圆锥曲线：第7讲 弦长与面积（基础）专项训练-2027届高三数学一轮复习

弦长与面积 弦长与面积 弦长 求弦长有两条路：一条是弦长公式，一条是把弦拆成两段焦半径相加。把直线与曲线联立得到二次方程后，若直线写成 ，则弦长；若直线写成 ，则换成。两式里的绝对值都由韦达开方得到，不必真的解出两个交点的坐标。 过焦点的弦还有一条更省事的算法。对椭圆与双曲线， 等于两条焦半径之和；对抛物线，焦半径是端点到准线的距离，于是 。这一条把弦长直接写成两根之和的线性式，比弦长公式少一次开方。 两个公式之间的选择要看直线怎么写。定点落在 轴上时设 ，此时用纵坐标的弦长公式；斜率已知且不为零时设 ，用横坐标的公式。若直线垂直于坐标轴，直接代入求两个交点即可，不必套公式。 最后提醒两处细节。一是求弦长之前先确认直线与曲线确实有两个交点，即判别式大于零 —— 否则算出来的是虚弦，没有几何意义。二是过焦点的弦长只与两端点的横坐标（或纵坐标）之和有关，所以凡是给出弦长的题，都可以反过来定出这个和，再用韦达解参数。 还有一类题要先把弦长写出来再比大小。两条弦来自同一个图形时（例如两条互相垂直的焦点弦），把它们的长度都化成同一个参数的函数，再作比或求和，比逐个求出端点坐标快得多。这类题的答案往往是一个与参数无关的定值，算到一半若发现参数没被消掉，就该回头检查是否有条件没用上。 例1（填空·★★★☆☆） 过双曲线的右焦点作倾斜角为30°的直线l，直线l与双曲线交于不同的两点A，B，则AB的长为______． 【切入点】直线不过坐标轴的平行线，所以直接联立，用横坐标的弦长公式。 【关键】由 得 、，，右焦点 。倾角 的直线为 。代入并两边乘 ：，整理得 ，两根为 与 ，所以 。于是 。 【易错】两处。一是 的求法：双曲线用 ，不要与椭圆的 混；二是根号 里 ，化简后是 ，最后要有理化。 【答案】 变式1-1（多选·★★★☆☆） 已知抛物线与直线交于，两点，焦点为，若，则（ ） A. B. 直线与相切 C. 的准线方程为 D. 【切入点】直线斜率为 ，用纵坐标的弦长公式最省事；由弦长先定出 ，再逐项检验。 【关键】把 代入 ：，所以 ，。平方整理得 ，所以 。A 项：，A 对。B 项：把 代入 得 ，无实根，直线与曲线不相切，B 错。C 项：准线为 ，C 错。D 项：，D 对。故选 AD。 【易错】两处。一是弦长公式的选取：直线斜率为 ，用 与 数值相同，但要清楚自己用的是哪一个；二是 D 项里 ，这个 来自两个 ，别漏。 【答案】AD 例2（填空·★★★☆☆） 设抛物线的焦点为F，过F且斜率为2的直线l与C交于P、Q两点，则 = ______. 【切入点】弦过焦点，直接用 ，两根之和由韦达给出。 【关键】由 得 ，焦点 。斜率 的直线为 ，代入得 ，即 ，所以 。于是 。 【易错】焦点弦公式里的 是 而不是 ：两条焦半径各补 、合起来补一个 。若误用弦长公式 也行，此时 ，结果是 ，两者一致。 【答案】 变式2-1（多选·★★★☆☆） 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作垂直于轴的直线交于两点。若直线的斜率是的周长是16，则（ ） A. 的渐近线方程为 B. 的实轴长是2 C. 的面积是12 D. 的外接圆半径是 【切入点】通径的两端坐标可以直接写出，斜率条件给出 与 的一个关系式，周长条件再把 定下来。 【关键】过 且垂直于 轴的直线与 交于 、，所以 。由 得 。令 ，则 ，代入 得 ，取正根 、，于是 ，，周长为 。B 项：实轴长 ，B 对。C 项：，C 对。D 项：，D 对。A 项：渐近线为 而不是 ，A 错。故选 BCD。 【易错】两处。一是 到通径所在直线 的距离是 而不是 ；二是外接圆半径用 ，这里三边是 的 、、。 【答案】BCD 例3（单选·★★★☆☆） 已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，直线过焦点且与交于，两点，若直线的斜率为，则 = （ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【切入点】直线过焦点，设 最省事；再用「 的斜率为 」反解参数 。 【关键】由 得 ，，焦点 ，准线 ，所以 。设直线为 ，代入 ：，所以 、。由 得 。取 ，由 得 ，代入 算得 。于是 。故选 C。 【易错】两处。一是 的读法： 中 ，焦点是 ；二是弦长用 比用弦长公式更快 —— ，代入 与 即得。 【答案】C 变式3-1（填空·★★★☆☆） 设抛物线的焦点为F，过点的直线l与C交于A，B两点，若点A的纵坐标为，直线BF与C的另一个交点为Q，则 = __________． 【切入点】先把 的坐标由纵坐标反解出来，再让直线与曲线联立；注意直线 与最初的直线是两条不同的弦，但会得到同一个二次方程。 【关键】由 得焦点 。 的纵坐标为 ，所以 ，即 。直线 过 ，斜率为 ，与 联立得 ，另一根为 ，所以 。直线 与 联立同样得到 ，另一根 ，即 。于是 。 【易错】本题两次联立得到的是同一个二次方程（两条弦都以同样的方式与抛物线相交），可以直接复用，不必重算 —— 这是本题最省时间的一步。另一处是 、 的纵坐标符号相反，求距离时要用差值而不是和。 【答案】 变式3-2（多选·★★★☆☆） 已知双曲线的左､右焦点分别为，为双曲线上一点，若，，，中有且仅有个点在双曲线上，则（ ） A. 双曲线的渐近线斜率为 B. C. 的面积为 D. 的最小值为 【切入点】「四个点中有且仅有三个在曲线上」是本题的锁：四点是两组，分别代入解出 ，取能凑出「三个」的那一个。 【关键】把 代入得 ，；把 代入得 ，；、 的横纵坐标平方与 相同，与 同时满足 。于是「有且仅有三个」对应 ，双曲线为 （、、）。A 项：渐近线 ，斜率 ，A 对。B 项： 到 、 的距离为 、，和为 ，B 错。C 项：、 关于原点对称，， 到它的距离为 ，，C 对。D 项： 在右支，，所以 ，D 对。故选 ACD。 【易错】关键是把 先定出来再看选项： 时只有 一个点在曲线上， 时 、、 三个都在。D 项用的是定义 。 【答案】ACD 面积 圆锥曲线里的面积，绝大多数可以归到三种形状上。第一种是焦点三角形：两个焦点加曲线上的一个点，底边是 ，高是这个点的纵坐标绝对值。第二种是原点与弦的两端围成的三角形，当弦过焦点时它被 轴分成两块，面积等于 。 第三种是多边形，通常靠对角线把它切开。若四边形的两条对角线互相垂直（例如两条互相垂直的焦点弦），面积就直接是两条对角线长乘积的一半，不必再拆成四个小三角形。 求面积的第一步是把底和高都写出来。底边若落在坐标轴上，长度是一个简单的差；底边若不是，就作高，而点到直线的距离公式给出高。高里出现的坐标量，凡是能用韦达表示的，都不要真的解出交点。 还有一条常用的等价变形：三角形面积用坐标写是 ，用底乘高写是 。两种写法结果相同，但计算量差别很大 ——先看底边能不能选在坐标轴上，能选就先选。 还有一处要提醒：面积之比往往比面积本身更好算。两个三角形若共用一条底边，面积之比就是两条高之比；若共用一个顶点且底边在同一条直线上，面积之比就是两段底边之比。凡是题目只问比值，先找公共的量，能省掉一半以上的计算。 例4（单选·★★★☆☆） 等轴双曲线C的左、右焦点分别为，，以为直径的圆O与双曲线C交于M，N，P，Q四点。设四边形的面积为，圆O的面积为，O为坐标原点，则（ ） A. B. C. D. 【切入点】等轴双曲线与「以 为直径的圆」两条信息把四个交点完全定死，算出交点坐标后两个面积都能写出。 【关键】等轴双曲线满足 ，所以以 为直径的圆为 。与双曲线 联立，两式相加得 ，所以 、。四个交点是 ，它们构成一个矩形，两邻边长为 与 。于是 ，，。故选 B。 【易错】两处。一是等轴双曲线的条件：，于是 ；二是四个交点的连线是矩形而不是正方形 ——两组边长分别是 与 ，不要想当然按正方形算。 【答案】B 变式4-1（单选·★★★☆☆） 已知抛物线，其准线为，焦点为，过的直线与和从左到右依次相交于，，三点，且，则和的面积之比为（ ） A. B. C. D. 【切入点】两个三角形都以 到直线 的距离为高，所以面积之比等于底边之比 ——只要把 、、 三点在直线上的相对位置定下来。 【关键】由 得 、，准线 。设过 的直线为 。与 联立得 ，所以 、。由 得 ，。取 ，则 ，；与 联立得 。于是 、、，、。两个三角形同高（高为 到直线的距离），所以面积之比为 。故选 B。 【易错】两处。一是面积的比值不必真算面积：底边在同一条直线上、顶点同为 ，高自然相等；二是 、、「从左到右」用来确定 、 的符号，取错符号会让 与 都变号，但比值不受影响。 【答案】B 变式4-2（单选·★★★☆☆） 已知抛物线E：，其中AC，BD是过抛物线焦点F的两条互相垂直的弦，直线AC的倾斜角为，当时，如图所示的四边形的面积为（ ） A. 43 B. C. D. 42 【切入点】四边形的两条对角线 、 都过焦点且互相垂直，所以面积等于两条对角线长度乘积的一半 ——只要求出两条焦点弦的长度。 【关键】 中 ，焦点 。 的倾斜角为 ，设 ，则 ，。，所以它的斜率参数 ，。两条对角线互相垂直，所以 。故选 C。 【易错】两处。一是焦点弦长公式 （设成 时）——由两根之和与两根之积算得，比弦长公式少一次开方；二是 与倾斜角的关系是 ，不是 ，写反会把答案算成别的值。 【答案】C 例5（填空·★★★☆☆） 已知O 为坐标原点，F是抛物线C：的焦点，是C上位于y 轴异侧的两点，且的面积为，则 = _____________ 【切入点】 的焦半径已知，先把 的坐标定出来；再让面积条件定出 ，最后量 。 【关键】 中 ，焦点 ，由 得 ，。取 。设 ，由 的面积为 ：，即 。、 在 轴异侧，取 （）：，即 ，解得 。所以 ，。 【易错】两处。一是「、 位于 轴异侧」用来定符号，决定 取负值；二是面积公式里两个点都要代入， 漏掉第二项会算错。 【答案】 变式5-1（单选·★★★☆☆） 设O为坐标原点，F为抛物线的焦点，过F作x轴的垂线交C于两点，点M在C上（异于点），且M在x轴上的正投影为N，则四边形的面积（ ） A. 与成正比 B. 与成正比 C. 与成正比 D. 与成正比 【切入点】四边形 的顶点坐标都能用 与 的坐标写出来，用鞋带公式算出面积，再与 的坐标关系对照。 【关键】过 作 轴垂线交 于 、。设 ，则 。对四边形 （ 为原点）用鞋带公式：。又 在 上，所以 ，于是 ，与 成正比。故选 B。 【易错】四边形 的顶点顺序要按 排列，顺序错了鞋带公式会得出另一个数（差一个符号或差一个因子）。算出 之后，再用 与 的关系（由点在抛物线上）换成题目给的量即可。 【答案】B 变式5-2（单选·★★★☆☆） 抛物线的光学性质是一个非常重要且优美的几何特性，它描述了抛物线如何反射光线。这个性质在数学、物理学和工程学中有广泛的应用。其光学性质如下：从焦点发出的光线经过抛物线上一点（不同于抛物线的顶点）反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点。若抛物线的焦点为F，从F发出的光线经过抛物线C上点G反射后，其反射光线过点，且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【切入点】光学性质给出两条信息：从 发出经 反射后平行于对称轴（即反射线水平），以及反射线过 ；由此可以先定 的纵坐标。 【关键】反射光线平行于对称轴，所以它是一条水平线；它又过 ，所以 。由 得 。 是水平向量，。由 与 建立方程，平方整理得 ，且需 与 异号，解得 ，于是 ，。所以 。故选 B。 【易错】三处。一是光学性质的用法：反射线平行于对称轴，所以它是水平线，这一步直接把 的纵坐标定死；二是 水平，面积可以直接用「水平底 × 竖直高」算；三是解出 后要回代检验符号，舍去不满足 的那一个根。 【答案】B 例6（填空·★★★☆☆） 已知抛物线的焦点为，C的准线与x轴的交点为T，若过点T的直线l与C交于A，B两点，且，则的面积等于_________． 【切入点】 的底边 在 轴上，所以面积只与 的纵坐标有关； 由「」定出。 【关键】由 得 ，，准线 ，所以 。设直线 ，代入得 ，两根之积为 ，且 。由 与 得 ，取正根 ，。于是 ，。 【易错】两处。一是 这条要在代入时算出来，它让两个横坐标的方程一次可解；二是底边取 （长为 ）而不是 ，因为三角形的第三个顶点是 不是 。 【答案】 变式6-1（单选·★★★☆☆） 抛物线的焦点为F，动点P在抛物线C的准线上，O为坐标原点，当最大时，的面积为（ ） A. B. C. D. 【切入点】 在准线上，设成 只有一个参数； 最大等价于其余弦最小，把余弦写成 的函数再求最值。 【关键】 的焦点 ，准线 ，设 。、，所以 。令 ，则 。对 求导，导数的符号由 决定，所以 时余弦取最小值、角取最大值。此时 ，。故选 B。 【易错】两处。一是「角最大」要转成「余弦最小」，余弦在 上是减函数；二是底边取 ，高是 的纵坐标绝对值。求导时也可以直接对 求导（把 当自变量），更省事。 【答案】B 学科网（北京）股份有限公司 $ 弦长与面积 弦长与面积 弦长 求弦长有两条路：一条是弦长公式，一条是把弦拆成两段焦半径相加。把直线与曲线联立得到二次方程后，若直线写成 ，则弦长；若直线写成 ，则换成。两式里的绝对值都由韦达开方得到，不必真的解出两个交点的坐标。 过焦点的弦还有一条更省事的算法。对椭圆与双曲线， 等于两条焦半径之和；对抛物线，焦半径是端点到准线的距离，于是 。这一条把弦长直接写成两根之和的线性式，比弦长公式少一次开方。 两个公式之间的选择要看直线怎么写。定点落在 轴上时设 ，此时用纵坐标的弦长公式；斜率已知且不为零时设 ，用横坐标的公式。若直线垂直于坐标轴，直接代入求两个交点即可，不必套公式。 最后提醒两处细节。一是求弦长之前先确认直线与曲线确实有两个交点，即判别式大于零 —— 否则算出来的是虚弦，没有几何意义。二是过焦点的弦长只与两端点的横坐标（或纵坐标）之和有关，所以凡是给出弦长的题，都可以反过来定出这个和，再用韦达解参数。 还有一类题要先把弦长写出来再比大小。两条弦来自同一个图形时（例如两条互相垂直的焦点弦），把它们的长度都化成同一个参数的函数，再作比或求和，比逐个求出端点坐标快得多。这类题的答案往往是一个与参数无关的定值，算到一半若发现参数没被消掉，就该回头检查是否有条件没用上。 例1（填空·★★★☆☆） 过双曲线的右焦点作倾斜角为30°的直线l，直线l与双曲线交于不同的两点A，B，则AB的长为______． 变式1-1（多选·★★★☆☆） 已知抛物线与直线交于，两点，焦点为，若，则（ ） A. B. 直线与相切 C. 的准线方程为 D. 例2（填空·★★★☆☆） 设抛物线的焦点为F，过F且斜率为2的直线l与C交于P、Q两点，则 = ______. 变式2-1（多选·★★★☆☆） 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作垂直于轴的直线交于两点。若直线的斜率是的周长是16，则（ ） A. 的渐近线方程为 B. 的实轴长是2 C. 的面积是12 D. 的外接圆半径是 例3（单选·★★★☆☆） 已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，直线过焦点且与交于，两点，若直线的斜率为，则 = （ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 变式3-1（填空·★★★☆☆） 设抛物线的焦点为F，过点的直线l与C交于A，B两点，若点A的纵坐标为，直线BF与C的另一个交点为Q，则 = __________． 变式3-2（多选·★★★☆☆） 已知双曲线的左､右焦点分别为，为双曲线上一点，若，，，中有且仅有个点在双曲线上，则（ ） A. 双曲线的渐近线斜率为 B. C. 的面积为 D. 的最小值为 面积 圆锥曲线里的面积，绝大多数可以归到三种形状上。第一种是焦点三角形：两个焦点加曲线上的一个点，底边是 ，高是这个点的纵坐标绝对值。第二种是原点与弦的两端围成的三角形，当弦过焦点时它被 轴分成两块，面积等于 。 第三种是多边形，通常靠对角线把它切开。若四边形的两条对角线互相垂直（例如两条互相垂直的焦点弦），面积就直接是两条对角线长乘积的一半，不必再拆成四个小三角形。 求面积的第一步是把底和高都写出来。底边若落在坐标轴上，长度是一个简单的差；底边若不是，就作高，而点到直线的距离公式给出高。高里出现的坐标量，凡是能用韦达表示的，都不要真的解出交点。 还有一条常用的等价变形：三角形面积用坐标写是 ，用底乘高写是 。两种写法结果相同，但计算量差别很大 ——先看底边能不能选在坐标轴上，能选就先选。 还有一处要提醒：面积之比往往比面积本身更好算。两个三角形若共用一条底边，面积之比就是两条高之比；若共用一个顶点且底边在同一条直线上，面积之比就是两段底边之比。凡是题目只问比值，先找公共的量，能省掉一半以上的计算。 例4（单选·★★★☆☆） 等轴双曲线C的左、右焦点分别为，，以为直径的圆O与双曲线C交于M，N，P，Q四点。设四边形的面积为，圆O的面积为，O为坐标原点，则（ ） A. B. C. D. 变式4-1（单选·★★★☆☆） 已知抛物线，其准线为，焦点为，过的直线与和从左到右依次相交于，，三点，且，则和的面积之比为（ ） A. B. C. D. 变式4-2（单选·★★★☆☆） 已知抛物线E：，其中AC，BD是过抛物线焦点F的两条互相垂直的弦，直线AC的倾斜角为，当时，如图所示的四边形的面积为（ ） A. 43 B. C. D. 42 例5（填空·★★★☆☆） 已知O 为坐标原点，F是抛物线C：的焦点，是C上位于y 轴异侧的两点，且的面积为，则 = _____________ 变式5-1（单选·★★★☆☆） 设O为坐标原点，F为抛物线的焦点，过F作x轴的垂线交C于两点，点M在C上（异于点），且M在x轴上的正投影为N，则四边形的面积（ ） A. 与成正比 B. 与成正比 C. 与成正比 D. 与成正比 变式5-2（单选·★★★☆☆） 抛物线的光学性质是一个非常重要且优美的几何特性，它描述了抛物线如何反射光线。这个性质在数学、物理学和工程学中有广泛的应用。其光学性质如下：从焦点发出的光线经过抛物线上一点（不同于抛物线的顶点）反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点。若抛物线的焦点为F，从F发出的光线经过抛物线C上点G反射后，其反射光线过点，且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 例6（填空·★★★☆☆） 已知抛物线的焦点为，C的准线与x轴的交点为T，若过点T的直线l与C交于A，B两点，且，则的面积等于_________． 变式6-1（单选·★★★☆☆） 抛物线的焦点为F，动点P在抛物线C的准线上，O为坐标原点，当最大时，的面积为（ ） A. B. C. D. 学科网（北京）股份有限公司 $