21.1　认识一元二次方程 课件-2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

2026--2027学年华东师大版九年级数学上册 第21章　一元二次方程 21.1　认识一元二次方程 学习目标 1.理解一元二次方程的概念，能判断一个方程是否是一元二次方程.(重点) 2.掌握一元二次方程的一般形式，能说出一元二次方程中的二次项及其系数、一次项及系数、常数项.(难点) 课堂引入 1.回忆一下，我们学习过哪些形式的方程？ 2.一元一次方程中的“一元”“一次”分别指什么？二元一次方程中的“二元”“一次”分别指什么？ 一、 一元二次方程的概念 问题　(1)根据题意，列出方程(不必求解). ①绿苑小区准备在两幢楼房之间设置一块面积为900 m2的矩形绿地，并且长比宽多10 m，求绿地的长和宽； 提示　x2+10x-900=0. ②学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率. 提示　5x2+10x-2.2=0. (2)以上两个方程的未知数有几个？未知数的最高次数是多少？含有未知数的式子是什么式？ 提示　方程中含有一个未知数，未知数的最高次数是2，并且含有未知数的式子是整式. (3)这两个方程与一元一次方程的相同点是什么，不同点又是什么呢？ 提示　相同点：它们都是整式方程，且都只含一个未知数. 不同点：未知数的最高次数不同. 知识梳理 1.一元二次方程的定义： 一个整式方程中，只含有____个未知数，并且未知数的最高次数是___，这样的方程叫做一元二次方程. 2.一元二次方程成立的条件： ①等号两边都是整式； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2. 一 2 例1　已知关于x的方程(m2-4)x2+(m+2)x+3m-1=0. (1)当m为何值时，该方程是一元二次方程？ (2)当m为何值时，该方程是一元一次方程？ 解　(1)根据题意，得m2-4≠0， 解得m≠±2， 当m≠±2时，该方程是一元二次方程. (2)根据题意，得m2-4=0且m+2≠0， 解得m=2， 故当m=2时，该方程是一元一次方程. 跟踪训练1　(1)下列各式中，是关于x的一元二次方程的是 A.2x-1=0　　　　B.=0　　　　C.x2-x=5　　　　D.x2+2 √ 解析　2x-1=0中未知数的次数是1，则A不符合题意； 不是整式方程，则B不符合题意； x2-x=5是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，则C符合题意； x2+2不是等式，则D不符合题意. (2)若方程(m-1)-(m-3)x-2=0是关于x的一元二次方程，则m的值为____.  -1 解析　由题意得 解得m=±1且m≠1，∴m=-1，即m的值为-1. 二、 一元二次方程的一般形式 知识梳理 一元二次方程的一般形式是_________________________________，其中a，b，c分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项. 注意点：要确定一元二次方程的系数和常数项，必须将方程转化为方程的一般形式，同时包含系数前面的符号. ax2+bx+c=0(a，b，c是已知数，a≠0) 例2　将下列一元二次方程化为一般形式，并指出方程的二次项系数、一次项系数和常数项. (1)3x=1-2x2；(2)5x(x-2)=4x2-3x. 解　(1)3x=1-2x2，2x2+3x-1=0， 二次项系数是2，一次项系数是3，常数项是-1. (2)5x(x-2)=4x2-3x， 5x2-10x=4x2-3x， x2-7x=0， 二次项系数是1，一次项系数是-7，常数项是0. 跟踪训练2　(1)将一元二次方程3x2-x=2化成一般形式是 A.3x2-x+2=0 B.3x2+x-2=0 C.-3x2-x+2=0 D.3x2-x-2=0 √ (2)翠湖公园有一块长为32 m，宽为20 m的长方形空地，现准备在空地中修同样宽的两条“之”字路，如图所示.若设道路宽为x m，剩下的空地面积为540 m2，请列出关于x的一元二次方程，把它化为一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项. 解　设道路的宽为x m，根据题意得(20-x)(32-x)=540， 一般形式为x2-52x+100=0， 二次项系数为1，一次项系数为-52，常数项为100. 三、 一元二次方程的根 知识梳理 把未知数的值分别代入方程的左右两边，如果能使方程的左右两边相等，则这个值是一元二次方程的根. 例3　已知m是方程x2+3x-1=0的一个根，求m-的值. 解　∵m是方程x2+3x-1=0的一个根， ∴m2+3m-1=0，且m≠0， ∴m+3-=0， ∴m-=-3， 即m-的值为-3. 跟踪训练3　(1)若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足a+b+c=0，a-b+c=0，则该一元二次方程的根是 A.1，2　　　　B.1，0　　　　C.-1，0　　　　D.1，-1 √ 解析　当x=1时，a+b+c=0；当x=-1时，a-b+c=0， ∴方程的根是x=1或x=-1. (2)已知m是关于x的一元二次方程x2-2 027x+1=0的一个根，求代数式m2- 2 026m+的值. 解　∵m是方程x2-2 027x+1=0的一个根， ∴m2-2 027m+1=0， ∴m2+1=2 027m，m2-2 026m=m-1，m+=2 027， ∴m2-2 026m+=m-1+=2 027-1=2 026. 课堂小结 1.下列四个方程中，是一元二次方程的是 A.x=1　　　　B.x2-2=0　　　　C.x+y=-1　　　　D.x2+=1 √ 解析　A项，x=1是一元一次方程，不是一元二次方程； B项，x2-2=0符合一元二次方程的定义； C项，x+y=-1含有两个未知数，不是一元二次方程； D项，x2+=1不是整式方程，不是一元二次方程. 课堂练习 2.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0的一个解是x=1，则代数式2 025-a-b的值为 A.2 024　　　　B.2 025　　　　C.2 026　　　　D.2 027 √ 解析　如果关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0的一个解是x=1， ∵x=1是方程的解，∴将x=1代入方程得a+b+1=0， ∴a+b=-1，∴2 025-a-b=2 025-(a+b)=2 025-(-1)=2 026. 课堂练习 3.若关于x的方程(m-1)x2+mx-1=0是一元二次方程，则m的取值范围是 A.m≠1 B.m=1 C.m≥1 D.m≠0 √ 解析　由题意得m-1≠0，解得m≠1. 课堂练习 课堂练习 4.某小区为改善环境，决定加大绿化投入.三月份绿化投入10万元，五月份绿化投入45万元，设平均每月绿化投入的增长率为x，根据题意，可列方程是___________.  10(1+x)2=45 5.将下列一元二次方程化为一般形式，并指出方程的二次项系数、一次项系数和常数项： (1)7x-3=2x2；(2)x(2x-1)-3x(x-2)=0；(3)2x(x-1)=3(x+5)-4. 解　(1)7x-3=2x2可化为2x2-7x+3=0，二次项系数是2，一次项系数是-7，常数项是3. (2)x(2x-1)-3x(x-2)=0可化为-x2+5x=0，二次项系数是-1，一次项系数是5，常数项是0. (3)2x(x-1)=3(x+5)-4可化为2x2-5x-11=0，二次项系数是2，一次项系数是-5，常数项是-11. 课堂练习 谢谢观看 $