处的切线为 ； 在 处的切线为 。同一条直线，截距相等： 由①知 。将①代入②消去 ：，约去 得 ，即 。 代回①：，两边取对数得 。记 ，则 ，即 。设 （  ），则 ： 时 ， 时 ，故 ，当且仅当 时取等。方程 有唯一解 ，即 ，。 于是斜率 ，切线为 ，即 。 【答案】B 例 2（填空题） 已知曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线，则 = ________． ●解析 的导数为 ，在 处 ，，故切线方程为 。 设该直线与曲线 相切于点 。按结论 1.3，由 得斜率条件 ，即 ；切点在直线上，故 ，即 ，解得 。 【答案】 例 3（单项选择题） 若直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线，则 = （  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 设切点分别为 ，。由 ，，按结论 1.2 斜率相等给出 于是 ，从而两切点的纵坐标差为 公切线经过两切点，其斜率等于连线 的斜率： 存在性验证：取 使 （即  ），此时 在 处的切线斜率等于 的斜率且过点 ，故该切线就是直线 ；又 在 处的切线斜率同为 且过点 ，同为直线 。故公切线存在且 。 【答案】C 例 4（填空题） 若曲线 与曲线 在它们的公共点处有相同的切线，则 = ________． ●解析 设公共点为 。；。按结论 1.1，同一点处切线相同，则导数值相等： 再由函数值相等 ： 当 时，，，得 ； 当 时，，，得 ，即 （此时 ，在定义域内）。 【答案】 或 变式训练 变 1（单项选择题） 已知曲线 在 处的切线与曲线 相切，则 的值为（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 的导数为 ，在 处 ，，故切线方程为 。 按结论 1.3：设该直线与曲线 相切于点 。由 得切线斜率条件 ，即 ；切点在直线上，故 ，解得 。 【答案】B 变 2（填空题） 已知曲线 在 处的切线也是曲线 的切线，则 = ________． ●解析 ，在 处 ，，故切线方程为 。 按结论 1.3：设该直线与曲线 相切于点 。由 得斜率条件 ，即 ；切点在直线上，故 ，解得 。 【答案】 变 3（单项选择题） 若曲线 在点 处的切线也是曲线 在点 处的切线，则 = （  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 在 处的切线为 ； 在 处的切线为 。 按结论 1.2，两条切线重合，斜率相等： 由①取对数得 。截距相等： 将①的 代入左端：，两边乘 ： 化简得 ，即 。 【答案】A 变 4（单项选择题） 若直线 （  ）是曲线 与曲线 （  ）的公切线，则 = （  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 按结论 1.3：设公切线与曲线 切于点 ，则切线为 ，即 。与已知直线 比较得 且 ，故 ，，公切线为 。 再设公切线与曲线 切于点 ，切线为 。斜率相等给出 ，即 ；截距相等给出 ，即 。 【答案】B 单元二 公切线的存在性与条数 2.1 识别特征 设问为”存在公切线（公共切线），求参数的取值范围”，或”公切线的条数”“恰有几条公切线”。参数可能出现在曲线方程中，也可能出现在直线方程中。 2.2 结论与推导 结论 2.1（消元定值域）　设单一切点变量的切点为 ，把公切线的两个条件（斜率相等、截距相等）联立，消去其余切点变量，把参数表示为 的函数：参数等于 。存在公切线当且仅当参数属于 的值域；值域端点的开闭由 能否取到该端点决定。 推导：切点变量取定后公切线（若存在）被完全确定；参数取定后”存在公切线”即”参数等于 的方程有解”，解的存在性由值域判定。 结论 2.2（二次侧判别式）　一侧曲线为二次曲线（或可化为二次）时，把另一侧的切线方程代入二次曲线，相切等价于二次方程的判别式 ，由此得参数与切点变量的关系。 推导：直线与二次曲线恰有一个公共点等价于联立后的二次方程有唯一实根。 结论 2.3（条数化为根数）　公切线的条数等于消元后所得方程 的满足限定条件的根的个数：按 的符号拆区间，逐段用单调性与两端函数值（含极限值）计数；最后排查”不同的根对应同一条公切线”的可能（同一曲线上的两个不同切点给出同一切线时须剔除）。 推导：每个根对应一组切点，从而对应一条候选公切线；条数即有效根数。同一侧曲线上切线相同要求斜率与截距都相同，据此排查。 2.3 方法决策表 条件形态 构造方向 参数在曲线一侧 联立切线条件消去切点，得”参数＝“，存在公切线当且仅当参数属于值域（结论 2.1） 一侧曲线为二次曲线 公切线代入二次曲线，判别式 （结论 2.2） 求公切线的条数 消元化为方程根的个数，拆区间计数并排查重合（结论 2.3） 值域端点（或根的个数）的开闭由切点能否取到决定；消元时除以参数或含参因子会丢失其取零的情形，须补回单独验证。 例题精讲 例 5（填空题） 若两曲线 与 存在公切线，则 的取值范围是________． ●解析 设公切线与 切于点 ，与 切于点 （  ）。按结论 1.2，两条切线的斜率相等： 两条切线的截距分别为 与 ，截距相等： 若 ：由① ，②成立；此时曲线 即直线 ，而 与 相切于点 ，公切线存在。 若 ：由① ，代入②得 ，即 ，约去 得 按结论 2.1，记 （  ），则 。当 时 ， 单调递增；当 时 ， 单调递减，故 的最大值为 。又，当 从右侧趋近于 时 趋于 ，，当 趋于 时 趋于 ，故 的值域为 。 存在公切线当且仅当 属于该值域（取定 后由①②构造的 使两条切线重合，条件充分），故 （含  ）。 【答案】 例 6（填空题） 若函数 与函数 （  ）的图象存在公切线，则实数 的取值范围为________． ●解析 设公切线与曲线 切于点 （  ）。由 ，切线方程为 按结论 2.2，该直线与抛物线 相切，当且仅当方程 有唯一实数解，即二次方程 的判别式为零： 由 且分子 ，得 ，即 。 记 （  ）。求导： 令 ，则 ， 在 上单调递增，且 。故 时 ， 时 ， 的最小值为 又，当 从右侧趋近于 时分子趋于 、分母趋于 ，当 从左侧趋近于 时分母趋于 而分子为正，故 的值域为 。 存在公切线当且仅当 ，即 。 【答案】 例 7（解答题） 已知曲线 ，。试判断曲线 与 的公切线的条数，并说明理由。 ●解析 设公切线与 切于点 ，与 切于点 。由 ，，两条切线分别为 （后者由 展开整理而得。）按结论 1.2，两条切线重合，则斜率与截距分别相等： 若 ，则第一式给出 ，无解，故 。由第一式取对数得 ，代入第二式： 令 （  ），按结论 2.3 化为根数问题： 求导得 。 当 时 ， 严格递减；当 趋于 时 趋于 ，当 从左侧趋近于 时 趋于 ，故 在 内恰有一个零点。 当 时 ， 严格递增； 趋于 （  从右侧趋近于  ），（因  ），故 在 内恰有一个零点。 当 时 ， 严格递减；，当 趋于 时 趋于 ，故 在 内恰有一个零点。 综上， 恰有三个根。每个根 由 唯一确定切点 ，得到一条公切线；且不同的根对应不同的公切线：若 处 的切线相同，则由斜率相等 得 ，再由截距相等要求 ，即 ，解得 ，与 矛盾。故两曲线的公切线恰有 条。 【答案】 条 变式训练 变 5（多项选择题） 若两曲线 与 存在公切线，则正实数 的取值可能是（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 与例 5 同法，设两切点横坐标为 （  ），消去 得公切线存在当且仅当 有解。因 ，需 ，即 ；此时 在 上单调递增、在 上单调递减（  ），最大值为 ；又 从右侧趋近于 时 趋于 且取不到，故正实数 的取值范围是 。 ：；；，不在范围内； 可取到。故可能的值是 ，，。 【答案】ABD 变 6（填空题） 已知函数 ，。若曲线 与曲线 有公切线，则实数 的取值范围为________． ●解析 设公切线与 切于 （  ），切线为 ；与 切于 ，切线为 。 按结论 1.2：斜率相等，；截距相等，。以 （即 ， ）代入，得 按结论 2.1，记 （  ），则 ： 时 ， 时 ，故 的最小值为 ；又当 从右侧趋近于 与当 趋于 时 都趋于 ，值域为 。 存在公切线当且仅当 属于该值域，故 。 【答案】 变 7（填空题） 已知曲线 与 （  ）有公共切线，则实数 的取值范围是________． ●解析 设公切线与 切于 ，斜率为 ，切线为 ；与 切于 ，斜率为 ，切线为 。 按结论 1.2：斜率相等，，即 ；截距相等，。代入得 按结论 2.1，记 （  ），则 ： 时 ， 时 ，故 的最大值为 ；又，当 从右侧趋近于 时 趋于 （取不到），当 趋于 时 趋于 ，值域为 。 由 知 ，故需 ，即 。 【答案】 单元三 双函数的任意与存在 3.1 识别特征 两个不同函数 、，两个自变量 、 分别属于两个集合，函数值以”存在”“任意”量词联结，设问形如”存在 、，使 “、”对任意 ，存在 ，使 “。 3.2 结论与推导 结论 3.1（量词转译表） 量词形态 等价转译 ，， 在 上的值域与 在 上的值域相交 ，， 的值域包含于 的值域；若还要求 唯一，则 的值域须含于 在 上恰好被取到一次的函数值集合 ，， 在 上的最小值不大于 在 上的最小值 ，， 在 上的最大值不大于 在 上的最大值 ，， 在 上的最大值小于 在 上的最小值 ，， 在 上的最大值大于 在 上的最小值 推导：以第四行为例——“对每个 都能找到 使 ”等价于 不超过 的最大值；最不利的 是最大值点，故等价于最大值对最大值。其余各行同法，“存在”取最有利的一端、“任意”取最不利的一端。 结论 3.2（界限值代替最值）　集合为开区间或最值取不到时，转译中的”最大值／最小值”换成函数值实际能取到的界限： 恒成立且可以任意接近 时， 的下界按 参与比较；严格不等号与取等情形逐一核对”能否取到”。 推导：量词转译只依赖函数值的集合，与”最值是否取到”无关；集合的端点即界限值。 3.3 方法决策表 量词形态 处理 双存在 / 双任意 值域相交 / 最大值小于最小值（结论 3.1） 混合量词 按”任意取最不利、存在取最有利”定两端（结论 3.1） 要求唯一 值域含于”恰好被取到一次”的函数值集合（结论 3.1 第二行） 开端点 用界限值代替最值，逐点核对取等（结论 3.2） 例题精讲 例 8（单项选择题） 已知函数 ，，若对任意的 ，存在唯一的 ，使得 ，则实数 的取值范围是（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 先求 在 上的值域。：在 上 ，在 上 ，故 在 上递减、 上递增，最小值 ；端点值 ，，故值域为 。 再分析 在 上取每个值的次数。 在 上递增、 上递减，（最大值），（最小值），。 对方程 ，即 ： 当 时，唯一解 ；当 时，，正根恰有一个，负根 不在区间内；当 时，，正、负两根都落在 内，有两个解。 故”被唯一取到”的函数值集合为 。 按结论 3.1 第二行，条件等价于 的值域含于该集合： （若 ，取 中位于 右侧的近旁值，它落在 内，既不等于 也不在 中；若 ，取靠近 左侧的值，同理不落在其中。故两种情形包含均不成立。） 解得 （  时值 由 唯一取到，可以取等； 时值 由 取到两次，不可取等）。 【答案】B 例 9（填空题） 已知函数 ，。对任意的 ，总存在 ，使 ，则实数 的取值范围是________． ●解析 按结论 3.1 第四行：条件对一切 成立，最不利的 使 取到最大值，故条件等价于 在 上的最大值不大于 在 上的最大值。 求 在 上的最大值： 时 ， 时 ，故 在 上单调递减， 的最大值为 。 于是条件化为：对任意 ，，即 ，分离参数： 记 ，则 ： 上 ， 上 ，故 的最大值为 。 故 。 【答案】 例 10（单项选择题） 已知函数 ，。若对区间 内任意两个实数 （  ），都有 恒成立，则实数 的取值范围是（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 不妨设 。 在 上严格递增，故 ，原条件即 去绝对值得 ，整理为两个同向关系： 由 的任意性，等价于函数 与 都在 上严格单调递增。 对 ： 在 上递增，最小值为 ，故需 ，即 （  时 仅在 处为零， 仍严格递增）。 对 ： 对 恒成立，即 恒成立，故 不超过 在 上的最小值。记 ，： 在 上递减、 上递增， 的最小值为 ，故 。 综上，。 【答案】A 例 11（解答题） 已知函数 。（1）证明： 有唯一实数解；（2）若函数 ，对任意 ，存在 ，使得 ，求实数 的取值范围。 ●解析 （1） 的定义域为 ， 由 ， 等价于 ，即 。记 （  ），则 ， 在 上严格递增；又 ，，故存在唯一的 使 ，即 有唯一实数解。 （2）按结论 3.1 第三行：条件对一切 成立，最不利的 使 取到最小值，条件等价于 由（1），：当 时 ， 递减；当 时 ， 递增，故 的最小值为 。由 得 ，，于是 对 求导：。当 时 ， 递减；当 时 ， 递增，故 的最小值为 。 于是 ，即 ，，解得 。 【答案】（1）证明见解析；（2） 变式训练 变 8（填空题） 设函数 ，。若对任意 ，存在 ，使得 ，则实数 的取值范围是________． ●解析 按结论 3.1 第三行：条件对一切 成立，最不利的 使 取到最小值，条件等价于 在 上的最小值不大于 在 上的最小值。 求 的最小值：当 时 且 ，故 ；当 时两因子均为正，；当 时 。故 的最小值为 。 求 的最小值：，在 上 ，在 上 ，故 的最小值为 。 条件即 ，解得 。 【答案】 变 9（解答题） 已知函数 ，。若存在 ，使得 ，求实数 的取值范围。 ●解析 按结论 3.1 第六行：“存在 使 ”等价于 在 上的最大值大于 在 上的最小值。 （  ）， 单调递增， 的最小值为 。故只需 在 上的最大值大于 。 （  ）。 当 时 ， 在 上递减， 的最大值为 ，不合题意。 当 时，令 得 ， 在 上递减、在 上递增。 ① 若 ，即 ： 在 上递增， 的最大值为 ，解得 。由 ，此条件已含 ，得 。 ② 若 ，即 ： 在 上递减， 的最大值为 ，解得 ，与 矛盾，无解。 ③ 若 ，即 ： 的最大值为 。 需 ，矛盾； 需 ，矛盾。无解。 综上， 的取值范围是 。 【答案】 变 10（解答题） 已知函数 ，。若对任意 ，存在 ，使得 ，求实数 的取值范围。 ●解析 ：在 上 ，在 上 ，故 的最大值为 。 按结论 3.1 第四行：条件对一切 成立，最不利的 使 取到最大值 ，条件等价于存在 ，使 。 ，当 时 ，且 在 处连续、。 ① 当 时：，， 在 上严格递减，故 ，不存在使 的点，不合题意。 ② 当 时：存在 使 （  在该区间上从 严格递减到  ）。在 上 ， 严格递增，故对 有 ，取 即满足，合题意。 ③ 当 时：， 严格递增，，合题意。 综上， 的取值范围是 。 【答案】 单元四 与 的双函数结构 4.1 识别特征 双函数问题中，两个函数由 与 构成。常见形态： 型与 型； 型与含 的乘积型；两个单调因式的乘积恒非负型。设问为函数值相等时自变量之间的关系、乘积恒非负时参数的最值、同一条切线定参数。 4.2 结论与推导 结论 4.1（改写为同一单调函数）　两侧函数值相等时，把两侧分别改写为同一个严格单调函数 的函数值，由一一对应得自变量之间的等量关系。两个标准改写：（  ）两边取对数得 ； 以 代元得 。这里 （  ）与 （  ）都严格单调。 推导：严格单调函数的取值一一对应：；对数、指数运算与代元都是同解变形。 结论 4.2（乘积恒非负与零点重合）　、 在区间型定义域上都严格递增且各恰有一个变号零点时， 在定义域内恒成立等价于两因式的变号零点重合；由此得参数的等式关系，再求参数表达式（如  ）的最值。 推导：两零点不重合时，两零点之间的那段上两因式异号，乘积为负；重合时两侧同号。 等使某因式不变号的情形单独验证后排除。 结论 4.3（切线不等式与对称性）　（当且仅当 取等）；（当且仅当 取等）。曲线 与 关于直线 对称，切点 与 关于该直线对称；公切线、最值、零点等结论常成对出现。 推导：对 、 求导定最值即得两条不等式；反函数图象关于 对称。 结论 4.4（同切线定参数与 型方程）　一侧切线确定后，设另一侧切点横坐标为 ，由”导数值等于已知斜率”与”切点在切线上”两个方程联立；消元后若出现 型参数方程，利用 的单调性（  ）确定根的个数与唯一根。 推导：两个条件各给一个方程； 在 上递增、 上递减， 处取最大值 ，水平线至多两个交点，结合限定区间定根。 4.3 方法决策表 结构形态 构造方向 指数侧与对数侧函数值相等 改写为同一单调函数的函数值（结论 4.1） 两递增因式乘积恒非负 变号零点重合，得参数等式再求最值（结论 4.2） 放缩与临界判定 、，注意取等点（结论 4.3） 同切线定参数 两方程联立消元， 型方程按单调性定根（结论 4.4） 例题精讲 例 12（单项选择题） 已知函数 ，。若 ，，则 的最大值为（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 由 ：，两边取对数得 由 ：。由 及 知 ，两边取对数得 按结论 4.1：记 （  ），则 ， 严格递增。令 （  ），②即 ，①即 ，由 严格递增、取值一一对应，得 ，即 于是 。记 （  ），由①知 ，即 ，且 ，故 记 （  ），则 ： 时 ， 时 ，故 的最大值为 （  对应 ，此时 ，可取到）。 【答案】B 例 13（单项选择题） 已知函数 ，。若 ，则 的最小值为（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 由 ，按结论 4.1 以 代元：，故 记 （  ），则 ， 在 上严格递增。，，故 即 ，由 严格递增、取值一一对应，得 于是 。记 ，则 ： 时 ， 时 ，故 的最小值为 （  可取，此时由 得 ，等价关系对一切实数 成立。）故 的最小值为 。 【答案】B 例 14（解答题） 已知函数 ，，其中 ，。若 ，且曲线 在 处的切线与曲线 也相切，求实数 的值。 ●解析 当 时，，，故 ，，曲线 在 处的切线为 按结论 1.3：设该切线与曲线 相切于点 。由 ，得斜率条件与切点条件： 两式比较得 ，即 。代入斜率条件： 按结论 4.4：记 （  ），则 ， 在 上严格单调递减，且 ，故方程 在 上有唯一解 。 【答案】 例 15（多项选择题） 已知函数 ，，，则下列结论正确的是（  ） A． 和 的图象有且只有一条公切线 B．若 恒成立，则整数 的最大值为 C．若 、 均大于 ，则 D．关于 的方程 （  ）在区间 内有解 ●解析 （  ）。 A 项：，。按结论 1.2 设公切线切 于 、切 于 。斜率相等：，即 。 侧切线为 ； 侧切线为 。截距相等：，即 ，也即 ，解得 （此时 ，公切线  ）或 （此时 ，公切线  ）。恰有两条公切线，A 错误。 B 项：，其中 与 都在 上递增，故 严格递增；，，故存在唯一的 使 ， 在 上递减、 上递增，最小值 由 且 在 上递减，得 的最小值属于 。 恒成立当且仅当 的最小值，故整数 的最大值为 ，B 正确。 C 项：记差式 （  ）。固定 ，令 ，则 故 在 上严格递增，从而 ；记 ，则 ， 在 上严格递增，故 ，而 故对一切 有 ，即 ，C 正确。 D 项：设 ，。则 当 时 ，且 与 相乘为正，故 ， 在 上严格递增，从而 ，方程 在 内无解，D 错误。 综上，正确的选项是 BC。 【答案】BC 变式训练 变 11（填空题） “朗博变形”是借助指数运算或对数运算，将 化成 ，（  ）的变形技巧。已知函数 ，，若 ，则 的最大值为________． ●解析 由 ：，故 。由 ：，而 ，故 ，即 。 将 用朗博变形改写： 其中用到 。由 知 。 按结论 4.1：记 ，则 ， 在 上严格递增。 与 都在 内，且 由 严格递增、取值一一对应，得 ，即 ；又 。于是 记 （ ；当 取遍 时 取遍  ），则 ： 时 ， 时 ，故 的最大值为 。 【答案】 变 12（单项选择题） 设函数 。若对定义域内任意 ，都有 ，则 的最小值为（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 记 ，，二者在各自的定义域内均严格递增： 的唯一变号零点为 （需  ）， 的唯一变号零点为 。 按结论 4.2： 恒成立，等价于 与 在定义域 内处处同号（特别地，若 ，则 恒成立，而 时 ，，矛盾，故必有  ）。若两零点不重合： 当 时，取 （该区间非空），则 使 ，而 使 ，，矛盾； 当 时，取 （非空），则 使 ，而 使 ，，矛盾。 故两零点必重合： 记 ，则 ： 时 ， 时 ，故 的最小值为 （此时 ，两零点同为 ，恒成立成立。）故 的最小值为 。 【答案】B 变 13（解答题） 已知函数 ，。（1）若 在 上单调递减，求 的取值范围；（2）若曲线 与曲线 在 处有相同的切线：（i）求 的值；（ii）若 ，证明：。 ●解析 （1）。 在 上单调递减，等价于 恒成立，即 由基本不等式 （当且仅当 取等），故 。 （2）（i），；。按结论 1.1，两曲线在 处有相同的切线，则切线斜率相等：，即 。此时 ，两曲线在 处的切线同为 ，符合题意。 （ii） 时 。由（1）， 在 上单调递减，且 。 ：，在 上 ，在 上 ，故 在 上递减、 上递增， 的最小值为 ，即 恒成立。 若 ：， 不可能成立。 若 ：，由 的最小值为 且 严格递减、递增各一段得 ，此时 。 设 ：则 ，故 ；由 为最小值知 。当 时 ，结论已成立；以下设 ，需证 。因 且 在 上严格递增，这等价于 ；再由 ，只需证 计算：，故 记 （  ），则上式为 。求导： 最后一步通分：。 故 在 上严格递增，，从而 ，即 成立。 于是 ，由 在 上的严格递增性得 ，即 。 综上，。 【答案】（1）；（2）（i）；（ii）证明见解析 变 14（多项选择题） 已知函数 ，，记 ， 的图象分别为曲线 ，，则下列结论正确的是（  ） A．过原点作曲线 的切线，则切线方程为 B．当 时，， 分别为曲线 ， 上的动点，则 的最小值为 C．若 （ ， ），则 的最小值为 D．当 时，曲线 ， 无公切线 ●解析 A 项：按结论 1.3，设切点为 ，则切线方程为 。代入原点：，约去 得 ，切线为 ，即 ，A 正确。 B 项： 时 与 互为反函数。设 ，（  ），则 由结论 4.3， 得 （  取等）； 得 （  取等）。两式相加：。由均值不等式， 故 ，且 ， 时等号成立（此时  ）。最小值为 ，不是 ，B 错误。 C 项：记 （  ），则 在 上严格递增。设 （  ），则 ：当 时 ，；当 时 。故 在 上递减、 上递增， 的最小值为 ，即 的最小值为 ，C 正确。 D 项：，公切线的斜率必为正，设为 。按结论 1.2：切 于横坐标 处，，，切线为 。切 于横坐标 处，，，切线为 。两切线重合等价于截距相等： 当 时，。 若 ：，，故 。 若 ：，， 严格递增；，，故存在唯一的 使 ， 在 上递减、 上递增，最小值为 。由 ： 由 得 （该二次式在 内为负），即 ，故 。 综上， 对一切 成立，方程 无解，两曲线无公切线，D 正确。 综上，正确的选项是 ACD。 【答案】ACD 学科网（北京）股份有限公司 $ 函数与导数之公切线与双函数 高三数学专题复习 · 专题第七讲 0 题型概说 本讲研究两类以”两个函数”为对象的问题。其一，公切线问题：一条直线同时与两条曲线相切，核心是把相切的几何条件转写为函数值与导数值的方程组，再联立消参。其二，双函数问题：两个不同函数的函数值由存在量词与全称量词联结，核心是把量词语言转译为两个值域集合之间的相交、包含与最值比较关系。当两个函数由 与 构成时，两侧经取对数、取指数或代元 后常可改写为同一个单调函数的函数值，严格单调性随之给出自变量之间的等量关系。 识别信号总览： 问题特征 方法指向 单元 两条曲线与”公切线”“同一条切线”“公共点处切线相同”，求切线方程或求参数 切点的方程组联立 单元一 “存在公切线求参数范围”或”公切线的条数” 消元后化为值域问题或方程根的个数 单元二 两个函数、两个自变量分属两个集合，以”存在／任意”联结函数值 值域的相交、包含与最值比较 单元三 双函数问题中两函数由 与 构成 改写为同一单调函数的函数值 单元四 单元一 公切线的判定与求解 1.1 识别特征 题干给出两条曲线，出现”公切线”“同一条切线”，或”在公共点处有相同的切线”；设问为求公切线方程，或由公切线的存在反求参数。“在公共点处有相同的切线”是同一点相切；“一条直线分别与两条曲线相切”时切点一般不同（也可能重合，此时即同一点相切）——两类条件的方程组形态不同。 1.2 结论与推导 结论 1.1（同一点相切的方程组）　两条曲线在公共点 处有相同的切线，等价于 　且　， 两个方程联立解出 与参数。 推导：切点在两条曲线上给出函数值相等；切线相同首先是斜率相同，而公共点处切线相同必然函数值也相同，故两条都列。 结论 1.2（不同点相切的方程组）　一条直线与曲线 切于 、与曲线 切于 （  ），等价于 （斜率相等）　且　（截距相等）。 两切点的连线就是公切线本身，故第二条件也可写成”连线斜率等于切线斜率”：。 推导： 在 处的切线为 ；两条切线是同一条直线，斜率与截距分别相等。连线斜率式由”公切线过两切点”直接写出。 结论 1.3（已知切线求参数）　已知切线 与曲线 相切，等价于存在切点横坐标 满足 且 ，两个方程联立。 推导：切点既在切线上又在曲线上，导数值等于切线斜率。 1.3 方法决策表 切的类型 联立条件 同一点相切 设公共点横坐标为 ： 且 （结论 1.1） 不同点相切 设两切点横坐标为 ，：斜率相等＋截距相等（结论 1.2） 已知切线求参数 切点在已知直线上，且导数值等于已知斜率（结论 1.3） 公切线只要求同一条直线分别在两条曲线上相切，不要求切点相同；两条曲线相交时仍可能存在公切线。 例题精讲 例 1（单项选择题） 已知函数 ，，若直线 是曲线 与曲线 的公切线，则 的方程为（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 设 与曲线 切于点 ，与曲线 切于点 。由 ，，按结论 1.2 列斜率相等条件 在 处的切线为 ； 在 处的切线为 。同一条直线，截距相等： 由①知 。将①代入②消去 ：，约去 得 ，即 。 代回①：，两边取对数得 。记 ，则 ，即 。设 （  ），则 ： 时 ， 时 ，故 ，当且仅当 时取等。方程 有唯一解 ，即 ，。 于是斜率 ，切线为 ，即 。 例 2（填空题） 已知曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线，则 = ________． ●解析 的导数为 ，在 处 ，，故切线方程为 。 设该直线与曲线 相切于点 。按结论 1.3，由 得斜率条件 ，即 ；切点在直线上，故 ，即 ，解得 。 例 3（单项选择题） 若直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线，则 = （  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 设切点分别为 ，。由 ，，按结论 1.2 斜率相等给出 于是 ，从而两切点的纵坐标差为 公切线经过两切点，其斜率等于连线 的斜率： 存在性验证：取 使 （即  ），此时 在 处的切线斜率等于 的斜率且过点 ，故该切线就是直线 ；又 在 处的切线斜率同为 且过点 ，同为直线 。故公切线存在且 。 例 4（填空题） 若曲线 与曲线 在它们的公共点处有相同的切线，则 = ________． ●解析 设公共点为 。；。按结论 1.1，同一点处切线相同，则导数值相等： 再由函数值相等 ： 当 时，，，得 ； 当 时，，，得 ，即 （此时 ，在定义域内）。 变式训练 变 1（单项选择题） 已知曲线 在 处的切线与曲线 相切，则 的值为（  ） A．　　B．　　C．　　D． 变 2（填空题） 已知曲线 在 处的切线也是曲线 的切线，则 = ________． 变 3（单项选择题） 若曲线 在点 处的切线也是曲线 在点 处的切线，则 = （  ） A．　　B．　　C．　　D． 变 4（单项选择题） 若直线 （  ）是曲线 与曲线 （  ）的公切线，则 = （  ） A．　　B．　　C．　　D． 单元二 公切线的存在性与条数 2.1 识别特征 设问为”存在公切线（公共切线），求参数的取值范围”，或”公切线的条数”“恰有几条公切线”。参数可能出现在曲线方程中，也可能出现在直线方程中。 2.2 结论与推导 结论 2.1（消元定值域）　设单一切点变量的切点为 ，把公切线的两个条件（斜率相等、截距相等）联立，消去其余切点变量，把参数表示为 的函数：参数等于 。存在公切线当且仅当参数属于 的值域；值域端点的开闭由 能否取到该端点决定。 推导：切点变量取定后公切线（若存在）被完全确定；参数取定后”存在公切线”即”参数等于 的方程有解”，解的存在性由值域判定。 结论 2.2（二次侧判别式）　一侧曲线为二次曲线（或可化为二次）时，把另一侧的切线方程代入二次曲线，相切等价于二次方程的判别式 ，由此得参数与切点变量的关系。 推导：直线与二次曲线恰有一个公共点等价于联立后的二次方程有唯一实根。 结论 2.3（条数化为根数）　公切线的条数等于消元后所得方程 的满足限定条件的根的个数：按 的符号拆区间，逐段用单调性与两端函数值（含极限值）计数；最后排查”不同的根对应同一条公切线”的可能（同一曲线上的两个不同切点给出同一切线时须剔除）。 推导：每个根对应一组切点，从而对应一条候选公切线；条数即有效根数。同一侧曲线上切线相同要求斜率与截距都相同，据此排查。 2.3 方法决策表 条件形态 构造方向 参数在曲线一侧 联立切线条件消去切点，得”参数＝“，存在公切线当且仅当参数属于值域（结论 2.1） 一侧曲线为二次曲线 公切线代入二次曲线，判别式 （结论 2.2） 求公切线的条数 消元化为方程根的个数，拆区间计数并排查重合（结论 2.3） 值域端点（或根的个数）的开闭由切点能否取到决定；消元时除以参数或含参因子会丢失其取零的情形，须补回单独验证。 例题精讲 例 5（填空题） 若两曲线 与 存在公切线，则 的取值范围是________． ●解析 设公切线与 切于点 ，与 切于点 （  ）。按结论 1.2，两条切线的斜率相等： 两条切线的截距分别为 与 ，截距相等： 若 ：由① ，②成立；此时曲线 即直线 ，而 与 相切于点 ，公切线存在。 若 ：由① ，代入②得 ，即 ，约去 得 按结论 2.1，记 （  ），则 。当 时 ， 单调递增；当 时 ， 单调递减，故 的最大值为 。又，当 从右侧趋近于 时 趋于 ，，当 趋于 时 趋于 ，故 的值域为 。 存在公切线当且仅当 属于该值域（取定 后由①②构造的 使两条切线重合，条件充分），故 （含  ）。 例 6（填空题） 若函数 与函数 （  ）的图象存在公切线，则实数 的取值范围为________． ●解析 设公切线与曲线 切于点 （  ）。由 ，切线方程为 按结论 2.2，该直线与抛物线 相切，当且仅当方程 有唯一实数解，即二次方程 的判别式为零： 由 且分子 ，得 ，即 。 记 （  ）。求导： 令 ，则 ， 在 上单调递增，且 。故 时 ， 时 ， 的最小值为 又，当 从右侧趋近于 时分子趋于 、分母趋于 ，当 从左侧趋近于 时分母趋于 而分子为正，故 的值域为 。 存在公切线当且仅当 ，即 。 例 7（解答题） 已知曲线 ，。试判断曲线 与 的公切线的条数，并说明理由。 ●解析 设公切线与 切于点 ，与 切于点 。由 ，，两条切线分别为 （后者由 展开整理而得。）按结论 1.2，两条切线重合，则斜率与截距分别相等： 若 ，则第一式给出 ，无解，故 。由第一式取对数得 ，代入第二式： 令 （  ），按结论 2.3 化为根数问题： 求导得 。 当 时 ， 严格递减；当 趋于 时 趋于 ，当 从左侧趋近于 时 趋于 ，故 在 内恰有一个零点。 当 时 ， 严格递增； 趋于 （  从右侧趋近于  ），（因  ），故 在 内恰有一个零点。 当 时 ， 严格递减；，当 趋于 时 趋于 ，故 在 内恰有一个零点。 综上， 恰有三个根。每个根 由 唯一确定切点 ，得到一条公切线；且不同的根对应不同的公切线：若 处 的切线相同，则由斜率相等 得 ，再由截距相等要求 ，即 ，解得 ，与 矛盾。故两曲线的公切线恰有 条。 变式训练 变 5（多项选择题） 若两曲线 与 存在公切线，则正实数 的取值可能是（  ） A．　　B．　　C．　　D． 变 6（填空题） 已知函数 ，。若曲线 与曲线 有公切线，则实数 的取值范围为________． 变 7（填空题） 已知曲线 与 （  ）有公共切线，则实数 的取值范围是________． 单元三 双函数的任意与存在 3.1 识别特征 两个不同函数 、，两个自变量 、 分别属于两个集合，函数值以”存在”“任意”量词联结，设问形如”存在 、，使 “、”对任意 ，存在 ，使 “。 3.2 结论与推导 结论 3.1（量词转译表） 量词形态 等价转译 ，， 在 上的值域与 在 上的值域相交 ，， 的值域包含于 的值域；若还要求 唯一，则 的值域须含于 在 上恰好被取到一次的函数值集合 ，， 在 上的最小值不大于 在 上的最小值 ，， 在 上的最大值不大于 在 上的最大值 ，， 在 上的最大值小于 在 上的最小值 ，， 在 上的最大值大于 在 上的最小值 推导：以第四行为例——“对每个 都能找到 使 ”等价于 不超过 的最大值；最不利的 是最大值点，故等价于最大值对最大值。其余各行同法，“存在”取最有利的一端、“任意”取最不利的一端。 结论 3.2（界限值代替最值）　集合为开区间或最值取不到时，转译中的”最大值／最小值”换成函数值实际能取到的界限： 恒成立且可以任意接近 时， 的下界按 参与比较；严格不等号与取等情形逐一核对”能否取到”。 推导：量词转译只依赖函数值的集合，与”最值是否取到”无关；集合的端点即界限值。 3.3 方法决策表 量词形态 处理 双存在 / 双任意 值域相交 / 最大值小于最小值（结论 3.1） 混合量词 按”任意取最不利、存在取最有利”定两端（结论 3.1） 要求唯一 值域含于”恰好被取到一次”的函数值集合（结论 3.1 第二行） 开端点 用界限值代替最值，逐点核对取等（结论 3.2） 例题精讲 例 8（单项选择题） 已知函数 ，，若对任意的 ，存在唯一的 ，使得 ，则实数 的取值范围是（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 先求 在 上的值域。：在 上 ，在 上 ，故 在 上递减、 上递增，最小值 ；端点值 ，，故值域为 。 再分析 在 上取每个值的次数。 在 上递增、 上递减，（最大值），（最小值），。 对方程 ，即 ： 当 时，唯一解 ；当 时，，正根恰有一个，负根 不在区间内；当 时，，正、负两根都落在 内，有两个解。 故”被唯一取到”的函数值集合为 。 按结论 3.1 第二行，条件等价于 的值域含于该集合： （若 ，取 中位于 右侧的近旁值，它落在 内，既不等于 也不在 中；若 ，取靠近 左侧的值，同理不落在其中。故两种情形包含均不成立。） 解得 （  时值 由 唯一取到，可以取等； 时值 由 取到两次，不可取等）。 例 9（填空题） 已知函数 ，。对任意的 ，总存在 ，使 ，则实数 的取值范围是________． ●解析 按结论 3.1 第四行：条件对一切 成立，最不利的 使 取到最大值，故条件等价于 在 上的最大值不大于 在 上的最大值。 求 在 上的最大值： 时 ， 时 ，故 在 上单调递减， 的最大值为 。 于是条件化为：对任意 ，，即 ，分离参数： 记 ，则 ： 上 ， 上 ，故 的最大值为 。 故 。 例 10（单项选择题） 已知函数 ，。若对区间 内任意两个实数 （  ），都有 恒成立，则实数 的取值范围是（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 不妨设 。 在 上严格递增，故 ，原条件即 去绝对值得 ，整理为两个同向关系： 由 的任意性，等价于函数 与 都在 上严格单调递增。 对 ： 在 上递增，最小值为 ，故需 ，即 （  时 仅在 处为零， 仍严格递增）。 对 ： 对 恒成立，即 恒成立，故 不超过 在 上的最小值。记 ，： 在 上递减、 上递增， 的最小值为 ，故 。 综上，。 例 11（解答题） 已知函数 。（1）证明： 有唯一实数解；（2）若函数 ，对任意 ，存在 ，使得 ，求实数 的取值范围。 ●解析 （1） 的定义域为 ， 由 ， 等价于 ，即 。记 （  ），则 ， 在 上严格递增；又 ，，故存在唯一的 使 ，即 有唯一实数解。 （2）按结论 3.1 第三行：条件对一切 成立，最不利的 使 取到最小值，条件等价于 由（1），：当 时 ， 递减；当 时 ， 递增，故 的最小值为 。由 得 ，，于是 对 求导：。当 时 ， 递减；当 时 ， 递增，故 的最小值为 。 于是 ，即 ，，解得 。 变式训练 变 8（填空题） 设函数 ，。若对任意 ，存在 ，使得 ，则实数 的取值范围是________． 变 9（解答题） 已知函数 ，。若存在 ，使得 ，求实数 的取值范围。 变 10（解答题） 已知函数 ，。若对任意 ，存在 ，使得 ，求实数 的取值范围。 单元四 与 的双函数结构 4.1 识别特征 双函数问题中，两个函数由 与 构成。常见形态： 型与 型； 型与含 的乘积型；两个单调因式的乘积恒非负型。设问为函数值相等时自变量之间的关系、乘积恒非负时参数的最值、同一条切线定参数。 4.2 结论与推导 结论 4.1（改写为同一单调函数）　两侧函数值相等时，把两侧分别改写为同一个严格单调函数 的函数值，由一一对应得自变量之间的等量关系。两个标准改写：（  ）两边取对数得 ； 以 代元得 。这里 （  ）与 （  ）都严格单调。 推导：严格单调函数的取值一一对应：；对数、指数运算与代元都是同解变形。 结论 4.2（乘积恒非负与零点重合）　、 在区间型定义域上都严格递增且各恰有一个变号零点时， 在定义域内恒成立等价于两因式的变号零点重合；由此得参数的等式关系，再求参数表达式（如  ）的最值。 推导：两零点不重合时，两零点之间的那段上两因式异号，乘积为负；重合时两侧同号。 等使某因式不变号的情形单独验证后排除。 结论 4.3（切线不等式与对称性）　（当且仅当 取等）；（当且仅当 取等）。曲线 与 关于直线 对称，切点 与 关于该直线对称；公切线、最值、零点等结论常成对出现。 推导：对 、 求导定最值即得两条不等式；反函数图象关于 对称。 结论 4.4（同切线定参数与 型方程）　一侧切线确定后，设另一侧切点横坐标为 ，由”导数值等于已知斜率”与”切点在切线上”两个方程联立；消元后若出现 型参数方程，利用 的单调性（  ）确定根的个数与唯一根。 推导：两个条件各给一个方程； 在 上递增、 上递减， 处取最大值 ，水平线至多两个交点，结合限定区间定根。 4.3 方法决策表 结构形态 构造方向 指数侧与对数侧函数值相等 改写为同一单调函数的函数值（结论 4.1） 两递增因式乘积恒非负 变号零点重合，得参数等式再求最值（结论 4.2） 放缩与临界判定 、，注意取等点（结论 4.3） 同切线定参数 两方程联立消元， 型方程按单调性定根（结论 4.4） 例题精讲 例 12（单项选择题） 已知函数 ，。若 ，，则 的最大值为（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 由 ：，两边取对数得 由 ：。由 及 知 ，两边取对数得 按结论 4.1：记 （  ），则 ， 严格递增。令 （  ），②即 ，①即 ，由 严格递增、取值一一对应，得 ，即 于是 。记 （  ），由①知 ，即 ，且 ，故 记 （  ），则 ： 时 ， 时 ，故 的最大值为 （  对应 ，此时 ，可取到）。 例 13（单项选择题） 已知函数 ，。若 ，则 的最小值为（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 由 ，按结论 4.1 以 代元：，故 记 （  ），则 ， 在 上严格递增。，，故 即 ，由 严格递增、取值一一对应，得 于是 。记 ，则 ： 时 ， 时 ，故 的最小值为 （  可取，此时由 得 ，等价关系对一切实数 成立。）故 的最小值为 。 例 14（解答题） 已知函数 ，，其中 ，。若 ，且曲线 在 处的切线与曲线 也相切，求实数 的值。 ●解析 当 时，，，故 ，，曲线 在 处的切线为 按结论 1.3：设该切线与曲线 相切于点 。由 ，得斜率条件与切点条件： 两式比较得 ，即 。代入斜率条件： 按结论 4.4：记 （  ），则 ， 在 上严格单调递减，且 ，故方程 在 上有唯一解 。 例 15（多项选择题） 已知函数 ，，，则下列结论正确的是（  ） A． 和 的图象有且只有一条公切线 B．若 恒成立，则整数 的最大值为 C．若 、 均大于 ，则 D．关于 的方程 （  ）在区间 内有解 ●解析 （  ）。 A 项：，。按结论 1.2 设公切线切 于 、切 于 。斜率相等：，即 。 侧切线为 ； 侧切线为 。截距相等：，即 ，也即 ，解得 （此时 ，公切线  ）或 （此时 ，公切线  ）。恰有两条公切线，A 错误。 B 项：，其中 与 都在 上递增，故 严格递增；，，故存在唯一的 使 ， 在 上递减、 上递增，最小值 由 且 在 上递减，得 的最小值属于 。 恒成立当且仅当 的最小值，故整数 的最大值为 ，B 正确。 C 项：记差式 （  ）。固定 ，令 ，则 故 在 上严格递增，从而 ；记 ，则 ， 在 上严格递增，故 ，而 故对一切 有 ，即 ，C 正确。 D 项：设 ，。则 当 时 ，且 与 相乘为正，故 ， 在 上严格递增，从而 ，方程 在 内无解，D 错误。 综上，正确的选项是 BC。 变式训练 变 11（填空题） “朗博变形”是借助指数运算或对数运算，将 化成 ，（  ）的变形技巧。已知函数 ，，若 ，则 的最大值为________． 变 12（单项选择题） 设函数 。若对定义域内任意 ，都有 ，则 的最小值为（  ） A．　　B．　　C．　　D． 变 13（解答题） 已知函数 ，。（1）若 在 上单调递减，求 的取值范围；（2）若曲线 与曲线 在 处有相同的切线：（i）求 的值；（ii）若 ，证明：。 变 14（多项选择题） 已知函数 ，，记 ， 的图象分别为曲线 ，，则下列结论正确的是（  ） A．过原点作曲线 的切线，则切线方程为 B．当 时，， 分别为曲线 ， 上的动点，则 的最小值为 C．若 （ ， ），则 的最小值为 D．当 时，曲线 ， 无公切线 学科网（北京）股份有限公司 $