3.3 含参函数求单调性 专项训练-2027届高三数学一轮复习

3.3 含参函数求单调性 解题步骤总结 1. 求函数的定义域； 2. 求函数的导数； 3. 对进行预处理（多因式相乘的形式）；处理方法有如下几种： （1）如果导函数含有分式，则尝试通分； （2）尝试进行因式分解； （3）尝试进行提公因式； 导函数关键项：对进行预处理为多因式相乘的形式，其中恒正的因式为非关键项，不影响的正负，该因式可以忽略；余下的因式为导函数关键项，也是重点研究的对象；例如，则为导函数的关键项。 4. 求的零点（结合定义域讨论） （1）若无零点，则函数在其定义域上单调； （2）若有1个零点： 分别讨论两段区间内的正负；然后根据的正负判断此条件下的函数的单调性。 （2）若有2个零点： 首先分类讨论2个零点的大小：零点1>零点2；零点1=零点2；零点1<零点2；再者分别讨论各段区间内的正负；最后根据的正负判断此条件下的函数的单调性。 4. 根据上述分析的单调性情况，下结论。下结论时注意参数的范围从小到大依次讨论。 题型一 导函数关键项为一次型 1．已知函数． (1)讨论的单调性； 【答案】(1)答案见解析； 【详解】（1）函数的定义域为，， 当时，，即在上恒成立，所以在上单调递增. 当时，令，解得, ，即在上单调递增. ，即在上单调递减. 综上，当时,在上单调递增， 当时,在上单调递减，在上单调递增. 2.已知函数． (1)讨论的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【详解】（1）已知函数，其定义域为， 求导得， 当时，在上恒成立，所以在上单调递增. 当时令，解得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，在上恒成立，即在上恒成立， 所以在上单调递增. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 3. 已知函数． (1)讨论在上的单调性； 【答案】(1)结论见解析； 【详解】（1）由题意得． 若，则，即恒成立，所以在上单调递减； 若，则，即恒成立，所以在上单调递增； 若，令，得， 当时，， 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减． 4.已知函数. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)求函数的单调区间； 【答案】(1)； (2)答案见解析； （1）由题设，且，则， 所以，，故在处的切线方程为. （2）由且， 当时，即在定义域上递减； 当时，在上，递减，在上，递增， 综上，时递减；时在上递减，上递增. 5.已知函数. (1)求的单调区间； 【答案】(1)答案见解析 (1)函数，定义域为， （i）当时，单调递增； （ii）当时，时，单调递减； 时，单调递增， 综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为 6.已知函数，． (1)讨论函数的单调性； 【答案】(1)答案见解析； 【详解】（1）由题意得，，． 当，即时，，故函数在上单调递增； 当，即时，令，解得， 故当时，，当时，， 故函数在上单调递增，在上单调递减； 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减． 题型二 导函数关键项为类一次型 1.已知函数．讨论的单调区间； 【答案】答案见解析 【详解】由题意可知：的定义域为，且， 若，则对恒成立，的单调递增区间为，无单调递减区间； 若，令，解得；令，解得； 可知的单调递增区间为，单调递减区间为； 综上所述：若，的单调递增区间为，无单调递减区间； 若，的单调递增区间为，单调递减区间为． 2.已知函数，，为自然对数的底数． (1)讨论的单调性； 【答案】(1)当时，在上单调递减． 当时，时，单调递增，当时，单调递减． 【解析】（1）， ①当时，，在上单调递减． ②当时，令，得， 当时，单调递增； 当时，，单调递减． 综上所述：当时，在上单调递减． 当时，时，单调递增，当时，单调递减． 3.设函数，其中. (1)当时，求函数的单调区间； 【答案】(1)答案见解析； 【解析】(1)， . 当时，恒成立， 则在上为减函数， 当时，令，可得， 则，解得， 令，解得， 综上，当时，的减区间为； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 4.已知函数，其中. (1)讨论函数的单调性； 【答案】(1)时，在上单调递增， 当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 【详解】（1）, 当时，恒成立，在上单调递增， 当时，令，，解得， 当，当，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 综上，时，在上单调递增， 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. 5.已知函数． (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)讨论函数在区间上的单调性． 【答案】(1)； (2)见解析 【详解】（1）时，，得， 所以，， 函数在点处的切线方程为，即 （2）由题意，， 当时，在上恒成立， 所以函数在上单调递减； 当时，，得， ①当，即时， 在上恒成立，所以函数在上单调递减； ②当，即时， 时，；时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减； ③当，即时， 在上恒成立，所以函数在上单调递增； 综上，当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递增， 在上单调递减；当时，函数在上单调递增 题型三 导函数关键项为可因式分解的二次型 1.已知函数．求的单调区间 【答案】答案见解析 【详解】函数的定义域为，又， 当时，则当时，当或时， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为，； 当时（当且仅当时取等号）， 所以的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，则当时，当或时， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为，； 综上可得： 当时的单调递减区间为，单调递增区间为，； 当时的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时的单调递减区间为，单调递增区间为，. 2.已知函数 (1)讨论的单调性； 【答案】(1)答案不唯一，具体见解析； 【详解】（1）函数定义域R，求导得， 若，当时，，当或时，，即在上单调递减，在和上单调递增； 若，恒有．即在上单调递增； 若，当时，；当或时，，即在上单调递减，在和上单调递增， 所以当时，函数的递减区间是，递增区间是和； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数的递减区间是，递增区间是和. 3.已知函数．讨论函数的单调性． 【答案】答案见解析 【详解】，， ， 当时，，所以在上单调递增， 当时，或时，；时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 当时，或时，；时，， 所以在上单调递增；在上单调递减． 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减． 4.已知函数，． (1)讨论的单调性． 【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在和上单调递增，在上单调递减. 【详解】（1）. 令，即，解得或. 当时，，此时，所以在上单调递增. 当，即时，在和上，，单调递增； 在上，，单调递减. 当，即时，在和上，，单调递增； 在上，，单调递减. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. 5.已知函数，． (1)若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求的值； (2)当，且时，求函数的单调区间． 【答案】(1)， (2)答案见解析 (1)，，，， 与在交点处具有公共切线，； 又，由得：. (2)当时，设， ； 设， 当时，；当时，；当时，； 的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，令，解得：，； ①当时，时，恒成立，即， 的单调递减区间为，无单调递增区间； ②当时，， 当时，，则；当时，，则； 的单调递减区间为，；单调递增区间为； 综上所述：当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；当时，的单调递减区间为，无单调递增区间；当时，的单调递减区间为，；单调递增区间为. 6.已知函数. (1)讨论的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【详解】（1）， 当时，，所以在上单调递增； 当时，由，解得，由，解得或， 所以在和上单调递增，在上单调递减； 当时，由，解得，由，解得或， 所以在和上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. 7.设函数． (1)讨论的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【详解】（1），令，解得或， 若，则，则在上单调递增； 若，则当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 若，则当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 8.已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)讨论函数的单调性． 【答案】(1)极小值为，无极大值 (2)答案见解析 【详解】（1）易知函数的定义域为． 当时，， ∴． 令，得； 令，得； 令，得． ∴函数的极小值为，无极大值． （2）． ①当时，令，得；令，得． ②当时，令，得或；令．得． ③当时，恒成立． ④当时，令，得或；令，得． 综上，当时，函数的增区间为，减区间为； 当时，函数的增区间为和，减区间为； 当时，函数的增区间为； 当时，函数的增区间为和，减区间为． 9.已知函数. (1)讨论的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【详解】（1）由题意， ①若时，恒成立，则在上单调递减； ②若时，此时， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增； ③若时，此时， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增； 10.已知函数，其中. (1)若直线是曲线的切线，求负数的值； (2)设. （i）讨论函数的单调性； 【答案】(1) (2)（i）答案见解析； （1）因为，所以 由直线是曲线的切线可知，即 又，所以，则切点坐标为，所以 故. （2）（i）. ①若即的解为， 所以当时，单调递减；当时，单调递增； ②若即的解为或， 所以当时，单调递增； 当时，单调递减 ③若即恒成立，所以在上单调递增； ④若即的解为或， 所以当时，单调递增；当时，单调递减. 综上所述： 若，当时，单调递减，时，单调递增； 若，当时，单调递增，时，单调递减； 若在上单调递增； 若，当时，单调递增，时，单调递减. 11.已知函数． (1)讨论函数的单调区间； 【答案】(1)答案见解析 【详解】（1）易知函数的定义域为，且， 易知， 所以当时，，此时，即在上单调递增； 当时，令，解得，令，解得； 此时在上单调递增，在上单调递减； 综上可知时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 时，的单调递增区间为，单调递减区间为； 12.已知函数，其中． (1)若时，求函数在处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）当时，，， 又由得， 所以切线方程为，即. （2）当时，， 令得或， ①若，即，当或时，，单调递增； 当时，，单调递减； ②若，即，则当时，恒成立（当且仅当时取等号），单调递增； ③若，即，则当或时，，单调递增； 当时，，单调递减. 综上，当时， 的单调递增区间是和，单调递减区间是； 当时， 的单调递增区间是，无单调递减区间； 当时，的单调递增 区间是和，单调递减区间是. 13.设函数，是实数． (1)若1是的一个零点，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； 【答案】(1)； (2)答案见解析； 【详解】（1）由条件得，即，解得， 则，于是 从而，， 故切线方程为：，即：； （2）函数的定义域为， 则 ① 当时，，由，得， 当时，，则函数在上单调递减， 当时，，则函数在上单调递增； ② 当时，，由，得或， 则当或时，，函数在和上单调递减， 当时，，函数在上单调递增； ③ 当时，，，故函数在上单调递减； ④当时，, 则当或时，，函数在和上单调递减， 当时，，函数在上单调递增； ⑤当时，, 当时，，则函数在上单调递增， 当时，，则函数在上单调递减. 综上所述，当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在和上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递减； 当时，函数在和上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. 14.已知函数． (1)若，证明：在上恒成立； (2)讨论函数的单调性． 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 【详解】（1）若，则，要证在上恒成立， 等价于证明：在上恒成立， 令，， 则， 令，， 因为在上单调递增，故，则， 故在上单调递增，则，即， 故在上恒成立． （2）因为函数的定义域为， 所以， 令，即，则或，解得或； ①若： 则当时，，，，单调递减， 当时，，，，单调递增； ②若： 则当时，，，，单调递增， 当时，，，，单调递减， 当时，，，，单调递增； ③若：则当时，单调递增； ④若： 则当时，，，，单调递增， 当时，，，，单调递减， 当时，，，，单调递增． 综上，当的单调递减区间为，单调递增区间为； 当的单调递减区间为，单调递增区间为和； 当无单调递减区间，单调递增区间为； 当的单调递减区间为，单调递增区间为和． 题型四 导函数关键项为不可因式分解的二次型 1.已知函数．讨论函数的单调性. 【答案】答案见解析 【详解】已知，函数定义域为R， 可得， 当时，，所以在R上单调递减； 当时，因为是开口向上的二次函数，且， 若，即时，，所以；所以在R上单调递减； 若，即时，此时方程有两个根， 所以当或者时，，即， 当时，，即， 所以在和上为减函数， 在上为增函数； 当时，因为是开口向下的二次函数，且， 此时方程有两个根， 所以当或者时，，即， 当时，，即， 所以在和上为增函数， 在上为减函数； 综上所述，当时，函数在R上单调递减； 当时，函数在和上为减函数， 在上为增函数； 当时，函数在和上为增函数， 在上为减函数. 2.已知函数． (1)求在上的最值． (2)设函数，讨论的单调性. 【答案】(1)最大值为，最小值为. (2)见解析； 【详解】（1），令，解得或. 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以在时取得极大值，在时取得极小值， 又，， 所以在上的最大值为，最小值为. （2）， ， 判别式， 当时，，，在上单调递增； 当时，，令，解得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 综上所述，当时，在上单调递增， 当时，在，上单调递增，在上单调递减. 3.已知函数． (1)当时，求的极值． (2)讨论的单调性； 【答案】(1)极大值为，无极小值 (2)答案见解析 【解析】(1)当时，， 则， 令，得， 2 + 0 - 单调递增 单调递减 所以的极大值为，无极小值． (2)的定义域为， 对于二次方程，有． 当时，恒成立，在上单调递减． 当时，方程有两根， 若， 在上单调递增，在上单调递减； 若， 在与上单调递减， 在上单调递增． 4.已知函数. (1)讨论的单调性. 【答案】(1)当时， 在上单调递增；当时，在区间和上单调递增，在区间上单调递减. 【详解】（1）由题意得， 令，则，判别式， ①当时，解得，则恒成立，即恒成立，在上单调递增； ②当时，解得，则方程有个实根，由求根公式可知方程的解为， 由二次函数的性质可知在区间和上单调递增，在区间上单调递减， 综上所述，当时， 在上单调递增； 当时，在区间和上单调递增，在区间上单调递减. 5.已知函数. (1)讨论的单调性； 【答案】(1)答案见解析 （1）由题意可知的定义域为R，，对于，. ①当，即-3≤a≤3时，在R上单调递增； ②当，即a<-3或a>3时，令，即， 解得， 令，则或；令，则； 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 综上，当-3≤a≤3时，在R上单调递增； 当a<-3或a>3时， 在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增. 6.已知函数． (1)讨论的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【详解】（1）由题意可得， 令，则．判别式． ①当，即时，恒成立， 即恒成立，在R上单调递增； ②当，即时，方程有2个实根， 且由求根公式可知该方程的解为， 由二次函数单调性知在区间和上单调递增， 在区间上单调递减． 综上，时，在R上单调递增； 时，在区间和上单调递增， 在区间上单调递减． 7.已知函数． (1)当时，讨论函数的单调性； 【答案】(1)答案见解析； (1)解：易知的定义域为， 且 由得，或 1°当时，恒成立， ∴在上是增函数； 2°当时，由得 记，， 当或时，，当时，， ∴在，上是增函数，在上是减函数 综上所示，当时，在上是增函数； 当时，在，上是增函数， 在上是减函数. 8.已知函数． (1)若曲线在点处的切线过原点，求实数的值； (2)求的单调区间； 【答案】(1) (2)见解析 【详解】（1）因为，所以． 由题意知． （2）由，函数定义域为， 所以当时，恒成立，在上单调递减， 当时，令，因为，所以， 易知时，时，， 因此的单调递减区间为，单调递增区间为. 综上，当时，的单调递减区间为； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为. 9.已知函数 (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 （1）解：当时，，则，所以，， 此时，曲线在点处的切线方程为，即. （2）解：因为，则， 令，则， 当，即时，， 又函数的定义域为， 此时，的单调递增区间为、、； 当，即时， ①当时，的两根为、， 所以的解集为， 的解集为， 又当时，，， 所以的单调增区间为、、， 单调减区间为、； ②当时，的定义域为，的两根为、， ，由可得或，由可得， 则的单调递增区间为和，单调递减区间为 ③当时，的定义域为，的两根为、， 由可得或，由可得， 所以的单调递增区间为、， 单调递减区间为. 综上所述，当时，的单调递增区间为、、； 当时，的单调增区间为、、， 单调减区间为、； 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，的单调增区间为、、， 单调减区间为、. 10.已知函数. (1)讨论的单调性； 【答案】(1)答案见解析； 【详解】（1）函数定义域为，， 记，则， 当时，，又，， 所以有两个正根，满足， 所以当或时，， 当或时，， 所以在和单调递增， 在和单调递减； 当时，恒成立，所以恒成立，故恒成立， 所以在和单调递增； 当时，，由韦达定理可知，的两根为负， 所以在和恒成立， 所以在和恒成立， 所以在和单调递增. 综上，当时，在和单调递增， 在和单调递减； 当时，在和单调递增. 11.已知函数，求函数的单调区间. 【答案】答案见解析 【详解】函数的定义域为， 求导得，方程中，， 当时，，，函数在上单调递增； 当时，，方程的二根为， 当时，由根与系数的关系可知且，故两根均为负数， 因此有，由，得或；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，当时，函数的递增区间为； 当时，函数的递增区间为， 递减区间为； 当时，函数的递增区间为， 递减区间为. 题型五 导函数关键项为类二次型 1.已知函数．若，讨论的单调性； 【答案】答案见解析 【解析】因为，定义域为， 所以， 当时，令，得，． （ⅰ）若，即， 则当或时，， 当时，， 则的单调递增区间为，， 单调递减区间为； （ⅱ）若，即时， 则当或时，； 当时，； 则的单调递增区间为，， 单调递减区间为； （ⅲ）若，即时，，在上单调递增． 综上所述，当时， 的单调递增区间为，， 单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，， 单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间． 2.已知函数．讨论的单调性． 【答案】答案见解析 【解析】， （1）当时，恒成立，令，解得，令，解得， 在上单调递增，在上单调递减； （2）当时，令，解得，， ① 当时，，令，解得或， 令，解得， 在，上单调递增，在上单调递减； ②当时，，在上单调递增； ③当时，，令，解得或， 令，解得， 在，上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增,在上单调递减． 3.已知函数，. (1)讨论的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【解析】（1） ， 当即时，或， 故在和上单调递增，在上单调递减； 当即时，，在上单调递增； 当即时，或， 故在和上单调递增，在上单调递减； 综上可知：时，故在和上单调递增，在上单调递减； 时， 在上单调递增； 时，在和上单调递增，在上单调递减； 4.已知函数.讨论的单调性. 【答案】答案见解析 【解析】， ， ， ， ， ， ①当时，， 当时，，在单调递增； 当时，，在单调递减； ②当时，由，得，， （ⅰ）当时，， 当时，，在，单调递增； 当时，，在单调递减； （ⅱ）当时，，，在单调递增； （ⅲ）当时，， 当时，，在，单调递增； 当时，，在单调递减； 综上可得：①当时，在单调递增，在单调递减； ②当时，在，单调递增，在单调递减； ③当时，在单调递增； ④当时，在，单调递增，在单调递减. 5.已知函数． (1)当时，求函数在上的最小值； (2)讨论函数的单调性． 【答案】(1) (2)当时，的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为，；单调递减区间为. 【解析】(1)定义域为， 当时，，， 令得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； ∴在在上的最小值为； (2)定义域为 ， ， ①当时，令得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，令得或. ②当时，即， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； ③当时，即，当时，即或， 单调递增；当时，即， 单调递减； ④当时，即，在定义域上恒成立，单调递增； ⑤当，即，当时，即或，单调递增；当时，即，单调递减； 综上所述：当时，的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为，；单调递减区间为 6.函数． (1)已知，求的值 (2)讨论的单调性； 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）由题意有：，所以， 解得； （2）由， 当时，，当时，，当时，， 所以在单调递增，在单调递减， 当时，令，解得或， 当时，由有：或，由有：， 所以在单调递减，在单调递增， 当时，在上恒成立，所以在上单调递增， 当时，由有：或，由有：， 所以在单调递减，在单调递增； 7.已知函数． (1)若，求的图象在处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【解析】(1)因为，所以． 则， 故的图象在处的切线方程为． (2)． 若，则恒成立，所以当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增． 若，则由，得． 当，即时，若，则，函数单调递增；若，则，函数单调递减． 当时，即时，在R上恒成立，函数单调递增． 当，即时，若，则，函数单调递增；若，则，函数单调递减． 综上所述，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；当时，在R上单调递增；当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为． 8.已知函数 (1)求函数的单调区间. 【答案】(1)答案见解析 【解析】(1)由题意，得 当时，恒成立，所以在R上单调递增. 当时，由，得，由，得， 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上所述，当时，的单调递增区间为R，无单调递减区间， 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为 9.已知函数 (1)讨论的单调性； 【答案】(1)答案见解析. 【解析】(1)的定义域为R, . i.当a≥-1时, . 令,解得； 令,解得. 所以的单增区间为,单减区间为. ii.当时,令,解得：x=0或x=ln(-a-1). （i）当ln(-a-1)=0,即a=-2时, ≥0,所以在(-∞,+∞)单增. （ii）当ln(-a-1)>0,即a<-2时, 由解得：； 由解得：. 所以的单增区间为,单减区为. （iii）当ln(-a-1)<0,即-2<a<-1时, 由解得：； 由解得：. 所以的单增区间为，的单减区间为. 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $3.3含参函数求单调性 解题步骤总结 1.求函数fx的定义域： 2.求函数fx的导数f'x: 3.对f'x进行预处理（多因式相乘的形式）；处理方法有如下几种： (1)如果导函数含有分式，则尝试通分； (2)尝试进行因式分解： (3)尝试进行提公因式： 导函数关键项：对f'x进行预处理为多因式相乘的形式，其中恒正的因式为非关键项，不 影响「'x的正负，该因式可以忽略；余下的因式为导函数关键项，也是重点研究的对象： 例如f"x=eaX+2ax-3,则hx=a2+2ax-3为导函数frx的关键项。 4.求f'x的零点（结合定义域讨论） (1)若fx无零点，则函数fx在其定义域上单调： (2)若f'x有1个零点： 分别讨论两段区间内f'x的正负；然后根据f'x的正负判断此条件下的函数fx的 单调性。 (2)若f'x有2个零点： 首先分类讨论2个零点的大小：零点1>零点2；零点1=零点2；零点1<零点2；再 者分别讨论各段区间内f'x的正负；最后根据f'x的正负判断此条件下的函数fx的单 调性。 4.根据上述分析的单调性情况，下结论。下结论时注意参数的范围从小到大依次讨论。 题型一导函数关键项为一次型 1.已知函数f6)=nx+是-la∈R). (1)讨论 () 的单调性： 第1页共12页 f(x)=In(x+1)-ax 2.已知函数 (①讨论f()。 的单调性： 3.已知函数(=alnr-n(x+1)aeR ①)时论在0+切)上的单调性， 4.已知函数f(x)=, (1)当a=1时，求函数fx)在(L,f()处的切线方程； (2)求函数f)的单调区间： 5.已知函数f()=r-a,aeR (1)求f(x)的单调区间： 第2页共12页 6.已知函数f)=2nx+(a+3)x,aeR (1)讨论函数f(x)的单调性： 题型二导函数关键项为类一次型 1已知函数f(=e2-ar- ·讨论) 的单调区间： 2.已知函数f(x)=a(x-l)-e(a∈R),k()=nx-e,e为自然对数的底数. (1)讨论f(x)的单调性： 3.设函数f(x)=1+aln ,其中aeR (1)当a≥0时，求函数f(x)的单调区间： 第3页共12页 4.已知函数f(x)=e+a心，其中a∈R. (1)讨论函数f(x)的单调性： 5已知函数f()=g-x-a(aeR)。 (1)若a=1,求函数f(x)在点(0，f(0)处的切线方程； (2)讨论函数f(x)在区间(0，)上的单调性. 题型三导函数关键项为可因式分解的二次型 1.已知函数f()=e(t++1(a∈R).求f(四的单调区间 2已知函数f)=x-a牛3x+r+b 3 (1)讨论f(x)的单调性； 第4页共12页 B已知函数/国)-十之+2a.讨论函数f的单调性 2 4.已知函数 f(x)=x'+ax'aeR ①)讨论（冈的单调性. 5已知函数f)=nr-m,g()=。-3. (1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(L,c)处具有公共切线，求a,b的值： (②当6=1-a,且0s≤号时，求函数f)+g)的单调区间。 6已知函数f()=2r2-3ar2+b (①讨论()】 的单调性： 7.设函数 f(x)=x-ax2 ()时论的单调性： 第5页共12页 8已知函数f)=x-30-(a+3)hx (1)当a=0时，求函数f()的极值： (2)讨论函数f()的单调性. 9.已知函数 f(x)=xtar-a (四讨论y。 的单调性： 10.已知函数g(x)=alnr+x,h(x)=(a+2)x,其中aeR. (1)若直线y=h(x)是曲线y=g(x)的切线，求负数a的值： (2)设f(x)=g(x)-h(x). (i)讨论函数f(x)的单调性； 1.已知函数f()=x+a+1-alnx((aeR). (1)讨论函 f的单调区间： 第6页共12页 12已知西数了)=a-(Ba+1hx-,其中aER 若a=1时，求函数在f0》处的切线方程， (2☒当a>0时，求函数 的单调区间. 13.设函数f(x)=lnr-ax+1- x,a是实数 (①若1是四的一个零点，求曲线”=f(四在点2，(2》处的切线方程： f(x) (2)讨论函数 的单调性： 14已知丙数-+aax-6a+， (④若a=0,证明：f)之2+nx在L,+0上恒成立： (2)讨论函数f(x)的单调性。 第7页共12页 题型四导函数关键项为不可因式分解的二次型 1已知函数f()=(mr+e'(meR).讨论函数f)的单调性 (x)=x3-6.x2+9x-1 2已知函数 ()求在D4上的最值 (2)设函数 )=()+(6-)r,讨论f)的单调性 3.已知函数f(x)=alnx-x2+3x+3a (1)当a=2时，求f(x)的极值. (2)讨论f(x)的单调性； 4已知函数f()=(+2x+a)e (四讨论) 的单调性. 第8页共12页 5.已知函数f(x)=x3-ax2+3x+1. (1)讨论)的单调性： f(x)=(x2+a)e* 6.已知函数 (1)讨论(x)的单调性： 7.已知函数f(y)=alhx+x-1(aeR). (1)当a<0时，讨论函数f()的单调性； 8己知函数fx)=a(x-1)+2-lnx(aeR). ()若曲线"=f)在点er(e》处的切线过原点，求实数”的值： (②求四的单调区间， 9已知函数f)=上-x x2+a (若a=0,求曲线y=f(x)在点（，f)处的切线方程： (2)讨论f(x)的单调性， 第9页共12页 )=inr-aC+a≠0） 10.已知函数 x-1 (四讨论f() 的单调性； 11.已知函 f=r-1+alnl+0,求西数。 的单调区间. 题型五导函数关键项为类二次型 1.已知函数)=e-a-m.若a>0,讨论f( 的单调性； 2.已知函数f)=e-(a+2e+x.讨论) 的单调性， 第10页共12页 3.已知函数f()=xe-a(r2+2x),a>0. (1)讨论f(x)的单调性： 4已知函数/()=(-2e-讨论f四的单调性 5.已知函数f)=g-。-alnx. xx 1 (四当。=0时，求函数在22上的最小值： (2)讨论函数f()的单调性. 6函数f)=(r-小e+ar,aeR (尼知")=0 求“的值 (②时论0的单调性， 7.已知函数f(x)=xe+axr2+2ax,aeR 第11页共12页 (1)若a=1,求f)的图象在=-1处的切线方程； (2)讨论f)的单调性. 8已知函数f四=c+号-a-1)x-2a∈R) (1)求函数f()的单调区间. 9.已知函数f)-行e+aje-e+1) (1)讨论f(x)的单调性： 第12页共12页