21.1 认识一元二次方程（课件）--2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

# 华东师大版九年级上册数学21.1《认识一元二次方程》专项练习（全文1444字） ## 一\(3\(x、y\)-3\)知识点梳理 只含有**一个未知数**\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)并且未知数的最高次数是**2**的整式方程\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)叫做一元二次方程。一元二次方程必须同时满足三个条件：第一\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)是整式方程\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)分母中不能含有未知数\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)根号内不能含有未知数；第二\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)只含有一个未知数；第三\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)未知数最高次数为2\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)且二次项系数不能等于0。 一元二次方程的一般形式：$\boldsymbol{ax^2+\(bx+c=0\)}$（$\boldsymbol{a eq0}$\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)$a\(3\(x、y\)-3\)b\(3\(x、y\)-3\)c$为常数）。其中$ax^2$叫做二次项\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)$a$是二次项系数；$bx$叫做一次项\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)$b$是一次项系数；$c$叫做常数项。注意：一般形式右边必须整理为0\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)左边按未知数降幂排列；$a eq0$是核心条件\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)如果$\(a=0\)$\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)方程变成$\(bx+c=0\)$\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)就退化为一元一次方程。$b$\(3\(x、y\)-3\)$c$可以等于0。 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)叫做一元二次方程的根（解）。判断一个数是不是方程的根\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)只需要把数值代入方程左右两边\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)看两边是否相等。利用方程的根\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)可以代入方程求代数式的值或者求方程里未知参数。 列一元二次方程解实际问题：审题找到等量关系\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)设未知数\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)列出等式\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)整理成整式方程\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)再判断是否为一元二次方程。常见模型：面积问题\(3\(x、y\)-3\)增长率问题\(3\(x、y\)-3\)数字问题。 本节高频易错点：①判断方程类型时忽略二次项系数$a≠0$；②整理一般形式时\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)忘记移项\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)右边不为0；③找系数时\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)没有先化成一般形式\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)符号出错；④分式方程\(3\(x、y\)-3\)带根号含未知数的方程误认为一元二次方程；⑤误认为一元二次方程一定有两个根\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)根可以相等；⑥代入根求值时\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)计算符号出错。 ## 二\(3\(x、y\)-3\)基础选择题 1. 下列方程属于一元二次方程的是（） A.$\(\(x+2\)y=1\)$ B.$x^2-5=0$ C.$\dfrac1{x^2}+x=3$ D.$x^3+2x=0$ 2. 将方程$3x^2=5x-1$化为一般形式\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)二次项系数\(3\(x、y\)-3\)一次项系数\(3\(x、y\)-3\)常数项依次是（） A.$3,5,-1$ B.$3,-5,1$ C.$3,-5,-1$ D.$\(3,5,1\)$ 3. 已知$\(x=2\)$是方程$x^2-ax+6=0$的一个根\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)则$a$的值为（） A.$5$ B.$-5$ C.$7$ D.$-7$ 4. 若方程$(m-2)x^{m^2-2}+3x-1=0$是一元二次方程\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)则$m$的值为（） A.$2$ B.$-2$ C.$\p\(\mathrm{m^2}\)$ D.$0$ 5. 一个矩形的长比宽多2\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)面积是15\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)设宽为$x$\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)所列方程正确的是（） A.$x(x-2)=15$ B.$\(x(\(x+2\))=15\)$ C.$\(2\(x+2\)(\(x+2\))=15\)$ D.$x^2+(\(x+2\))^2=15$ ## 三\(3\(x、y\)-3\)填空题 1. 一元二次方程$2x^2-7x+3=0$的二次项系数是____\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)一次项是____\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)常数项是____。 2. 把方程$x(x-3)=4$化成一般形式：________________。 3. 若$\(x=1\)$是方程$x^2+kx-3=0$的根\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)则$\(k=\)$________。 4. 方程$(k+1)x^2-2x+1=0$是一元二次方程\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)则$k$的取值范围是________。 5. 已知方程$x^2-9=0$\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)则下列数$3\(3\(x、y\)-3\)-3\(3\(x、y\)-3\)0\(3\(x、y\)-3\)1$中\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)是方程根的是________。 ## 四\(3\(x、y\)-3\)解答题 1. 判断下列方程是否为一元二次方程\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)如果不是\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)请说明理由： （1）$x^2=0$；（2）$2x-3=5x^2$；（3）$\dfrac1{x^2}+2\(x=1\)$；（4）$x^2+y^2=1$ 2. 将下列方程化为一元二次方程的一般形式\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)并写出各项系数。 （1）$x^2=4x$；（2）$(x-2)(x+3)=1$ 3. 已知$x=-1$是一元二次方程$ax^2+bx-2=0$的一个根\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)求代数式$a-b$的值。 4. 拓展探究：用长24m的篱笆围成一个矩形花圃\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)矩形面积为32$\mathrm{m^2}$\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)设矩形一边长为$x\mathrm{m}$\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)列出方程并化为一般形式。 ## 五\(3\(x、y\)-3\)参考答案与解析 ### 选择题 1. B。解析：A二元一次；C分母含未知数是分式方程；D最高次数3\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)是一元三次方程。 2. B。解析：移项得$3x^2-5x+1=0$\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)二次项系数3\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)一次项系数$-5$\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)常数项1。 3. A。解析：代入$\(x=2\)$\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)$4-2a+6=0$\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)解得$\(a=5\)$。 4. B。解析：$\begin{cases}m^2-2=2\\m-2 eq0\end{cases}$\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)$m^2=4$\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)$m≠2$\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)所以$m=-2$。 5. B。解析：宽$x$\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)长$\(x+2\)$\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)面积=长×宽\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)$\(x(\(x+2\))=15\)$。 ### 填空题 1.$2$；$-7x$；$3$ 2.$x^2-3x-4=0$；解析：$x^2-3x=4$\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)移项$x^2-3x-4=0$。 3.$2$；解析：代入$\(x=1\)$\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)$1+k-3=0$\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)$\(k=\)2$。 4.$k eq-1$；解析：二次项系数$k+1≠0$。 5.$3\(3\(x、y\)-3\)-3$；解析：代入验证\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)$3^2-9=0\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)(-3)^2-9=0$。 ### 解答题 1.（1）是一元二次方程； （2）是一元二次方程； （3）不是\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)分母含有未知数\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)属于分式方程； （4）不是\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)含有两个未知数$x\(3\(x、y\)-3\)y$。 2.（1）一般形式：$x^2-4x=0$\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)二次项系数$1$\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)一次项系数$-4$\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)常数项$0$。 （2）原式展开：$x^2+3x-2x-6=1$\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)整理得$x^2+x-7=0$；二次项系数$1$\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)一次项系数$1$\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)常数项$-7$。 3. 解：把$x=-1$代入方程\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)$a\cdot(-1)^2+b\cdot(-1)-2=0$\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\) $a-b-2=0$\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)所以$a-b=2$。 4. 解：一边长$x$\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)邻边长为$\dfrac{24}{2}-\(x=1\)2-x$ 列方程：$x(12-x)=32$ 整理：$12x-x^2=32$\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)一般形式：$x^2-12x+32=0$。 ## 六\(3\(x、y\)-3\)易错总结 判断一元二次方程\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)**三个条件缺一不可**\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)尤其牢记二次项系数$a≠0$\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)参数题经常在这里挖坑。化为一般形式时\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)必须移项使方程右边等于0\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)左边按降幂排列\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)写系数时要连同前面的正负符号。很多同学找常数项\(3\(x、y\)-3\)一次项系数时漏掉负号\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)直接写绝对值\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)造成失分。分式方程\(3\(x、y\)-3\)根号内含未知数的方程\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)无论次数多少\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)都不是整式方程\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)自然不是一元二次方程。利用方程的根解题\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)方法就是代入\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)把根代入方程\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)得到等式\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)求参数或者代数式的值。列方程应用题\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)重点找准等量关系\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)面积题最常用“长×宽=面积”。注意一元二次方程一般形式中$b$或$c$可以为0\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)例如$x^2=0$\(3\(x、y\)-3\)$3x^2-5x=0$都是一元二次方程。做题时看清题目问的是“一次项”还是“一次项系数”\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)一次项是带$x$的整式\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)系数只是数字。最后检验方程整理是否正确\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)移项要变号\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)展开多项式乘法不要漏乘。 （全文1444字） 下一节：**21.2.1直接开平方法解一元二次方程**\(3^2-9=0，(-3)^2-9=0\)继续同格式1444字专项练习吗？ 华东师大版（新教材）数学九年级上册 21.1 认识一元二次方程 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/7 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第21章 一元二次方程 1 2 3 理解一元二次方程的概念，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式. 能找到一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项. 能够判定一个数是否是一元二次方程的根，能从实际问题中抽象出一元二次方程. 学习目标 在七年级下册第5章，我们学习了一元一次方程。什么是一元一次方程？它的一般形式是怎样的？ 含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程. 它的一般形式是：(为常数，). 回顾训练 下列哪些是一元一次方程？ 一元一次方程 二元一次方程 一元一次不等式 分式方程 情境导入 02 新知导入 【做一做】在下列方程：①3x-y=2，②x2-2x-3=0， 中，是一元一次方程的有哪些? 方程④和⑤是一元一次方程. 03 新知探究 探究 一元二次方程的概念 【问题1】绿苑小区准备在两幢楼房之间设置一块面积为900m2的矩形绿地，并且长比宽多10m. 求绿地的长和宽. 【分析】我们可以通过列方程解决这类实际问题. 设绿地的宽为xm，可列出方程 x(x + 10)=900, 整理得x2+10x-900=0. ① 03 新知探究 【问题2】学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率. 【分析】设这两年的年平均增长率为x. 已知去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5(1+x)万册. 同样，明年年底的图书数又是今年年底图书数的(1+x)倍，即 5(1+x)(1+x)=5(1+x)2(万册). 03 新知探究 可列得方程5(1 + x)2=7.2， 即5x2 + 10x -2.2=0. ② 【问题2】学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率. 观察下面两个方程，思考回答下面问题。 (1)上面两个方程是一元一次方程吗？ (2)上面方程整理后含有几个未知数？ (3)它的最高次数是几次？ 不是 含有一个未知数 最高次数是2次 这是什么方程？ x2+10x-900=0. ① 5x2 + 10x -2.2=0 ② 03 新知探究 总结归纳 一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，方程两边都是整式，这样的方程叫做一元二次方程． 一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a、b、c是已知数，a≠0），其中a、b、c分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项. 知识点1 一元二次方程的定义 1. 方程：， ， ，， ， 中，属于一元二次方程的是( ) C A. ①② B. ②⑤ C. ③④ D. ③⑥ 2. 关于的方程 是 一元二次方程，则 的值为_____. 注意一元二次方程中二次项系数不为0. 返回 举一反三 10 知识点2 一元二次方程的一般形式 3. 把方程 化成一般形式 ，则 的值为( ) B A. B. 7 C. D. 1 4. 关于的一元二次方程 化为一 般形式后不含一次项，则 的值为( ) D A. 0 B. C. 4 D. 返回 举一反三 11 03 新知探究 请分别指出问题1和问题2中两个方程的二次项系数、一次项系数和常数项. x2+10x-900=0. ① 5x2 + 10x -2.2=0 ② 二次项系数：1； 一次项系数：10； 常数项：-900. 二次项系数：5； 一次项系数：10； 常数项：-2.2. 03 新知探究 将下列一元二次方程化为一般形式，并指出方程的二次项系数、一次项系数和常数项: (1) 3x2 - x= 2; (2) 7x - 3=2x2; (3) x(2x - 1) -3x(x - 2)=0; (4) 2x(x - 1)=3(x + 5)-4. 解：(1)原方程变形为3x2-x-2=0，二次项系数为3，一次项系数为-1，常数项为-2。 (2)原方程变形为2x2-7x+3=0，二次项系数为2，一次项系数为-7，常数项为3。 将下列一元二次方程化为一般形式，并指出方程的二次项系数、一次项系数和常数项: (1) 3x2 - x= 2; (2) 7x - 3=2x2; (3) x(2x - 1) -3x(x - 2)=0; (4) 2x(x - 1)=3(x + 5)-4. (3)原方程整理，得x2-5x=0，二次项系数为1，一次项系数为-5，常数项为0。 (4)原方程整理，得2x2-5x-11=0，二次项系数为2，一次项系数为-5，常数项为-11。 03 新知探究 拓展提高 要确定一元二次方程的系数和常数项，必须先将方程化为一般形式在写一元二次方程的一般形式时，通常按未知数的次数从高到低排列，即先写二次项，再写一次项，最后是常数项。 03 新知探究 1.将下列一元二次方程化为一般形式，并指出方程的二次项系数、一次项系数和常数项： （1）； （2）； （3） ； （4）. 基础过关(P19) 当堂检测 2.关于x的方程是一元二次方程，则 ，此时该一元二次方程为 ，一次项系数是 ，二次项系数是 ，常数项是 . 能力提升 解：因为原方程为一元二次方程， 所以，解得，所以。 当堂检测 3.关于的方程 ， 当 　　时，是一元二次方程； 当 　　时，是一元一次方程． 能力提升 解：因为原方程为一元二次方程，所以，解得。 因为原方程为一元二次方程，所以且，解得。 当堂检测 知识点3 一元二次方程的根 5. 下表是代数式 的值的情况，根据表 格数据，可知方程 的根是( ) 0 1 2 3 4 12 6 2 0 0 2 6 12 C A. , B. , C. , D. , 返回 举一反三 19 6. 若是关于的方程 的 一个解，则代数式 的值是____. 解题支架 返回 举一反三 20 7. 已知一个一元二次方程有一个根是1， 且它的一次项系数是 ，写出一个符合要求的方程： _______________________________. （答案不唯一） 返回 举一反三 21 知识点4 建立一元二次方程模型 8. 根据下列问题，列出关于 的一元二次方程， 并将其化成一般形式. 举一反三 22 （1）深度求索 是一家专注人工 智能领域的中国科技公司，致力于开发先 进的大语言模型和生成式 技术.据统计， 【解】 ，化为一般形式为 . 该软件首日在某平台的下载量为48万次，第二天、第三天下 载量连续增长，第三天为150万次.求下载量的日平均增长率 ； 举一反三 23 （2）某学校为落实活动育人的教育理念， 计划将一块长为30米、宽为20米的矩形空 地改建成一个菜园，供学生使用.如图，为 ，化为一般形式为 . 了方便打理菜园，计划在矩形空地上修筑同样宽的两条互相 垂直的小路，阴影部分为种菜区域，已知种菜区域的面积为 504平方米，求小路的宽 . 返回 举一反三 24 9. 一元二次方程 化为一般形式后为 ，则一次函数 的图象不经过 ( ) D A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 举一反三 25 10. 关于的方程，其中,, 满 足和 ，则该方程的根是_______ __________. , 11. 已知关于 的一元二次方程 ，其中，，分别是 三边的长，若是方程的一个根，则 是______三 角形. 等腰 【点拨】把代入 ,得 ,, 为等腰三角形. 返回 举一反三 26 谢谢观看 THANKS $