第1讲函数与导数之构造函数-专项训练-2027届高三数学一轮复习

函数与导数之构造函数 高三数学专题复习 · 专题第一讲 0 题型概说 本讲研究的问题：一类问题的条件不是 的显式表达式，而是 与其导函数 之间的关系式，或者不等式、方程的两端可以整理成同一个结构；另一类问题的 已显式给出，条件是任意两点间的关系式。处理手段是构造辅助函数——按求导法则的逆方向，把 与 、、、 组合成新的可导函数 ，使条件转化为 的单调性。 识别信号总览： 条件或结论的特征 构造方向 单元 ，（  为正整数） 或 单元一 ， 与 直接比较大小 单元二 与 、 的乘法组合 与三角函数组合构造 单元三 两端可整理成同一结构；双变元对称式 同构 单元四 指、对、幂混合的数值比较大小 构造同一函数比较函数值 单元五 显式给出，条件为任意两点间的关系 化为构造函数的单调性 单元六 单元一 乘除型构造 1.1 识别特征 条件中出现 与 、 的一次组合：；（  为不小于 2 的整数）；。通常配以 在某点的函数值与 的奇偶性；定义域多为 。 1.2 结论与推导 结论 1.1　。 推导：由乘法法则 ，取 ，，，即得。 结论 1.2　。 推导：由商法则 ，取 ，，即得。 结论 1.3　（  为整数）。 推导：。 时即结论 1.1； 时 ， 与 同号。 结论 1.4（构造函数的奇偶性）　 为偶函数时，、 为奇函数， 为偶函数； 为奇函数时，、 为偶函数， 为奇函数。 推导：以 、 为偶函数为例：；其余各式同法，代入 并用 整理即得。 1.3 方法决策表 条件形态 构造函数 依据 结论 1.1 或 结论 1.2 （  ） 结论 1.3 目标式中出现 型时，先改写为 再比较。 例题精讲 例 1（单项选择题） 已知 为定义在 上的可导函数，且 恒成立，则不等式 的解集为（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 由结论 1.2 构造 ：， 在 上递减。注意 ，且 ，原不等式约去 即 ；由 递减得 ，故 。 【答案】A 例 2（单项选择题） 设函数 是 上可导的偶函数，且 ，当 时，满足 ，则 的解集为（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 由结论 1.3（  ）， 满足 （  ）， 在 上递增；由结论 1.4， 为偶函数时 为偶函数。，故 即 ，得 。 【答案】C 例 3（单项选择题） 已知 是定义在 上的偶函数，当 时，，且 ，则不等式 的解集是（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 由结论 1.2 与 1.4： 为奇函数， 时 ， 在 （  ）上递减。，。： 或 。 【答案】D 变式训练 变 1（单项选择题） 已知 是定义在 上的可导函数，且满足 ，则不等式 的解集是（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 条件即 ，由结论 1.1， 在 上递减。自变量先入域： 且 ，得 。当 时两自变量为正，原式乘正数化为 ，得 ，成立；当 时两自变量为负，乘负数变号即 ，得 ，成立；当 时原式为 ，又在条件中令 得 ，成立。故选 D。 【答案】D 变 2（单项选择题） 已知奇函数 和其导函数 的定义域均为 ，当 时，，则不等式 的解集为（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 由结论 1.3（  ），： 时 ， 递减；由结论 1.4， 为奇函数、 为奇函数， 为偶函数。注意 ，原式即 ； 为偶函数且在 上递减 ，平方得 ，解得 。 【答案】B 变 3（单项选择题） 已知函数 为定义在 上的偶函数，当 时，，则下列正确的为（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 由结论 1.1 与 1.4： 为奇函数， 时 ， 在 上递增，由奇函数性在 上递增。，即 ，得 ，D 对； 的符号不定，A、B 无法判定，C 与 D 矛盾。 【答案】D 单元二 指数型构造 2.1 识别特征 条件含 （  为常数）：、、（移项后同型）。待处理的式子中相应出现 或 的比较。 2.2 结论与推导 结论 2.1　。 推导：乘法法则，，提出公因子 即得。 结论 2.2　。 推导：同上，。 2.3 方法决策表 条件形态 构造函数 依据 结论 2.1 结论 2.2 例题精讲 例 4（单项选择题） 定义域为 的可导函数 的导函数为 ，满足 ，且 ，则不等式 的解集为（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 由结论 2.2（  ）， 满足 ， 在 上递减，。 即 ，得 。 【答案】A 例 5（填空题） 已知定义在 上的函数 及其导函数 满足 ，若 ，则满足不等式 的 的取值范围是________。 ●解析 条件即 ，由结论 2.1（  ）， 递增，。原式同乘 即 ，得 。 【答案】 例 6（单项选择题） 已知定义在 上的函数 的图象是一条连续不断的曲线，且 ，若当 时，，则（  ） A．　　B．　　C． 存在极值点　　D． 有且只有一个零点 ●解析 为奇函数。构造 ，则 ，题设不等式恰为 （  ）， 在 上递增；奇函数与偶函数的乘积为奇函数，故 为奇函数， 在 上递增，。于是 时 ， 时 ， 仅一个零点，D 对（A：，错；B：，错；C： 的单调性不定，错）。 【答案】D 变式训练 变 4（单项选择题） 已知定义域为 的函数 ，其导函数为 ，且满足 ，，则（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 由结论 2.2（  ）， 递减，。A： 得 ，错。B： 得 ，错。C： 得 ，对。D： 得 ，错。 【答案】C 变 5（单项选择题） 定义在 上的函数 的导函数为 ，若对任意实数 ，有 ，且 为奇函数，则不等式 的解集是（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 为奇函数 。由结论 2.2， 递减，。 同除 即 ，得 。 【答案】B 变 6（单项选择题） 已知函数 为 上的奇函数，，当 时，，不等式 的解集为（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 由结论 2.1， 在 上递增，； 与 同号，故 时 ， 时 。由 为奇函数补出负半轴： 时 ， 时 ，且 。（  且 ）或（  且  ），即 或 。 【答案】D 变 7（多项选择题） 记函数 的导函数为 ，已知 ，且 ，，则下列结论正确的是（  ） A．　　B．　　C．若 为偶函数，则 　　D． 可能为二次函数 ●解析 由结论 2.2， 在 上递减。A： 得 ，对。B： 得 ，错。C： 为偶函数时 ，两边求导得 （  为奇函数）；条件用在 处：，即 ，对。D：取 （ ， ），满足 ，对。故选 ACD。 【答案】ACD 单元三 与三角函数组合构造 3.1 识别特征 条件把 与 、 通过乘法组合；三个数比较时常需乘同一三角因子统一到构造函数上。 3.2 结论与推导 结论 3.1　。 结论 3.2　。 两式均为乘法法则直取。 结论 3.3　；。 推导：商法则直取。 3.3 方法决策表 条件中的组合 构造函数 依据 结论 3.2 结论 3.1 结论 3.3 结论 3.3 例题精讲 例 7（单项选择题） 已知 是定义在 上的函数 的导函数，有 ，若 ，，，则 ，， 的大小关系是（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 由结论 3.2， 满足 ， 在 上递增。三个数统一到 （乘同一三角因子）：，，。由 递增且 ，得 ，故 。 【答案】A 例 8（单项选择题） 已知函数 的定义域为 ，导函数为 ，不等式 恒成立，且 ，则不等式 的解集为（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 条件两边乘 ：（用结论 1.3）。取 ，则 ， 递增，。目标式同乘正因子 ：，即 ，得 ，故 。 【答案】B 例 9（单项选择题） 设定义在 上的可导函数 的导函数为 ，且满足 ，，若不等式 有且只有一个正整数解，则实数 的取值范围为（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 条件乘 ：，由在区间上导数恒等的两函数相差常数（教材结论），， 定 ，故 ， 在 上递增、在 上递减，，，。 时 全是解，舍； 时逐个验：、 不是解； 是解 ； 全不是解 （此时  ）。故选 C。 【答案】C 变式训练 变 8（填空题） 已知 是定义域为 的函数 的导函数，且 ，则不等式 的解集为________。 ●解析 由结论 3.1， 满足 ， 在 上单调递减。，故 得 ，即 。 【答案】 变 9（填空题） 已知定义在 上的函数 ，其导函数 满足 ，且 ，若函数 存在极大值，且极大值为 ，则 的最小值是________。 ●解析 条件即 ，故 （在区间上导数恒等的两函数相差常数）， 定 ，故 ，。 时 无极大值，舍； 时 严格递减，唯一零点 （  ）处取极大值 ；对 取对数得 ，故极大值 ，。于是 ，，最小值 。 【答案】 单元四 同构 4.1 识别特征 不等式或方程的两端，经指对恒等变形后出现同一个结构；双变元对称式（交换两个变量后结构不变）；两个方程经整理呈同一结构。 4.2 结论与推导 结论 4.1（三大恒等式， ） 推导：三式依次由 、对数性质 与 逐步变形即得。 结论 4.2　不等式或方程的两端整理出同一个函数 的结构后，化为 ；当 在 、 所在的区间上单调时，。 推导： 的导数 、 的导数 在相应区间上恒正， 单调，单调函数的函数值相等则自变量相等。 4.3 方法决策表 结构信号 处理 依据 积与指数配对（ 、 型） 化为 的函数值 结论 4.1、4.2 和与对数配对（  型） 化为 的函数值 结论 4.1、4.2 两个方程同构 代换统一变量后对照 结论 4.2 例题精讲 例 10（单项选择题） 已知正数 ， 满足 ，则 的最小值为（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 条件即 ，两边乘 ：（结论 4.1），即 ，。由 知 ，与 同在 的递增段，故 ，。于是 ，，最小值 。 【答案】B 例 11（单项选择题） 若 ，，且满足 ，则 的取值范围是（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 移项：，即 ，（结论 4.2）。， 在 上递增；、 同区间，故 。，最大值 且 ，故 。 【答案】A 例 12（单项选择题） 已知 满足 ，则 的最小值为（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 令 ，：条件化为 ，即 （  单调递增，；结论 4.2），得 ，。于是 ， 取等。 【答案】B 例 13（单项选择题） 已知实数 ，且满足 ，则 的最小值为（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 移项：，即 ， 在 上递增，故 。，（  ）取等。 【答案】D 例 14（填空题） 若不等式 恒成立，则 的取值范围________。 ●解析 两边同加 ：，即 （  单调递增；结论 4.2），得 恒成立。令 遍历 ， 的最小值 （可取到），故 。 【答案】 变式训练 变 10（单项选择题） 已知实数 ， 满足 ，则 的最小值为（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 条件整理为 ，两边乘 ：，同构得 （结论 4.1），故 。，最小值 。 【答案】B 变 11（单项选择题） 已知 ，满足 ，则 的最大值为（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 条件两边乘 ：，即 （  ）。由 知 ，故 ，两自变量同在 的递增段 ，故 ，。于是 ，，最大值 。 【答案】C 变 12（单项选择题） 已知 ，，若 ，则下列选项正确的是（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 两边乘 ：（  ）。 时 ，故 ；由条件知 ，与 同在 的递增段 ，得 ，B、D 错。又 ， 且 递增 ，即 ，C 错。故选 A。 【答案】A 变 13（单项选择题） 已知 ，设 满足方程 ， 满足方程 ，则 = （  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 第二个方程令 （  ）：，与第一个方程 同构（结论 4.2）， 在 上递增，故 ，即 。 【答案】A 变 14（单项选择题） 已知 ，，则 = （  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 两式分别除以 、，统一为 ：第一式即 ；第二式化得 ，即 。 三项均递减， 严格递减，故 ，，。 【答案】B 变 15（单项选择题） 已知函数 （  ），若对于任意的 使得不等式 成立，则实数 的取值范围（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 同除 ：，即 （  单调递增），得 恒成立。 的最小值 ，故 。 【答案】A 变 16（单项选择题） 已知函数 ， 是 的反函数。若 ， 满足 ，则 的最大值为（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 。条件整理：，即 （  单调递增；结论 4.2），得 。于是 ，，分子 严格递减且在 处为零，故 在 上递增、在 上递减，。 【答案】D 单元五 比较大小 5.1 识别特征 比较由指数、对数、幂混合而成的数值的大小。 5.2 结论与推导 结论 5.1（同一化）　把各数值改写成同一个函数 在不同自变量处的值： 型取 ；幂指混合 与 型两边取对数后化入同一结构。 推导：、 等改写只用了对数性质； 与 取对数后比较 与 。 结论 5.2（中介函数的单调性）　：，在 上递增、在 上递减， 为最大值。 推导：求导、判号即得。 5.3 方法决策表 数值特征 处理 依据 含 、 结构 统一到 或 结论 5.1、5.2 与 取对数化入 结论 5.1 正负混杂 先与 、 分档，再同档比较 结论 5.1 例题精讲 例 15（单项选择题） 设 ，，，则 的大小关系为（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 由结论 5.1 统一到 ：（  ），，。由结论 5.2， 在 上递减，，故 。 【答案】C 例 16（单项选择题） 已知 ，，，则 ，， 的大小关系为（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 先与 、 分档：；；。故 。 【答案】C 例 17（多项选择题） 已知 是定义在 上的增函数，且 可导， 为奇函数，记函数 ，， 分别是 ， 的导函数，则（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 为奇函数即 ，令 得 。A：，，对。B：恒等式两边求导得 ，对。C：，， 为偶函数，求导得 ，错。D： 递增且 ，故 时 、 时 ， 在 两侧变号， 在 上递减、 上递增，且 为偶函数， 关于 对称。比较两点大小：，（  ），，故 ，两点同在递增段，，对。故选 ABD。 【答案】ABD 变式训练 变 17（单项选择题） 三个数 ，， 的大小顺序为（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 ，，， 在 上递增，故 最大。、 作商比较：，故 。综上 。 【答案】A 变 18（单项选择题） 已知 ，，，则（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 ， 最大；、 均负，化到 ：，（结论 5.1）， 在 上递增，，故 。综上 。 【答案】B 变 19（单项选择题） 若 ，，，则 的大小关系为（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 （  ）；（  ）；。故 。 【答案】B 变 20（单项选择题） 已知 ，，，则 的大小关系为（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 ；；。故 。 【答案】B 变 21（多项选择题） 已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，且满足 。若 在 上单调递增，则（  ） A．，　　B．，　　C．，　　D．， ●解析 取 ：，故 时 。对 取 并平方：；若 ，则 与已证矛盾，故 恒成立（A 错），且 为偶函数（B 错）。C： 时只能得 ，偶函数给出 时 ，错。D：，由 递增并结合均值不等式 ，得 ，对。故选 D。 【答案】D 变 22（单项选择题） 已知正实数 ， 满足 ，则 的最大值为（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 记 （奇函数，， 单调递增），条件即 ，得 。，（  ）取等。 【答案】A 单元六 单调性条件的构造 6.1 识别特征 已显式给出，条件以”任意 “的两点关系式给出，常见四类：差商型 ；乘积型 ；乘积比较型 与 ；比值比较型 与 。设问多为求参数的取值范围。 6.2 结论与推导 结论 6.1　（任意  ） 在定义域上单调递增（不等号反向时单调递减）。 推导：设 ，则 ，不等式即 ，由单调性定义即得；反向同理。 结论 6.2　（任意  ） 单调递增。 推导：条件即 ，由单调性定义， 递增； 为负数时 。 结论 6.3（乘除转化）　 与 、 与 的比较，两边同乘或同除正因子 后转化为结论 6.1 的形态，构造 或 。 推导：，同乘不变号；提取公因子 。 6.3 方法决策表 条件形态 构造函数与单调性 依据 递增 结论 6.1 递增 结论 6.2 （  ） 递增 结论 6.3 （  ） 递增 结论 6.3 条件两端经恒等变形（取对数、移项、乘除同一正因子）能化成上表形态的，先变形再套用；单调性的方向由不等号方向与自变量大小关系共同确定。 例题精讲 例 18（单项选择题） 已知函数 ，若对任意的 ，，且 ，都有 ，则实数 的取值范围是（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 由结论 6.1， 在 上递增。， 时需 恒成立，（  ），故 （  时 仅在 处为零，零点孤立，不影响严格递增）。 ●解析（法二）　 恒成立也可不用求导：由 （  中以 代 的推论， 时两边除以  ）直接得 ， 取等。 【答案】B 例 19（单项选择题） 已知函数 ，若 ，，，都有 ，则实数 的最大值为（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 由结论 6.2（  ）：条件等价于 在 上递增， 恒成立 ， 的最大值为 。 【答案】B 例 20（单项选择题） 已知函数 ，，且当 时，恒有 ，则实数 的取值范围为（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 条件两边乘 ：，由结论 6.3， 在 上递减， 恒成立， 的最小值 。 【答案】A 例 21（单项选择题） 已知函数 ，若对任意的 ，（  ），都有 ，则实数 的取值范围是（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 分子提取 ：，由结论 6.3， 在 上递增， 恒成立，（  ）。 【答案】C 变式训练 变 23（单项选择题） 已知函数 ，若对任意的 ，，且 ，都有 ，则实数 的取值范围是（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 条件两端相减整理：，由结论 6.1 即 在 上递增，同例 18 得 。 【答案】B 变 24（单项选择题） 已知函数 ，若对任意的 ，当 时，都有 ，则实数 的取值范围为（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 条件即 （  ），由结论 6.2， 在 上递减， 恒成立，（  ）。 【答案】C 变 25（单项选择题） 已知函数 ，，当 时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围为（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 条件两边乘 ：，由结论 6.3， 在 上递增， 恒成立，（  ），故 。 【答案】D 变 26（单项选择题） 已知函数 ，对 ，当 时，恒有 ，则实数 的取值范围为（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 条件两边乘 ：，由结论 6.3， 在 上递增， 恒成立， 在 上的最小值 （  取得）。 【答案】A 变 27（单项选择题） 若对任意的 ， 恒成立，则实数 的最大值为（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 原式即 ，取对数并除以 ：，即 。由结论 6.2， 在 上递减， 恒成立，得 ，最大值 。 【答案】C 学科网（北京）股份有限公司 $ 函数与导数之构造函数 高三数学专题复习 · 专题第一讲 0 题型概说 本讲研究的问题：一类问题的条件不是 的显式表达式，而是 与其导函数 之间的关系式，或者不等式、方程的两端可以整理成同一个结构；另一类问题的 已显式给出，条件是任意两点间的关系式。处理手段是构造辅助函数——按求导法则的逆方向，把 与 、、、 组合成新的可导函数 ，使条件转化为 的单调性。 识别信号总览： 条件或结论的特征 构造方向 单元 ，（  为正整数） 或 单元一 ， 与 直接比较大小 单元二 与 、 的乘法组合 与三角函数组合构造 单元三 两端可整理成同一结构；双变元对称式 同构 单元四 指、对、幂混合的数值比较大小 构造同一函数比较函数值 单元五 显式给出，条件为任意两点间的关系 化为构造函数的单调性 单元六 单元一 乘除型构造 1.1 识别特征 条件中出现 与 、 的一次组合：；（  为不小于 2 的整数）；。通常配以 在某点的函数值与 的奇偶性；定义域多为 。 1.2 结论与推导 结论 1.1　。 推导：由乘法法则 ，取 ，，，即得。 结论 1.2　。 推导：由商法则 ，取 ，，即得。 结论 1.3　（  为整数）。 推导：。 时即结论 1.1； 时 ， 与 同号。 结论 1.4（构造函数的奇偶性）　 为偶函数时，、 为奇函数， 为偶函数； 为奇函数时，、 为偶函数， 为奇函数。 推导：以 、 为偶函数为例：；其余各式同法，代入 并用 整理即得。 1.3 方法决策表 条件形态 构造函数 依据 结论 1.1 或 结论 1.2 （  ） 结论 1.3 目标式中出现 型时，先改写为 再比较。 例题精讲 例 1（单项选择题） 已知 为定义在 上的可导函数，且 恒成立，则不等式 的解集为（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 由结论 1.2 构造 ：， 在 上递减。注意 ，且 ，原不等式约去 即 ；由 递减得 ，故 。 例 2（单项选择题） 设函数 是 上可导的偶函数，且 ，当 时，满足 ，则 的解集为（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 由结论 1.3（  ）， 满足 （  ）， 在 上递增；由结论 1.4， 为偶函数时 为偶函数。，故 即 ，得 。 例 3（单项选择题） 已知 是定义在 上的偶函数，当 时，，且 ，则不等式 的解集是（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 由结论 1.2 与 1.4： 为奇函数， 时 ， 在 （  ）上递减。，。： 或 。 变式训练 变 1（单项选择题） 已知 是定义在 上的可导函数，且满足 ，则不等式 的解集是（  ） A．　　B．　　C．　　D． 变 2（单项选择题） 已知奇函数 和其导函数 的定义域均为 ，当 时，，则不等式 的解集为（  ） A．　　B．　　C．　　D． 变 3（单项选择题） 已知函数 为定义在 上的偶函数，当 时，，则下列正确的为（  ） A．　　B．　　C．　　D． 单元二 指数型构造 2.1 识别特征 条件含 （  为常数）：、、（移项后同型）。待处理的式子中相应出现 或 的比较。 2.2 结论与推导 结论 2.1　。 推导：乘法法则，，提出公因子 即得。 结论 2.2　。 推导：同上，。 2.3 方法决策表 条件形态 构造函数 依据 结论 2.1 结论 2.2 例题精讲 例 4（单项选择题） 定义域为 的可导函数 的导函数为 ，满足 ，且 ，则不等式 的解集为（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 由结论 2.2（  ）， 满足 ， 在 上递减，。 即 ，得 。 例 5（填空题） 已知定义在 上的函数 及其导函数 满足 ，若 ，则满足不等式 的 的取值范围是________。 ●解析 条件即 ，由结论 2.1（  ）， 递增，。原式同乘 即 ，得 。 例 6（单项选择题） 已知定义在 上的函数 的图象是一条连续不断的曲线，且 ，若当 时，，则（  ） A．　　B．　　C． 存在极值点　　D． 有且只有一个零点 ●解析 为奇函数。构造 ，则 ，题设不等式恰为 （  ）， 在 上递增；奇函数与偶函数的乘积为奇函数，故 为奇函数， 在 上递增，。于是 时 ， 时 ， 仅一个零点，D 对（A：，错；B：，错；C： 的单调性不定，错）。 变式训练 变 4（单项选择题） 已知定义域为 的函数 ，其导函数为 ，且满足 ，，则（  ） A．　　B．　　C．　　D． 变 5（单项选择题） 定义在 上的函数 的导函数为 ，若对任意实数 ，有 ，且 为奇函数，则不等式 的解集是（  ） A．　　B．　　C．　　D． 变 6（单项选择题） 已知函数 为 上的奇函数，，当 时，，不等式 的解集为（  ） A．　　B．　　C．　　D． 变 7（多项选择题） 记函数 的导函数为 ，已知 ，且 ，，则下列结论正确的是（  ） A．　　B．　　C．若 为偶函数，则 　　D． 可能为二次函数 单元三 与三角函数组合构造 3.1 识别特征 条件把 与 、 通过乘法组合；三个数比较时常需乘同一三角因子统一到构造函数上。 3.2 结论与推导 结论 3.1　。 结论 3.2　。 两式均为乘法法则直取。 结论 3.3　；。 推导：商法则直取。 3.3 方法决策表 条件中的组合 构造函数 依据 结论 3.2 结论 3.1 结论 3.3 结论 3.3 例题精讲 例 7（单项选择题） 已知 是定义在 上的函数 的导函数，有 ，若 ，，，则 ，， 的大小关系是（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 由结论 3.2， 满足 ， 在 上递增。三个数统一到 （乘同一三角因子）：，，。由 递增且 ，得 ，故 。 例 8（单项选择题） 已知函数 的定义域为 ，导函数为 ，不等式 恒成立，且 ，则不等式 的解集为（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 条件两边乘 ：（用结论 1.3）。取 ，则 ， 递增，。目标式同乘正因子 ：，即 ，得 ，故 。 例 9（单项选择题） 设定义在 上的可导函数 的导函数为 ，且满足 ，，若不等式 有且只有一个正整数解，则实数 的取值范围为（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 条件乘 ：，由在区间上导数恒等的两函数相差常数（教材结论），， 定 ，故 ， 在 上递增、在 上递减，，，。 时 全是解，舍； 时逐个验：、 不是解； 是解 ； 全不是解 （此时  ）。故选 C。 变式训练 变 8（填空题） 已知 是定义域为 的函数 的导函数，且 ，则不等式 的解集为________。 变 9（填空题） 已知定义在 上的函数 ，其导函数 满足 ，且 ，若函数 存在极大值，且极大值为 ，则 的最小值是________。 单元四 同构 4.1 识别特征 不等式或方程的两端，经指对恒等变形后出现同一个结构；双变元对称式（交换两个变量后结构不变）；两个方程经整理呈同一结构。 4.2 结论与推导 结论 4.1（三大恒等式， ） 推导：三式依次由 、对数性质 与 逐步变形即得。 结论 4.2　不等式或方程的两端整理出同一个函数 的结构后，化为 ；当 在 、 所在的区间上单调时，。 推导： 的导数 、 的导数 在相应区间上恒正， 单调，单调函数的函数值相等则自变量相等。 4.3 方法决策表 结构信号 处理 依据 积与指数配对（ 、 型） 化为 的函数值 结论 4.1、4.2 和与对数配对（  型） 化为 的函数值 结论 4.1、4.2 两个方程同构 代换统一变量后对照 结论 4.2 例题精讲 例 10（单项选择题） 已知正数 ， 满足 ，则 的最小值为（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 条件即 ，两边乘 ：（结论 4.1），即 ，。由 知 ，与 同在 的递增段，故 ，。于是 ，，最小值 。 例 11（单项选择题） 若 ，，且满足 ，则 的取值范围是（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 移项：，即 ，（结论 4.2）。， 在 上递增；、 同区间，故 。，最大值 且 ，故 。 例 12（单项选择题） 已知 满足 ，则 的最小值为（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 令 ，：条件化为 ，即 （  单调递增，；结论 4.2），得 ，。于是 ， 取等。 例 13（单项选择题） 已知实数 ，且满足 ，则 的最小值为（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 移项：，即 ， 在 上递增，故 。，（  ）取等。 例 14（填空题） 若不等式 恒成立，则 的取值范围________。 ●解析 两边同加 ：，即 （  单调递增；结论 4.2），得 恒成立。令 遍历 ， 的最小值 （可取到），故 。 变式训练 变 10（单项选择题） 已知实数 ， 满足 ，则 的最小值为（  ） A．　　B．　　C．　　D． 变 11（单项选择题） 已知 ，满足 ，则 的最大值为（  ） A．　　B．　　C．　　D． 变 12（单项选择题） 已知 ，，若 ，则下列选项正确的是（  ） A．　　B．　　C．　　D． 变 13（单项选择题） 已知 ，设 满足方程 ， 满足方程 ，则 = （  ） A．　　B．　　C．　　D． 变 14（单项选择题） 已知 ，，则 = （  ） A．　　B．　　C．　　D． 变 15（单项选择题） 已知函数 （  ），若对于任意的 使得不等式 成立，则实数 的取值范围（  ） A．　　B．　　C．　　D． 变 16（单项选择题） 已知函数 ， 是 的反函数。若 ， 满足 ，则 的最大值为（  ） A．　　B．　　C．　　D． 单元五 比较大小 5.1 识别特征 比较由指数、对数、幂混合而成的数值的大小。 5.2 结论与推导 结论 5.1（同一化）　把各数值改写成同一个函数 在不同自变量处的值： 型取 ；幂指混合 与 型两边取对数后化入同一结构。 推导：、 等改写只用了对数性质； 与 取对数后比较 与 。 结论 5.2（中介函数的单调性）　：，在 上递增、在 上递减， 为最大值。 推导：求导、判号即得。 5.3 方法决策表 数值特征 处理 依据 含 、 结构 统一到 或 结论 5.1、5.2 与 取对数化入 结论 5.1 正负混杂 先与 、 分档，再同档比较 结论 5.1 例题精讲 例 15（单项选择题） 设 ，，，则 的大小关系为（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 由结论 5.1 统一到 ：（  ），，。由结论 5.2， 在 上递减，，故 。 例 16（单项选择题） 已知 ，，，则 ，， 的大小关系为（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 先与 、 分档：；；。故 。 例 17（多项选择题） 已知 是定义在 上的增函数，且 可导， 为奇函数，记函数 ，， 分别是 ， 的导函数，则（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 为奇函数即 ，令 得 。A：，，对。B：恒等式两边求导得 ，对。C：，， 为偶函数，求导得 ，错。D： 递增且 ，故 时 、 时 ， 在 两侧变号， 在 上递减、 上递增，且 为偶函数， 关于 对称。比较两点大小：，（  ），，故 ，两点同在递增段，，对。故选 ABD。 变式训练 变 17（单项选择题） 三个数 ，， 的大小顺序为（  ） A．　　B．　　C．　　D． 变 18（单项选择题） 已知 ，，，则（  ） A．　　B．　　C．　　D． 变 19（单项选择题） 若 ，，，则 的大小关系为（  ） A．　　B．　　C．　　D． 变 20（单项选择题） 已知 ，，，则 的大小关系为（  ） A．　　B．　　C．　　D． 变 21（多项选择题） 已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，且满足 。若 在 上单调递增，则（  ） A．，　　B．，　　C．，　　D．， 变 22（单项选择题） 已知正实数 ， 满足 ，则 的最大值为（  ） A．　　B．　　C．　　D． 单元六 单调性条件的构造 6.1 识别特征 已显式给出，条件以”任意 “的两点关系式给出，常见四类：差商型 ；乘积型 ；乘积比较型 与 ；比值比较型 与 。设问多为求参数的取值范围。 6.2 结论与推导 结论 6.1　（任意  ） 在定义域上单调递增（不等号反向时单调递减）。 推导：设 ，则 ，不等式即 ，由单调性定义即得；反向同理。 结论 6.2　（任意  ） 单调递增。 推导：条件即 ，由单调性定义， 递增； 为负数时 。 结论 6.3（乘除转化）　 与 、 与 的比较，两边同乘或同除正因子 后转化为结论 6.1 的形态，构造 或 。 推导：，同乘不变号；提取公因子 。 6.3 方法决策表 条件形态 构造函数与单调性 依据 递增 结论 6.1 递增 结论 6.2 （  ） 递增 结论 6.3 （  ） 递增 结论 6.3 条件两端经恒等变形（取对数、移项、乘除同一正因子）能化成上表形态的，先变形再套用；单调性的方向由不等号方向与自变量大小关系共同确定。 例题精讲 例 18（单项选择题） 已知函数 ，若对任意的 ，，且 ，都有 ，则实数 的取值范围是（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 由结论 6.1， 在 上递增。， 时需 恒成立，（  ），故 （  时 仅在 处为零，零点孤立，不影响严格递增）。 ●解析（法二）　 恒成立也可不用求导：由 （  中以 代 的推论， 时两边除以  ）直接得 ， 取等。 例 19（单项选择题） 已知函数 ，若 ，，，都有 ，则实数 的最大值为（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 由结论 6.2（  ）：条件等价于 在 上递增， 恒成立 ， 的最大值为 。 例 20（单项选择题） 已知函数 ，，且当 时，恒有 ，则实数 的取值范围为（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 条件两边乘 ：，由结论 6.3， 在 上递减， 恒成立， 的最小值 。 例 21（单项选择题） 已知函数 ，若对任意的 ，（  ），都有 ，则实数 的取值范围是（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 分子提取 ：，由结论 6.3， 在 上递增， 恒成立，（  ）。 变式训练 变 23（单项选择题） 已知函数 ，若对任意的 ，，且 ，都有 ，则实数 的取值范围是（  ） A．　　B．　　C．　　D． 变 24（单项选择题） 已知函数 ，若对任意的 ，当 时，都有 ，则实数 的取值范围为（  ） A．　　B．　　C．　　D． 变 25（单项选择题） 已知函数 ，，当 时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围为（  ） A．　　B．　　C．　　D． 变 26（单项选择题） 已知函数 ，对 ，当 时，恒有 ，则实数 的取值范围为（  ） A．　　B．　　C．　　D． 变 27（单项选择题） 若对任意的 ， 恒成立，则实数 的最大值为（  ） A．　　B．　　C．　　D． 学科网（北京）股份有限公司 $