21.2.5　一元二次方程的根与系数的关系课件-2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

2026--2027学年华东师大版九年级数学上册 第21章　21.2　一元二次方程的解法 21.2.5　一元二次方程的根 与系数的关系 学习目标 1.理解并掌握一元二次方程根与系数的关系.(重点) 2.能验证一元二次方程根与系数的关系. 3.会用一元二次方程根与系数的关系解决简单的问题.(重点、难点) 课堂引入 1.一元二次方程的一般形式是什么？ 2.一元二次方程的求根公式是什么？ 3.一元二次方程的根的情况怎样确定？ 一、 一元二次方程根与系数的关系 问题1　求出下列一元二次方程的两根x1和x2，并计算x1+x2和x1x2的值，它们与方程的系数有何关系？ 一元二次方程 两根 两根的和 两根的积 x1 x2 x1+x2 x1x2 x2-5x+6=0         x2+3x-4=0         x2+6x+8=0         提示　 一元二次方程 两根 两根的和 两根的积 x1 x2 x1+x2 x1x2 x2-5x+6=0 2 3 5 6 x2+3x-4=0 -4 1 -3 -4 x2+6x+8=0 -2 -4 -6 8 三个方程的二次项系数都是1，它们的两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项. 问题2　猜想：方程化为x2+px+q=0的形式后，你能说出x1，x2与p，q之间的关系吗？ 问题3　思考：一般的一元二次方程ax2+bx+c=0中，二次项系数a未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢？ 提示　两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比. 知识梳理 1.二次项系数为1的一元二次方程的根与系数的关系： 设一元二次方程x2+px+q=0的两根为x1，x2，那么方程x2+px+q=0两个根的和、积与系数分别有如下关系：x1+x2=____，x1x2=___. 2.韦达定理：若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，b2-4ac≥0)的两根为x1,x2,则两根x1，x2的关系为x1+x2=-，x1x2=，根与系数的这种关系又称为韦达定理. -p q 知识梳理 3.韦达的逆定理也是成立的，即当x1+x2=-，x1x2=时，那么x1，x2则是ax2+bx+c=0(a≠0)的两根. 说明：定理成立的条件是Δ≥0. 例1　(课本P35例8)不解方程，求出下列方程的两根之和与两根之积： (1)x2+3x-5=0；(2)2x2-3x-5=0. 解　(1)设两根为x1，x2，由上述二次项系数为1的一元二次方程的根与系数的关系，可得 x1+x2=-3，x1x2=-5. (2)方程两边都除以2，得x2-x-=0. 设两根为x1，x2，可得 x1+x2=-=，x1x2=-. 跟踪训练1　(1)已知a，b是一元二次方程3x2-2x+1=0的两个实数根，则a+b的值等于 A.- B. C. D. √ 解析　∵a，b是一元二次方程3x2-2x+1=0的两个实数根， ∴a+b=-=. (2)不解方程，判断下列方程是否有实数根，如果有实数根，求出方程的两根之和与两根之积： ①x2+4x-3=0；②=x. 解　①∵Δ=42-4×(-3)×1=28>0， ∴方程有两个不相等的实数根.设两根为x1，x2，可得 x1+x2=-4，x1x2=-3. ②原方程可化为x2+1=0， ∴Δ=02-4××1=-1<0，∴方程没有实数根. 二、 一元二次方程根与系数的关系的应用 例2　已知方程x2-3x+m=0的一个根为-1，求另一个根以及m的值. 解　设另一个根为x2，则x1=-1.由一元二次方程的根与系数的关系，可得 即解得 所以另一个根为4，m的值为-4. 例3　若方程2x2-x-6=0的两根分别为x1，x2，试求下列代数式的值. (1)+； (2)+. 解　(1)由一元二次方程的根与系数的关系，可得x1+x2=，x1x2=-3. +=(x1+x2)2-2x1x2=-2×(-3)=6. (2)+===-. 反思感悟 把x1+x2和x1x2作为整体，想办法将所求代数式转化成用x1+x2和x1x2去表示，是解决这类问题的基本方法. 跟踪训练2　(1)已知a,b是方程x2+3x-2 026=0的两个实数根，则(a+1)(b+1)的值是 A.2 028　　　　B.-2 028　　　　C.2 022　　　　D.-2 022 √ 解析　由条件可知a+b=-3，ab=-2 026， ∴(a+1)(b+1)=ab+a+b+1=-2 026+(-3)+1=-2 028. (2)已知关于x的方程x2+(m+2)x+m+1=0，若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根. 解　设方程的另一个根为x2，把x=1代入原方程得1+m+2+m+1=0， 解得m=-2， ∵关于x的方程x2+(m+2)x+m+1=0的一个根为1，∴1+x2=0， ∴x2=-1.故m的值为-2，方程的另一个根为-1. 课堂小结 1.关于x的一元二次方程5x2+x-6=0的一个根是3，则它的另一个根是 A.-2 B.1 C.- D. 随堂演练 √ 解析　由题意，设另一个根是y， ∵方程5x2+x-6=0的一个根是3， ∴3y=-，∴y=-. 随堂演练 2.写出一个解为x1=1，x2=2的一元二次方程_______________________.  (x-1)(x-2)=0(答案不唯一) 解析　方程的根为1或2，则方程右边为0，左边分解因式后含(x-1)和(x-2)两个因式可知，一元二次方程可以为(x-1)(x-2)=0. 随堂演练 3.已知m，n是方程x2+x-3=0的两个实数根，则m2+2m+n+2 026的值是_______.  2 028 解析　由条件可知，m+n=-1， ∵m是方程x2+x-3=0的一个实数根，∴m2+m-3=0，即m2=-m+3， ∴m2+2m+n+2 026=-m+3+2m+n+2 026=m+n+2 029， ∵m+n=-1，∴原式=-1+2 029=2 028. 4.若关于x的一元二次方程x2+bx-4=0有一个根是x=1，求b的值及方程的另一个根. 随堂演练 解　将x=1代入方程，得12+b×1-4=0， 解得b=3. 令方程的另一个根为m， 则1×m=-4， 解得m=-4， 所以方程的另一个根是-4. 5.已知方程x2-3x=-1的两根分别为x1，x2. (1)求x1+x2与x1x2的值； (2)求+的值； 随堂演练 解　(1)∵方程x2-3x=-1， ∴x2-3x+1=0. ∴x1+x2=3，x1x2=1. (2)+=(x1+x2)2-2x1x2 =32-2×1=9-2=7. 5.已知方程x2-3x=-1的两根分别为x1，x2. (3)求+的值； (4)求+的值. 随堂演练 解　(3)+===7. (4)∵(+)2=x1+x2+2=3+2=5， ∴+=. 谢谢观看 $