21.2.4 一元二次方程根的判别式（课件）--2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

# 华东师大版九年级上册数学21.2.4《一元二次方程根的判别式》专项练习（全文1444字） ## 一\(b、c\)知识点梳理 对于一元二次方程$\boldsymbol{ax^2+bx+c=0(a eq0)}$，把$\boldsymbol{\Delta=b^2-4ac}$叫做一元二次方程的**根的判别式**，用来直接判断方程实数根的个数，不需要解方程。 1. $\boldsymbol{\Delta>0}$：方程有**两个不相等的实数根**； 2. $\boldsymbol{\Delta=0}$：方程有**两个相等的实数根**； 3. $\boldsymbol{\Delta<0}$：方程**没有实数根**。 反过来也成立： 方程有两个不相等实数根$\Rightarrow \Delta>0$； 方程有两个相等实数根$\Rightarrow \Delta=0$； 方程没有实数根$\Rightarrow \Delta<0$。 重要隐藏条件：只要是一元二次方程，就必须满足$\boldsymbol{a eq0}$。在含参数的题目中，求参数取值范围时，**不能漏掉$a≠0$**。 解题思路： ① 先整理成一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0$； ② 写出$\(a,b,c\)$（带符号）； ③ 计算$\Delta=b^2-4ac$； ④ 根据题目条件列不等式或等式求解参数； ⑤ 检验二次项系数不为0。 本节高频易错点：①判断是一元二次方程，求参数范围忘记$a≠0$；②找$\(a,b,c\)$漏掉负号，导致$\Delta$计算错误；③混淆结论，把$\Delta>0$写成“两个实数根”；④题目没有说明是一元二次方程，直接默认$a≠0$；⑤证明$\Delta$恒正或恒负时，配方出错；⑥文字表述不规范，“两个相等实数根”不能说成“一个实数根”。 ## 二\(b、c\)基础选择题 1. 一元二次方程$x^2-5x+2=0$的判别式$\Delta$的值是（） A.$17$ B.$33$ C.$-17$ D.$-33$ 2. 方程$x^2-4x+4=0$根的情况是（） A.两个不相等实数根 B.两个相等实数根 C.没有实数根 D.无法判断 3. 关于$x$的一元二次方程$2x^2-3x+\(m=\)0$有两个不相等实数根，则$m$的取值范围是（） A.$m>\dfrac98$ B.$m<\dfrac98$ C.$m\ge\dfrac98$ D.$m\le\dfrac98$ 4. 下列方程没有实数根的是（） A.$x^2+x=0$ B.$x^2-2x-1=0$ C.$x^2-2x+3=0$ D.$x^2-4x+4=0$ 5. 关于$x$的方程$(k-1)x^2+2x+1=0$有实数根，则$k$的取值范围是（） A.$k\le2$ B.$k\le2$且$k≠1$ C.$\(k<2\)$ D.$\(k<2\)$且$k≠1$ ## 三\(b、c\)填空题 1. 一元二次方程$3x^2+2x-1=0$，$\Delta=$________。 2. 若方程$x^2-6x+\(m=\)0$有两个相等实数根，则$\(m=\)$________。 3. 一元二次方程$x^2+3x+5=0$根的情况：________________。 4. 关于$x$的方程$x^2+kx+4=0$有两个相等实数根，则$\(k=\)$________。 5. 若一元二次方程$ax^2-2x+1=0$无实数根，则$a$取值范围________。 ## 四\(b、c\)解答题 1. 不解方程，判断下列方程根的情况： （1）$x^2+3x-2=0$；（2）$2x^2-4x+2=0$；（3）$x^2-2x+5=0$ 2. 已知关于$x$的一元二次方程$x^2-2x+k-1=0$有两个不相等实数根，求$k$的取值范围。 3. 求证：无论$m$取何实数，一元二次方程$x^2-(m+2)x+2\(m=\)0$总有实数根。 4. 拓展探究：已知一元二次方程$(m-1)x^2+2mx+m+3=0$有两个相等实数根，求$m$的值。 ## 五\(b、c\)参考答案与解析 ### 选择题 1. A。解析：$\Delta=(-5)^2-4\times1\times2=25-8=17>0$。 2. B。解析：$\Delta=16-16=0$，两个相等实数根。 3. B。解析：$\Delta=9-8m>0$，解得$m<\dfrac98$。 4. C。解析：$\Delta=4-12=-8<0$，无实数根。 5. A。解析：分两种情况：①$k-1=0$，一元一次方程有根；②$k-1≠0$，$\Delta\ge0$，综合得$k\le2$。 ### 填空题 1.$16$；解析：$\Delta=4+12=16$。 2.$9$；解析：$\Delta=36-4\(m=\)0$，$\(m=\)9$。 3.没有实数根；解析：$\Delta=9-20=-11<0$。 4.$\pm4$；解析：$\Delta=k^2-16=0$，$\(k=\)\pm4$。 5.$\(a>1\)$；解析：$\Delta=4-4a<0$且$a≠0$，得$\(a>1\)$。 ### 解答题 1.（1）$a=1,b=3,c=-2$，$\Delta=9+8=17>0$，方程有两个不相等实数根。 （2）$a=2,b=-4,c=2$，$\Delta=16-16=0$，方程有两个相等实数根。 （3）$a=1,b=-2,c=5$，$\Delta=4-20=-16<0$，方程没有实数根。 2. 解：由题意，$\Delta>0$ $\Delta=(-2)^2-4\times1\times(k-1)=4-4k+4=8-4k>0$ 解得$\(k<2\)$。 $\because$是一元二次方程，二次项系数为1，满足条件，$\therefore \(k<2\)$。 3. 证明：$a=1,b=-(m+2),c=2m$ $\Delta=[-(m+2)]^2-4\times1\times2m$ $=m^2+4m+4-8\(m=\)m^2-4m+4=(m-2)^2$ $\because$任何实数的平方$(m-2)^2\ge0$，即$\Delta\ge0$ $\therefore$无论$m$取何实数，方程总有实数根。 4. 解：方程是一元二次方程，且有两个相等实数根 $\begin{cases}m-1 eq0\\\Delta=0\end{cases}$ $\Delta=(2m)^2-4(m-1)(m+3)=4m^2-4(m^2+2m-3)$ $=4m^2-4m^2-8m+12=-8m+12=0$ $-8\(m=\)-12$，解得$\(m=\)\dfrac32$ 又$m-1≠0$，$\(m=\)\dfrac32$满足条件，$\therefore \(m=\)\dfrac32$。 ## 六\(b、c\)易错总结 根的判别式题型，**审题第一要务：看题目有没有说“一元二次方程”**。如果没有说明，需要分情况讨论，可能是一元一次方程，不需要$\Delta$。只要写明是一元二次方程，参数题必须保证二次项系数$a≠0$，这是最容易丢分的地方。代入求$\Delta$时，$b\(b、c\)c$要连同正负号一起代入，很多同学直接取绝对值，计算出错。答题文字描述要严格规范：$\Delta>0$写“两个不相等实数根”；$\Delta=0$写“两个相等实数根”；$\Delta<0$写“没有实数根”，不能简写。证明方程总有实数根，需要计算$\Delta$，再配方，利用平方非负性证明$\Delta\ge0$。求参数取值范围时，看清题目条件：“有实数根”对应$\Delta\ge0$；“两个不相等实数根”对应$\Delta>0$，不等号不要写反。做题时注意，判别式只能判断有没有实数根，不能直接求出根。根的判别式是中考高频考点，常和参数\(b、c\)代数式配方结合，和后面韦达定理一起综合出题。做完题目一定要回头检查二次项系数是否不等于0，避免漏掉限制条件。 （全文1444字） 下一节：**21.2.5一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）**，继续同格式1444字专项练习吗？ 华东师大版（新教材）数学九年级上册 21.2.4 一元二次方程根的判别式 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/7 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第21章 一元二次方程 1 2 3 了解一元二次方程根的判别式； 能运用根的判别式，判断一元二次方程根的情况； 会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围. 学习目标 公式法解一元二次方程的步骤： (1) 把方程化为一般形式，确定 的值； (2) 求出 的值； (3) 若，把 及 的值代入一元二次方程的求根公式，求出方程的根；若 ，此时方程无实数解. 情境导入 02 新知导入 现在我们来解决问题1：绿苑小区准备在两幢楼房之间设置一块面积为900m2的矩形绿地，并且长比宽多10m. 求绿地的长和宽. x(x + 10) = 900， x2+10x-900=0, 它们都是所列方程的根，但负数根x，不符合题意，应舍去. 取 x + 10 ≈35.4，符合题意. 因此绿地的长约为35.4m， 宽约为25.4m. 03 新知探究 探究 一元二次方程根的判别式 我们在用配方法推导一元二次方程求根公式的过程中，得到 只有当b2-4ac≥0时，才能直接开平方，得 03 新知探究 探究 一元二次方程根的判别式 【想一想】如果b2-4ac<0会怎么样？ 当b2-4ac<0时， 无意义， 所以方程没有实数根. 也就是说，只有当一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的系数a、b、c满足条件b2-4ac≥0时才有实数根. 因此，我们可以根据一元二次方程的系数直接判定根的情况. 03 新知探究 (1)当b2-4ac>0时，方程 的右边是一个正数， 它有两个不相等的平方根，因此方程有两个不相等的实数根 (2)当b2-4ac=0时，方程 的右边是0， 因此方程有两个相等的实数根： 03 新知探究 (3)当b2-4ac<0时，方程 的右边是是一个负数， 而对于任何实数x，方程左边 ， 因此方程没有实数根. 总结归纳 概括： 这里的b2-4ac叫做一元二次方程根的判别式，通常用符号“Δ ”来表示，用它可以直接判断一元二次方程a2+bx+c=0(a≠0)的实数根的情况: 当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根; 当Δ=0时，方程有两个相等的实数根; 当Δ<0时，方程没有实数根. 知识点1 一元二次方程根的判别式 1. 一元二次方程 的根的判别式的值是( ) C A. 53 B. 28 C. 17 D. 2. 一元二次方程的根的判别式，则 的值为( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 10 知识点2 利用根的判别式判断一元二次方程根的情况 3. 下列方程中，没有实数根的是( ) C A. B. C. D. 4. 已知关于的一元二次方程 ， 其中，满足 ，关于该方程根的情况，下列判 断正确的是( ) C A. 无实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 返回 举一反三 11 知识点3 利用根的判别式求字母的值或取值范围 5. 若关于的一元二次方程 有实数根， 则实数 的取值范围是( ) D A. B. 且 C. D. 且 返回 举一反三 12 03 新知探究 【例7】不解方程，判断下列方程的根的情况. (1)3x2 =5x -2； (2) 4x2 -2x+ =0；(3) 4(y2+1)-y=0. 解：(1)原方程可变形为3x2-5x+2=0. 因为Δ=(-5)2-4×3×2=25-24=1>0， 所以方程有两个不相等的实数根. 计算判别式时，方程必须化为一元二次方程的一般形式. 03 新知探究 【例7】不解方程，判断下列方程的根的情况. (1)3x2 =5x -2； (2) 4x2 -2x+ =0；(3) 4(y2+1)-y=0. 解：(2)因为Δ=(-2)2- 4×4× =0， 所以方程有两个相等的实数根. 03 新知探究 【例7】不解方程，判断下列方程的根的情况. (1)3x2 =5x -2； (2) 4x2 -2x+ =0；(3) 4(y2+1)-y=0. 解：(3)因为Δ=(-1)2-4×4×4=-63<0， 所以方程没有实数根. 03 新知探究 【试一试】已知关于x的方程2x2-(3+4k)x+2k2+k=0. (1)当k取何值时，方程有两个不相等的实数根? 解：由题意可得Δ=[-(3+4k)]2 - 8(2k2+k)>0， 整理得16k+9>0，解得 03 新知探究 【试一试】已知关于x的方程2x2-(3+4k)x+2k2+k=0. (2)当k取何值时，方程有两个相等的实数根? (3)当k取何值时，方程没有实数根? 由题意得Δ=16k+9=0，解得 由题意得Δ=16k+9<0，解得 随堂练习 1.不解方程，判断下列方程的根的情况: (1); (2); (3); (4). 基础过关(P33) 解：(1)先化为一般形式: 3x2＋5x－ 4 =0， 这里a＝3， b＝5， c＝－4 ∴Δ＝52－4×3×(－4) ＝25＋48 ＝ 73>0； ∴这个方程有两个不相等的实数根. 随堂练习 1.不解方程，判断下列方程的根的情况: (1); (2); (3); (4). 基础过关(P33) (2)先化为一般形式: x2－2x＋2 =0， 这里a＝1， b＝－2， c＝2 ∴Δ＝(－2) 2－4×1×2 ＝4－8 ＝ －4＜0； ∴这个方程没有实数根. 随堂练习 1.不解方程，判断下列方程的根的情况: (1); (2); (3); (4). 基础过关(P33) (3)先化为一般形式: 4y2－4y＋1 =0， 这里a＝4， b＝－4， c＝1 ∴Δ＝(－4) 2－4×1×1 ＝16－16 ＝ 0； ∴这个方程有两个相等的实数根. 随堂练习 1.不解方程，判断下列方程的根的情况: (1); (2); (3); (4). 基础过关(P33) (4)先化为一般形式: 2x2－x＋2 =0， 这里a＝2， b＝－1， c＝2 ∴Δ＝(－1) 2－4×2×2 ＝1－16 ＝ －15 ＜0 ； ∴这个方程没有实数根. 6. [阜阳期中] 已知关于 的一元二次方程 ，其中，，分别为 三 边的长，若方程有两个相等的实数根，则 的形状为 ____________. 直角三角形 【点拨】原方程可以化为 方 程有两个相等的实数根， ， ， 为直角三角形. 返回 举一反三 22 7. 若一元二次方程 没有实数根， 则一次函数 的图象不经过第____象限. 四 8. 已知一元二次方程 .在下面的 四组条件中选择其中一组， 的值，使这个方程有两个不相 等的实数根，并解这个方程. ，；， ； ，；， . 返回 举一反三 23 【解】 这个方程有两个不相等的实数根， ,即 ，， 均可. 选②:解方程，得 ， ， . 选③:解方程，得 , ， . 返回 举一反三 24 9. 已知关于的一元二次方程 有 两个实数根，则 的化简结果是( ) A A. B. 1 C. D. 【点拨】 关于的方程 有两个 实数根， ， ，， ， ． 返回 举一反三 25 10. [“大梦杯”福建初中数学竞赛] 若关于 的方程 只有一个实数根，则符合条件的所有实 数 的值的总和为( ) D A. B. C. D. 举一反三 26 ＞0 一元二次方程根的判别式 方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根 =0 ＜0 方程没有实数根 课堂小结 谢谢观看 THANKS $