21.2.4一元二次方程根的判别式 课件 2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程根的判别式，通过温习回顾公式法解一元二次方程的步骤，以“算b²-4ac”为支架，衔接配方法推导求根公式的过程，引出Δ=b²-4ac的定义及判断根的三种情况。 其特色在于以推理意识为核心，通过配方法推导过程让学生理解判别式的由来，结合分层练习（如含参数k的方程分析）培养抽象能力和运算能力。课堂小结清晰概括Δ与根的关系，学生能深化对知识本质的理解，教师可借助结构化内容提升教学效率。

第21章 一元二次方程 21.2.4一元二次方程根的判别式 华东师大版（2024） 学习目标 能运用根的判别式，判断一元二次方程根的情况 温习回顾 1、用公式法解一元二次方程的步骤。 （1）化：将一元二次方程化为一般形式 ax2 + bx + c＝ 0 (a ≠ 0). （2）写：写出 a、b、c 的值. （3）算：代入 b2－4ac 求值. （4）代：若 b2－4ac ≥ 0，则利用求根公式求解； 若 b2－4ac < 0，则方程没有实数根. 温习回顾 2、用公式法解下列方程 (1)3x2-5x-2=0 （2）(x-1)(x-2)=1 解:(1)a=3,b=-5,c=2 b2－4ac = 1 > 0， ∴ x ＝ ， 即 x1 ＝1，x2 ＝ . (2) x2-3x+2=1 x2-3x+1=0 a=1,b=-3,c=1 b2－4ac = 5 > 0 ∴ x ＝ ， 即 x1 ＝，x2 ＝. 探索新知 我们用配方法推导一元二次方程求根公式的过程中，得到 2＝ . 当 b2－4ac ≥ 0 时，直接开平方，得 也就是说，只有当一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的系数 a、b、c 满足条件 b2 – 4ac ≥ 0 时才有实数根. ＝ . 探索新知 因此，我们可以根据一元二次方程的系数直接判定根的情况. 2＝ . （1）当 b2－4ac＞0 时，方程右边是一个正数，它有两个不相等的平方根，因此方程有两个不相等的实数根： 即 ＝ ， ＝. （2）当b2–4ac=0时，方程右边是0，因此方程有两个相等的实数根： x1 = x2 =－ . （3）当b2-4ac＜0时，方程右边是一个负数，而对于任何实数x，方程左边 ，因此方程没有实数根. 。 概括 我们把 b2－4ac 叫做一元二次方程 ax2 + bx + c ＝0 (a ≠ 0) 根的判别式. 通常用符号“Δ”来表示，即Δ＝b2－4ac. 作用：直接判断一元二次方程实数根的情况： Δ＞0 方程有两个不相等的实数根 Δ= 0 方程有两个相等的实数根 Δ＜0 方程没有实数根 例 1 不解方程，判断下列方程的根的情况： （1）3x2 =5x－2； （2）4x2－2x+= 0 （3）4(y2 +1)－y=0. 解:（1）原方程可变形为 3x2－5x + 2 = 0. a=3, b=-5 ,c=2 因为 Δ =b2－4ac= (－5)2－4×3×2 = 25－24 = 1 > 0， 所以方程有两个不相等的实数根. 例 1 不解方程，判断下列方程的根的情况： （1）3x2 =5x－2； （2）4x2－2x+= 0 （3）4(y2 +1)－y=0. （2）因为Δ= _________________________， 所以方程________________________. （3）原方程可变形为___________________. 因为Δ=_____________________________， 所以方程______________. (-2)2－4×4× =4－4=0 有两个相等的实数根 4y2-y+4=0 (-1)2–4×4×4 =1–64 =–63＜0 没有实数根 练习 （课本第33页，练习） 1、不解方程，判断下列方程的根的情况。 （1）3x2+5x=4 （2）2x－x2 －2=0 （3）4(y2－y)+1=0；（4）2(x+1)2=5x 解:（1）将方程化为一般形式：3x2+5x-4=0 a = 3，b =5，c = -4 Δ=b2 － 4ac ＝52－4×3×(-4)＝25+48= 73＞0 ∴方程有两个不相等的实数根 练习 （课本第33页，练习） 1、不解方程，判断下列方程的根的情况。 （1）3x2+5x=4 （2）2x－x2 －2=0 （3）4(y2－y)+1=0；（4）2(x+1)2=5x 解:（2）将方程化为一般形式：x2-2x+2=0 a = 1，b =-2，c = 2 Δ=b2－4ac ＝(-2)2-4×1×2=-4＜0 ∴方程没有实数根 练习 （课本第33页，练习） 1、不解方程，判断下列方程的根的情况。 （1）3x2+5x=4 （2）2x－x2 －2=0 （3）4(y2－y)+1=0；（4）2(x+1)2=5x 解:（3）将方程化为一般形式：4y2-4y+1=0 a = 4，b =-4，c = 1 Δ=b2 － 4ac ＝ (-4)2-4×4×1＝0 ∴方程有两个相等的实数根 练习 （课本第33页，练习） 1、不解方程，判断下列方程的根的情况。 （1）3x2+5x=4 （2）2x－x2 －2=0 （3）4(y2－y)+1=0；（4）2(x+1)2=5x 解:（4）将方程化为一般形式：2x2-x+2=0 a = 2，b =-1，c = 2 Δ=b2 － 4ac ＝(-1)2-4×2×2＝-15＜0 ∴方程没有实数根 练习 （课本第33页，练习） 2. 小明告诉同学，他发现了一种简便方法，可以判断一类 方程必有实数根：若一元二次方程 ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的系数 a、异号（即两数为一正负)，那么这个方程一定有 两个不相等的实数根. 他的说法是否正确？为什么？ 解: 正确. 当 a、c 异号时，则 Δ ＝ b2 －4ac> 0，所以方程一定有两个不相等的实数根。 已知关于 x 的方程 2x2 –(3 + 4k)x + 2k2 + k = 0. （1）当 k 取何值时，方程有两个不相等的实数根？ （2）当 k 取何值时，方程有两个相等的实数根？ （3）当 k 取何值时，方程没有实数根？ 试一试 （课本33页） 解：a=2, b=-(3 + 4k), c=k Δ=b2 －4ac=[-(3 + 4k)]2-4×2×(2k2+k) = 16k+9 Δ＞0 当 16k + 9 > 0，即 k > － 时，方程有两个不相等的实数根. 已知关于 x 的方程 2x2 –(3 + 4k)x + 2k2 + k = 0. （1）当 k 取何值时，方程有两个不相等的实数根？ （2）当 k 取何值时，方程有两个相等的实数根？ （3）当 k 取何值时，方程没有实数根？ 试一试 （课本33页） 解：a=2, b=-(3 + 4k), c=k Δ=b2 －4ac=[-(3 + 4k)]2-4×2×(2k2+k) = 16k+9 Δ=0 当 16k + 9 = 0，即 k = － 时，方程有两个相等的实数根. 已知关于 x 的方程 2x2 –(3 + 4k)x + 2k2 + k = 0. （1）当 k 取何值时，方程有两个不相等的实数根？ （2）当 k 取何值时，方程有两个相等的实数根？ （3）当 k 取何值时，方程没有实数根？ 试一试 （课本33页） 解：a=2, b=-(3 + 4k), c=k Δ=b2 －4ac=[-(3 + 4k)]2-4×2×(2k2+k) = 16k+9 Δ＜0 当 16k + 9 < 0，即 k < － 时，方程没有实数根 概括 一元二次方程的根的情况： 当Δ＝b2－4ac> 0 时，方程有两个不相等的实数根 当 Δ＝b2－4ac=0 时，方程有两个相等的实数根 当Δ＝b2－4ac＜0 时，方程没有实数根 反过来： 当方程有两个不相等的实数根时，Δ＝b2－4ac> 0 当方程有两个相等的实数根时，Δ＝b2－4ac=0 当方程没有实数根时，Δ＝b2－4ac＜0 练习 （课本第39页，习题） 9、已知关于x的方程x2-(2k+1)x+k2=2。 （1）当k取何值时，方程没有实数根？ （2）当k取何值时，方程有实数根？ 解： b2 － 4ac ＝[-(2k+ 1)]2-4×1×(k2-2) =4k+9 a=1 , b=-(2k+1) , c=k2-2 （1）当4k+9＜0, k （2）当4k+9≥0，k≥ 一元二次方程根的判别式 课堂小结 Δ＝b2－4ac. Δ＞0 方程有两个不相等的实数根 Δ= 0 方程有两个相等的实数根 Δ＜0 方程没有实数根 作业：课本第39页 习题7、9 第51页 复习题2 $