第2章 一元二次函数、方程和不等式 章节复习【思维导图+3知识点+3题型12角度】--【课堂助手】2024-2025学年高一数学讲与练（人教A版·必修一）

第二章 一元二次函数、方程和不等式 章节复习 知识点1：不等式与不等关系 4 知识点2：基本不等式 5 知识点3：一元二次不等式及其应用 6 题型1：不等式的性质 8 角度1：由已知条件判断不等式的对错 8 角度2：利用不等式表示不等关系 9 角度3：作差法比较代数式的大小 10 角度4：作商法比较代数式的大小 12 角度5：由不等式的性质证明不等关系 13 角度6：利用不等式求值和取值范围 14 题型2：基本不等式（均值不等式） 16 角度1：利用基本不等式的大小比较 16 角度2：利用基本不等式证明不等关系 17 角度3：利用基本不等式求最值 18 角度4：基本不等式的应用 20 题型3：一元二次不等式 22 角度1：一元二次不等式的解法 22 角度2：一元二次不等式的恒成立问题 24 角度3：一元二次不等式的应用 25 知识点1：不等式与不等关系 1.比较大小基本方法 关系 方法 做差法与0比较 做商法与1比较 或 或 2.不等式的性质 性质 性质内容 对称性 传递性 可加性 可乘性 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 3. 不等式的大小比较方法 （1）作差法比较大小的步骤 ①作差；②变形；③判断差式与0的大小；④下结论. （2）作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤 ①作商；②变形；③判断商式与1的大小；④下结论. 注：其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小.作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法. 知识点2：基本不等式 1. 基本不等式 如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号； 基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号. 注：（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.（2）连续使用不等式要注意等号取得一致. （1）几个重要的不等式 ① ②基本不等式：如果，则(当且仅当“”时取“”). 特例：（同号）. （2）其他变形： ①(沟通两和与两平方和的不等关系式) ②(沟通两积与两平方和的不等关系式) ③(沟通两积与两和的不等关系式) ④重要不等式串：即 调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件). 2. 均值定理 已知. （1）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”. （2）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即积为定值，和有最小值”. 3. 常见求最值模型 模型一：，当且仅当时等号成立； 模型二：，当且仅当时等号成立； 模型三：，当且仅当时等号成立； 模型四：，当且仅当时等号成立. 知识点3：一元二次不等式及其应用 1. 一元二次不等式 一元二次不等式，其中，是方程的两个根，且 （1）当时，二次函数图象开口向上. （2）①若，解集为. ②若，解集为. ③若，解集为. (2) 当时，二次函数图象开口向下. ①若，解集为 ②若，解集为 2. 一元二次不等式常用结论 （1）已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式． 由的解集为，得:的解集为，即关于的不等式的解集为． （2）已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式． 由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为． （3）已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式． 由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为． （4）已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式． 由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为，以此类推． （5）已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足； （6）已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足； （7）已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足； （8）已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足． 题型1：不等式的性质 角度1：由已知条件判断不等式的对错 1．（23-24高一下·北京·期末）已知、、，则下列选项可能成立的是（    ） A．、、、 B．、、、 C．、、、 D．、、， 2．（24-25高一上·上海·课后作业）下列命题中，真命题是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（多选）（23-24高二下·山东青岛·期末）已知，则下列结论正确的是（    ） A．对任意实数， B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（23-24高一下·云南·阶段练习）已知a，b均为正数，且，则下列结论一定正确的是（    ） A． B．的最小值是16 C．的最大值是 D． 5．（多选）（23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）已知实数a，b，c，则下列结论中正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则有最大值 角度2：利用不等式表示不等关系 6．（23-24高一上·四川南充·阶段练习）火车站有某公司待运的甲种货物1530吨，乙种货物1150吨．现计划用A，B两种型号的货箱共50节运送这批货物．已知35吨甲种货物和15吨乙种货物可装满一节A型货箱，25吨甲种货物和35吨乙种货物可装满一节B型货箱，据此安排A，B两种货箱的节数，下列哪个方案不满足：（    ） A．A货箱28节，B货箱22节 B．A货箱29节，B货箱21节 C．A货箱31节，B货箱19节 D．A货箱30节，B货箱20节 7．（高三·全国·专题练习）王老师是高三的班主任，为了更好地督促班上的学生完成作业，王老师特地组建了一个学习小组的钉钉群，群的成员由学生、家长、老师共同组成．已知该钉钉群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数．则该钉钉群人数的最小值为（    ） A．18 B．20 C．22 D．28 8．（高一上·辽宁葫芦岛·期末）社会实践活动是青年学生按照学校培养目标的要求，利用节假日等课余时间参与社会政治、经济、文化生活的教育活动.通过社会实践活动，可以使学生丰富对国情的感性认识，加深对社会、对人民群众的了解，从而增强拥护和执行党的基本路线的自觉性；可以使学生在接触实际的过程中巩固和深化课堂知识，锻炼和增强解决实际问题的能力.某学校要建立社会实践活动小组，小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：①男学生人数多于女学生人数；②女学生人数多于教师人数；③教师人数的两倍多于男学生人数.若男学生人数为，则女学生人数的最小值为 ；若男学生人数未知，则该小组人数的最小值为 . 9．（23-24高一上·浙江嘉兴·阶段练习）下列关于糖水浓度的问题，能提炼出怎样的不等关系呢？ (1)如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了； (2)把原来的糖水（淡）与加糖后的糖水（浓）混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡. 10．（高二下·江西南昌·期末）某种商品原来每件售价为元，年销售万件． (1)据市场调查，若价格每提高元，销售量将相应减少件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少？ (2)为了扩大商品的影响力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高价格到元，公司拟投入万元作为技改费用，投入万元作为固定宣传费用，试问：该商品明年的销售量至少达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和并求出此时每件商品的定价． 角度3：作差法比较代数式的大小 11．（多选）（23-24高一下·山东淄博·期中）以下命题正确的是（    ） A．已知a，b，c，d均为实数，若，，则 B．已知a为正数，则 C．若a，b，c是正数，则 D．已知，则 12．（多选）（2024·全国·模拟预测）已知，且，则下列结论成立的是（   ） A． B． C．存在使得 D．若且，则 13．（24-25高一上·上海·课堂例题）设、均为正实数，试比较和的大小． 14．（24-25高一上·上海·课堂例题）比较下列各组中两式的大小： (1)已知，试比较与的大小； (2)已知，比较与的大小． 15．（高一·湖南·课后作业）比较下列各题中两个代数式值的大小： (1)与； (2)与． 角度4：作商法比较代数式的大小 16．（高一上·江苏南通·开学考试）同学们在生活中都有过陪同爸爸妈妈去加油站加油的经历，小明发现一个有趣的现象：爸爸和妈妈加油习惯有所不同.爸爸每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而妈妈则说“师傅帮我把油箱加满”这个时候小明若有所思，如果爸爸､妈妈加油两次，第一次加油汽油单价为x元/升，第二次加油汽油单价是y元/升，妈妈每次加满油箱，需加油a升，我们规定谁的平均单价低谁就合算，请问爸爸､妈妈谁更合算呢？（    ） A．爸爸 B．妈妈 C．一样 D．不确定 17．（多选）（高一上·重庆沙坪坝·期末）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若小融从家到学校往返的速度分别为和 ，其全程的平均速度为，则下列选项正确的是（ ） A． B． C． D． 18．（高一·全国·单元测试）甲、乙两车从地沿同一线路到达地，甲车一半时间的速度是，另一半时间的速度为，乙车用速度、各行走了一半路程，且，则 车先到达地． 19．（高一·江苏·课后作业）设x，y为正数，比较与的大小. 20．（20-21高一上·全国·课后作业）（1）比较与的大小； （2）已知，试比较和的大小. 角度5：由不等式的性质证明不等关系 21．，，，，设，证明：. 22．（2024高三·全国·专题练习）已知为正实数．求证：. 23．（2023高一上·安徽·竞赛）（1）已知，求证； （2）利用（1）的结论，证明：（且）. 24．（23-24高三上·安徽亳州·期中）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了. (1)请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立； (2)在锐角中，根据（1）中的结论，证明：. 25．（23-24高一上·新疆阿克苏·阶段练习）（1）对任意三个正实数，，，求证：，当且仅当时等号成立； （2）若，，证明：． 角度6：利用不等式求值和取值范围 26．已知且满足，则的取值范围是 . 27．（22-23高一上·上海·期末）已知，记的最大值为，最小值为，则 ． 28．（23-24高一上·广西梧州·阶段练习）（1）已知，求的取值范围； （2）设a，b，c均为正数，且，证明：； 29．（23-24高一上·江苏连云港·阶段练习）（1）已知，求的取值范围. （2）比较与的大小（其中），并给出证明. 30．（23-24高一上·安徽·期中）我们知道，，当且仅当时等号成立.即a，b的算术平均数的平方不大于a，b平方的算术平均数. 此结论可以推广到三元，即，当且仅当时等号成立. (1)证明：，当且仅当时等号成立. (2)已知.若不等式恒成立，利用（1）中的不等式，求实数的最小值. 题型2：基本不等式（均值不等式） 角度1：利用基本不等式的大小比较 31．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）设p：，；下列条件中，不能成为p的必要条件的是（    ） A． B． C． D． 32．（多选）（22-23高一上·山西大同·阶段练习）下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时，的最小值是2 C．当时， D．当时，的最小值为3 33．（多选）（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）设且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 34．（多选）（23-24高三上·河北保定·阶段练习）已知正数a，b满足，，则（    ） A． B． C． D． 35．（多选）（23-24高一上·江苏连云港·开学考试）已知且，则下列不等式恒成立的有（    ） A． B． C． D． 角度2：利用基本不等式证明不等关系 36．（23-24高一上·江西南昌·阶段练习）（1）设为实数，比较与的值的大小．； （2）若，求证：． 37．（23-24高一上·湖北武汉·阶段练习）已知，，且． (1)求证：； (2)求证：． 38．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）已知a，b为正实数. (1)若，求证：； (2)若，求证：. 39．（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）已知，且都是正数. (1)若，求证：； (2)求证：. 40．（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）已知，，均为正实数，且． (1)求证：； (2)求的最小值． 角度3：利用基本不等式求最值 41．（多选）（23-24高一上·广东深圳·期末）已知，且，则（    ） A．的最大值为2 B．可能为3 C．的最大值为2 D．的最小值为6 42．（多选）（23-24高一下·重庆万州·开学考试）已知正数，满足，则下列选项正确的是（    ） A．的最小值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最大值是 43．（多选）（22-23高一上·湖南·期中）已知a，b为正实数，且，则（    ） A．ab的最大值为4 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为2 44．（23-24高一上·福建三明·阶段练习）（1）已知且，求的最小值． （2）已知，，且．证明：． 45．（23-24高一上·江苏苏州·期中）已知，，都是正数. (1)若，证明：； (2)若，求的最小值. 角度4：基本不等式的应用 46．（23-24高一上·湖北·期末）两次购买同一种物品，不考虑物品价格的升降（假设第一次价格为，第二次价格为）可以用两种不同的策略，第一种是每次购买这种物品数量一定;第二种是每次购买这种物品所花的钱数一定，哪种购物方式比较经济（    ） A．第一种 B．第二种 C．都一样 D．不确定 47．（2024高一·全国·专题练习）通过技术创新，某公司的汽车特种玻璃已进入欧洲市场. 2021年，该种玻璃售价为25欧元/平方米，销售量为80万平方米，销售收入为2000万欧元. (1)据市场调查，若售价每提高1欧元/平方米，则销售量将减少2万平方米；要使销售收入不低于2000万欧元，试问：该种玻璃的售价最多提高到多少欧元/平方米？ (2)为提高年销售量，增加市场份额，公司将在2022年对该种玻璃实施二次技术创新和营销策略改革：提高价格到欧元/平方米（其中），其中投入万欧元作为技术创新费用，投入500万欧元作为固定宣传费用，投入万欧元作为浮动宣传费用，试问：该种玻璃的销售量（单位/万平方米）至少达到多少时，才可能使2022年的销售收入不低于2021年销售收入与2022年投入之和？并求出此时的售价. 48．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）某厂家拟在2023年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足（其中为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2023年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）． (1)求常数的值，并将2023年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数； (2)该厂家的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润为多少万元？ 49．（23-24高一上·江苏盐城·期中）天气转冷，某暖手宝厂商为扩大销量，拟进行促销活动.根据前期调研，获得该产品的销售量万件与投入的促销费用万元满足关系式（为常数），而如果不搞促销活动，该产品的销售量为4万件.已知该产品每一万件需要投入成本18万元，厂家将每件产品的销售价格定为元，设该产品的利润为万元.（注：利润=销售收入-投入成本-促销费用） (1)求出的值，并将表示为的函数； (2)促销费用为多少万元时，该产品的利润最大？此时最大利润为多少？ 50．（23-24高一上·河北石家庄·期末）据国家气象局消息，今年各地均出现了极端高温天气．漫漫暑期，某制冷杯成了畅销商品．某企业生产制冷杯每月的成本（单位：万元）由两部分构成：①固定成才（与生产产品的数量无关）：万元；②生产所需材料成本：万元，（单位：万套）为每月生产产品的套数． (1)该企业每月产量为何值时，平均每万套的成本最低?一万套的最低成本为多少? (2)若每月生产万套产品，每万套售价为：万元，假设每套产品都能够售出，则该企业应如何制定计划，才能确保该制冷杯每月的利润不低于万元? 题型3：一元二次不等式 角度1：一元二次不等式的解法 51．（2023高一上·安徽芜湖·专题练习）已知二次函数的图象如图，有下列5个结论：①；②;③当时，y随x的增大而增大；④；⑤（其中）其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 52．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）若不等式的解集为，则 . 53．（23-24高一上·浙江嘉兴·阶段练习）（1）已知，且，求的最小值. （2）已知关于的不等式的解集是或，求不等式的解集. 54．（23-24高一上·浙江杭州·期中）设集合 (1)全集，求; (2)若，求实数a的取值范围． 55．（2024高三·全国·专题练习）已知关于的不等式的解集为或. (1)求，的值； (2)当，且满足时，有恒成立，求的取值范围. 角度2：一元二次不等式的恒成立问题 56．（23-24高一上·天津·期中）已知关于x的不等式对一切实数都成立，则满足条件的实数的取值范围为 . 57．（22-23高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知二次函数. (1)若时，不等式恒成立，求实数a的取值范围； (2)解关于x的不等式（其中）. 58．（高一上·江苏南京·专题练习）对于不等式与没有共同解，求的取值范围． 59．（23-24高一上·广东深圳·期末）（1）若对一切恒成立，求实数的取值范围； （2）求关于的不等式的解集. 60．（23-24高一上·江苏镇江·期中）设 (1)若不等式的解集是，求的值； (2)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围. 角度3：一元二次不等式的应用 61．（23-24高一上·浙江湖州·阶段练习）若不计空气阻力，竖直上抛的物体距离抛出点的高度与时间满足关系式：，其中取.已知一名同学以初速度竖直上抛一排球，排球能够在抛出点以上的位置停留 秒时间. 62．（23-24高一上·江苏镇江·期末）去年某商户销售某品牌服装9000套，每套服装利润为50元.为提高销售利润，今年计划投入适当的广告费进行产品促销.经市场调研发现，若广告费用为（万元），则该品牌服装的年销售量将增长.请你预算该品牌服装的净利润（净利润为销售利润减去广告费用） (1)若使得今年净利润比去年至少增长，请你预算广告费用的范围? (2)当广告费用多少万元时，品牌服装的净利润最大? 63．（23-24高一上·陕西西安·期末）某公司决定对旗下的某商品进行一次评估，该商品原来每件售价为25元，年销售8万件. (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ (2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量.公司决定立即对该商品进行全面技术革新和销售策略调整，并提高定价到元.公司拟投入万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量至少达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价. 64．（23-24高一上·上海·期中）近几年来，“盲盒文化”广为流行，这种文化已经在中国落地生根，并发展处具有中国特色的盲盒经济，某盲盒生产及销售公司今年初用98万购进一批盲盒生产线，每年可有50万的总收入，已知生产此盲盒年（为正整数）所用的各种费用总计为万元． (1)该公司第几年首次盈利（总收入超过总支出，今年为第一年）？ (2)该公司几年后年平均利润最大，最大是多少？ 65．（23-24高一上·广东江门·期中）为摆脱美国政府针对中国高科技企业的封锁，加强自主性，某企业计划加大对芯片研发部的投入，据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入a万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员x名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元． (1)要使这名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人？ (2)是否存在这样的实数m，使得技术人员在已知范围内调整后，同时满足以下两个条件：①技术人员的年均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入． 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 一元二次函数、方程和不等式 章节复习 知识点1：不等式与不等关系 5 知识点2：基本不等式 5 知识点3：一元二次不等式及其应用 7 题型1：不等式的性质 8 角度1：由已知条件判断不等式的对错 8 角度2：利用不等式表示不等关系 10 角度3：作差法比较代数式的大小 14 角度4：作商法比较代数式的大小 17 角度5：由不等式的性质证明不等关系 19 角度6：利用不等式求值和取值范围 23 题型2：基本不等式（均值不等式） 25 角度1：利用基本不等式的大小比较 25 角度2：利用基本不等式证明不等关系 27 角度3：利用基本不等式求最值 31 角度4：基本不等式的应用 35 题型3：一元二次不等式 39 角度1：一元二次不等式的解法 39 角度2：一元二次不等式的恒成立问题 42 角度3：一元二次不等式的应用 46 知识点1：不等式与不等关系 1.比较大小基本方法 关系 方法 做差法与0比较 做商法与1比较 或 或 2.不等式的性质 性质 性质内容 对称性 传递性 可加性 可乘性 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 3. 不等式的大小比较方法 （1）作差法比较大小的步骤 ①作差；②变形；③判断差式与0的大小；④下结论. （2）作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤 ①作商；②变形；③判断商式与1的大小；④下结论. 注：其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小.作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法. 知识点2：基本不等式 1. 基本不等式 如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号； 基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号. 注：（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.（2）连续使用不等式要注意等号取得一致. （1）几个重要的不等式 ① ②基本不等式：如果，则(当且仅当“”时取“”). 特例：（同号）. （2）其他变形： ①(沟通两和与两平方和的不等关系式) ②(沟通两积与两平方和的不等关系式) ③(沟通两积与两和的不等关系式) ④重要不等式串：即 调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件). 2. 均值定理 已知. （1）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”. （2）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即积为定值，和有最小值”. 3. 常见求最值模型 模型一：，当且仅当时等号成立； 模型二：，当且仅当时等号成立； 模型三：，当且仅当时等号成立； 模型四：，当且仅当时等号成立. 知识点3：一元二次不等式及其应用 1. 一元二次不等式 一元二次不等式，其中，是方程的两个根，且 （1）当时，二次函数图象开口向上. （2）①若，解集为. ②若，解集为. ③若，解集为. (2) 当时，二次函数图象开口向下. ①若，解集为 ②若，解集为 2. 一元二次不等式常用结论 （1）已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式． 由的解集为，得:的解集为，即关于的不等式的解集为． （2）已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式． 由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为． （3）已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式． 由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为． （4）已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式． 由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为，以此类推． （5）已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足； （6）已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足； （7）已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足； （8）已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足． 题型1：不等式的性质 角度1：由已知条件判断不等式的对错 1．（23-24高一下·北京·期末）已知、、，则下列选项可能成立的是（    ） A．、、、 B．、、、 C．、、、 D．、、， 【答案】C 【分析】先判断出，排除BD，再根据和判断即可. 【详解】因为、，故，排除BD； 因为，所以，， 又，所以， 故A错误，C正确. 故选：C 2．（24-25高一上·上海·课后作业）下列命题中，真命题是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据特殊值法，集合间关系，元素和集合的关系及不等式的性质判断各个选项即可. 【详解】对于A:当不为0，A选项错误； 对于B:当，则,B选项错误； 对于C:当,则,C选项错误； 对于D:当,则,D选项正确. 故选：D. 3．（多选）（23-24高二下·山东青岛·期末）已知，则下列结论正确的是（    ） A．对任意实数， B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】取特例判断A，根据不等式的性质判断BC，利用作差法判断D. 【详解】对A，当时，不成立，故A错误； 对B，由可得，又，所以可得， 故B正确； 对C，因为，，可得，所以，故C正确； 对D，，又因为，， 所以的符号不确定，故符号不确定，故D错误. 故选：BC 4．（23-24高一下·云南·阶段练习）已知a，b均为正数，且，则下列结论一定正确的是（    ） A． B．的最小值是16 C．的最大值是 D． 【答案】BCD 【分析】通过取特值代入检验排除A项，利用常值代换法可得B项，直接利用基本不等式可得C项，利用基本不等式的变形公式即得D项. 【详解】对于A，取满足题意，但显然不成立，故A错误； 对于B，由，因a，b均为正数， 则， 当且仅当时，即，，等号成立，故B正确； 对于C，由基本不等式可知，即， 当且仅当，时，等号成立，故C正确； 对于D，由基本不等式可知，则， 当且仅当，时，等号成立，故D正确. 故选：BCD. 5．（多选）（23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）已知实数a，b，c，则下列结论中正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则有最大值 【答案】ACD 【分析】举反例判断B，根据基本不等式判断ACD. 【详解】对于A，，当且仅当时等式成立，A正确； 对于B，当时，，满足，但是，B错误； 对于C，因为，所以， 所以，所以，C正确； 对于D，因为，所以有，当且仅当时等号成立， 所以， 当且仅当时等号成立，即有最大值，D正确． 故选：ACD． 角度2：利用不等式表示不等关系 6．（23-24高一上·四川南充·阶段练习）火车站有某公司待运的甲种货物1530吨，乙种货物1150吨．现计划用A，B两种型号的货箱共50节运送这批货物．已知35吨甲种货物和15吨乙种货物可装满一节A型货箱，25吨甲种货物和35吨乙种货物可装满一节B型货箱，据此安排A，B两种货箱的节数，下列哪个方案不满足：（    ） A．A货箱28节，B货箱22节 B．A货箱29节，B货箱21节 C．A货箱31节，B货箱19节 D．A货箱30节，B货箱20节 【答案】C 【分析】设A、B货箱分别有x，y节，则，结合已知判断各选项是否能够装运所有货物即可． 【详解】设A、B货箱分别有x，y节，则， A：共50节且，，满足； B：共50节且，，满足； C：共50节且，，不满足； D：共50节且，，满足； 故选：C. 7．（高三·全国·专题练习）王老师是高三的班主任，为了更好地督促班上的学生完成作业，王老师特地组建了一个学习小组的钉钉群，群的成员由学生、家长、老师共同组成．已知该钉钉群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数．则该钉钉群人数的最小值为（    ） A．18 B．20 C．22 D．28 【答案】C 【分析】设教师、家长、女生、男生人数分别为，根据给定的信息，建立不等关系，即可求解作答. 【详解】依题意，设教师、家长、女生、男生人数分别为，且， 于是，则， 又，解得，因此，此时， 所以当时，，即该钉钉群人数的最小值为22. 故选：C 8．（高一上·辽宁葫芦岛·期末）社会实践活动是青年学生按照学校培养目标的要求，利用节假日等课余时间参与社会政治、经济、文化生活的教育活动.通过社会实践活动，可以使学生丰富对国情的感性认识，加深对社会、对人民群众的了解，从而增强拥护和执行党的基本路线的自觉性；可以使学生在接触实际的过程中巩固和深化课堂知识，锻炼和增强解决实际问题的能力.某学校要建立社会实践活动小组，小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：①男学生人数多于女学生人数；②女学生人数多于教师人数；③教师人数的两倍多于男学生人数.若男学生人数为，则女学生人数的最小值为 ；若男学生人数未知，则该小组人数的最小值为 . 【答案】 【分析】设男学生、女学生、教师的人数分别为、、，可得出，当时，讨论的取值，结合不等式的性质可求得的最小值；当的值未知时，讨论的取值，结合不等关系可求得的最小值. 【详解】设男学生、女学生、教师的人数分别为、、，则. 若，则，可得，则，当时，取最小值， 即男学生人数为，则女学生人数的最小值为； 若的值未知，当时，则，不满足题意， 当时，则，不合乎题意， 当时，则，此时，，则，合乎题意. 故当男学生人数未知，则该小组人数的最小值为. 故答案为：；. 9．（23-24高一上·浙江嘉兴·阶段练习）下列关于糖水浓度的问题，能提炼出怎样的不等关系呢？ (1)如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了； (2)把原来的糖水（淡）与加糖后的糖水（浓）混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡. 【答案】(1)(其中a，b，m为正实数，且)（答案形式不唯一） (2) (其中)（答案形式不唯一） 【分析】将问题转化为证明不等式成立，然后利用差比较法证得不等式成立. 【详解】（1）设糖水b克，含糖a克，糖水浓度为，加入m克糖， 即证明不等式 (其中a，b，m为正实数，且b＞a)成立． 不妨用作差比较法，证明如下： ＝. ∵a，b，m为正实数，且，， ∴，即. （2）设原糖水b克，含糖a克，糖水浓度为；另一份糖水d克，含糖c克， 糖水浓度为，且，求证： (其中). 证明：，且，， ，即， ， 即， ， 即. 10．（高二下·江西南昌·期末）某种商品原来每件售价为元，年销售万件． (1)据市场调查，若价格每提高元，销售量将相应减少件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少？ (2)为了扩大商品的影响力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高价格到元，公司拟投入万元作为技改费用，投入万元作为固定宣传费用，试问：该商品明年的销售量至少达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和并求出此时每件商品的定价． 【答案】(1)元 (2)改革后销售量至少达到万件，才满足条件，此时定价为元件 【分析】（1）设每件定价为元，则，解之即得所求； （2）依题意可列（），分离参数可得有解，应用均值不等式求不含参数这一边的最值即得所求 【详解】（1）设每件定价为元， 则， 整理得， 要满足条件，每件定价最多为元； （2）由题得当时：有解， 即：有解． 又， 当且仅当时取等号， 即改革后销售量至少达到万件，才满足条件，此时定价为元件 角度3：作差法比较代数式的大小 11．（多选）（23-24高一下·山东淄博·期中）以下命题正确的是（    ） A．已知a，b，c，d均为实数，若，，则 B．已知a为正数，则 C．若a，b，c是正数，则 D．已知，则 【答案】ABD 【分析】根据题意，利用作差法和符号法则可判断A；利用分子有理化和不等式的加法性质比较大小，判断B；利用基本不等式判断C；利用作差法和符号法则可判断D. 【详解】若，则，即， 又因为，所以，故A正确； 因为， ， 而，， 可得，所以， 所以，故B正确， 因为a，b，c是互不相等的正数，由基本不等式可得， ，，所以， 所以C错误； 因为， 因为，所以，所以上式大于0，故D正确. 故选：ABD 12．（多选）（2024·全国·模拟预测）已知，且，则下列结论成立的是（   ） A． B． C．存在使得 D．若且，则 【答案】ABD 【分析】由不等式的性质即可判断A，可以得出且，结合基本不等式即可判断B，由不等式性质得，由此即可判断C，由基本不等式得，进一步注意到，由此即可判断D. 【详解】对于A，由及，得，所以，A正确． 对于B，由及，得，所以．同理可得． 又，所以，所以，B正确． 对于C，由及，得，所以，得， 所以，得，C错误． 对于D，由，得．由，得． 因为，所以，所以，D正确． 故选：ABD． 13．（24-25高一上·上海·课堂例题）设、均为正实数，试比较和的大小． 【答案】答案见解析 【分析】利用作差法，再充分变形化简，结合条件，分类讨论，即可求出结果. 【详解】∵ 又，，∴． ①当时，，即； ②当时，，即； ③当时，，即． 14．（24-25高一上·上海·课堂例题）比较下列各组中两式的大小： (1)已知，试比较与的大小； (2)已知，比较与的大小． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）（2）利用作差法比较大小即得. 【详解】（1）依题意，，由，得， 则，且，即， 所以． （2）依题意， ， 由，得，而，因此， 所以． 15．（高一·湖南·课后作业）比较下列各题中两个代数式值的大小： (1)与； (2)与． 【答案】(1) (2) 【分析】利用作差法得出大小关系. 【详解】（1） 因为，所以，当且仅当时，取等号. 即 （2） 因为，所以，当且仅当时，取等号. 故. 角度4：作商法比较代数式的大小 16．（高一上·江苏南通·开学考试）同学们在生活中都有过陪同爸爸妈妈去加油站加油的经历，小明发现一个有趣的现象：爸爸和妈妈加油习惯有所不同.爸爸每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而妈妈则说“师傅帮我把油箱加满”这个时候小明若有所思，如果爸爸､妈妈加油两次，第一次加油汽油单价为x元/升，第二次加油汽油单价是y元/升，妈妈每次加满油箱，需加油a升，我们规定谁的平均单价低谁就合算，请问爸爸､妈妈谁更合算呢？（    ） A．爸爸 B．妈妈 C．一样 D．不确定 【答案】A 【分析】由题意，先计算爸爸和妈妈两次加油的平均单价，再作差法比较大小，即得解 【详解】由题意，妈妈两次加油共需付款元，爸爸两次能加升油 设爸爸两次加油的平均单价为元/升，妈妈两次加油的平均单价为元/升 则，且 所以爸爸的加油方式更合算 故选：A 17．（多选）（高一上·重庆沙坪坝·期末）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若小融从家到学校往返的速度分别为和 ，其全程的平均速度为，则下列选项正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】设两地的距离为，计算出全程的平均速度，然后利用基本不等式得出与和的大小关系，再利用作差法比较与的大小关系，从而得出正确选项. 【详解】设甲、乙两地之间的距离为，则全程所需的时间为， ， ，由基本不等式可得， ， 又， 所以， ， 所以. 故选：AD. 18．（高一·全国·单元测试）甲、乙两车从地沿同一线路到达地，甲车一半时间的速度是，另一半时间的速度为，乙车用速度、各行走了一半路程，且，则 车先到达地． 【答案】甲 【分析】分别求出甲、乙车到达指定地点的时间为、，作商后利用基本不等式即可比较出、的大小. 【详解】解：设两地的路程为1，那么甲车到达指定地点的时间为，则，； 乙车到达指定地点的时间为，则，； ，（当且仅当时不等式取“”； ，由知； 故答案为：甲． 19．（高一·江苏·课后作业）设x，y为正数，比较与的大小. 【答案】 【分析】利用作商比较法，结合基本不等式和不等式的性质，即可求解. 【详解】因为为整数，则且， 由，当且仅当时，等号成立， 所以，所以. 20．（20-21高一上·全国·课后作业）（1）比较与的大小； （2）已知，试比较和的大小. 【答案】（1）答案见解析；（2）. 【分析】（1）利用作差法得出，然后对与的大小进行分类讨论，进而可得出与的大小关系； （2）将、进行分子有理化，结合作商法可得出、的大小关系. 【详解】（1）， 当时，则，则； 当时，则，则； 当时，则，则； （2），则，， ， ， ，所以，， 因此，. 【点睛】本题考查利用作差法和作商法比较大小，属于基础题. 角度5：由不等式的性质证明不等关系 21．，，，，设，证明：. 【答案】证明见解析 【分析】直接将每个分式缩小，即可证明；通过可得，且类似可以得到其它三个不等式，然后相加即可证明. 【详解】因为，故，，，. 故有 ； 由于 ， 故，同理还有 ， 所以. 这就证明了. 22．（2024高三·全国·专题练习）已知为正实数．求证：. 【答案】证明见解析 【分析】根据题意，化简得到，结合不等式的性质，即可得证. 【详解】证明：因为， 又因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以. 23．（2023高一上·安徽·竞赛）（1）已知，求证； （2）利用（1）的结论，证明：（且）. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）作差法比较出大小； （2）在（1）的基础上，得到，利用放缩法证明出，得到答案. 【详解】（1）证明：因为，所以， 于是. （2）即证（且）， 由（1）式可知，， 故 （且）， （且）， 即（且），原式得证. 24．（23-24高三上·安徽亳州·期中）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了. (1)请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立； (2)在锐角中，根据（1）中的结论，证明：. 【答案】(1)若，则；证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）用作差比较法即可； （2）结合（1）的结论即可证明. 【详解】（1）若，则. 证明：. 因为，所以，又，故， 因此. （2）在锐角三角形中，由（1）得， 同理， . 以上式子相加得. 25．（23-24高一上·新疆阿克苏·阶段练习）（1）对任意三个正实数，，，求证：，当且仅当时等号成立； （2）若，，证明：． 【答案】证明见解析 ． 【分析】（1）运用基本不等式进行证明即可； （2）根据不等式的性质比较即可. 【详解】（1）因为， 所以由基本不等式，得，，，当且仅当，，时成立， 把上述三个式子的两边分别相加， 得， 即，当且仅当时等号成立． （2）证明：，，又，， ，则有：， 又， ． 角度6：利用不等式求值和取值范围 26．已知且满足，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用待定系数法得到，再结合同向不等式的可加性求解即可. 【详解】设，可得， 解得，， 因为可得， 所以. 故答案为：. 27．（22-23高一上·上海·期末）已知，记的最大值为，最小值为，则 ． 【答案】 【分析】借助基本不等式可得其最小值，借助不等式的性质可得其最大值，即可得解. 【详解】由，故， 当且仅当时，等号成立，即， 由，故，则， 故. 故答案为：. 28．（23-24高一上·广西梧州·阶段练习）（1）已知，求的取值范围； （2）设a，b，c均为正数，且，证明：； 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用不等式性质求解即可； （2）利用基本不等式及不等式性质证明即可. 【详解】（1）因为，所以，又， 所以，即的取值范围为； （2）设a，b，c均为正数，且， 所以， 又，，， 三式相加得，当且仅当时，等号成立， 所以， 两边同时加上得， 所以，当且仅当时，等号成立. 29．（23-24高一上·江苏连云港·阶段练习）（1）已知，求的取值范围. （2）比较与的大小（其中），并给出证明. 【答案】（1）；（2）证明详见解析 【分析】（1）根据不等式的性质求得正确答案. （2）通过差比较法证得两者的大小关系. 【详解】（1）依题意，则， 所以，所以的取值范围是. （2），， ，， 即. 30．（23-24高一上·安徽·期中）我们知道，，当且仅当时等号成立.即a，b的算术平均数的平方不大于a，b平方的算术平均数. 此结论可以推广到三元，即，当且仅当时等号成立. (1)证明：，当且仅当时等号成立. (2)已知.若不等式恒成立，利用（1）中的不等式，求实数的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）运用作差法比较并配方后即得； （2）将题中的相关量整体替换入（1）中的不等式并化简， 再运用参变分离法即可求得. 【详解】（1） 故，当且仅当时等号成立. （2）当时，由（1）中的不等式得，， 所以，即， 当且仅当时等号成立.因此的最大值为. 由恒成立可得：，因的最大值为， 故有：即实数的最小值为. 题型2：基本不等式（均值不等式） 角度1：利用基本不等式的大小比较 31．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）设p：，；下列条件中，不能成为p的必要条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据必要性定义，利用基本不等式、不等式性质判断各项正误. 【详解】A：由，，则，当且仅当时等号成立，能成为p的必要条件； B：当，时不成立，故不能成为p的必要条件。 C：且，能成为p的必要条件； D：由，，，相加得，能成为p的必要条件； 故选：B 32．（多选）（22-23高一上·山西大同·阶段练习）下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时，的最小值是2 C．当时， D．当时，的最小值为3 【答案】AC 【分析】根据基本不等式及其等号成立的条件逐项判断后可判断ABC的正误，结合反例可判断D的正误. 【详解】对于A，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，故A正确. 对于B，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 而，故等号不成立，故的最小值不是2，故B错误. 对于C，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，故C正确. 对于D，取，则，故的最小值不为3，故D错误. 故选：AC. 33．（多选）（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）设且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】利用配方法判断A，作差法判断B，举反例判断CD. 【详解】选项A，，故A正确； 选项B，由， 得，当且仅当时，等号成立，故B正确； 选项C，当，且时，，不满足，故C错误； 选项D，当时，，故D错误. 故选：AB. 34．（多选）（23-24高三上·河北保定·阶段练习）已知正数a，b满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，求出的范围并结合均值不等式判断AB；举例说明判断C；利用不等式性质推理判断D作答. 【详解】由，，得，即，而，则，A正确； 显然，当且仅当时取等号，则，B正确； 取，，则满足，，此时，C错误； 由，得，即，于是，同理，则，D正确． 故选：ABD 35．（多选）（23-24高一上·江苏连云港·开学考试）已知且，则下列不等式恒成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】利用基本不等式，对各个选项逐一分析判断即可得出结果. 【详解】对于选项A，因为，，所以，当且仅当时取等号，所以选项A正确； 对于选项B，因为，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号，所以选项B正确； 对于选项C，当时，满足，此时，所以选项C错误； 对于选项D，因为， 当且仅当，即时取等号，所以选项D错误. 故选：AB. 角度2：利用基本不等式证明不等关系 36．（23-24高一上·江西南昌·阶段练习）（1）设为实数，比较与的值的大小．； （2）若，求证：． 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】（1）作差比较即可； （2）式子左边通分变形再利用重要不等式可证. 【详解】（1）因为， ， 故． （2）证明：因为，所以， 又， 因为， 所以有， 当时，等号成立， 此时，证毕． 37．（23-24高一上·湖北武汉·阶段练习）已知，，且． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用基本不等式“1”的妙用即可得证． （2）将代入“”中，从而利用基本不等式即可得证． 【详解】（1）由，所以． 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以，由此得证． （2）因为， 当且仅当，即时取等号， 所以，由此得证． 38．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）已知a，b为正实数. (1)若，求证：； (2)若，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据基本不等式证明即可. （2）对不等式左边变形，然后根据基本不等式证明即可. 【详解】（1）因为a，b是正实数，则， 当且仅当时，等号成立， 故. （2） ， 当且仅当时，即，时，取等号. 39．（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）已知，且都是正数. (1)若，求证：； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用作差法证明； （2）由，利用基本不等式证明. 命题得证. 【详解】（1）解：， ， 因为，所以， 所以， 所以； （2）因为，且都是正数， 所以， ， 命题得证. 40．（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）已知，，均为正实数，且． (1)求证：； (2)求的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)9 【分析】（1）根据结合基本不等式即可得证； （2）根据结合基本不等式即可得解. 【详解】（1）原式 . 当且仅当是取等号， 所以； （2）原式 . 当且仅当是取等号， 所以的最小值为． 角度3：利用基本不等式求最值 41．（多选）（23-24高一上·广东深圳·期末）已知，且，则（    ） A．的最大值为2 B．可能为3 C．的最大值为2 D．的最小值为6 【答案】BCD 【分析】根据基本不等式的性质，结合指数函数的性质逐项判断即可得结论. 【详解】对于A，因为，且，所以，当且仅当时等号成立，故A不正确； 对于B，因为，且，所以， 当且仅当，即时，等号成立，故，又，故B正确； 对于C，因为，且，所以，当且仅当时等号成立， 则，故C正确； 对于D，因为，且，所以，当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：BCD. 42．（多选）（23-24高一下·重庆万州·开学考试）已知正数，满足，则下列选项正确的是（    ） A．的最小值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最大值是 【答案】ABD 【分析】利用基本不等式和二次函数的图象与性质，逐一分析选项，即可得出答案． 【详解】对于A：，，， 则，当且仅当，即时，等号成立，故A正确； 对于B：，，，，当且仅当时等号成立， ，即，故的最大值为，故B正确； 对于C：，，，即，， ， 当时，的最小值为，故C错误； 对于D：，，，即 ，， ， 当时，的最大值为，故D正确． 故选：ABD． 43．（多选）（22-23高一上·湖南·期中）已知a，b为正实数，且，则（    ） A．ab的最大值为4 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为2 【答案】BD 【分析】根据基本不等式及“1”代换即可判断各选项. 【详解】对于A，， 因为（当且仅当时取“=”）， 所以ab的最小值为4，A错误； 对于B，由，得（当且仅当时取“=”），B正确； 对于C，（当且仅当时，取“=”），C错误； 对于D，（当且仅当时，取“=”），D正确． 故选：BD． 44．（23-24高一上·福建三明·阶段练习）（1）已知且，求的最小值． （2）已知，，且．证明：． 【答案】（1）；（2）证明见解析． 【分析】（1）使用“1”的代换求的最小值． （2）由及得证. 【详解】（1）因为，且， 则 当且仅当时，即时，即时，等号成立， 所以的最小值为． （2）证明：因为，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立， 所以．当且仅当时，等号成立 则，即，当且仅当时，等号成立． 45．（23-24高一上·江苏苏州·期中）已知，，都是正数. (1)若，证明：； (2)若，求的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）方法一：利用作差法证明即可；方法二：利用乘“1”法及基本不等式证明即可； （2）方法一：利用基本不等式求出，则，利用结合二次函数的性质计算可得；方法二：由，利用基本不等式求出的最小值，再由对勾函数的性质求出的最小值，即可得解. 【详解】（1）方法一:，且，，都是正数， ，当且仅当时取等号， 故. 方法二：，且，，都是正数， 所以 ，当且仅当时取等号， 故. （2）方法一:、都是正数， 当且仅当时取等号， 又，，所以，当且仅当时取等号， ， ，即， ，. 令，其中， 因为在上单调递减， 所以，所以的最小值为. 方法二:因为 都是正数， ，当且仅当，即时取等号， 又， ，当且仅当时取等号， 令，下面即要讨论函数，的最小值； 首先，讨论函数在上的单调性， 对， 有. 函数在上单调递减. 当，即时，取得最小值. ，当且仅当时取等号. 角度4：基本不等式的应用 46．（23-24高一上·湖北·期末）两次购买同一种物品，不考虑物品价格的升降（假设第一次价格为，第二次价格为）可以用两种不同的策略，第一种是每次购买这种物品数量一定;第二种是每次购买这种物品所花的钱数一定，哪种购物方式比较经济（    ） A．第一种 B．第二种 C．都一样 D．不确定 【答案】B 【分析】根据基本不等式求得正确答案. 【详解】依题意，为正数，且， 第一种方式购买的平均价格为， 第二种方式，设每次购买的花费为， 则购买的平均价格为， 由基本不等式得， 所以选第二种方式比较经济. 故选：B 47．（2024高一·全国·专题练习）通过技术创新，某公司的汽车特种玻璃已进入欧洲市场. 2021年，该种玻璃售价为25欧元/平方米，销售量为80万平方米，销售收入为2000万欧元. (1)据市场调查，若售价每提高1欧元/平方米，则销售量将减少2万平方米；要使销售收入不低于2000万欧元，试问：该种玻璃的售价最多提高到多少欧元/平方米？ (2)为提高年销售量，增加市场份额，公司将在2022年对该种玻璃实施二次技术创新和营销策略改革：提高价格到欧元/平方米（其中），其中投入万欧元作为技术创新费用，投入500万欧元作为固定宣传费用，投入万欧元作为浮动宣传费用，试问：该种玻璃的销售量（单位/万平方米）至少达到多少时，才可能使2022年的销售收入不低于2021年销售收入与2022年投入之和？并求出此时的售价. 【答案】(1)40 (2)102万平方米，售价为30欧元. 【分析】（1）设该种玻璃的售价提高到x欧元/平方米，列不等式计算即可得； （2）结合题意，列出不等式，借助基本不等式计算即可得. 【详解】（1）设该种玻璃的售价提高到欧元/平方米， 则有， 解得：， 所以该种玻璃的售价最多提高到40欧元/平方米. （2）， 整理得：， 除以得：， 由基本不等式得：， 当且仅当，即时，等号成立， 所以该种玻璃的销售量至少达到102万平方米时， 才可能使2022年的销售收入不低于2021年销售收入与2022年投入之和， 此时的售价为30欧元/平方米. 48．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）某厂家拟在2023年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足（其中为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2023年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）． (1)求常数的值，并将2023年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数； (2)该厂家的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润为多少万元？ 【答案】(1)，； (2)投入3万元，最大利润为21万元. 【分析】（1）当时，求得，由题意中变量之间的关系列出函数即可. （2）由（1）可得，结合基本不等式计算即可求解. 【详解】（1）依题意，当时，，则，解得，即， 又每件产品的销售价格为元， 因此， 所以，. （2）由（1）知，， 由，得，当且仅当，即时取等号， 因此当时，， 所以该厂家2023年的促销费用投入为3万元时获得利润最大，且最大值为21万元. 49．（23-24高一上·江苏盐城·期中）天气转冷，某暖手宝厂商为扩大销量，拟进行促销活动.根据前期调研，获得该产品的销售量万件与投入的促销费用万元满足关系式（为常数），而如果不搞促销活动，该产品的销售量为4万件.已知该产品每一万件需要投入成本18万元，厂家将每件产品的销售价格定为元，设该产品的利润为万元.（注：利润=销售收入-投入成本-促销费用） (1)求出的值，并将表示为的函数； (2)促销费用为多少万元时，该产品的利润最大？此时最大利润为多少？ 【答案】(1)4； (2)7万元，125万元 【分析】（1）根据时，，即可求得k的值；根据利润=销售收入-投入成本-促销费用即可求得表示为的函数关系式； （2）结合（1）的结果，化简变形，利用基本不等式，即可求得答案. 【详解】（1）由题意知时，，故， 则， 故， 即； （2）， 当且仅当，即时等号成立， 故促销费用为7万元时，该产品的利润最大，此时最大利润为125万元. 50．（23-24高一上·河北石家庄·期末）据国家气象局消息，今年各地均出现了极端高温天气．漫漫暑期，某制冷杯成了畅销商品．某企业生产制冷杯每月的成本（单位：万元）由两部分构成：①固定成才（与生产产品的数量无关）：万元；②生产所需材料成本：万元，（单位：万套）为每月生产产品的套数． (1)该企业每月产量为何值时，平均每万套的成本最低?一万套的最低成本为多少? (2)若每月生产万套产品，每万套售价为：万元，假设每套产品都能够售出，则该企业应如何制定计划，才能确保该制冷杯每月的利润不低于万元? 【答案】(1)每月产量万套时，平均每万套的成本最低，一万套的最低成本为万元 (2)该企业每月生产不小于万套，才能确保该制冷杯每月的利润不低于万元 【分析】（1）根据题意，可知平均每套所需的成本费用为，再利用基本不等式即可求出结果； （2）由题意可知月利润，解一元二次不等式即可求出结果. 【详解】（1）设平均每套的成本为元， 由题有， 当且仅当，即时，取等号， 所以企业每月产量万套时，平均每万套的成本最低，一万套的最低成本为万元. （2）设月利润为万元， 则有， 由题知，整理得到，解得， 所以，该企业每月生产不小于万套，才能确保该制冷杯每月的利润不低于万元. 题型3：一元二次不等式 角度1：一元二次不等式的解法 51．（2023高一上·安徽芜湖·专题练习）已知二次函数的图象如图，有下列5个结论：①；②;③当时，y随x的增大而增大；④；⑤（其中）其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用二次函数图象和根与系数的关系，结合赋值思想来研究各选项. 【详解】解：①由图象可知：抛物线对称轴位于y轴右侧，则，所以, 抛物线与y轴交于正半轴，则，所以，故①错误； ②当时，，即，故②错误； ③由图可知，时，y随x的增大而增大，故③正确； ④当时函数值小于0，，且， 即，代入得，得，故④正确； ⑤当时，y的值最大．此时，，而当时，， 所以，故，即，故⑤正确． 综上所述，③④⑤正确． 故选:C． 52．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）若不等式的解集为，则 . 【答案】 【分析】由题可得对称轴在之间，最小值大于，且的两个根为，列出相应不等式，找到关于的范围，再根据韦达定理解出的值，计算即可. 【详解】因为不等式的解集为， 而开口向上，所以有， 且最小值大于，即，解得， 且的两个根为， 所以，解得或， 当时，不符合，故舍去， 所以，所以. 故答案为：. 53．（23-24高一上·浙江嘉兴·阶段练习）（1）已知，且，求的最小值. （2）已知关于的不等式的解集是或，求不等式的解集. 【答案】（1）16；（2） 【分析】（1）根据基本不等式中“1”的应用可得当时，的最小值为； （2）由一元二次不等式和一元二次方程之间的关系，利用韦达定理可得，且，即可解得不等式的解集为. 【详解】（1）因为，所以. 因为，所以. 当且仅当，即时，即时，等号成立； 此时. （2）依题意知和为的两根且； 由根与系数的关系有，可得； 从而可化为， 又，所以可得，即， 可得不等式的解集为. 54．（23-24高一上·浙江杭州·期中）设集合 (1)全集，求; (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求集合A，根据补集和交集的定义可求； （2）由题可得，讨论和，结合空集的定义以及包含关系运算求解. 【详解】（1）由题意可得：，则或， 又， 所以． （2）由（1）可知：， 因为，可知，则有： 当时，可得，解得； 当时，可得，解得； 综上所述：实数a的取值范围为. 55．（2024高三·全国·专题练习）已知关于的不等式的解集为或. (1)求，的值； (2)当，且满足时，有恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集，利用韦达定理可列出方程组，即得； （2）利用基本不等式求得的最小值，根据恒成立可得，即得. 【详解】（1）因为不等式的解集为或， 所以1和是方程的两个实数根，且， 所以，解得， 即，. （2）由（1）知，于是有， 故， 当且仅当，结合，即时，等号成立， 依题意有，即， 得，即， 所以的取值范围为. 角度2：一元二次不等式的恒成立问题 56．（23-24高一上·天津·期中）已知关于x的不等式对一切实数都成立，则满足条件的实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据二次项系数是否为0分类：二次项系数为0时，代入成立；二次项系数不为0 时，根据二次函数的性质，可知开口向下，判别式为负，即可得实数的取值范围. 【详解】当时，得，显然成立； 当时，由对一切实数都成立，得， 解得， 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 57．（22-23高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知二次函数. (1)若时，不等式恒成立，求实数a的取值范围； (2)解关于x的不等式（其中）. 【答案】(1),． (2)答案见解析. 【分析】（1）分离参数a，转化为函数最值问题求解； （2）分类讨论求解即可． 【详解】（1）不等式即为：， 当,时，可变形为：， 即, 又，当且仅当，即时，等号成立， ，即， 实数的取值范围是：,． （2）不等式， 即， 等价于， 即， 当时， 当时，因为，解不等式得：； 当时，因为，不等式的解集为； 当时，因为，解不等式得：； 综上所述，不等式的解集为： 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为． 58．（高一上·江苏南京·专题练习）对于不等式与没有共同解，求的取值范围． 【答案】 【分析】求得的解集，即可将原问题转化为时，的问题，进而转化为恒成立问题，分离参数转化为恒成立，利用函数的单调性，求得当时的取值范围，进而根据不等式恒成立的意义得到实数的取值范围. 【详解】解不等式得. “两不等式和没有共同解”等价于“当时，恒成立” 即当时恒成立. 当时， 要使得，只需使得恒成立 即恒成立. 由于为区间上的单调增函数 当时的取值范围是 所以，即的取值范围为. 59．（23-24高一上·广东深圳·期末）（1）若对一切恒成立，求实数的取值范围； （2）求关于的不等式的解集. 【答案】（1）；（2）答案见解析 【分析】（1）分是否等于0分类讨论，当时，转换为二次项系数与判别式满足的不等式即可得解. （2）对判别式是否大于0分类讨论，结合一元二次不等式和一元二次方程之间的关系即可得解. 【详解】（1）若对一切恒成立， 当时，则有，满足题意； 当时，则有，解得. 综上所述，实数的取值范围是； （2）对于不等式，，    当时，即当时，不等式的解集为； 当时，即当或时， 方程的根为，此时， 不等式的解集为或； 综上所述，当时，不等式的解集为； 当或时，不等式的解集为或. 60．（23-24高一上·江苏镇江·期中）设 (1)若不等式的解集是，求的值； (2)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据不等式的解集结合韦达定理求参； （2）不等式恒成立，分和两种情况求解即可. 【详解】（1）由题意，不等式的解集是， ∴，1是关于x的方程的两实数根，且， 则，解得； （2）由对一切实数x恒成立， 即对一切实数x恒成立， 当时，，不满足题意， 当时，则满足，解得 综上所述，实数m的取值范围是． 角度3：一元二次不等式的应用 61．（23-24高一上·浙江湖州·阶段练习）若不计空气阻力，竖直上抛的物体距离抛出点的高度与时间满足关系式：，其中取.已知一名同学以初速度竖直上抛一排球，排球能够在抛出点以上的位置停留 秒时间. 【答案】/0.4 【分析】根据题意求得关系式，令，得到，即可求解. 【详解】由题意，竖直上抛的物体距离抛出点的高度与时间满足关系式， 因为，所以， 令，得，即，解得，， 所以停留的时间为. 故答案为：. 62．（23-24高一上·江苏镇江·期末）去年某商户销售某品牌服装9000套，每套服装利润为50元.为提高销售利润，今年计划投入适当的广告费进行产品促销.经市场调研发现，若广告费用为（万元），则该品牌服装的年销售量将增长.请你预算该品牌服装的净利润（净利润为销售利润减去广告费用） (1)若使得今年净利润比去年至少增长，请你预算广告费用的范围? (2)当广告费用多少万元时，品牌服装的净利润最大? 【答案】(1) (2)当投入广告费用为8万元时，品牌服装的净利润最大 【分析】（1）由题意列出不等式（在这里同一转换为“万元”的单位），转换为一元二次不等式即可得解. （2）由题意得表达式，结合基本不等式及其取等条件即可求解. 【详解】（1）由题意得，即， 化简并整理得，解得， 所以预算广告费用的范围为. （2）由题意净利润为，（单位：万元）， 所以由基本不等式可得，等号成立当且仅当， 所以当投入广告费用为8万元时，品牌服装的净利润最大. 63．（23-24高一上·陕西西安·期末）某公司决定对旗下的某商品进行一次评估，该商品原来每件售价为25元，年销售8万件. (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ (2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量.公司决定立即对该商品进行全面技术革新和销售策略调整，并提高定价到元.公司拟投入万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量至少达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价. 【答案】(1)最多为元； (2)销售量至少达到11万件，此时定价30元满足题意. 【分析】（1）设每件定价，根据条件列不等式求解即可； （2）将问题转化为不等式定区间内有解，分离参数再结合基本不等式计算即可. 【详解】（1）设定价每件元，由题意可知， 整理得，解之得， 故该商品每件定价最多为元； （2）由上可知：当时，不等式有解， 整理得有解， 易知，当且仅当时取得等号， 此时， 所以改革后销售量至少达到11万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时每件商品定价为30元. 64．（23-24高一上·上海·期中）近几年来，“盲盒文化”广为流行，这种文化已经在中国落地生根，并发展处具有中国特色的盲盒经济，某盲盒生产及销售公司今年初用98万购进一批盲盒生产线，每年可有50万的总收入，已知生产此盲盒年（为正整数）所用的各种费用总计为万元． (1)该公司第几年首次盈利（总收入超过总支出，今年为第一年）？ (2)该公司几年后年平均利润最大，最大是多少？ 【答案】(1)第年 (2)第年最大，为万元 【分析】（1）先求得利润的表达式，由此列不等式来求得正确答案. （2）先求得平均利润的表达式，然后利用基本不等式求得正确答案. 【详解】（1）设利润为，则， 由整理得， 解得，由于， 所以，所以第年首次盈利. （2）首先， 由（1）得平均利润万元， 当且仅当万元时等号成立， 第7年，平均利润最大，为12万元. 65．（23-24高一上·广东江门·期中）为摆脱美国政府针对中国高科技企业的封锁，加强自主性，某企业计划加大对芯片研发部的投入，据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入a万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员x名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元． (1)要使这名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人？ (2)是否存在这样的实数m，使得技术人员在已知范围内调整后，同时满足以下两个条件：①技术人员的年均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入． 【答案】(1) (2)存在 【分析】（1）根据题意直接列出不等式可求解； （2）由①可得，由②可得，分别利用函数单调性和基本不等式即可求解. 【详解】（1）依题意可得调整后研发人员的年人均投入为万元， 则，即，解得， 又且，所以调整后的技术人员的人数最多75人. （2）由①，即技术人员的年均投入始终不减少，则有，解得， 由②，即研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入， 则有，两边同除以，得到，整理得到， 故有， 又，当且仅当，即时取等号，所以， 又因为，当时，取得最大值7，所以， 即存在这样的满足条件，使得其范围为. 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$