4.1 数列的概念(创新拔高) 同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.1数列的概念 已知数列的通项公式为，+3O、)且数列从第项起单调递成，见 的最小值为() A.11 B.12 C.13 D.不存在 2.斐波那契数列的通项公式为 设n是不等式 1og[+5-1-V5r]>2n+1的正整数解，则n的最小值为(） A.10 B.9 C.8 D.7 an 3已刘数对a,}精足4=，(aeN)已致列a,的前n项和为3，则() 9 A2Sw≤3 B.3<S10<4 4<Sw<2 9<Sm<5 D.2 4理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲 线”，它可以这样画：如图，画一个边长为1的正三角形，第一步，把每一边三等分，第二 步，取三等分后的一边中间的一段，以此为边向外作正三角形，并把这中间的一段擦掉，形 成雪花曲线B,重复上述两步，形成雪花曲线，B,,P,记雪花曲线的周长为乙， 则数列 3 3 的最大项为() P 1 2 1 A.3 B.9 C.27 D.27 5已知数列a,满足4=1，a=a写0(aeN ,则() 2<100am<2 三<100am<3 A B.2 1 3<100aw 1 <100a10<4 c D.2 6.已知数列a,}满足a=l,a.=a1+(-),4=a,+3”(neN),则数列{a,}的前2025 项的和为() A.3102-2025 B.31012-2027 C.31013-2025 D.31013-2027 7.(多选)已知数列a,}满足a,=m~kn∈N，0<k<),下面说法正确的有() 、1 A.当2时，数列a}为递减数列 1 B.当4时，数列a,}为递减数列 1 0<k< C.当 02时，数列a}为递减数列 k =2 D.当1-k时，数列a:}必有两项相等的最大项 8.(多选)对于数列a},定义：△a。=a+-a,△a,=△a-△a,n∈N,则下列说法正 确的是() A.若a,=n,则△an=0 B.若a,=n,则△a1>△a C若4.=m,数列b,}的前n项和为△a,则b.=6n D.若Aa,=n+2)-2”,a=2,则2Aa,=a+A2a。 9.已知数列{a},k=12,…,5,各项均为正整数，且a-a1,{a,}中存在一项为3，则 可能的数列的个数为 10,数列.}满足么=5，b1-n-1=b,+n(neN,),且n-b.≤0恒成立，则实数元的取值 范围是 1.已知数列{满是=a,为=b,,=V2x-,(m∈N,),则=，数列} 的前2027项的和是 12若数列4：a,a,,an(n≥3)中4，∈N(1≤i≤m且对任意的2≤k≤n-1, a1+a>2a恒成立，则称数列A为“U-数列”， (1)若数列1，x,,7为“U-数列”，写出所有可能的x,y: (2)若“U-数列”4：4,4，，a中，4=1,4=1，a,=2017,求n的最大值： (3)设为给定的偶数，对所有可能的“U-数列”A:4,a2,,a,记 M=max{a,4,…,a,},其中max{,,}表示，，，X这s个数中最大的数，求 M的最小值. 答案以及解析 1.答案：A n n+1 解析：因为0，m+130,所以2+0+130，所以 n+1 n -n2-n+130 a1-a.=㎡+2n+131n+130(m2+2n+131m+130）.由数列a,}从第n项起单调递减可 n<-1-V521 得am-a,<0,即-n2-n+130<0,neN,即n2+n-130>0,解得2 或 n>52i-1 n>52i-1 10.5<521-<1 2又n∈N,所以”>2因为22<V521<23,所以 2 ，所以 n之11，所以从第11项起， a}单调递减，所以n的最小值为11.故选A 2.答案：C 解折：因为n是不等式oeg,a[0+5--5y]小>2x+1l的正整数解，则 ur 6r narj 图] s② 则数列a,}为斐波那契数列，故” 5不难知道a,=13,a=21, 2 a,2 5,g 2 2 5,则使得 0,>方成立的n的最小值为8，放 1og[+5y-1-V5门]小>2m+1l成立的n的最小值为8故选C. 3.答案：A 解析：易知4，>0，a4,=品区<0 1十2<0,41<a,a},单词选减，故≤1 一方面， a,a周2…4- uggg] 29>21、3 2、 22 82→a+aa-a,∴a=8型 另一方面， an ∴.0+l< 回>a+a). a,-da=2(Va.-vam) a+*a同 :.Sio <1+2=1+2(1-Vao0)<3(va-vaz +vaz-vas++va-vao) :5得放流 4.答案：B 解析：对于初始的正三角形，边长4=1，周长L=3×1=3,由构造规则可知，从乃到B, 1 每一条边的长度都变为原来的3.因为有3条边，所以B的边有(3×4)条，且每条边的长度 =3x4=3x 1 均为3，所以 （3).从B到B,同样每一条边的长度变为原来的3，的边 4 有3×4)条，每条边的长度均为 所以 以此类推，可得 L,=3×3, 周s:台-a-,。-号 8=a-写，6-周n-周a--[后-a--0）,年 3 3 b1-b≥0，解得”≤2，令1-b.<0,解得”>之，所以<么，么>么>b>,则 n> 6)=a-G》 2-g 故选B. 5.答案：B 32,33 11-1、111、111、1 11、1 a1a。3-a。3,所以443,443，…，a1a3,累加得 1-1>1m ->5n+11、99 1.1 >-n +1=34 a45，所以03，则am3”,所以m34, <100aw<17 0 3 1、1 ->。n+1 1> >-(n-1)+1 由013，可得0,3 一(n22) ,即 ,又4=1，所ynn+2. 女点克 n+2 古0动 累加得 太g指… +32 1 a100 323 5 5 100am>2,综上可知2 100ao0<3 故选B. 6.答案：D 解析：因为am=am+(-l,a2*1=an+3”(n∈N)】 所以a21=am+3”=am1+(-l)”+3”,即421-an-1=(-1)+3” n≥2时，aa-1=(am-1-02n-3)+(am-3-a2n-5)+…+(a-a,)+a 所以 -ejs49*1-3+1-g-1 22 =3+-101 又4，=1符合上式，故 2+2-1 品0*r-营g-1(r君r S202s=(a+a3+…+a2025)+(a2+a4+…+a2024) 所以 1-302305_1-2025=3108-2027 =3 1-322 7.答案：BCD du=n+lk 解析：由题意，在数列a,}中，a=n∈N,0<k<),则有an,因为 k k n< +1>1 n> +L<1 0<k<1,所以当1-k时，a,即a+1>a;当1-k时，a,即a+<a k=4=2、4=22,故数列a不是递减数列，故A不正确 对于A,当2时， k 41 <n 1 k=- 1-k1-3 对于B,当4时， 4 ,a+<a,故数列a}是递减数列，故B正确 0<k< ∈(0,1) 对于C, 2时，1-k 所以士m即4和，所以对风鬼藏藏列， 故C正确 =2 3 2 8 8 对于D,当1-k时，3，此时 an =n 41= 42= 9, 9,所以a=a, 2 (n+1) 3 2(n+1) an 2 3n n ant<1 又 3 ,所以当n≥3时，an,即am+1<an, 所以数列a}从第3项起递减，所以此时数列a}有两项相等的最大值，故D正确。 综上，选BCD 8.答案：ABD 解析：对于A,因为△a,=a+1-a,=n+l-n=1, 所以△a,=△a1-△a,=1-1=0,故A正确： 对于B,因为△a.=(n+1)-n2=2n+1,△a41=(n+2)}2-(0n+12=2n+3 所以△a1>△a,故B正确： 对于C,因为Aa,=(n+1)-n=3m+3n+1, 7,n=1, bn= 所以b=Aa=7,又当n22时，b.=△a,-△a1=6n,所以6m,n之2，故C错误； 对于D,因为△0。=am1-an=(+2)2” 所以4-4=3×2，a-4,=4×22,,0,-0=(n+1)-21,n≥2， 所以0，-4=3×2+4×22+…+(n+1)）-2-1 所以2(a。-4)=3x22+4×2++n-2-1+(0m+10-2 则-(a.-a)=3×2'+22+23+…+2-1-(0n+1）-2” =6+ 22（1-2-2 -(0n+102”=6+2”-4-n+1)2” 1-2 所以-a,+4=-n:2”+2,则a,=:2”,n≥2， 当n=1时，a=2满足上式， 所以an=n2”,neN, 又因△'a.=△a1-△a.=(n+3)2m1-(n+2)2”=(0n+4)2”, 所以a,+△2a,=n:2”+(n+4):2”=(2n+4)2”=2(n+2):2”=2△a,故D正确故选ABD 9.答案：211 解析：记b=a-a,1≤i≤4)，则b∈{l,01,对确定的久，b,b,b,数列a}, k=l,2,,5各项间的大小顺序即确定设mi血{a,4,a,a,a}=0,因为{a}中存在一项为3， 所以a∈{L,2,3},对于给定的a,b,b,b,b可唯一确定一组数列，由于b∈{1,0,1且 a∈L,2,3},则这样的数列共有3×3=243（个），其中不符合题设条件的数列是数列a}的 各项均为1或2，这样的数列有2°=32（个）综上所述，符合要求的数列共有243-32=211 (个) 10.答案：（-0,4] 解析：b1-n-l=b,+n, .b+1-bn=2n+1,.b.-b-1=2n-1, 当n≥2时，b=6+(6,-h)+(6-b)++(6.-b1)=5+3+5++2n-1 =4+m0+2n-0=n2+4 2 当n=1时，6=5满足上式，b.=n+4 n-b,≤0恒成立，.n-n-4≤0， 4 ∴.2≤n+ n恒成立， 4 2≤n+- （nmm, 即 4 n+-≥2 [4 n. =4 又n 当且仅当n=2时等号成立， 元≤4，即实数九的取值范围为(-0,4] 11.答案：V2b-a:(W2+10b 解析：由题意可知=0，名=b,则=V2x,-x=V26-a, x4=2x-x,=V2(2b-a)-b=b-V2a,x=V2x-x=V2(b-2a)-(W2b-)=-a, x,=V2x,-x4=2·(-a)-(b-V2a)=-b,为=V2x。-x=V2(-b)-(（←)=a-V2b. =V2x,-x6=V2-(a-V2b)-(-b)=V2a-b,x=V2x-x,=V2(W2a-b)-(a-V2b)=a, xo=V2x,-=V2a-(2a-b)=b,,故数列x}是以8为最小正周期的周期数列， 2027=253x8+3,m=5=V2b-a.又：数列{x}的前8项和为+++ =a+b+(W2b-a)+(b-V2a)+(-a)+(-b)+(a-V2b)+(W2a-b)=0 数列 还}的前2027项的和为++…+m=名++为 =a+b+(2b-a)=(N2+10b x=1,x=1,∫x=2, 12.答案：（1) y=2或y=3或y=4 (2)65 n6-2n,+8 (3) 8 解析：(1)依题意，因为数列1，x,少，7为“0-数列”， 1+y>2x, 所以x+7>2y其中x,y∈N, ∫x=1,∫x=1,∫x=2, 故所有可能的xy为y=2或y=3或y=4, (2)一方面，注意到：aH+a>2a:台ak-a>4-ak, 对任意的1≤i≤n-1,令b=a#-a, 则b∈Z且b>b(2≤k≤n-), 因为4∈N,a-a:>a:-a-1,所以ak+1-a比a-a至少大1， 故b,≥b-+1对任意的2≤k≤n-1恒成立①， 当4=1,4=1,0，=2017时，注意到6=4-4=1-1=0， 得b=(6-b)+(6-h)++(6-6)+6≥i-1(2≤i≤n-). 此时8，-a=6+6+…+b20+1+2++n-2=0-100n-2》 即2a-10n-2)s2017-1 解得-62≤n≤65，故n≤65， 另一方面，取b=i-1(1≤i≤64) 则对任意的2≤k≤64，b>b,故数列{a}为“U-数列”， 此时2s=1+0+1+2++63=1+0+63x63-2017 2 ,即n=65符合题意. 综上，n的最大值为65. (3)当，=2m(m≥2，meN)时， 一方面：由①式，得b1-b21, 则bt-h=(6t-b)+(b-bt-2)++(6-b)≥m, 此时有a+am）-(a.+ani)=(am-an）-(a1-a） =(bn+1+bnm+2+…+b2m-1)-(6+b2+…+bn-1） =(bm1-b)+(bm+2-b2)++(b2m1-bn1)≥m(m-1) 22图 M≥+aa≥a+a+mm-D≥m2-m+2_222 2 2 2 2 8: 另-一方面，当B=1-m,b,=2-m,…,b=-1,bn=0,bm1=1,…,bm=m-1时， ak+1+ak-1-2as=(ak+1-a)-(ak-ak-1)=b-b1=1>0, 取am=1,则0m+1=1,a>a>a>…>am,am+1<am2<…<m, 且4=a.-6+6++6)=2mm-)+1 as=a+6m+++aa）-m-+l w-a=a-a-01=号学各-小1公-8 此时 8 n-2n,+8 综上，M的最小值为8