函数与导数之零点、切线、恒成立存在问题专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦函数与导数核心问题，通过22+16+16+15题分层训练，覆盖零点、极值、恒成立、切线四大模块，题型多样，典例精选各地模拟题，构建从概念到应用的递进逻辑，培养数学思维与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |零点问题|22题（9单3多9填1解）|含方程根分布、对称性、复合函数零点，结合数列（等差等比）|从方程根到函数零点，渗透数形结合与转化思想| |极值问题|16题（7单7多1填1解）|涉及极值点个数、存在条件及与切线综合，含多选辨析|以导数应用为核心，连接函数单调性与极值判定| |恒成立与存在性|16题（4单6填6解）|覆盖参数范围、单调性、值域，解答题注重证明与应用|体现函数最值与不等式的转化，培养模型观念| |导数与切线|15题（1单1多6填7解）|含切线求法、公切线、共轴切点，结合几何意义|从导数几何意义切入，连接函数图象与方程求解|

函数与导数之零点、切线、恒成立存在问题 一、零点问题（共22题：单项选择题9题 · 多项选择题3题 · 填空题9题 · 解答题1题） （一）单项选择题（共9题） ◆ 方程根的个数与分布 ★★　焦作市2026届高三第一次模拟测试 · 第8题 1.　已知函数若方程恰有2个实根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. ★★　鹤壁市2026届高三上学期一模 · 第8题 2.　已知函数若关于的方程在区间内有2027个不同的实数根，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. ◆ 零点与对称性、等差关系 ★★★　广州市2026届普通高中毕业班综合测试（二） · 第8题 3.　若函数有且仅有两个零点，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 ★★★　汕头市2026年普通高考第二次模拟考试 · 第8题 4.　集合中所有元素之和记作，则（ ） A. B. C. D. ★★★　沧州市第一中学等校2026届普通高中高三总复习质量监测 · 第8题 5.　已知函数的四个零点，恰好成递增的等差数列，则m的值为（ ） A. B. C. D. ◆ 零点比较大小 ★★★　濮阳市2026届高三第一次模拟 · 第7题 6.　已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（ ） A. B. C. D. ◆ 复合函数的零点 ★★★　宁波市2025-2026学年第二学期高考模拟考试 · 第7题 7.　已知函数，设是三个不同的实数，且满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. ★★★　衡阳市2026届高三下学期第二次联考 · 第8题 8.　已知函数与的图象关于直线对称，函数，，若方程在区间上有解，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. ★★★　邵阳市2026届高三上学期第一次联考 · 第8题 9.　设函数和的零点分别为，其中．当时，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. （二）多项选择题（共3题） ◆ 零点与数列、等差等比（多选） ★★★　芜湖市2025-2026学年度第一学期教学质量监控 · 第11题 1.　已知函数且为常数，是函数大于0的零点，其构成数列，下列说法正确的有（ ） A. 函数有且只有一个零点 B. 若函数在区间内均存在零点，则 C. 若，则数列为递增数列 D. 存在实数，使得数列常数列 ★★★　黄冈中学等十一校2026届高三第二次联考 · 第11题 2.　已知函数有三个零点，则（ ） A. 若成等差数列，则成等比数列 B. 若成等比数列，则成等差数列 C. 若成等差数列，则数列公差为 D. 若成等比数列，则数列的公比为 ★★★　泉州市2026届高三质量检测（二） · 第11题 3.　已知函数有两个零点，则（ ） A. 当时， B. C 当时， D. 函数取最小值时， （三）填空题（共9题） ◆ 零点存在性与参数范围（填空） ★★★　苏州实验中学等六校2026届高三第二次模拟考试 · 第14题 1.　若函数有且仅有一个零点，且，则实数的取值范围为________________. ★★★　宜春市2026届高三下学期模拟考试 · 第14题 2.　已知关于x的方程有两个不相等的实数解，则正实数m的取值范围是______. ★★★　萍乡市2026届高三上学期一模考试 · 第13题 3.　已知有且仅有两个零点，则所有满足条件的的乘积为______． ★★★　赣州市2025-2026学年高三下学期摸底考试 · 第13题 4.　已知函数且有三个零点，则实数的取值范围是______. ★★★　邢台市名校协作体2026届高三上学期模拟考试（一模） · 第14题 5.　若函数在定义域内有零点，则实数a的取值范围为________. ★★★　黄骅中学等十校2026届高三下学期一模 · 第14题 6.　设定义在上的函数有三个不同的零点，，，且，则的值是______． ★★★　岳阳市2026届高三教学质量监测（一） · 第14题 7.　若是函数的一个零点，且，则的最小值为__________. ★★★　厦门市2026届高中毕业班3月模拟测试 · 第14题 8.　若函数恰有两个零点，则的取值范围是__________． ★★★　莆田市2026届高三上学期1月质量检测 · 第14题 9.　若函数有零点，则实数的取值范围是______. （四）解答题（共1题） ★★★　宿州市2026届高三上学期教学质量检测 · 第17题 1.　已知函数. （1）证明函数存在唯一零点； （2）的零点为，证明. 二、极值问题（共16题：单项选择题7题 · 多项选择题7题 · 填空题1题 · 解答题1题） （一）单项选择题（共7题） ◆ 极值点个数与存在条件 ★★　新余市2026届高三下学期第二次模拟考试 · 第6题 1.　已知函数，且不等式的解集为，，则的极大值为（ ）． A. 0 B. 36 C. 72 D. 108 ★★　金丽衢十二校2026届高三第一次联考 · 第7题 2.　已知三次函数，若不等式的解集为，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 ★★★　广州市2026届高三毕业生一模 · 第6题 3.　函数在区间上的极值点个数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 ★★★　十堰市2026届高三上学期元月调研 · 第8题 4.　若函数有极值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. ★★★　湘西2025-2026学年高三上学期期末 · 第7题 5.　已知函数，记的非零极值点为，则取最大值时，（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 ★★★　福州市、宁德市2026届高中毕业班适应性考试 · 第8题 6.　已知函数有且仅有个极值点、、，且，则（ ） A. 为奇数 B. 为奇数 C. 若，则 D. 若，则 ★★★　莆田市2026届高三上学期1月质量检测 · 第8题 7.　若函数存在极大值点和极小值点，，其中，都是实数，则（ ） A. B. C D. （二）多项选择题（共7题） ◆ 极值与图象、切线（多选） ★★　上饶市2026届高三上学期第一次高考模拟考试 · 第10题 1.　已知函数，则（ ） A. 在点（2，a-4）处的切线方程为 B 若有两个极值点，则 C. 当时，有两个零点 D. 当时，直线与的图象一定有三个不同的交点 ★★　石家庄市2026届普通高中学校毕业年级教学质量检测（一） · 第9题 2.　已知函数，则（ ） A. B. 函数的零点为 C. 曲线上任意一点处切线的倾斜角不小于 D. 若，且，则 ★★　洛阳市豫西北联盟2026届高三第二次质量检测 · 第9题 3.　已知，函数有两个极值点，，则（ ） A. 可能是负数 B. C. 曲线在点处切线方程为 D. 为定值 ★★　杭州市2025-2026学年第二学期高三二模教学质量检测 · 第10题 4.　已知函数，则（ ） A. ，是增函数 B. ，是奇函数 C. 若有三个不同的零点，，，则 D. 过点且与曲线相切的直线恰有3条，则 ★★　温州市普通高中2026届高三第二次适应性考试 · 第10题 5.　已知函数的极大值点和极小值点分别记为和，过点，分别作x轴的平行线交的图象于点C，A，过点M，N构造矩形，如图所示，则下列说法正确的是（ ） ▲ 板块⑥ 极值问题 · 多选第5题 ｜ 温州市普通高中2026届高三第二次适应性考试 · 第10题 A. B. 点M为线段CD的三等分点 C. 当时，四边形ABCD为正方形 D. 当时，四边形为菱形 ★★　岳阳市2026届高三教学质量监测（一） · 第11题 6.　已知函数，则（ ） A. 若，且曲线的对称中心为，则 B. 若，且曲线的对称中心为，则有极值 C. 若，且，则存在实数，使得 D. 若且，直线是曲线在对称中心处切线，定点满足，则过点与曲线相切的直线有三条 ★★★　安庆市2026届高三二模 · 第11题 7.　已知函数，将的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列，对于任意的正整数，则（ ） A. B. 是极小值点 C. D. （三）填空题（共1题） ★★　黄山市2026届高三第一次质量检测 · 第13题 1.　若函数在处取得极大值，则实数的取值范围为__________． （四）解答题（共1题） ★★　邢台市名校协作体2026届高三上学期模拟考试（一模） · 第16题 1.　已知函数在处取得极小值. （1）求的值; （2）证明：时，. 三、恒成立、存在性与最值（共16题：单项选择题4题 · 填空题6题 · 解答题6题） （一）单项选择题（共4题） ◆ 恒成立与参数范围（选择） ★★★　铜陵市2026届高三下学期第一次质检 · 第8题 1.　已知函数，，若对任意的，存在唯一的，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. ★★★　黄山市2026届高三第一次质量检测 · 第8题 2.　已知函数，若恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. ★★★　茂名市2026年高三下学期第二次综合测试 · 第8题 3.　已知f（x）是定义在区间上的函数，且，，则（ ） A. 只有1个零点 B. 有2个零点 C. ， D. ， ★★★　常德市2025-2026学年高三上学期检测 · 第7题 4.　已知实数，若对任意的，恒成立，则的最大值为（ ） A. B. C. D. （二）填空题（共6题） ◆ 单调性与恒成立（填空） ★★　保定市2026届高三第一次模拟考试 · 第13题 1.　已知函数在区间上单调递增，则a的取值范围为______． ★★★　合肥市2026届高三第二次教学质量检测 · 第14题 2.　已知函数，设，若恒成立，则的最小值为________. ★★★　南师附中等九校2026届高三下学期一模联考 · 第14题 3.　已知函数，对任意，都有，则的取值范围为______. ★★★　鹤壁市2026届高三上学期一模 · 第14题 4.　已知且，若函数在上单调递增，则的最大值为___________． ◆ 值域与最值（填空） ★★★　常德市2025-2026学年高三模拟考试（二模） · 第14题 5.　函数的值域为___________． ★★★　龙岩市2026届高三高中毕业班三月教学质检检测 · 第13题 6.　已知，对任意，关于的方程有实数解，则的最小值为______. （三）解答题（共6题） ★★　江门市2026届高考适应性测试 · 第16题 1.　已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若不等式对恒成立，求的取值范围． ★★　黄骅中学等十校2026届高三下学期一模 · 第17题 2.　已知函数． （1）求函数的最大值； （2）已知为数列的前项和，证明：． ★★　莆田市2026届高三高中毕业班第二次质量调研测试 · 第16题 3.　已知函数. （1）当时，求的极值； （2）若，求实数的取值范围. ★★★　武汉市2026届高中毕业生三月调研 · 第17题 4.　已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有极小值，且，求a的取值范围. ★★★　襄阳市2026届高三3月统一调研 · 第17题 5.　已知函数． （1）若恒成立，求a的取值集合； （2）当时，证明：当时，恒成立． ★★★　厦门市2026届高中毕业班3月模拟测试 · 第16题 6.　设函数． （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，． 四、导数与切线（共15题：单项选择题1题 · 多项选择题1题 · 填空题6题 · 解答题7题） （一）单项选择题（共1题） ◆ 切线的求法与参数（选择） ★★★　嘉兴市2026届高三下学期4月二模教学测试 · 第8题 1.　已知直线与函数的图象相切，若，则实数的最小值为（ ） A. B. C. D. （二）多项选择题（共1题） ◆ 公切线与共轴切点（多选与填空） ★★★　湛江市2026届高三普通高考测试（二） · 第11题 1.　若函数图象上存在不同的两点和，使得的图象在点，处的切线交于直线（为常数）上同一点，则称，为函数的一对“关于直线的共轴切点”. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 存在实数，使得不存在关于轴的共轴切点 B. 若存在关于直线的共轴切点，则两切点的横坐标之积为定值 C. 若，则存在实数，使得存在关于直线的共轴切点，且对应的两切线斜率之和大于0 D. 若，则对于任意，都存在关于直线的共轴切点 （三）填空题（共6题） ★★　张家口市2026届高三第二次模拟考试 · 第13题 1.　已知曲线在点处的切线也是曲线的切线，则________． ★★　南阳市2026届高三下学期一模 · 第12题 2.　已知函数的图象恒过定点，且函数的图象在处的切线也经过点，则______． ★★　湘潭市2026届高三二模 · 第13题 3.　若直线是曲线的一条切线，则________． ★★★　焦作市2026届高三第一次模拟测试 · 第13题 4.　已知曲线与的公切线为，则在轴上的截距为___________． ★★★　宜昌市2026届四月调研考试 · 第14题 5.　若曲线过点的切线恒在函数的图象的上方，则实数的取值范围是__________. ★★★　泉州市2026届高中毕业班质量检测（一） · 第14题 6.　若存在4条不同的直线既是圆的切线，也是曲线的切线，则的取值范围是__________. （四）解答题（共7题） ★★　汕头市2026年普通高考第二次模拟考试 · 第16题 1.　已知函数. （1）若曲线在点处的切线过点，求的值； （2）求的极值点. ★★　茂名市2026年高三下学期第二次综合测试 · 第17题 2.　已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若存在小于0的极小值，求a的取值范围． ★★　南京市、盐城市2026届高三下学期一模 · 第17题 3.　已知函数，直线与曲线相切． （1）求实数的值； （2）若是函数的极大值点，求实数的取值范围． ★★　开封市2026届高三第一次质量检测 · 第16题 4.　已知函数，且曲线在点处的切线斜率为． （1）求实数的值； （2）求函数在区间上的最大值与最小值． ★★　濮阳市2026届高三第一次模拟 · 第16题 5.　已知. （1）若，求的图象在点处的切线方程； （2）若，都有，求实数的取值范围. ★★　福州市、宁德市2026届高中毕业班适应性考试 · 第16题 6.　已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，求的取值范围． ★★★　广州市2026届普通高中毕业班综合测试（二） · 第16题 7.　已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若是函数的极值点，证明：． 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 函数与导数之零点、切线、恒成立存在问题 一、零点问题（共22题：单项选择题9题 · 多项选择题3题 · 填空题9题 · 解答题1题） （一）单项选择题（共9题） ◆ 方程根的个数与分布 ★★　焦作市2026届高三第一次模拟测试 · 第8题 1.　已知函数若方程恰有2个实根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 策略　分段求值域： 段 值域 ， 段 值域 ；对 分段数根，只有 时两段恰好各贡献 1 根。 ：，，（最大值）， 时趋于 0。： 时仅 ； 时二次方程 有两正根； 时仅 ； 时无根。 ：，当 时恰有一根 ； 时无根。 合计： 时 1 根； 时 3 根； 时 与 恰 2 根； 时 1 根。 所以方程 恰有 2 个实根当且仅当 ，选 B。 答　B ★★　鹤壁市2026届高三上学期一模 · 第8题 2.　已知函数若关于的方程在区间内有2027个不同的实数根，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 策略　先弄清 的结构： 段严格增、值域 ； 段以 1 为周期，每个周期段上 从 增到 0。再把方程看成关于 的二次方程，按两根的落位数根。 ： 严格增，值域 ，每个值 恰一解。：，周期为 1，在每段 （）上 从趋近 增到 ，值域 ：每个 恰 2025 个解， 有解 共 2025 个， 无解。 设 是 的根，判别式 。 时两根 与 ：前者贡献 1 解，后者贡献 解，共 2027 根，符合。 时两根 。，且 恒成立，故 ，贡献 解。，此时 贡献 1 解，共 根。 时 （仅 段一解），仍为 2027 根； 时 两根各贡献 2026 解，共 4052 根，不合。 综上 ，选 B。 答　B ◆ 零点与对称性、等差关系 ★★★　广州市2026届普通高中毕业班综合测试（二） · 第8题 3.　若函数有且仅有两个零点，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 策略　三次函数恰有两个零点，等价于恰有一个二重根。设 ，对比系数把 都用 表示，化为 的三次函数求最小值。 设两零点中二重根为 ，由 项系数为 0，设单根为 ，则 ，（，否则 只有一个零点）。 ，所以 ，。 。令 ，， 得 。 ，且 或 时 之上或 ，故最小值为 ，选 B。 答　B ★★★　汕头市2026年普通高考第二次模拟考试 · 第8题 4.　集合中所有元素之和记作，则（ ） A. B. C. D. 策略　换元 把方程化为 ，估计两根所在区间：一小根 ，一大根 ，从而元素之和大于 。 。令 ：，即 。 设 ：， 时 ，故小根 。 （因 ），，且 在 上递减（），故大根 。 集合 的元素为 ，所有元素之和为 ，选 D。 答　D ★★★　沧州市第一中学等校2026届普通高中高三总复习质量监测 · 第8题 5.　已知函数的四个零点，恰好成递增的等差数列，则m的值为（ ） A. B. C. D. 策略　 对 也有定义， 给出四个零点 ；按等差数列列间距方程即得 。 （），解得四个零点 。 记 ，，四个零点为 。 等差要求相邻间距相等：，即 。 ，选 A。 答　A ◆ 零点比较大小 ★★★　濮阳市2026届高三第一次模拟 · 第7题 6.　已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 策略　三个函数都严格单调，各只有一个零点，且 的零点恰好是 、 的零点恰好是 ， 的零点夹在 内。 ：，且 ，唯一零点 。 （）：，且 ，唯一零点 。 ：，，且 ，唯一零点 。 所以 ，即 ，选 A。 答　A ◆ 复合函数的零点 ★★★　宁波市2025-2026学年第二学期高考模拟考试 · 第7题 7.　已知函数，设是三个不同的实数，且满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 策略　先数层： 有三个不同解必须 （此时 有两个 可选，每个 又给出不同个数的 ）；写出三解后求和，三项都关于 递增，最小值在 。 值域分析： 在 上从 增到 ，在 上 从 增到 。解 ： 时有两个解 与 ； 时只有 。 再解 ： 时有两解 与 ； 时仅一解 。 于是 时 恰有三个不同解：； 时只有两个解。故公共值 。 和 的三项导数分别为 ，，，故 在 递增，最小值 。 即 的最小值为 ，选 D。 答　D ★★★　衡阳市2026届高三下学期第二次联考 · 第8题 8.　已知函数与的图象关于直线对称，函数，，若方程在区间上有解，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 策略　 关于 对称得 ， 严格增时 ，分离参数 ，求 在 上的值域。 与 关于 对称，故 ，（）， 时 ， 严格增。 若 ，则 ，矛盾； 同理矛盾。故 。 。 在 递增、 递减，最大值 （），最小值 （两端相等）。 所以 ，选 C。 答　C ★★★　邵阳市2026届高三上学期第一次联考 · 第8题 9.　设函数和的零点分别为，其中．当时，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 策略　、 分别是 与 的根。对 求导说明 递减、 递增，且 的导数恒正，最小值在 ：。 时： 有根 （，唯一）； 有根 （，因 在 增而唯一）。此时 。 对 隐函数求导：， 关于 递减；对 求导：， 递增。 ：因 时 ，而 。 所以 在 上递增，最小值为 时的 ，取值范围 ，选 C。 答　C （二）多项选择题（共3题） ◆ 零点与数列、等差等比（多选） ★★★　芜湖市2025-2026学年度第一学期教学质量监控 · 第11题 1.　已知函数且为常数，是函数大于0的零点，其构成数列，下列说法正确的有（ ） A. 函数有且只有一个零点 B. 若函数在区间内均存在零点，则 C. 若，则数列为递增数列 D. 存在实数，使得数列常数列 策略　逐项判断：A 看 的单调性；B 把『 内有零点』化为 对一切 成立，解出真正的 范围；C 用 证递增；D 检验 。 A：， 严格增，且 时遍历 ，恰有一个零点，A 对。 B： 在 递增（），，故 在 内有零点 。对一切 成立 （ 最紧），即 。由条件只得 ，推不出 （如 满足条件），B 错。 C： 时 ，故 。又 ，结合 在 递增得 ，数列递增，C 对。 D：（满足 ）时 对一切 成立， 为常数列，D 对。故选 ACD。 答　ACD ★★★　黄冈中学等十一校2026届高三第二次联考 · 第11题 2.　已知函数有三个零点，则（ ） A. 若成等差数列，则成等比数列 B. 若成等比数列，则成等差数列 C. 若成等差数列，则数列公差为 D. 若成等比数列，则数列的公比为 策略　三零点即 三根，即 三根。由 把等差、等比互相翻译：平方成等比等价于 ；等比公比 ，再由等差+等比解出 与 。 设 ：在 上从 0 增到 ，恰一根 ；在 减、 增，最小值 。三根 ，此时 。三根满足 。 A、B： 成等比 （两边除以 ），即与 成等差等价。故 A、B 都对。 设平方列的公比为 ，则 。由等差：，即 ，解得 ，。所以 D 对。 公差 ，且由 得 ，故 。C 中公差 ，不可能，C 错。故选 ABD。 答　ABD ★★★　泉州市2026届高三质量检测（二） · 第11题 3.　已知函数有两个零点，则（ ） A. 当时， B. C 当时， D. 函数取最小值时， 策略　A 用切线放缩 ；B 用凸性 ；C 换元 研究大根位置；D 对 求导，用 证明驻点恰为 。 A：（切线放缩，等号 ），故 时 ，A 对。 B：， 严格凸，故 ，B 的不等号方向错误，B 错。 C：， 时 ，两根满足 。令 ，方程化为 ： 在 取极大，，，故小根 ；又 （因 ）， 在 递减，故大根 。于是 ，C 对。 D：对 求导得 。又 。于是 。而 时 ， 时 ，，故 是最小值点，D 对。故选 ACD。 答　ACD （三）填空题（共9题） ◆ 零点存在性与参数范围（填空） ★★★　苏州实验中学等六校2026届高三第二次模拟考试 · 第14题 1.　若函数有且仅有一个零点，且，则实数的取值范围为________________. 策略　把零点方程改写为 ，逐段研究右侧： 段最小值约 太高； 段从 增到 ； 段从 减到 （取不到）。数水平线 的交点个数即可。 零点满足 （，因 ），即 。 ：，最小值在 处，，故 时左侧无零点。 ：，（ 时 ），严格增，值从 到 （不包含）。 ：， 严格减，从 降到趋于 （取不到 ）。 数根： 无正根； 仅 ； 有两个正根； 仅一个正根（）。故恰有一个零点且为正 或 。 答　a≤-1或a=1/2 ★★★　宜春市2026届高三下学期模拟考试 · 第14题 2.　已知关于x的方程有两个不相等的实数解，则正实数m的取值范围是______. 策略　： 时严格增只有一根； 时 是凸函数，两端趋于 ，最小值小于 2 才有两根。求出最小值，化成 ，即 。 ，， 是严格凸函数。 ：， 严格增， 恰一根，不合。 ： 时 ， 时 ，两端为 ，凸函数有唯一极小点。令 ：。记 ，则极小值 。 与直线 有两交点 。设 ： 当且仅当 （，），故条件为 。 所以 且 ，即 。 答　(0,e^(-1/3))∪(e^(-1/3),1) ★★★　萍乡市2026届高三上学期一模考试 · 第13题 3.　已知有且仅有两个零点，则所有满足条件的的乘积为______． 策略　零点等价于 （要求 ），对每个 解出 ，按两个分支的值域数根，找出恰有两根的 。 ，需 。对固定的 ：（记 ）或 （记 ）。 ： 上从 降到最小值 ， 上增到 。： 时 1 根（）； 时 1 根（）； 时 1 根（）； 时 0 根。 严格增（），，： 时恰 1 根； 时根为 ； 时 0 根。 合并计数：： 共 2 个；： 个；： 给出 （）， 给出的也是 ，共 2 个；其余情形 1 个。 所以恰有两个零点当且仅当 或 ，所有满足条件的 的乘积为 。 答　2e ★★★　赣州市2025-2026学年高三下学期摸底考试 · 第13题 4.　已知函数且有三个零点，则实数的取值范围是______. 策略　零点即 ，取对数化为 。奇函数 在 取最大值 、 取最小值 ，按水平线高度数三根成立的 区间。 ，。。 是奇函数。：，在 取最大值 ；，。由奇性： 为最小值，，。 数根： 时有三根（，， 各一）； 时有三根（，， 各一）； 或 时至多两根。 所以三个零点 。 即 。 答　(e^(-2/e),1)∪(1,e^(2/e)) ★★★　邢台市名校协作体2026届高三上学期模拟考试（一模） · 第14题 5.　若函数在定义域内有零点，则实数a的取值范围为________. 策略　分三段： 直接找负值点； 时利用 关于 递增、在 处为 0 定阈值； 用两条放缩证 恒正。 ：，且 时 （ 时 直接为零点），故存在零点。 ：记 ， 递增，且 。 故 时 ，结合 知有零点； 时 就是零点。 ：一方面 （，等号 ），取 得 ；另一方面 （等号 ）。于是对 ：。 又 ，故 时 ，无零点。综上 。 答　a≤2/e ★★★　黄骅中学等十校2026届高三下学期一模 · 第14题 6.　设定义在上的函数有三个不同的零点，，，且，则的值是______． 策略　两边除以 ，令 ，零点问题化为二次方程 的根分布：一负根给出 ，一根落在 给出两个正根；韦达联系恰好把目标表达式配成常数。 。令 ： 在 上增（导数 ）、 上减，值域 。 三个零点 对应：二次方程 有一负根 （对应唯一 ）和一根 （对应 与 各一）。 给出 （保证一正一负根）；此时韦达：，。 注意到 ，故 。 所以原式等于 。 答　16 ★★★　岳阳市2026届高三教学质量监测（一） · 第14题 7.　若是函数的一个零点，且，则的最小值为__________. 策略　 展开为两类： 或 。由 得 ，分别解出最小候选并比较。 ，故 或 （）。由 知 。 第一类：，左边大于 2，需 ，解得 。 第二类需 （ 为正奇数），最小 ：。 验证：此时 ，，确实为零点。 故 的最小值为 。 答　(π+√(π²+4))/2 ★★★　厦门市2026届高中毕业班3月模拟测试 · 第14题 8.　若函数恰有两个零点，则的取值范围是__________． 策略　绝对值方程只有一支有解： 中取负号得 无解，故零点必是 的根且需 ；按 的符号讨论两根。 ，需 。若 ，则 ，无解。故零点必满足 （此时 自动相容）。 判别式 ，两根 ，乘积为 1、和为 ，故两根同号且与 同号， 对两根都成立。 ：两根都正，恰两个零点；：两根都负，，也恰两个零点。 ：方程无实根，无零点（ 时重根只给 1 个零点）。综上 或 。 答　a>1或a<-1 ★★★　莆田市2026届高三上学期1月质量检测 · 第14题 9.　若函数有零点，则实数的取值范围是______. 策略　先化简内层： 时 ； 时等于 。再按 的范围讨论何时能取到 。 记 。当 ：恒等式 给出内层为 。 时内层为 ，，无零点。： 需 且 ，或 且 ；后者要求 。故 时有零点， 无零点。 ：，内层为 。，右边须非负，故 。令 ， 取遍 且含 0， 有解 ，即 ，对 恒成立。 时右边为负，无零点。综上零点存在的充要条件为 。 答　[-2/3,2/3] （四）解答题（共1题） ★★★　宿州市2026届高三上学期教学质量检测 · 第17题 1.　已知函数. （1）证明函数存在唯一零点； （2）的零点为，证明. 策略　在 上 用端点变号锁定唯一零点；在 上 且 ， 时 。(2) 由 夹出 ，再证 在 递减。 ：（严格）， 增；，，故在 内恰有一个零点。 ： 且 故 ，；：，。故 存在唯一零点 。 由 得 。 时 ，故 ，即 。 。设 ， 在 恒成立（）， 递减。 故 ，证毕。 答　证明见解析 二、极值问题（共16题：单项选择题7题 · 多项选择题7题 · 填空题1题 · 解答题1题） （一）单项选择题（共7题） ◆ 极值点个数与存在条件 ★★　新余市2026届高三下学期第二次模拟考试 · 第6题 1.　已知函数，且不等式的解集为，，则的极大值为（ ）． A. 0 B. 36 C. 72 D. 108 策略　 的解集为 去掉单点 ，说明 是变号零点、 是（局部最低的）二重零点，故 ；比对比系数求出 ，再求极大值。 由解集结构： 处 由负变正（单根）， 处 但两侧 （二重根）。 首项系数为 1，故 。 展开：，比对 项系数 ：；又 ，解得 ，。 ，。 处 由正变负，为极大值点：，选 D。 答　D ★★　金丽衢十二校2026届高三第一次联考 · 第7题 2.　已知三次函数，若不等式的解集为，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 策略　解集 是射线，需 不低于三次函数的极大值 4，且曲线与水平线 的最大交点横坐标恰为 ：由 解出 并筛选。 ：极大值 ，极小值 。 的解集为射线 的左段 （否则解集为若干区间的并，不是 型）。 设解集为 ，则 是 的最大根： 或 。 时解集不是射线，舍去；：，解集恰为 ，故 ，选 D。 答　D ★★★　广州市2026届高三毕业生一模 · 第6题 3.　函数在区间上的极值点个数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 策略　。在 内候选点为 ；检查 在每点两侧是否变号。 。 内 的点：（ 不在开区间内）。 附近 两侧皆正，不变号，不是极值点。 处 与 各变号一次、乘积变号，均为极值点。共 4 个，选 A。 答　A ★★★　十堰市2026届高三上学期元月调研 · 第8题 4.　若函数有极值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 策略　求导后换元 ：。 时内层严格增恰一零点； 时内层有最小值 ，只在 时变号。 定义域要求 ，即 与 同号。。 （）： 的导数 严格增， 时 ， 时 ，恰一零点且 变号，有极值。 （）：， 在 取最小值 。 时最小值为负， 有两个零点、 两次变号，有极值； 时 不变号； 时 ，无极值。 综上 ，选 A。 答　A ★★★　湘西2025-2026学年高三上学期期末 · 第7题 5.　已知函数，记的非零极值点为，则取最大值时，（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 策略　，非零极值点 。比较 在正整数 上的最小值（ 时递增，只需比较 2、3、4）。 ，非零临界点 （该处 变号，为极值点）。 最大即 最小。 在 上递增，故只需比较 。 ，，，最小为 。 所以 最大时 ，选 B。 答　B ★★★　福州市、宁德市2026届高中毕业班适应性考试 · 第8题 6.　已知函数有且仅有个极值点、、，且，则（ ） A. 为奇数 B. 为奇数 C. 若，则 D. 若，则 策略　，临界点为 、 与 。变号情况由幂指数奇偶决定；有且仅有 3 个极值点定出 奇偶，再用 的符号判 C、D。 ，临界点：、、（介于 之间）。 处方括号因子变号，是极值点； 是极值点 为奇数 为偶数；同理 是极值点 为偶数。 有且仅有 3 个极值点 都是偶数，故 A『 为奇数』、B『 为奇数』都错，且 即 （按大小排），。 。 C： 时 ，，C 错；D： 时 ，，D 对。故选 D。 答　D ★★★　莆田市2026届高三上学期1月质量检测 · 第8题 7.　若函数存在极大值点和极小值点，，其中，都是实数，则（ ） A. B. C D. 策略　由『 极大、 极小且 』定出 ； 有两零点等价于其最小值 ，即 ，逐项检验四个选项（必要时举反例）。 。若 ， 符号为 ，较小临界点处 取极小，与『 为极大值点』矛盾； 时 ， 严格减至多一零点。故必有 且 （ 两端为正、中间为负，由负变正处为极大点 ）。 得 ，。 A：（），必然成立，A 对。 B：取 ： 满足条件，但 ，B 错。 C：取 ： 满足条件，但 ，C 错。D：取 ：，D 错。故选 A。 答　A （二）多项选择题（共7题） ◆ 极值与图象、切线（多选） ★★　上饶市2026届高三上学期第一次高考模拟考试 · 第10题 1.　已知函数，则（ ） A. 在点（2，a-4）处的切线方程为 B 若有两个极值点，则 C. 当时，有两个零点 D. 当时，直线与的图象一定有三个不同的交点 策略　A：验证点在曲线上并求切线；B： 是开口向上的二次函数，判别式定 ；C：在临界点处用 代入化简 看极大极小符号，说明恰有三零点；D：直线过定点 ，因式分解后看二次因式。 A：，点 在曲线上；，切线 ，即 ，A 对。 B：，两个极值点 ，B 对。 C： 时 有两根 。在临界点处用 代入：，其符号与 相同。故 、，结合 的走向， 恰有三个零点，C 错。 D：直线 过 ，且 恒成立。交点方程 有根 ，分解得 。 三个不同交点 有两不等实根 ； 时对一切 成立，D 对。故选 ABD。 答　ABD ★★　石家庄市2026届普通高中学校毕业年级教学质量检测（一） · 第9题 2.　已知函数，则（ ） A. B. 函数的零点为 C. 曲线上任意一点处切线的倾斜角不小于 D. 若，且，则 策略　由 定 ；零点满足 ；斜率 用基本不等式下界 ；D 用 两侧的极限反例否定。 A：，A 对。 B：，零点为 而非 ，B 错。 C：（等号当 ），切线斜率 ，倾斜角（取 ）不小于 ，C 对。 D：取 ：，与 矛盾（ 时 ， 时 ），D 错。故选 AC。 答　AC ★★　洛阳市豫西北联盟2026届高三第二次质量检测 · 第9题 3.　已知，函数有两个极值点，，则（ ） A. 可能是负数 B. C. 曲线在点处切线方程为 D. 为定值 策略　两极值点 有两变号零点 ，且 关于原点对称；切线按定义算； 用奇次项抵消。 。有两个极值点需两变号零点：，。A『 可能是负数』错。 B：，B 对。 C：，切点 ；，切线 ，即 ，C 对。 D：；，故和为定值 2，D 对。故选 BCD。 答　BCD ★★　杭州市2025-2026学年第二学期高三二模教学质量检测 · 第10题 4.　已知函数，则（ ） A. ，是增函数 B. ，是奇函数 C. 若有三个不同的零点，，，则 D. 过点且与曲线相切的直线恰有3条，则 策略　A：取 验证 ；B：偶次项 使 永非奇函数；C：三个零点中一个是 0，另两个是二次因式的根；D：切线过 化为 的根个数问题。 A：。取 ： 且仅一点为零， 递增，存在这样的 ，A 对。 B：，对任意 都不等于 （ 项）， 不可能是奇函数，B 错。 C：，三个不同零点中含 ，另两根之和为 ，故 ，C 对。 D：切点 处切线过 ，即 。设 ：， 在 取极大 、在 取极小 。 水平线 与 有三个不同交点 ，此时当然有 ，D 对。故选 ACD。 答　ACD ★★　温州市普通高中2026届高三第二次适应性考试 · 第10题 5.　已知函数的极大值点和极小值点分别记为和，过点，分别作x轴的平行线交的图象于点C，A，过点M，N构造矩形，如图所示，则下列说法正确的是（ ） ▲ 板块⑥ 极值问题 · 多选第5题 ｜ 温州市普通高中2026届高三第二次适应性考试 · 第10题 A. B. 点M为线段CD的三等分点 C. 当时，四边形ABCD为正方形 D. 当时，四边形为菱形 策略　 的极大点 、极小点 ；过 的水平线与曲线的另外两个交点由因式分解求出，得矩形四顶点坐标，逐项验证。 ：极大值点 （值 ），极小值点 （值 ），A 中 ，A 对。 过 的水平线 ：，另一交点 ；同理 的另一交点 。矩形 ：。 B： 的横坐标是 横坐标的中点， 是 中点而非三等分点，B 错。 C： 时矩形宽 、高 ，为正方形，C 对。 D： 时 ：，，邻边不等，不是菱形，D 错。故选 AC。 答　AC ★★　岳阳市2026届高三教学质量监测（一） · 第11题 6.　已知函数，则（ ） A. 若，且曲线的对称中心为，则 B. 若，且曲线的对称中心为，则有极值 C. 若，且，则存在实数，使得 D. 若且，直线是曲线在对称中心处切线，定点满足，则过点与曲线相切的直线有三条 策略　A、B 都先用对称中心横坐标 定系数；C 把 等价于 变号，由条件推出 恰好单调；D 平移到对称中心，曲线相对拐点切线的偏移是 ，数切线方程的根。 A：对称中心横坐标 ， 给 ；再由 得 ，，A 对。 B： 且中心为 ：，， 两变号零点， 有极值，B 对。 C： 不单调 有变号零点 （ 是二次函数）。由 知 同号； 时 两边乘正数得 且推得 ， 恒成立； 时同样得 、， 恒成立。两种情形 都严格单调，不存在 使 ，C 错。 D：设对称中心 ，拐点处切线为 ，泰勒展开（）给 。 满足 ，即 ，故 。平移令 为切点相对坐标、、：切线条件化为 ，即 。 有零点 ： 在 从 增到 ，在 从 减到 ，在 从 增到 ；因 ，三段各恰有一根，共 3 条切线，D 对。故选 ABD。 答　ABD ★★★　安庆市2026届高三二模 · 第11题 7.　已知函数，将的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列，对于任意的正整数，则（ ） A. B. 是极小值点 C. D. 策略　：零点只出现在 的区间。 内两根，以后每个 内两根； 都是极小值点；用 、 否定 A，用单调平移比较否定 C，用 递增证 D。 零点分布： 内 由正（ 大）变负再变正，恰两根 、；对 ，区间 两端 、中间 ，也恰两根； 的区间无根。 B： 依次 变号，奇数号是极大值点、偶数号是极小值点，故 是极小值点，B 对。 A： 且 （ 在 内），故 ，A 错。 C：设 ，满足 。函数 在 递减（）， 满足 ，而 ，故 ，即 ，C 错。 D：极小值点满足 且 落在 的区间，故 ，它随 增大而增大；又 递增。于是 ，D 对。故选 BD。 答　BD （三）填空题（共1题） ★★　黄山市2026届高三第一次质量检测 · 第13题 1.　若函数在处取得极大值，则实数的取值范围为__________． 策略　，在 附近符号由 决定： 为极大值点等价于 左正右负，即 。 。 为极大值点 在 左正右负。 附近 、，故符号由 决定。 左正右负 。 时 ， 递减， 不是极值点。结合 ，得 。 答　0<a<1/2 （四）解答题（共1题） ★★　邢台市名校协作体2026届高三上学期模拟考试（一模） · 第16题 1.　已知函数在处取得极小值. （1）求的值; （2）证明：时，. 策略　极小值点给两个方程： 与 ，解出 并验证变号。(2) 去分母化为 ，按 的三个单调段检查最小值点函数值。 。；。 联立得 。此时 ： 时 ， 时 ， 确为极小值点，。 时 。 ： 在 增、 减、 增。最小值只可能在 或 处。 ；（）。故 时 恒成立，证毕。 答　a=1，b=-3 三、恒成立、存在性与最值（共16题：单项选择题4题 · 填空题6题 · 解答题6题） （一）单项选择题（共4题） ◆ 恒成立与参数范围（选择） ★★★　铜陵市2026届高三下学期第一次质检 · 第8题 1.　已知函数，，若对任意的，存在唯一的，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 策略　先求 在 上的『恰好一次』值域，再求 在 上『恰好一次』被取得的值集，让后者覆盖前者的值域 。 ，：在 递减、 递增， 最小，。故 在 的值域为 ，且 取得一次， 取得两次（两侧各一）， 取得一次。 于是『对任意 存在唯一 』等价于： 的值域 中的每个值都被 在 上恰好取得一次。 在 上从 增到 、在 上从 减到 ：值 取得两次， 仅 一次， 取得一次。故 的『唯一值集』为 。 要求 ：即 且 ，解得 ，选 B。 答　B ★★★　黄山市2026届高三第一次质量检测 · 第8题 2.　已知函数，若恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 策略　。两个因式在 上各只有一个零点，乘积恒非负当且仅当两个零点重合：，再对 求值域。 。 对一切 成立 对一切 成立。两个连续因式分别以 与 为唯一零点且各自变号，乘积恒非负必须两零点重合：，即 。 此时 给出 ，但 无意义，舍去；故 （）。设 ，。 时 递减，值域为 ； 时在 取最小值 ，值域为 。 所以 的取值范围是 ，选 D。 答　D ★★★　茂名市2026年高三下学期第二次综合测试 · 第8题 3.　已知f（x）是定义在区间上的函数，且，，则（ ） A. 只有1个零点 B. 有2个零点 C. ， D. ， 策略　方程左端恰是 ，积分并代入 定常数，得 ，再逐项检验。 由 即 ，积分得 。 代入 ：，，所以 （）， 无零点，A、B 都错。 D：，即 ，这是 在 处的切线放缩，对一切 成立（等号 ），D 对。 C： 时 ， 不成立，C 错。故选 D。 答　D ★★★　常德市2025-2026学年高三上学期检测 · 第7题 4.　已知实数，若对任意的，恒成立，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 策略　恒成立等价于判别式非正：（且 ）。在此约束下把 表示为 的一元函数求最大值。 对一切 成立 ，即 ，且 。 固定 ，，故 （取 ）。设 ，。 ， 得 ，。 （此时 ，，且 合法），最大值为 ，选 B。 答　B （二）填空题（共6题） ◆ 单调性与恒成立（填空） ★★　保定市2026届高三第一次模拟考试 · 第13题 1.　已知函数在区间上单调递增，则a的取值范围为______． 策略　。 时显然恒正； 时把条件化为 在 上恒成立，用 的最小值。 （）。 时 ，符合。 时： 对 恒成立。设 ，， 在 递增，最小值 。 故 ，即 。 综上 或 ，即 。 答　a≥-e ★★★　合肥市2026届高三第二次教学质量检测 · 第14题 2.　已知函数，设，若恒成立，则的最小值为________. 策略　 的形态： 上从 1 降到 0， 上从 0 升到 1。任意分割的差之和不超过『下降幅度+上升幅度』即 2，且可无限接近 2。 ：在 上由趋于 递减到 ，在 上由 递增趋于 。 对任意分割， 是各段升降幅度之和。 的图象先降后升，各段幅度之和不超过总下降量 加总上升量 ，即不超过 。 另一方面，取 足够小（）、、 足够大（），和趋于 ，故 。 所以 的最小值为 2。 答　2 ★★★　南师附中等九校2026届高三下学期一模联考 · 第14题 3.　已知函数，对任意，都有，则的取值范围为______. 策略　区间 的右端须大于左端，即 。在此之下要求 上 的最大值不超过 。 的形态： 增、 减、 增，按 所在区间讨论。 ： 在 增、 减、 增；，。 ： 递增，最大值为右端点值 ；，与 矛盾，不成立。 ：最大值为 ，需 ，得 。 ：最大值为 （已超过 ），需 ，得 。 综上（）：。 答　[32/27,3] ★★★　鹤壁市2026届高三上学期一模 · 第14题 4.　已知且，若函数在上单调递增，则的最大值为___________． 策略　 恒成立 。 时该最小值不存在（趋于 ）， 时最小值在 取得，化为求 的最大值。 。 在 递增 对一切 成立。 ： 时 ，左端无下界，不可能；故 。设 ，，最小值 。 于是 ，两边除以 ：。 ， 在 取最大值 。 当 ， 时等号成立，所以 的最大值为 。 答　-ln3 ◆ 值域与最值（填空） ★★★　常德市2025-2026学年高三模拟考试（二模） · 第14题 5.　函数的值域为___________． 策略　平方去根号：，令 ，求 的取值范围。 ，其中 （显然 ）。 ，。 在 上 ： 时 增， 时 减，最大值 ；端点 。 故 ，即 ，值域为 。 答　[-1/2,1/2] ★★★　龙岩市2026届高三高中毕业班三月教学质检检测 · 第13题 6.　已知，对任意，关于的方程有实数解，则的最小值为______. 策略　方程有实解 。 自动满足； 时化为 恒成立，取右端最大值。 方程 有实数解 。 时 ，恒成立； 时等价于 对一切 成立。 设 （），，最大值 。 故 ， 的最小值为 。 答　2/e （三）解答题（共6题） ★★　江门市2026届高考适应性测试 · 第16题 1.　已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若不等式对恒成立，求的取值范围． 策略　直接求导写切线；(2) 作差 ，恒成立等价于 小于该函数在 上的最小值。 ，，，切线方程为 。 ，故 。 设 ， 在区间内唯一解 ， 由负变正， 在 取最小值。 。 对一切 成立 恒成立 ，即 。 答　m<3-√3-π/6 ★★　黄骅中学等十校2026届高三下学期一模 · 第17题 2.　已知函数． （1）求函数的最大值； （2）已知为数列的前项和，证明：． 策略　，最大值 ；(2) 用 ：，累加即得。 ： 时 增， 时 减，最大值 。 对任意 有 。取 ：。 左端即 ，所以 ，即 。 对 累加：。 即 ，证毕。 答　证明见解析 ★★　莆田市2026届高三高中毕业班第二次质量调研测试 · 第16题 3.　已知函数. （1）当时，求的极值； （2）若，求实数的取值范围. 策略　 时 ，唯一极小点 ；(2) 化为 恒成立，求右端最大值。 ：，，唯一零点 且由负变正。 故 有极小值 ，无极大值。 对 成立 恒成立（）。 设 ： 时 ； 的导数分子为 ，在 处为零且在其两侧变号，故 在 递增、 递减，最大值 。 故 ，即 的取值范围为 。 答　a≥1 ★★★　武汉市2026届高中毕业生三月调研 · 第17题 4.　已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有极小值，且，求a的取值范围. 策略　（），符号由 决定： 时有极小值 ，令其非负解 。 ：，；，。切线：，即 。 （，）。 当 ：，， 在 单调递增；当 ： 在 递减、 递增。 有极小值 ，极小值 。 。设 ， 递增且 ，故 。结合 ，得 。 答　0<a≤1 ★★★　襄阳市2026届高三3月统一调研 · 第17题 5.　已知函数． （1）若恒成立，求a的取值集合； （2）当时，证明：当时，恒成立． 策略　分离：（），用 以 1 为下确界；(2) 构造 ，用 证 。 ； 时 。设 ，，分子 在 、 上均大于零（， 在两侧分别递减、递增趋于 0）。 故 在 与 上都递增， 时 ，下确界为 1。所以 ， 的取值集合为 。 当 ， 时，。设 ，。 。 由 （；设 ，，），得 ，故 。 所以 时 ，即 ，证毕。 答　证明见解析 ★★★　厦门市2026届高中毕业班3月模拟测试 · 第16题 6.　设函数． （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，． 策略　 按 讨论；(2) 先求最小值 ，再证 ，对 求二阶导完成。 。：， 在 上递增；： 在 递减、 递增。 时 的最小值 。 只需证 ，即 （）。 ；，；，故 严格增。 于是 时 ， 时 ， 在 取最小值 ，即 恒成立。 所以 对一切 成立，证毕。 答　证明见解析 四、导数与切线（共15题：单项选择题1题 · 多项选择题1题 · 填空题6题 · 解答题7题） （一）单项选择题（共1题） ◆ 切线的求法与参数（选择） ★★★　嘉兴市2026届高三下学期4月二模教学测试 · 第8题 1.　已知直线与函数的图象相切，若，则实数的最小值为（ ） A. B. C. D. 策略　切点 满足 （关于 严格减，故每个 唯一对应切点）， 对 求导为 ， 随 递减，最小值在 处。 在 上严格递减（导数 ），值域 ，故 时切点 唯一。 ，对 求导：（因 ），所以 随 递减，最小值在 取得。 解 ：令 ，，，。 ，选 D。 答　D （二）多项选择题（共1题） ◆ 公切线与共轴切点（多选与填空） ★★★　湛江市2026届高三普通高考测试（二） · 第11题 1.　若函数图象上存在不同的两点和，使得的图象在点，处的切线交于直线（为常数）上同一点，则称，为函数的一对“关于直线的共轴切点”. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 存在实数，使得不存在关于轴的共轴切点 B. 若存在关于直线的共轴切点，则两切点的横坐标之积为定值 C. 若，则存在实数，使得存在关于直线的共轴切点，且对应的两切线斜率之和大于0 D. 若，则对于任意，都存在关于直线的共轴切点 策略　切线在 处与直线 的交点纵坐标为 。 为共轴切点 。求导 ，按 讨论单调性与选项。 ，；切线在 处与直线 交点的纵坐标 。 求导：。k=1/2 时（考察 ，即 y 轴）：纵截距 ，（）严格递减，任何两条切线纵截距都不相等，即不存在关于 y 轴的共轴切点，A 对。 B：k=0 时 在 取最大值，存在无穷多对共轴切点，如 给出两切点横坐标之积约为 ， 给出积趋于 ，积不是定值，B 错。 C、D：k<0 时 恒成立， 的符号由 决定： 在 取最大值，两侧各一次达到任意小于最大值的数，故对任意实数 都存在共轴切点，D 对；再取 很大且两切点靠近 ，斜率之和 ，C 对。故选 ACD。 答　ACD （三）填空题（共6题） ★★　张家口市2026届高三第二次模拟考试 · 第13题 1.　已知曲线在点处的切线也是曲线的切线，则________． 策略　先写 在 处的切线 ；再令它与 相切：斜率条件定切点，代入定 。 在 处：，，切线 。 设该直线与 相切于 ：斜率相等 。 切点在直线上：；也在曲线上：，得 …… 即 。 所以 。 答　a=0 ★★　南阳市2026届高三下学期一模 · 第12题 2.　已知函数的图象恒过定点，且函数的图象在处的切线也经过点，则______． 策略　 过定点： 时真数为 1，得 。写出 在 处的切线，代入 解 。 定点： 即 时 ，故 。 ，，。切线：。 切线过 ：，解得 。 答　a=3/2 ★★　湘潭市2026届高三二模 · 第13题 3.　若直线是曲线的一条切线，则________． 策略　设切点 ：切线 。直线 过原点 截距为零 ，回代得 。 ，切点 处切线：。 切线为 （过原点）。 此时 。 答　k=e ★★★　焦作市2026届高三第一次模拟测试 · 第13题 4.　已知曲线与的公切线为，则在轴上的截距为___________． 策略　公切线在两曲线上的切点横坐标 、 满足斜率相等 和截距相等 ，联立解出 。 设公切线与 切于 ，与 切于 。斜率相等：。 切线写成 （用 ），也等于 （用 ）。 截距相等：（代入 ），即 。 由 ：。截距为 。 答　1-ln2 ★★★　宜昌市2026届四月调研考试 · 第14题 5.　若曲线过点的切线恒在函数的图象的上方，则实数的取值范围是__________. 策略　过点 的切线只有一条：（切点 ）。恒在上方 恒成立，化简为 恒成立，求右端最小值。 在 处切线：。过 ：，切线 。 切线恒在 上方 对一切 成立。 即 恒成立。： 在 取最小值 。 所以 ，即 。 答　a≤-2e³ ★★★　泉州市2026届高中毕业班质量检测（一） · 第14题 6.　若存在4条不同的直线既是圆的切线，也是曲线的切线，则的取值范围是__________. 策略　曲线 两支上的切线斜率 、截距 。与圆 相切 ，化为关于 的二次方程根的个数。 切点 （）处切线：。与圆相切 圆心到直线距离为 2：。 令 ：，即 。 该方程的正根个数由判别式决定：。 时两不等正根， 有四个值（每个 对应 两切点），得 4 条公切线； 时重根只有 2 条； 无公切线。 所以 。 答　a>3/4 （四）解答题（共7题） ★★　汕头市2026年普通高考第二次模拟考试 · 第16题 1.　已知函数. （1）若曲线在点处的切线过点，求的值； （2）求的极值点. 策略　切点 、斜率 ，切线过 解出 ；(2) 代入 ， 读极值点。 ；，。切线过 ：，解得 。 ：，。 在 上： 内 ， 内 ， 内 。 所以极大值点为 ，极小值点为 。 答　a=1；极大值点x=1，极小值点x=3 ★★　茂名市2026年高三下学期第二次综合测试 · 第17题 2.　已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若存在小于0的极小值，求a的取值范围． 策略　按 、 讨论 ；(2) 极小值 化为 ，由单调比较解出 。 。：， 在 递增；： 在 递减、 递增。 有极小值需 ，极小值 。 。 设 ， 严格增，，故 。 所以 的取值范围是 。 答　a>1 ★★　南京市、盐城市2026届高三下学期一模 · 第17题 3.　已知函数，直线与曲线相切． （1）求实数的值； （2）若是函数的极大值点，求实数的取值范围． 策略　切线斜率为 1： 得 ，切点代入直线 定 ；(2) ，讨论 使 处出现极大。 。相切于 ：，切点 （因 ）。 切点在直线 上：，得 ，即 。 ：，。 b>4： 在 为正（）、 为负、 为正， 处由正变负，是极大值点。 b： 处不变号（ 时 是极小值点； 时 同号），不是极大值点。 所以 为极大值点当且仅当 ，即 。 答　a=1；b>4 ★★　开封市2026届高三第一次质量检测 · 第16题 4.　已知函数，且曲线在点处的切线斜率为． （1）求实数的值； （2）求函数在区间上的最大值与最小值． 策略　，代入 与斜率 解 ；(2) 时 ，在 上先增后减，比较端点与极值点。 ，，解得 。 ，，在 内解 。 在 增、 减。由 得 、，最大值 。 最小值为端点较小者：，，最小值为 1。 所以最大值为 ，最小值为 1。 答　a=3；最大值√10，最小值1 ★★　濮阳市2026届高三第一次模拟 · 第16题 5.　已知. （1）若，求的图象在点处的切线方程； （2）若，都有，求实数的取值范围. 策略　 直接求切线；(2) 对 恒成立 。 ：，；，。切线：，即 。 对一切 成立。 x>0 时 可为正（），必须 ；分离参数 对 恒成立（ 时 自动满足）。 设 ，，最大值 。 所以 ，即 。 答　a≥1/e ★★　福州市、宁德市2026届高中毕业班适应性考试 · 第16题 6.　已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，求的取值范围． 策略　：、，切线 ；(2) 分离 （）并讨论 与 的符号，得 。 ：，；，。切线：。 对 成立。当 ：，若 则 ， 时 （因 占主导），不合，故 ； 时 恒有 。 x>1 时 ：。设 （），，令 得 ，最小值 。 所以 。综上 的取值范围为 。 答　0≤a<e ★★★　广州市2026届普通高中毕业班综合测试（二） · 第16题 7.　已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若是函数的极值点，证明：． 策略　：、，切线与两轴的截距为 与 ，面积为 ；(2) 由 得 ，推出 ，再证 。 ：，；，。 切线 ：与 轴交于 ，与 轴交于 ，三角形面积 。 是极值点 ，即 。 左端 在 上严格增（），，故 。 设 （）。；；；。 故 在 递增且 ，得 、 严格增；又 ，所以 、 在 上严格减。 由 递减且 ： 时 ，即 ，证毕。 答　证明见解析 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $