21.2.1.1直接开平方法（课件）--2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

华东师大版（新教材）数学九年级上册一 第21章一元二次方程 21.2.1.1直接开平方法 授课教师： 班 级： 9年级()班 10/07/2026 时 间： 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取方量，于思索 中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 学习目标 掌握直接开平方法以及因式分解法解一元二次方程的步骤. 2 灵活运用直接开平方法与因式分解法解一元二次方程· 3 在利用直接开平方法以及因式分解法解一元二次方程的过 程中体会降次、转化等数学思想 情境导入 什么是一元二次方程？它的一般形式是怎样的？ 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次 方程 ax2+bx+c=0(a、b、c是已知数，a≠0) 回顽训练 下列各数中，哪个是方程x(2-x)=1的解6 A.3 B.-3 C.2 D.1 除了代入法，还有其他方法 求一元二次方程的解吗？ 02 新知导入 【思考】 1.平方根的定义是什么？一个正数有几个平方根？0的平方根是多 少？负数有平方根吗？ 若x2=a(a≥0)，则x叫做a的平方根； 一个正数有两个互为相反数的平方根； 0的平方根是0； 负数没有平方根。 02 新知导入 【思考】 2.因式分解的常用方法有哪些？ ①提公因式法： ②公式法： 平方差公式：a2.b2=(a+b)(a-b) 完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2。 03 新知探究 探究 开平方法解一元二次方程 解下列方程：(1)x2=4 2=4意味着x是4的平方根，所以/4 即X=±2. 这里得到了方程的两个根，通常也表示成 X1=2,X2=-2. 这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法. 03 新知探究 般地，对于形如x2=a(a>0)的方程，根据平方根的定义，可解得 X1=√，×2=；V这种解一元二次方程的方法叫做开平方法. 【想一想】方程2-1=0能否用直接开平方法来解？ 要用直接开平方法解，首先应将方程化成什么形式？ 03 新知探究 x2-1=0 通过移项将方程变形成2=a x2=1 (a>0) X=±1 解得X1=1,X2 =-1. 总结归纳 开平方法解一元二次方程的步骤： (1)将方程变形 成 x2=a(a≥0) (2)解得x1=√，x2=-√a 03 新知探究 探究 因式分解法解一元二次方程 解方程：x2.1=0 一元二次方程的解法选择初中数学A喔能教学素材(html交互动画)，html 将方程左边用平方差公式分解因式，得 (x-1)x+1)=0, 必有×-1=0或X+1=0. 分别解这两个一元一次方程，得×1=1，X2=-1. 这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法· 03 新知探究 【想一想】方程x2=4能否用因式分解法来解？ 将方程移项得x2- 方程左边分解因式得（x+2)（x-2) =0 所以(x+2)=0或 (X-解得0=2，X2 =-2. 总结归纳 因式分解法解方程的基本步骤： 1.若方程的右边不是0，先移项，使方程的右边为 2将方程的左边分解因式： 3.根据若AB=0,则A=0或B=0,将解一元二次方程转化为解 两个一元一次方程。 03 新知探究 【做一做】 试用两种方法解方程：x2-900=0 方法一：移项，得x2=900, 方法二：方程左边分解因式得 直接开平方，得X=±30， (x+30)(x-30)=0 即×1=30，X2=-30. 所以x+30=0或 解得0=30，X2 =-30. 03 新知探究 【例1】解下列方程： (1)x2-2=0; (2)16x2-25=0. 解：移项，得2=2， 解：移项，得16x2=25, 直接开平方，得x=±√2 方程两边都除以16，得2= 25 5 16 即x1=V2,x2=V2. 直接开平方，得X= 4 5 即x1=4，X2=4 举一反三 知识点1解形如x2=p(p≥0)的方程 1.老师出示问题：解方程x2-4=0.四名同学给出了以下答 案：甲：X=2;乙：X1=X2=2;丙：x1=X2=-2;丁： x1=2,x2=一2.下列判断正确的是( A.甲正确B.乙正确C.丙正确D.丁正确 个点因的正数的平方根有两个，所以利用直接开平方 法解一元二次方程时注意不要漏解 返回 举一反三 2.若一元二次方程ax2=b(ab>0)的两根分别是m-1和 2m+3,则的值为( B A.16 B. C.25 D. 或25 【点拨】·一元二次方程ax2=b(ab>0)的两根分别是 m-1和2m+3,m-1+2m+3=0,解得m=-, 8=2=0m-12=g 返回 举一反三 3.解方程： (1)2x2-162=0; 【解】2x2-162=0,2x2=162,x2=81,X1=9,x2=-9. (2)(x-1)(x+1)-8=0. (x-1)(x+1)-8=0,(x-1)(x+1)=8,x2-1=8, x2=9,X1=3,x2=-3. 返回 03 新知探究 【例2】解下列方程： (1)3x2+2x=0: (2)5x(x-3)-10(x-3)=0. 解：方程左边分解因式得 解：方程左边分解因式得 x(3x+2)=0 5(x-3)(x-2)=0 所以x=0或 所以x-3=0或x- 解特00，x23 解得x1=3,2 =2. 03 新知探究 【思考】试写出一个一元二次方程，要求它的两根为X1=2,X2=3, 符合条件的方程只有一个吗？ .一元二次方程的根为X1=2,X2=3.∴.该方程可以写成(x-2) (x-3)=0, ·.得到一元二次方程x2-5x+6=0， .对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，若两根为x1和X2,则方 程可以表示为a(x-x)x-x2)=0(a≠0) ·当a取不同的值时，方程不同，但都满足两根为x=2,X2=3. 03 新知探究 【思考】如果还要求方程的二次项系数为5，符合条件的方程是什么？ 若二次项系数为5，即a=5,则方程为5(x-2)(x-3)=0 展开可得：5(x-2)x-3) =5x2-3x-2x+6) =5(x2-5x+6) =5x2-25x+30 ∴.二次项系数为5的方程是5x2-25x+30=0 当堂检测 基础过关 (P23) 1.解下列方程： (1)x2=169; (2)45-x2=0; (3)12y2-25=0; (4)x2-2x=0;(5)(t-2)(t+1)=0;(6)x(x+1)-5x=0. (4)方程左边分解因式， 得x(x-2)=0. (6)方程左边分解因式， 所以x=0或x一2=0. 得x(x+1-5)=0, 得x1=0,x2=2. 即x(x-4)=0. (5)因为(t-2)(t+1)=0, 所以x=0或x一4=0 所以t一2=0或t+1=0. 得t1=2,t2=-1. 得X1=0,x2=4. 当堂检测 基础过关 (P25) 2.解下列方程： (1)(x+2)2 -16=0;(2)(2x+3)2-25=0; (3)4(1-3x)2=1; (4)3(x-1)2-18=0. 解：(1)原方程可以变形为(x+2)2=16. 直接开平方，得x+2=士4. 所以x1=2,x2=一6. (2)原方程可以变形为(2x+3)2=25. 直接开平方，得2x+3=士5. 所以X1=1,x2=-4. 当堂检测 基础过关 (P25) 2.解下列方程： (1)(x+2)2-16=0;(2)(2x+3)2-25=0; (3)4(1-3x)2=1; (4)3(x-1)2-18=0. (3) 整理，得(1-3x)2= 直接开平方，得1-3x=±2 所以x1=春名=是 (4)整理，得(x-1)2=6. 直接开平方，得x一1=±V6. 所以x1=1+V6,x2=1-V6. 举一反三 知识点2 解形如(mx+n)2=p(m≠0，p≥0)的方程 4.已知一元二次方程(x-2)2=3的两根为a,b,且a>b, 则2a+b的值为(c) A.9 B.-3 C.6+V3D.-6+3 【点拨】(x-2)2=3,x-2=V3或x-2=-V3, x1=2+V3,x2=2-V3.“a>b,a=2+V3, b=2-V3,2a+b=4+2V3+2-v3=6+√3.故选C. 返回 举一反三 5.解方程： (1)16x2-8x+1=2; 【解】方程可化为(4x-1)2三2， 1+2 ·4x-1=±V2,即x1= 4,X2= 1-V2 4 (2)(2y-1)2=(3y+4)2. 方程两边开平方得2y-1=士(3y+4), ·2y-1=3y+4或2y-1=-3y-4. y1=-5,y2=-5 返回 举一反三 6. 新趋势学科内综合若一元二次方程3x2=27的两根为X1， x2(x1<x2),则点P(x1,x2)位于平面直角坐标系中的( B A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D. 第四 【点拨】3x2=27,x2=9,X=士3.X1<x2,X1=-3, x2=3,故P(-3,3)在第二象限 返回 举一反三 7.新考法整体求值法 若(a2+b2-2)(a2+b2)+1=0,则 a2+b2的值为( A.-2 B.5 C.2 D.1 【点拨】(a2+b2-2)(a2+b2)+1=0,(a2+b2)2- 2(a2+b2)+1=0.·(a2+b2-1)2=0..a2+b2=1. 8.若方程(x一3)2=1的两个根恰好分别是等腰三角形ABC 的底边长和腰长，则△ABC的周长为10 返回 举一反三 9.*新考法图象信息法定义x表示不超过 实数x的最大整数如[1.8]=1， -2-1 [-1.4]=-2,[-3]=-3.函数y=[x] 的部分图象如图所示，则方程 []=2x2在-2≤x<2范围内的解为 x=0或x=√2 举一反三 10. *对任意实数a,b,规定一种新运算“△： a△b=a2-b2 (1)求(x+2)△5=0中x的值； 【解】由题意，得(x+2)△5=(x+2)2-52=0, 即(x+2)2=25.两边直接开平方，得x+2=±5， 解得X1=3,x2=-7. 举一反三 (2)已知直角三角形的两边长是方程3△(x-8)=0的两根 求该直角三角形的第三条边长， 由题意，得3△(x-8)=32-(x-8)2=9-(x-8)2 解方程9-(x-8)2=0,得x1=11,x2=5. 当11是该直角三角形的斜边长时，第三条边长为 √112-52=4V6; 当11是该直角三角形的直角边长时，第三条边长为 V112+52=V146 综上所述，该直角三角形的第三条边长为4√6或√146 返回 谢谢观看 THANKS