专题3.4 相似三角形的性质（4大知识点+10大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2026-2027学年北师大版九年级数学上册

专题3.4 相似三角形的性质 知识点1：相似三角形对应线段的比 　　1.对应高的比：相似三角形对应边上的高的比等于相似比。 　　2.对应角平分线的比：相似三角形对应角平分线的比等于相似比。 　　3.对应中线的比：相似三角形对应中线的比等于相似比。 知识点2：相似三角形的周长比 　　1.周长比：相似三角形周长的比等于相似比。 　　2.运用：已知相似比与一个三角形周长，可求另一个三角形周长。 知识点3：相似三角形的面积比 　　1.面积比：相似三角形面积的比等于相似比的平方。 　　2.注意：面积比不是相似比，而是相似比的平方，两者勿混淆。 知识点4：对应量比值关系 对应量 比值 说明 对应边 等于相似比 k k 为相似比 对应高 等于相似比 k 对应边上的高 对应中线 等于相似比 k 对应边上的中线 对应角平分线 等于相似比 k 对应角的平分线 周长 等于相似比 k 周长比＝相似比 面积 等于相似比平方 k² 面积比＝k² 【基础必考题型】 【题型1】求相似三角形的对应边长 1.核心知识点 　　相似三角形对应边成比例；利用相似比求边长。 2.解题方法技巧 　　①由已知对应边求相似比； 　　②用相似比乘已知边长求未知边； ③注意对应边的对应关系。 【例题1】.（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图，在中，点，分别是，上的点，且，若，，，则的值是（     ） A．6 B．9 C．12 D．15 【变式题1-1】.（26-27九年级上·全国·单元复习）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，且落点恰好在离网的位置上．已知网高为，击球点到网的水平距离为，若球的运动路线为直线的一部分，则球拍击球的高度为（     ） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（26-27九年级上·江苏常州·阶段检测）如图，在中，点D是上一点，且， (1)求证：； (2)若，求的长． 【题型2】求相似三角形的对应角度 1.核心知识点 　　相似三角形对应角相等；三角形内角和求角。 2.解题方法技巧 　　①由相似得对应角相等； 　　②利用三角形内角和 求未知角； ③注意等腰、直角等特殊条件。 【例题2】.（26-27九年级上·全国·单元测试）已知，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在小正方形组成的网格中，和的顶点都在网格点上，则的度数为_________ 【变式题2-2】.（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在和中，，且，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式题2-3】.（2026九年级上·全国·专题练习）若与以点A，D，E为顶点的三角形相似，，试求与的度数． 【题型3】由周长比求周长 1.核心知识点 　　周长比等于相似比；由已知周长求另一周长。 2.解题方法技巧 　　①确定相似比； 　　②周长比＝相似比，列比例求另一周长； ③周长差、和时设元列方程。 【例题3】.（26-27九年级上·江苏常州·阶段检测）若，它们的周长比为，则对应边与之比为（     ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（26-27九年级上·甘肃张掖·阶段检测）已知，在和中，，且的周长为，求的周长． 【变式题3-2】.（26-27九年级上·江苏常州·阶段检测）如图，点B、D、E在一条直线上，与相交于点F，． (1)求证：； (2)若，的周长等于8，求的周长． 【变式题3-3】.（2026·云南曲靖·二模）如图，在中，分别是上的点，且．若的周长为，的周长为，则（   ） A． B． C． D． 【题型4】由面积比求面积 1.核心知识点 　　面积比等于相似比的平方；由相似比求面积。 2.解题方法技巧 　　①先求相似比 k，面积比＝k²； 　　②由一边面积与面积比求另一边面积； ③面积差时设元列方程求解。 【例题4】.（24-25九年级上·北京·期末）如图，在中，，，的面积为． (1)证明 (2)求四边形的面积． 【变式题4-1】.（25-26七年级上·湖南长沙·自主招生）如图，长方形被分成四块，已知其中3块的面积分别为平方厘米，那么余下的四边形的面积为___________平方厘米． 【变式题4-2】.（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，点D，E分别在边上，若，且相似比是，，则四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式题4-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，E是边上一点，且，连接与对角线相交于点F． (1)求与的周长比； (2)若的面积是，求的面积． 【培优高频题型】 【题型5】由对应角平分线或中线求线段 1.核心知识点 　　对应角平分线、中线的比等于相似比。 2.解题方法技巧 　　①由对应角平分线、中线之比得相似比； 　　②用相似比求另一条对应线段； ③注意是线段的比而非面积比。 【例题5】.（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在中，，D，E分别为，边上的点，连接，，，过点A作交于点F． (1)求证：； (2)若D是的中点，，，求的长． 【变式题5-1】.（26-27九年级上·全国·单元测试）已知，和是它们对应的角平分线，和是它们对应的高线，若，，则的值为_______． 【变式题5-2】.（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，在矩形中，点E在上，，与相交于点O，与相交于点F． (1)若平分，求证：； (2)若，，求的长度． 【变式题5-3】.（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在中，分别为边上的点，连结，过点A作交于点F． (1)求证：； (2)若D是的中点，，求的长． 【题型6】由周长差、面积差求值 1.核心知识点 　　周长差、面积差与相似比、相似比平方的关系。 2.解题方法技巧 　　①设较小量为 x，较大量为 kx（面积 k²x）； 　　②由差列方程求解； ③注意所求为哪一个三角形。 【例题6】.（26-27九年级上·全国·课后作业）两个相似三角形对应角平分线的比为，周长差是，求较大三角形的周长． 【变式题6-1】.（2026九年级上·全国·专题练习）两个相似三角形对应边的长分别为和，且两个三角形的面积差为．求较大三角形的面积． 【变式题6-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如果一个三角形的三边长分别是5、12和13，与其相似的三角形的最长边长是39，那么较大三角形的周长是多少？较小三角形与较大三角形周长的比是多少？ 【变式题6-3】.（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）两个相似三角形的对应边之比为，若较小三角形的周长为，则较大三角形的周长为（     ） A． B． C． D． 【题型7】结合判定求线段长度 1.核心知识点 　　先判定相似，再运用性质求线段长。 2.解题方法技巧 　　①先由条件判定三角形相似； 　　②确定相似比并列出比例式； ③代入已知量解出未知线段。 【例题7】.（26-27九年级上·山东聊城·阶段检测）如图，一块材料的形状是锐角三角形，边，边上的高为．把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上，求这个正方形零件的边长？ 【变式题7-1】.（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，在正方形中，E是边上任意一点，连接，过点E作交于点F，若，，求的长． 【变式题7-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，D是的边上一点，且． (1)求证：； (2)若D是线段的黄金分割点，，求线段的长． 【变式题7-3】.（26-27九年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图，在中，，，，，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【题型8】结合判定求面积 1.核心知识点 　　判定相似后利用面积比求面积。 2.解题方法技巧 　　①判定相似并求相似比； 　　②面积比＝k²，由已知面积求未知面积； ③涉及四边形面积时转化为三角形面积和差。 【例题8】.（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在四边形中，，相交于点，点在上，且满足，． (1)求证：； (2)若，，的面积为，求的面积． 【变式题8-1】.（26-27九年级上·全国·单元复习）【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了矩形纸张，即如图①所示的矩形．他先通过对折找到边的中点E，再将沿着直线翻折得到，连结，小亮猜想． (1)【问题解决】小亮对上面的猜想进行了证明，下面是部分证明过程： 证明：为边的中点， ． 将沿着直线翻折得到， ， ． 请你补全余下的证明过程． (2)【结论应用】如图①，在【探索发现】的基础上，若的面积为6，求矩形的面积； (3)如图②，在【探索发现】的基础上，过点作交线段于点F．若，则矩形的周长为______． 【变式题8-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，垂足为D，，分别交，，于点E，F，G，，，，求的长和的面积． 【变式题8-3】.（26-27九年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，在中，，点在边上移动，过点作交于点，过点作交延长线于点． (1)如图1，求证：； (2)已知平分，． ①如图2，若，求的长__________． ②如图3，过点作于点，连接．若，直接写出的面积_______． 【压轴素养题型】 【题型9】证明线段乘积等式 1.核心知识点 　　相似三角形对应边成比例，证明乘积等式。 2.解题方法技巧 　　①把乘积式化为比例式； 　　②寻找含对应边的相似三角形； ③利用等量代换、比例性质完成证明。 【例题9】.（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，是的斜边上的高，延长至点P，连接，过B作于点G，交于点D．求证：． 【变式题9-1】.（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）如图，点E为边上一点，过点C作，交的延长线于点D，交的延长线于点F，且． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【变式题9-2】.（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，是直角三角形，，于，是上的点，的延长线与的延长线交于点，且．求证：； 【变式题9-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在和中，．求证： (1)； (2)． 【题型10】综合证明与探究 1.核心知识点 　　相似性质结合判定、特殊图形（正方形、菱形）综合证明与探究。 2.解题方法技巧 　　①由平行、垂直、旋转找相似三角形； 　　②运用对应边成比例、面积比证明结论； 　　③多步推理，规范书写。 【例题10】.（25-26八年级下·江苏镇江·期末）在中，点是的平分线上一点，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，直线，交于点，过点作，垂足为点． 【观察猜想】 (1)如图1，当为锐角时，用等式表示线段，，的数量关系：______． 【类比探究】 (2)如图2，当为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． 【拓展应用】 (3)当，且时，若，请直接写出的值． 【变式题10-1】.（25-26九年级上·四川资阳·期末）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【初步感知】 （1）如图1，在正方形中，点分别是上的两点，连接，且．则的值为___________． （2）如图2，在矩形中，，点是边上的一点，连接．当时，则的值为___________． 【类比探究】 （3）如图3，在四边形中，，点为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，若，求的长度； 【拓展延伸】 （4）如图4，在四边形中，，中，，点分别在边上，连接，且．求的值． 【变式题10-2】.（25-26九年级上·陕西渭南·期末）【问题探究】 （1）如图1，在中，，于点，试说明：； （2）如图2，在菱形中，对角线与相交于点，点为的中点，连接交于点，若，，求的长； 【问题解决】 （3）某广告公司承接了一项业务，广告内容呈现在一块矩形板材上，如图3所示，点在边上，由于工作需要，需使与关于直线对称，且点在边上，为的中点，连接，交于点，．根据设计要求，要在段进行镀金装饰，已知米，为合理预算，需知道镀金装饰部分的长度．请你帮助设计师求出镀金装饰部分的长度． 【变式题10-3】.（25-26九年级上·陕西榆林·期末）【问题探究】 （1）如图1，在中，，的顶点D在边的延长线上，，，连接，若，试探究与之间有怎样的数量关系，并求的值； 【拓展应用】 （2）如图2，王伯伯准备在空地周围开垦一片菜园，其中，米，外的空地可利用，在边上取点D，以为边，在上方开垦正方形菜园，点O为正方形菜园的对称中心，在点O处设置浇水喷头，以保障菜园的供水充足，沿铺设水管向点O处引水，已知米，、是两条人行小道，求正方形菜园的面积．    易错点 1、混淆面积比与相似比，面积比误当相似比。 2、求对应线段时对应关系找错，比例写反。 3、周长比、面积比混淆应用。 4、由周长差、面积差求值时设元不当。 5、证明线段乘积等式时比例式转化错误。 6、综合问题中忽略相似前提，直接套用面积比。 重点 1、掌握对应高、中线、角平分线比等于相似比。 2、掌握周长比等于相似比、面积比等于相似比平方。 3、能结合判定定理运用性质求边、角、面积。 4、能运用性质证明线段关系、完成综合推理。 难点 1、面积比与相似比关系的灵活转化。 2、结合判定求线段最值问题。 3、证明线段乘积等式与综合推理。 4、多组相似、特殊图形中的综合求面积。 【对应练习题】 一、单选题 1．如图，已知，与相交于点．若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C． D．3 2．如图，一座正方形城池北、西边正中处各开一道门，从点A往正北方向走40步刚好有一棵树位于点B处．若从点C往正西方向走810步到达点D处时正好看到此树，则正方形城池的边长为（     ） A．360步 B．270步 C．180步 D．90步 3．如果点是的重心，是边的中点，那么的值为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．如图，在中，，若，则与四边形的面积比是________． 5．如图，在中，，点是△的重心，，垂足为，若，则线段的长度为_________． 6．如图，已知于，于，于，，，，为上一点，当_____时，与相似． 三、解答题 7．如图，在中，，，求的面积． 8．如图，已知，用尺规在上分别作点（点不与的顶点重合），使其分别满足以下要求（不写作法，保留作图痕迹）： (1)图1中，的周长等于的周长的一半； (2)图2中，的面积等于的面积的一半． (3)在（2）中平行于，求的值． 9．如图，已知中，点D在边的延长线上，点E在边上，连接并延长，交边于点F，求证：． 10．如图，已知，，与分别是与的中线，与分别是与的角平分线，，，求，的长． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.4 相似三角形的性质 知识点1：相似三角形对应线段的比 　　1.对应高的比：相似三角形对应边上的高的比等于相似比。 　　2.对应角平分线的比：相似三角形对应角平分线的比等于相似比。 　　3.对应中线的比：相似三角形对应中线的比等于相似比。 知识点2：相似三角形的周长比 　　1.周长比：相似三角形周长的比等于相似比。 　　2.运用：已知相似比与一个三角形周长，可求另一个三角形周长。 知识点3：相似三角形的面积比 　　1.面积比：相似三角形面积的比等于相似比的平方。 　　2.注意：面积比不是相似比，而是相似比的平方，两者勿混淆。 知识点4：对应量比值关系 对应量 比值 说明 对应边 等于相似比 k k 为相似比 对应高 等于相似比 k 对应边上的高 对应中线 等于相似比 k 对应边上的中线 对应角平分线 等于相似比 k 对应角的平分线 周长 等于相似比 k 周长比＝相似比 面积 等于相似比平方 k² 面积比＝k² 【基础必考题型】 【题型1】求相似三角形的对应边长 1.核心知识点 　　相似三角形对应边成比例；利用相似比求边长。 2.解题方法技巧 　　①由已知对应边求相似比； 　　②用相似比乘已知边长求未知边； ③注意对应边的对应关系。 【例题1】.（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图，在中，点，分别是，上的点，且，若，，，则的值是（     ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】D 【分析】由可得，利用相似三角形对应边成比例求解即可． 【详解】解：∵，， ． ∵， ，， ， ． ， ， ． 【变式题1-1】.（26-27九年级上·全国·单元复习）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可证明，根据相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】解：， ， 又， ， ， ， ， ． 【变式题1-2】.（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，且落点恰好在离网的位置上．已知网高为，击球点到网的水平距离为，若球的运动路线为直线的一部分，则球拍击球的高度为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，可得，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：如下图， 根据题意，可得，且， ∴， ∴，即， ∴，解得， 即球拍击球的高度为． 【变式题1-3】.（26-27九年级上·江苏常州·阶段检测）如图，在中，点D是上一点，且， (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； (2) 【分析】（1）可证明，结合，即可证明； （2）根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ∴， ∵， ∴． 【题型2】求相似三角形的对应角度 1.核心知识点 　　相似三角形对应角相等；三角形内角和求角。 2.解题方法技巧 　　①由相似得对应角相等； 　　②利用三角形内角和 求未知角； ③注意等腰、直角等特殊条件。 【例题2】.（26-27九年级上·全国·单元测试）已知，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴. 【变式题2-1】.（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在小正方形组成的网格中，和的顶点都在网格点上，则的度数为_________ 【答案】/45度 【分析】利用勾股定理求得和各边长，进而证明，根据相似三角形的性质得出，即可求解． 【详解】解：在小正方形组成的网格中，和的顶点都在网格点上， 由勾股定理得：，，， ，，， ， ， ， ． 【变式题2-2】.（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在和中，，且，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质解决问题的关键是能证明两三角形相似． 根据题目条件可以利用“两组对应边成比例并且夹角相等的两个三角形相似”证明，进而得到对应角相等． 【详解】解：∵， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴． 【变式题2-3】.（2026九年级上·全国·专题练习）若与以点A，D，E为顶点的三角形相似，，试求与的度数． 【答案】或 【分析】根据相似三角形的性质分两种情况作答即可． 【详解】解：与以A，D，E为顶点的三角形相似，且． ①当时，有，； ②当时，有，∴． 【题型3】由周长比求周长 1.核心知识点 　　周长比等于相似比；由已知周长求另一周长。 2.解题方法技巧 　　①确定相似比； 　　②周长比＝相似比，列比例求另一周长； ③周长差、和时设元列方程。 【例题3】.（26-27九年级上·江苏常州·阶段检测）若，它们的周长比为，则对应边与之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵，周长比为， ∴与的相似比为， ∴对应边与的比为． 【变式题3-1】.（26-27九年级上·甘肃张掖·阶段检测）已知，在和中，，且的周长为，求的周长． 【答案】 【分析】证明，再根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的周长与的周长之比为， ∵的周长为， ∴的周长为 【变式题3-2】.（26-27九年级上·江苏常州·阶段检测）如图，点B、D、E在一条直线上，与相交于点F，． (1)求证：； (2)若，的周长等于8，求的周长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）证明，得到，据此可证明； （2）由相似三角形的性质得到，则可证明，再根据相似三角形的周长之比等于相似比即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ∴， 又∵， ∴， ∴的周长与的周长的比， ∵， ∴的周长与的周长的比， ∵的周长等于8， ∴的周长为． 【变式题3-3】.（2026·云南曲靖·二模）如图，在中，分别是上的点，且．若的周长为，的周长为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先结合夹角相等，两边成比例，得证，再根据的周长为，的周长为，相似三角形的周长比等于相似比，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴ ∴． 【题型4】由面积比求面积 1.核心知识点 　　面积比等于相似比的平方；由相似比求面积。 2.解题方法技巧 　　①先求相似比 k，面积比＝k²； 　　②由一边面积与面积比求另一边面积； ③面积差时设元列方程求解。 【例题4】.（24-25九年级上·北京·期末）如图，在中，，，的面积为． (1)证明 (2)求四边形的面积． 【答案】(1) 证明：∵， ∴； (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． （1）由直接判定即可； （2）利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式题4-1】.（25-26七年级上·湖南长沙·自主招生）如图，长方形被分成四块，已知其中3块的面积分别为平方厘米，那么余下的四边形的面积为___________平方厘米． 【答案】9 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质．连接，根据，可得，从而得到平方厘米，再由平方厘米，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， 又和高相等， ∴(平方厘米)， ∵(平方厘米)， ∴(平方厘米)． 故答案为：9 【变式题4-2】.（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，点D，E分别在边上，若，且相似比是，，则四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵，且相似比是， ∴， ∴， ∵， ∴， 则四边形的面积是， 故选：C． 【变式题4-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，E是边上一点，且，连接与对角线相交于点F． (1)求与的周长比； (2)若的面积是，求的面积． 【答案】(1)与的周长之比为 (2)的面积为 【分析】（1）先求出，再证明，由相似三角形的性质解答即可； （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵相似三角形的周长比等于相似比， ∴与的周长比为； （2）解：∵相似三角形的面积比等于相似比的平方， ∴， ∵的面积是， ∴的面积为． 【培优高频题型】 【题型5】由对应角平分线或中线求线段 1.核心知识点 　　对应角平分线、中线的比等于相似比。 2.解题方法技巧 　　①由对应角平分线、中线之比得相似比； 　　②用相似比求另一条对应线段； ③注意是线段的比而非面积比。 【例题5】.（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在中，，D，E分别为，边上的点，连接，，，过点A作交于点F． (1)求证：； (2)若D是的中点，，，求的长． 【答案】(1)证明：， ， ∴． ， ， ∵． ， ． (2) 【分析】（1）根据平行线的性质可得，因此，根据同角的余角相等得到，根据相似三角形的判定定理即可证明； （2）由得到，因此，即可求得．根据勾股定理求出，根据得到，即可求得，再根据直角三角形斜边上中线的性质即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：是的中点， ∴ ∵， ∴， ∴，即， ∴． ∵在中，，， ∴． ， ，即， ． 是斜边的中点， ． 【变式题5-1】.（26-27九年级上·全国·单元测试）已知，和是它们对应的角平分线，和是它们对应的高线，若，，则的值为_______． 【答案】4 【分析】根据相似三角形对应角平分线的比和对应高线的比都等于相似比，列出比例式即可求解 【详解】解：∵ ，和是对应角平分线，和是对应高线， 由相似三角形对应角平分线的比等于相似比，对应高线的比也等于相似比，可得 ∵，， 【变式题5-2】.（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，在矩形中，点E在上，，与相交于点O，与相交于点F． (1)若平分，求证：； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)证明：如图，在矩形中，，，， ，． ， ． 又平分， ， ， ， ， ． (2) 【分析】（1）由矩形的性质得到，，然后结合得到，然后等量代换推出，即可证明； （2）证明，得到，推出，然后证明，得到，推出，求出，进而求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知． 又， ， ， ，即， ∴， ∴， 由（1）可知． 又， ， ， ， ， 解得（负值已舍去）， ． 【变式题5-3】.（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在中，分别为边上的点，连结，过点A作交于点F． (1)求证：； (2)若D是的中点，，求的长． 【答案】(1)证明：， ，即， ． ， ， ， ； (2) 【分析】（1）利用同角的余角相等求得，即可证明； （2）利用勾股定理求得．再根据相似三角形的性质列式计算求得，再利用直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略． （2）解：∵， ∴ ∴， 是的中点， ∴， ． 在中，由勾股定理，得． ， ，即， ． 是斜边的中点， ． 【题型6】由周长差、面积差求值 1.核心知识点 　　周长差、面积差与相似比、相似比平方的关系。 2.解题方法技巧 　　①设较小量为 x，较大量为 kx（面积 k²x）； 　　②由差列方程求解； ③注意所求为哪一个三角形。 【例题6】.（26-27九年级上·全国·课后作业）两个相似三角形对应角平分线的比为，周长差是，求较大三角形的周长． 【答案】较大三角形的周长为 【分析】根据相似三角形的周长比等于对应线段比，即可得这两个相似三角形的周长比，可设较大三角形的周长为，则较小三角形的周长为，再根据周长差是列方程，解出即可得较大三角形的周长． 【详解】解：∵两个相似三角形对应角平分线的比为， ∴这两个相似三角形的相似比为， ∴这两个相似三角形的周长比为． 设较大三角形的周长为，则较小三角形的周长为，由题意得： ，解得：， ∴． ∴较大三角形的周长为． 【变式题6-1】.（2026九年级上·全国·专题练习）两个相似三角形对应边的长分别为和，且两个三角形的面积差为．求较大三角形的面积． 【答案】较大三角形的面积为 【分析】本题考查相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键． 设较大三角形的面积是，由相似三角形面积的比等于相似比的平方得到求解即可． 【详解】解：设较大三角形的面积是，则较小三角形的面积为． 由题意可得：，解得：． 答：较大三角形的面积为． 【变式题6-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如果一个三角形的三边长分别是5、12和13，与其相似的三角形的最长边长是39，那么较大三角形的周长是多少？较小三角形与较大三角形周长的比是多少？ 【答案】较大三角形的周长为，较小三角形与较大三角形周长的比为 【分析】由相似三角形的最长对应边求出相似比，结合相似三角形周长比等于相似比的性质计算． 【详解】解：两个三角形相似，最长边为对应边， 较小三角形与较大三角形的相似比为． 较小三角形的周长为， 相似三角形的周长比等于相似比， 较大三角形的周长为． 较小三角形与较大三角形的周长比为． 【变式题6-3】.（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）两个相似三角形的对应边之比为，若较小三角形的周长为，则较大三角形的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵两个相似三角形的对应边之比为， ∴它们的周长之比为， 设较大三角形的周长为， ∵较小三角形的周长为， ∴， 解得， ∴较大三角形的周长为. 【题型7】结合判定求线段长度 1.核心知识点 　　先判定相似，再运用性质求线段长。 2.解题方法技巧 　　①先由条件判定三角形相似； 　　②确定相似比并列出比例式； ③代入已知量解出未知线段。 【例题7】.（26-27九年级上·山东聊城·阶段检测）如图，一块材料的形状是锐角三角形，边，边上的高为．把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上，求这个正方形零件的边长？ 【答案】这个正方形零件的边长为． 【分析】设正方形零件的边长为，证明，根据相似三角形的性质得到比例式，解方程即可得到结果． 【详解】解：设正方形的边长为， 四边形是正方形， 。 。 设高与交于点。 ， ，且四边形为矩形。 。 由，得。 根据相似三角形对应高之比等于相似比得， 代入得：， 解得：， 所以，这个正方形零件的边长为． 【变式题7-1】.（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，在正方形中，E是边上任意一点，连接，过点E作交于点F，若，，求的长． 【答案】 【分析】证明，列出比例式进行求解即可. 【详解】解：在正方形中，，， ． ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式题7-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，D是的边上一点，且． (1)求证：； (2)若D是线段的黄金分割点，，求线段的长． 【答案】(1)证明：， ， 又， ， ． (2) 【分析】（1）根据两边成比例且夹角相等的三角形相似和相似三角形的性质推理即可； （2）设，则，，根据黄金分割的定义可得，代入解方程即可求出的长． 【详解】（1）略 （2）解：设，则， ， ∵D是线段的黄金分割点， ， ， ， ， （舍去）， ． 【变式题7-3】.（26-27九年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图，在中，，，，，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：， ， ， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）根据垂直的定义和平行线的性质可证，，根据两个角对应相等的两个三角形相似可证； （2）利用勾股定理求出，再根据相似三角形对应边成比例即可求出结果． 【详解】（1）略 （2）解：在中，，，， ， ， ， ， ． 【题型8】结合判定求面积 1.核心知识点 　　判定相似后利用面积比求面积。 2.解题方法技巧 　　①判定相似并求相似比； 　　②面积比＝k²，由已知面积求未知面积； ③涉及四边形面积时转化为三角形面积和差。 【例题8】.（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在四边形中，，相交于点，点在上，且满足，． (1)求证：； (2)若，，的面积为，求的面积． 【答案】(1)证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）根据两边对应成比例且夹角相等，证明两个三角形相似即可； （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵的面积为， ∴． 【变式题8-1】.（26-27九年级上·全国·单元复习）【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了矩形纸张，即如图①所示的矩形．他先通过对折找到边的中点E，再将沿着直线翻折得到，连结，小亮猜想． (1)【问题解决】小亮对上面的猜想进行了证明，下面是部分证明过程： 证明：为边的中点， ． 将沿着直线翻折得到， ， ． 请你补全余下的证明过程． (2)【结论应用】如图①，在【探索发现】的基础上，若的面积为6，求矩形的面积； (3)如图②，在【探索发现】的基础上，过点作交线段于点F．若，则矩形的周长为______． 【答案】(1)证明：为边的中点， ． 将沿着直线翻折得到， ， ， ， ， ， ∴； (2) (3) 【分析】（1）由折叠的性质可得出结论； （2）连结交于点M，连接，设，则，，再证明，可得，从而得到，然后证明，即可求解； （3）连结交于点N，设，根据，可得y的值，从而得到，，，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连结交于点M，连接， 根据题意设，则． 为的中点，是的重点， ， ， 由折叠的性质得：，，即， ， 又， ， 又， ， ， ， （负值已舍去）， ∴， ， ， ， ， ， ． 为的中点，， ， ， ； （3）解：连结交于点N，如图， ， ， ， ， ， ， ， 由折叠的性质得：， ， 设， ∵， ， ， ， 解得（舍去）， ， ， ， ∴矩形的周长． 【变式题8-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，垂足为D，，分别交，，于点E，F，G，，，，求的长和的面积． 【答案】的长为9，的面积为54 【分析】根据，可得，则，即可求出的面积，再依据，得出，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ． ∴， ∵， ∴ 解得， ， ， ， 又， ， 解得． 【变式题8-3】.（26-27九年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，在中，，点在边上移动，过点作交于点，过点作交延长线于点． (1)如图1，求证：； (2)已知平分，． ①如图2，若，求的长__________． ②如图3，过点作于点，连接．若，直接写出的面积_______． 【答案】(1)证明：∵，， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)①；②30 【分析】（1）先由同角的余角相等得到，再由等腰三角形得到，等量代换即可得证； （2）①过点A作于点H，过点E作于点N，先证得，由全等性质得到相关边与角度的相等关系，在中，解直角三角形得出相关边的关系，进而由平行线的性质得出，可设，则，，表示出相应线段长度，由列方程求出k，即可得到答案； ②先证得，再由平行线分线段成比例得到，从而得到相关线段关系及，设，表示出相关线段，再结合，可得，即可得到，在中，由勾股定理列方程求出，即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：①过点A作于点H，过点E作于点N，如图所示： ∵平分， ∴， ∵， 由（1）得：， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图所示： ∵， ∴， 由（1）得：，由（2）①得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 【压轴素养题型】 【题型9】证明线段乘积等式 1.核心知识点 　　相似三角形对应边成比例，证明乘积等式。 2.解题方法技巧 　　①把乘积式化为比例式； 　　②寻找含对应边的相似三角形； ③利用等量代换、比例性质完成证明。 【例题9】.（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，是的斜边上的高，延长至点P，连接，过B作于点G，交于点D．求证：． 【答案】证明：是的斜边上的高， ∴ ， ∴，， ∴， ∴， ，即． ， ，， ∵ ， ∴， ，即， ． 【分析】先证明可得，即；再证明，可得，即，从而证明结论． 【详解】略 【变式题9-1】.（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）如图，点E为边上一点，过点C作，交的延长线于点D，交的延长线于点F，且． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【答案】(1)证明：， ， ， ， ， ， ， ， ； (2)证明：， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ∴． 【分析】（1）先证明，再根据相似三角形的性质、对顶角相等和三角形内角和即可得证； （2）根据等腰三角形的三线合一即可得出，再证明，根据相似三角形的性质得出，根据等式的性质和等量代换即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 【变式题9-2】.（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，是直角三角形，，于，是上的点，的延长线与的延长线交于点，且．求证：； 【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，即 ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】根据余角的性质可得出，根据对顶角的性质并结合已知可得出，证明，即可解决问题. 【详解】略 【变式题9-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在和中，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明：， ， ， ， (2)证明：， ， 由（1）知，， ， ， 【分析】（1）先由三边对应成比例证，得到，同减公共角即可得； （2）由变形得，结合（1）得到的等角，可证，可得，再根据比例的基本性质把比例式化为乘积式即可． 【详解】（1）略 （2）略 【题型10】综合证明与探究 1.核心知识点 　　相似性质结合判定、特殊图形（正方形、菱形）综合证明与探究。 2.解题方法技巧 　　①由平行、垂直、旋转找相似三角形； 　　②运用对应边成比例、面积比证明结论； 　　③多步推理，规范书写。 【例题10】.（25-26八年级下·江苏镇江·期末）在中，点是的平分线上一点，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，直线，交于点，过点作，垂足为点． 【观察猜想】 (1)如图1，当为锐角时，用等式表示线段，，的数量关系：______． 【类比探究】 (2)如图2，当为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． 【拓展应用】 (3)当，且时，若，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)解：补全图形如下： （1）中结论不成立，正确的结论是：． 证明如下： 如图，过点C作于点Q． ∵平分，，， ∴． 在与中， ∵， ∴， ∴． ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． (3)或 【分析】（1）过点C作于点P．根据“角平分线的性质”可得，．证，根据“全等三角形的性质”可得，．再证四边形是矩形，从而可得，最后证得； （2）过点C作于点Q．根据“角平分线的性质”可得，．证，根据“全等三角形的性质”可得，．再证四边形是矩形，从而可得，最后证得； （3）分和两种情况进行讨论求解，先证 ，再运用勾股定理求，证，最后求出． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图，过点C作于点P． ∵平分，，， ∴． 在与中， ∵， ∴， ∴． ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． （2）略 （3）解：①如图，当时， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 由（1）可知，， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图，当时， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 由（2）可知，， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，或． 【变式题10-1】.（25-26九年级上·四川资阳·期末）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【初步感知】 （1）如图1，在正方形中，点分别是上的两点，连接，且．则的值为___________． （2）如图2，在矩形中，，点是边上的一点，连接．当时，则的值为___________． 【类比探究】 （3）如图3，在四边形中，，点为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，若，求的长度； 【拓展延伸】 （4）如图4，在四边形中，，中，，点分别在边上，连接，且．求的值． 【答案】（1）1；（2；（3）；（4） 【分析】（1）根据“”，易证，得，计算即可求解； （2）根据“”，易证，得，计算即可求解． （3）过点作，交的延长线于点，根据“”，易证，得，从而得，再根据“三个角是直角的四边形是矩形”判定四边形为矩形，求得和，最后利用三角函数，计算即可求解； （4）连接交于点，过点C作于点，根据“”，易证，得，从而垂直平分，进而，根据正切函数和面积相等，求出，，，，最后根据“”，易证，得，计算即可求解． 【详解】解：（1）1； 正方形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：1； （2）； 矩形，， ，，， ， ， ， ， ， ； 故答案为：； （3）（方法不唯一，正确即可得分） 过点作，交的延长线于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为矩形， ， ， ， 在中，， ， ， （4）连接交于点，过点C作于点， ， 和是直角三角形， ， ， ， 垂直平分， ， 在中，， ，， ， ， ， ， ，， ， ， 在中，， ， ， ， ，， ，，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查矩形和正方形的性质，全等三角形和相似三角形的判定和性质，面积相等求线段长，解直角三角形等，正确掌握相关知识是解题的关键． 【变式题10-2】.（25-26九年级上·陕西渭南·期末）【问题探究】 （1）如图1，在中，，于点，试说明：； （2）如图2，在菱形中，对角线与相交于点，点为的中点，连接交于点，若，，求的长； 【问题解决】 （3）某广告公司承接了一项业务，广告内容呈现在一块矩形板材上，如图3所示，点在边上，由于工作需要，需使与关于直线对称，且点在边上，为的中点，连接，交于点，．根据设计要求，要在段进行镀金装饰，已知米，为合理预算，需知道镀金装饰部分的长度．请你帮助设计师求出镀金装饰部分的长度． 【答案】 （1）证明： ， ． ， ． 又， ， ， ． （2）；（3） 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，菱形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据题意得出即可得证； （2）根据菱形的性质得出，进一步得出，再设，根据相似比求出，即；通过建立平面直角坐标系，可得点与点的坐标，最后利用两点间的距离公式即可求出答案； （3）先根据矩形的性质，轴对称的性质和平行线的性质，得出，进一步得，，同理（1）可得，进一步得，最后设，列方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：四边形为菱形，， ，，，，． 点为的中点， ． ， ， ． 设， 则，， ， 解得，， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ． ， 以菱形对角线的交点为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系， ，，， ，，． 点为的中点， ，即， ． 答：的长为． （3）解：四边形为矩形， ， ． 与关于直线对称， ， ，． ， ， ，， ，． 又 ， ， ． 为的中点， ． 同理（1）可得，， ， ． 设，则， ， 解得，，（不符合题意，舍去）， ． 答：的长为． 【变式题10-3】.（25-26九年级上·陕西榆林·期末）【问题探究】 （1）如图1，在中，，的顶点D在边的延长线上，，，连接，若，试探究与之间有怎样的数量关系，并求的值； 【拓展应用】 （2）如图2，王伯伯准备在空地周围开垦一片菜园，其中，米，外的空地可利用，在边上取点D，以为边，在上方开垦正方形菜园，点O为正方形菜园的对称中心，在点O处设置浇水喷头，以保障菜园的供水充足，沿铺设水管向点O处引水，已知米，、是两条人行小道，求正方形菜园的面积．    【答案】（1）；；（2）136平方米 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，中心对称，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，证明三角形相似，是解题的关键： （1）先证明，得到，，再证明，得到，，即可； （2）连接，根据正方形的性质，推出，得到，求出的长，进而求出的长，勾股定理求出，即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴，． （2）如图，连接，    ∵点O为正方形的对称中心， ∴，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴米， 又∵米， ∴（米）， 又∵，米， ∴， ∴正方形菜园的面积为136平方米． 易错点 1、混淆面积比与相似比，面积比误当相似比。 2、求对应线段时对应关系找错，比例写反。 3、周长比、面积比混淆应用。 4、由周长差、面积差求值时设元不当。 5、证明线段乘积等式时比例式转化错误。 6、综合问题中忽略相似前提，直接套用面积比。 重点 1、掌握对应高、中线、角平分线比等于相似比。 2、掌握周长比等于相似比、面积比等于相似比平方。 3、能结合判定定理运用性质求边、角、面积。 4、能运用性质证明线段关系、完成综合推理。 难点 1、面积比与相似比关系的灵活转化。 2、结合判定求线段最值问题。 3、证明线段乘积等式与综合推理。 4、多组相似、特殊图形中的综合求面积。 【对应练习题】 一、单选题 1．如图，已知，与相交于点．若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例定理可得，由此列方程即可求出的长． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：，经检验符合题意． 2．如图，一座正方形城池北、西边正中处各开一道门，从点A往正北方向走40步刚好有一棵树位于点B处．若从点C往正西方向走810步到达点D处时正好看到此树，则正方形城池的边长为（     ） A．360步 B．270步 C．180步 D．90步 【答案】A 【分析】设正方形城池的边长为步，利用正方形性质证明，利用相似三角形性质建立方程求解，即可解题． 【详解】解：设正方形城池的边长为步， 由题意知，步，步，步，， ， 由正方形性质可知，， ， ， ， 即，解得（舍负） ∴正方形城池的边长为步． 3．如果点是的重心，是边的中点，那么的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长至点，使得，连接，连接并延长交于点，证明，得出，，从而可得，再证明，由相似三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】解：如图，延长至点，使得，连接，连接并延长交于点， ∵点是的重心， ∴为的中点， ∴， ∵是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值为． 二、填空题 4．如图，在中，，若，则与四边形的面积比是________． 【答案】 【分析】先证明，利用三角形相似的性质解答即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 5．如图，在中，，点是△的重心，，垂足为，若，则线段的长度为_________． 【答案】9 【分析】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为．也考查了相似三角形的判定与性质．延长交于，如图，利用三角形重心的性质得到，，再证明，则可判断△△，然后利用相似比可求出的长，进而得到线段的长度． 【详解】解：延长交于，如图， 点是△的重心， ，， ， ， 而， ， △△， ， ， ． 故答案为：9． 6．如图，已知于，于，于，，，，为上一点，当_____时，与相似． 【答案】1或6 【分析】设，则，根据“两角对应相等的三角形相似”易得，从而，列出方程，求解即可． 【详解】解：设，则， ，， ， ，， ， ， ，即， ，解得，， 则当1或6时，与相似． 三、解答题 7．如图，在中，，，求的面积． 【答案】的面积为18 【分析】利用平行四边形的性质结合相似三角形的判定与性质得出，进而求解即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ，， ． ， ， ． ， ． 8．如图，已知，用尺规在上分别作点（点不与的顶点重合），使其分别满足以下要求（不写作法，保留作图痕迹）： (1)图1中，的周长等于的周长的一半； (2)图2中，的面积等于的面积的一半． (3)在（2）中平行于，求的值． 【答案】(1)解： (2) (3) 【分析】（1）利用垂直平分线的性质即可求出两边的中点，连接两个中点即可作出，确保的周长等于的周长的一半． （2）利用垂直平分线的方法分别作出边长的垂直平分线，分别交于点，分别以点和点为圆心，以为半径，作弧，与的垂直平分线交点和点，连接和，根据等腰直角三角形和勾股定理确定，，结合垂直平分线的性质即可知道和，通过等量转化可知和，分别以为半径，以点为圆心，分别交于点，即为所求． （3）根据第2问和可转化为，再根据三角形相似即可求出． 【详解】（1）解：分别作的边和的垂直平分线，交于点，交于点，连接，所构成的周长等于的周长的一半． （2）解：第一步：利用垂直平分线的方法分别作出边长的垂直平分线，分别交于点． 第二步：分别以点和点为圆心，以为半径，作弧，与的垂直平分线交点和点，连接和. 第三步：分别以为半径，以点为圆心，分别交于点，连接，即为的面积的一半． （3）解：连接，，如图所示， 由作图可知，为等腰直角三角形，，， ，， ，， ，， ，， ． ， ， ， ， ， ． 9．如图，已知中，点D在边的延长线上，点E在边上，连接并延长，交边于点F，求证：． 【答案】证明：过点A作，交的延长线于点G， 则，， ∴，， ． 【分析】过点A作，交的延长线于点G，则，，根据相似三角形的性质得到，，即可证明结论． 【详解】略 10．如图，已知，，与分别是与的中线，与分别是与的角平分线，，，求，的长． 【答案】， 【分析】由相似三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴与的相似比为， ∵与分别是与的中线，与分别是与的角平分线， ∴，， ∵，， ∴，． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $