第3章 4 课时2 相似三角形的周长比和面积比的性质-【勤径学升】2026-2027学年九年级上册数学同步练测教师用书Word（北师大版·新教材）

课时2　相似三角形的周长比和面积比的性质 相似三角形的周长比　　 (广西梧州期末)已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为1∶3，则△ABC与△DEF的周长比为(B) A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶9 已知△ABC∽△DEF，它们的周长分别为20和15，且AB＝8，则DE的长是(D) A．2 B．3 C．4 D．6 如果两个相似三角形的最大边上的中线长分别是5 cm和2 cm，它们周长的差是60 cm，那么这两个三角形的周长分别为100_cm，40_cm． 如图，已知矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的点P处，折痕与边BC交于点O. (1)求证：△OCP∽△PDA； (2)若△OCP与△PDA的周长比为1∶2，求边AB的长． 4题图 (1)证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝∠C＝∠D＝90°. 由折叠的性质可得AP＝AB，PO＝BO，∠APO＝∠B＝90°， ∴∠APD＝90°－∠CPO＝∠POC. ∵∠C＝∠D，∠POC＝∠APD， ∴△OCP∽△PDA. (2)解：∵△OCP∽△PDA，△OCP与△PDA的周长比为1∶2，∴＝＝，∴PA＝2OP，DA＝2CP. 在矩形ABCD中，AD＝8，∴CP＝4，BC＝8. 设OP＝x，则OB＝x，CO＝8－x. 在Rt△PCO中，∠C＝90°，CP＝4， 根据勾股定理，得x2＝(8－x)2＋42，解得x＝5， ∴AB＝AP＝2OP＝10，即边AB的长为10. 相似三角形的面积比　　 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E，若BE＝2，BC＝3，则＝(B) A． B． C． D． 5题图 　 6题图 　 7题图 (广州中考)如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，若＝，则＝． 如图，D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，且DE∥AC，AE，CD相交于点O.若＝，则＝． 如图，四边形ABCD为平行四边形，E，F为CD边的两个三等分点，连接AF，BE交于点G，若S△ABG＝12，求S△EFG. 8题图 解：∵E，F是CD的三等分点， ∴EF＝CD. 在▱ABCD中，AB＝CD，AB∥CD， ∴EF＝AB，∠EFA＝∠FAB，∠GEF＝∠GBA， ∴△EFG∽△BAG， ∴＝＝， ∴S△EFG＝S△ABG＝. 如图，在边长均为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，D四个点均在格点上，AC与BD相交于点E，连接AB，CD，则△ABE与△CDE的周长比为(D) A．1∶4 B．4∶1 C．1∶2 D．2∶1 　　　 如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，且DE＝CE，连接BE并延长，交AD的延长线于点F，连接AE，则S△FED∶S△ABE＝(A) A．1∶6 B．2∶5 C．1∶3 D．3∶7 如图，将等边三角形ABC沿边AC上的高线BD平移到△EFG，阴影部分的面积记为S.若＝，S△ABC＝16，则S＝9． 　　　 如图，已知在▱ABCD中，E是BC的三等分点，连接AE交对角线BD于点F，则S△BEF∶S△ABF∶S△ADF∶S四边形CDFE1∶3∶9∶11． 如图，四边形ABCD是平行四边形，E为AB上一点，且AE∶BE＝3∶1，连接AC，DE交于点F. (1)求证：△AEF∽△CDF； (2)求△AEF与△CDF的周长比； (3)如果△CDF的面积为32 cm2，求四边形BEFC的面积． 5题图 (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD， ∴∠FAE＝∠FCD，∠FEA＝∠FDC，∴△AEF∽△CDF. (2)解：∵在平行四边形ABCD中，AB＝CD，AE∶BE＝3∶1，∴AE∶AB＝AE∶CD＝3∶4.由(1)知△AEF∽△CDF，∴△AEF与△CDF的周长比为3∶4. (3)解：由(2)得AE∶CD＝3∶4.∵△AEF∽△CDF，∴＝＝，＝＝.∵S△CDF＝32 cm2，∴S△ADF＝24 cm2，S△AEF＝18 cm2，∴S△ABC＝S△ADC＝S△CDF＋S△ADF＝32＋24＝56(cm2)，∴S四边形BEFC＝S△ABC－S△AEF＝56－18＝38(cm2). [核心素养]如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，动点E(与点A，C不重合)在AC边上，EF∥AB交BC于点F. (1)当△ECF的面积与四边形EABF的面积相等时，求CE的长； (2)在AB上是否存在点P，使得△EFP为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请直接写出EF的长． 6题图 解：(1)∵△ECF的面积与四边形EABF的面积相等， ∴S△ECF∶S△ACB＝1∶2. 由EF∥AB，易得△ECF∽△ACB， ∴＝＝，∴＝， ∴CE＝AC＝2. (2)存在．EF的长为或. 分两种情况： ①如答图①，当∠PEF＝90°时，EP＝EF. 过点C作CD⊥AB于点D，由AB＝5，BC＝3，AC＝4，得∠ACB＝90°，∴Rt△ACB的斜边AB上的高CD＝. 设EP＝EF＝x， 由△ECF∽△ACB，得＝， 解得x＝，∴EF＝； 同理，当∠EFP′＝90°时，EF＝； 6题答图①　　　　　　　　　6题答图② ②如答图②，当∠EPF＝90°时，PE＝PF，过点P作PG⊥EF于点G，则PG＝EF. 过点C作CD⊥AB于点D，由①知CD＝. 设EF＝y，由△ECF∽△ACB，得＝， 解得y＝，∴EF＝. 综上所述，在AB上存在点P，使△EFP为等腰直角三角形，EF的长为或. 学科网（北京）股份有限公司 $