2.3二次函数与一元二次方程、不等式（分层作业，11大题型）高一数学人教A版必修第一册

分层作业 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 解不含参数的一元二次不等式 题型02 解含有参数的一元二次不等式 题型03 由一元二次不等式的解确定参数 题型04 三个“二次”关系的应用 题型05 一元二次不等式在实数集上恒成立问题 题型06 一元二次不等式的实际应用 B组 能力进阶 题型01 一元二次不等式的整数解问题 题型02 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 题型03 一元二次不等式在某区间上有解问题 题型04 一元二次方程根的分布问题 C组 思维拔高 题型 新定义问题 解不含参数的一元二次不等式题型01 1．（25-26高一上·广西南宁·月考）不等式的解集为（    ）． A． B． C．或 D．或 2．（25-26高一上·贵州·月考）不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 3．已知集合，则    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·湖南娄底·期中）集合的非空真子集个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 5．（25-26高三上·辽宁·期中）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知命题p：集合，命题q：集合，则p是q的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 7．（24-25高一上·四川成都·月考）已知集合，集合，其中，则使的的取值范围是__________ 8．已知集合． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 解含有参数的一元二次不等式题型02 1．若，则不等式的解集为（    ） A． B．{或} C．{或} D． 2．（24-25高一上·北京·期末）关于的不等式的解集不可能是（    ） A． B． C． D． 3．已知集合，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·安徽·月考）已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法错误的是（   ） A．若，则且 B．若，则关于的不等式的解集也为 C．若，则关于的不等式的解集为或 D．若{，为常数，且，则的最小值为 5．设命题：；命题：，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是_____． 6．解关于的不等式:＜. 7．（25-26高一上·湖南长沙·月考）已知函数． (1)若关于x的不等式的解集为，求a，b的值； (2)当时，解关于x的不等式． 8．解关于x的不等式： 由一元二次不等式的解确定参数题型03 1．不等式的解集为，则实数的值是（    ） A．-1 B．1 C．3 D．-3 2．（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知关于的不等式的解集为或，则的解集为（   ）． A． B． C． D． 3．（24-25高一上·湖北·联考）若关于x的不等式的解集中恰有3个正整数，则实数 m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·上海·期中）已知一元二次不等式的解集为，则不等式的解集是________. 5．（26-27高一·山西大同·月考）已知关于的不等式． (1)当时，求该不等式的解集； (2)若该不等式的解集为，求实数的值． 6．若不等式的解集为． （1）求的值； （2）求不等式的解集． 7．已知不等式的解集为或. (1)求实数，的值； (2)解不等式. 8．（24-25高三·黑龙江齐齐哈尔·联考）已知关于的不等式的解集为. (1)求，的值； (2)若，，且，求的最小值. 三个“二次”关系的应用题型04 1．已知二次函数的图像如图所示，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二·陕西榆林·期末）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．设集合，，且，则实数    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·辽宁丹东·月考）若一元二次不等式的解集为，则的最小值为（   ） A． B． C．8 D．4 5．（25-26高一上·浙江·联考）若集合有且只有两个元素，则实数a的取值范围是______. 6．（25-26高一上·安徽·期中）若不等式的解集为. (1)求实数a与b的值； (2)求不等式的解集. 7．解不等式. 8．（25-26高一上·江苏·月考）已知函数． (1)若关于的不等式的解集为，求不等式的解集； (2)若，，不等式的解集为，求的值； (3)若恒成立且时，求的最小值． 一元二次不等式在实数集上恒成立问题题型05 1．已知不等式的解集为空集，则a的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 2．（24-25高一上·云南·月考）已知命题：，为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．“关于的不等式对恒成立”的一个充分不必要条件是（    ） A．或 B． C． D．或 4．已知不等式对任意的恒成立，则实数a的最小值为__________． 5．（24-25高一上·辽宁·月考）已知关于的不等式. (1)若不等式的解集为或，求的值. (2)关于的不等式恒成立，求的取值范围. 6．（25-26高一上·湖南永州·月考）命题P：“，不等式”是假命题，求实数的取值范围. 7．（25-26高一上·江苏无锡·月考）已知不等式的解集为或． (1)求的值； (2)若的解集为，求实数的取值范围； (3)解不等式． 8．（24-25高一上·广西南宁·期末）已知函数，． (1)若对任意的恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于x的不等式． 一元二次不等式的实际应用题型06 1．（24-25高一上·河南驻马店·月考）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入.则这批台灯的销售单价    ） A． B． C． D． 2．若不计空气阻力，竖直上抛的物体距离抛出点的高度（单位：）与时间（单位：）满足关系式，其中为初速度.向盼归同学以竖直上抛一个排球，该排球在抛出点上方处及以上的位置最多停留时间为（    ） A．1.8 B．2.8 C．3.8 D．4.8 3．（25-26高一上·江西景德镇·期中）某商店购进一批玩具，若按每个10元的价格销售，每天能售出30个，且售价每高1元，日销售量则减少2个.为了使这批玩具每天的销售总收入不低于300元，销售价格最高是_____. 4．（25-26高一上·海南儋州·联考）某工厂生产件产品的总成本之间满足二次函数. (1)若要求生产总成本不超过30000元，求满足生产总成本要求的产品件数的取值范围； (2)试求该工厂生产多少件产品时，可使每件产品的平均成本最小. 5．某学校欲在广场旁的一块矩形空地上进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均种满宽度相同的鲜花.已知两块绿草坪的面积均为200平方米. (1)若矩形草坪的长比宽至少多10米，求草坪宽的最大值； (2)若草坪四周及中间的宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值. 6．（25-26高一上·江苏无锡·月考）某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m．其底面为长方形ABCD，其中AD ≥ AB．如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元． (1)若贮水池的总造价不超过312000元，求AD边长的范围； (2)怎样设计贮水池能使总造价最低? 最低总造价是多少? 7．（25-26高一上·江苏·联考）为发展空间互联网，抢占技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入，据了解，该企业研发部原有人，年人均投入万元，现把研发部人员分成技术人员和研发人员两类，其中技术人员有名（，且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入为万元. (1)要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的人的年总投入，则调整后的技术人员至少有多少人？ (2)是否存在实数，同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 8．如图，有一个小矩形公园，其中，现过点修建一条笔直的围墙（不计宽度）与和的延长线分别交于点，现将小矩形公园扩建为三角形公园. (1)当多长时，才能使扩建后的公园的面积最小？并求出的最小面积. (2)当扩建后的公园的面积最小时，要对其进行规划，要求中间为三角形绿地（图中阴影部分），周围是等宽的公园健步道，如图所示. 若要保证绿地面积不小于总面积的，求健步道宽度的最大值.（小数点后保留三位小数） 参考数据：. 参考公式：. 一元二次不等式的整数解问题题型01 1．（25-26高一上·安徽宿州·质检）若关于的不等式的解集中恰有个整数解，则实数的取值范围为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．（24-25高一上·河南新乡·质检）若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·陕西西安·月考）设关于的不等式，只有有限个整数解，且0是其中一个解，则的取值是__________. 4．若，且不等式的解集中有且仅有四个整数，则的取值范围是______. 5．（24-25高三上·河南安阳·期中）已知不等式的解集为.若不存在整数满足不等式，则实数的取值范围是__________. 6．关于的不等式，其中为大于0的常数． （1）若不等式的解集为，求实数的取值范围； （2）若不等式的解集为，且中恰好含有一个整数，求实数的取值范围. 7．（25-26高一上·广东佛山·月考）已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数的取值范围； (2)当时，解关于的不等式； (3)若关于的不等式有且只有3个整数解，求实数的取值范围. 8．（25-26高一上·辽宁·期中）记不等式为不等式（*）． (1)当时，解关于的不等式（*）； (2)当时，关于的不等式（*）的解集中整数恰好有3个，求实数的取值范围； (3)当时，关于的不等式（*）在上恒成立，求的最大值． 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题题型02 1．（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期中）当时，不等式恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．关于的一元二次不等式的解集为空集，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．“”是“，成立”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（25-26高一上·四川德阳·月考）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为_____ 5．（24-25高一上·河南许昌·质检）若不等式对任意都成立，则实数m的取值范围为___________． 6．（1）已知关于的方程在上有解，求实数的取值范围； （2）已知关于的方程在上恒成立，求实数的取值范围． 7．已知函数． (1)解关于x的不等式； (2)若不等式对一切恒成立，求m的取值范围． 8．（25-26高一上·湖北武汉·月考）已知函数． (1)若不等式的解集为，求的取值范围； (2)解关于的不等式； (3)若不等式对一切恒成立，求的取值范围． 一元二次不等式在某区间上有解问题题型03 1．若关于的不等式有解，则实数的最大值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．已知命题，，若是真命题，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 3．若不等式在上有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 5．若存在实数，使得成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．若存在，使不等式成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．若不等式有解，则实数的取值集合是_________. 8．已知命题，不等式恒成立；命题，使成立. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题中恰有一个为真命题，求实数的取值范围. 一元二次方程根的分布问题题型04 1．已知关于x的一元二次不等式的解集为，则a=（   ） A．-3 B．3 C． D． 2．若一元二次方程（不等于0）有一个正根和一个负根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．已知方程的两根都大于1，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．要使关于的方程的一根比1大且另一根比1小，则的取值范围是__________． 5．（24-25高一上·上海·期末）已知关于的方程至少有一个实根，则实数的取值范围是______. 6．（25-26高一上·江苏·期中）已知函数. (1)若关于的方程一个根大于0，一个根小于0，求实数的取值范围； (2)若关于的方程有两个大于的不等实根，求实数的取值范围. 7．已知关于的不等式的解集为. (1)求实数，的值； (2)当，，且满足时，求的最小值. 8．已知a，，，关于x的方程有两个不相等的实根，且均大于小于0，求的最小值． 新定义问题题型 1．（24-25高一上·江西·月考）在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着神秘的“黑洞”现象.数学黑洞：无论怎样设值，最终都将得到固定的一个值，再也跳不出去，就像宇宙中的黑洞一样.目前已经发现的数学黑河有“123黑洞”、“卡普雷卡尔黑洞”、“自恋性数字黑洞”等.定义：若一个n位正整数的所有数位上数字的n次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知所有一位正整数的自恋数组成集合A，集合，则的子集个数为（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 2．设a、b是实数，定义：，则满足不等式的实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·海南海口·月考）在上定义运算，若不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是______. 4．对于实数，若两函数，满足：①，或；②，，则称函数和互为“相异”函数.若和互为“相异”函数，则实数的取值范围是___________. 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 解不含参数的一元二次不等式 题型02 解含有参数的一元二次不等式 题型03 由一元二次不等式的解确定参数 题型04 三个“二次”关系的应用 题型05 一元二次不等式在实数集上恒成立问题 题型06 一元二次不等式的实际应用 B组 能力进阶 题型01 一元二次不等式的整数解问题 题型02 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 题型03 一元二次不等式在某区间上有解问题 题型04 一元二次方程根的分布问题 C组 思维拔高 题型 新定义问题 解不含参数的一元二次不等式题型01 1．（25-26高一上·广西南宁·月考）不等式的解集为（    ）． A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】应用不含参的一元二次不等式的解法求解集. 【详解】由，可得，故解集为. 故选：B 2．（25-26高一上·贵州·月考）不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】由，得或． 所以原不等式的解集为. 故选：A 3．已知集合，则    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求集合A，再结合交集运算求解. 【详解】由题意可知：， 所以. 故选：B. 4．（25-26高一上·湖南娄底·期中）集合的非空真子集个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】B 【分析】解不等式求出集合中元素个数可得答案. 【详解】的解为为自然数集， 故中的元素个数为2，故其非空真子集个数为， 故选：B. 5．（25-26高三上·辽宁·期中）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出集合中不等式的解集，然后根据集合的包含关系求出结果即可. 【详解】集合. 因为，所以. 因为，，所以有. 所以的取值范围是. 故选：C. 6．已知命题p：集合，命题q：集合，则p是q的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【分析】解出集合、，利用集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】或，或， 是的真子集， 因此，是的必要不充分条件. 故选：B 7．（24-25高一上·四川成都·月考）已知集合，集合，其中，则使的的取值范围是__________ 【答案】 【分析】由，得考虑，，，三种情况，计算得到答案. 【详解】由，得． 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，． ，即，，所以． 当时，则，得； 当时，则，得； 当时，则，无解． 综上所述，的取值范围是． 8．已知集合． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)，． (2)． 【分析】（1）利用集合的交集运算和并集运算即可求解； （2）由知，得的不等式组解得即可. 【详解】（1）当时，， 又， 故， ． （2）， 当时，，解得， 当时，解得， 故的取值范围是． 解含有参数的一元二次不等式题型02 1．若，则不等式的解集为（    ） A． B．{或} C．{或} D． 【答案】A 【分析】根据条件得，再由一元二次不等式解法即可得出结果. 【详解】因为，所以，即， 由，得到， 故选：A. 2．（24-25高一上·北京·期末）关于的不等式的解集不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式对应的二次函数的对称性可判断. 【详解】由题意，，则不等式是一元二次不等式， 由二次函数的对称性可知，不等式的解集不可能是. 故选：D. 3．已知集合，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解不等式，求解出集合，再讨论的范围，解出集合，结合，最后得出的范围. 【详解】由，得到，则； 当时，则，此时， 当时，由，解得或，此时， 当时，由，解得或， 因为，则； 综上所述，. 故选：C. 4．（24-25高一上·安徽·月考）已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法错误的是（   ） A．若，则且 B．若，则关于的不等式的解集也为 C．若，则关于的不等式的解集为或 D．若{，为常数，且，则的最小值为 【答案】B 【分析】A由一元二次不等式解集为空直接判断；B令即可判断；C根据解集判断参数关系，结合目标不等式求解即可；D根据题设得，且，将目标式化为含的表达式，再令，代换原表达式并结合基本不等式求最值. 【详解】A：由无解，则且，对； B：令，若，则等价于， 此时，关于的不等式的解集不为，错； C：由题设，则等价于， 所以，可得或，对； D：由题设，则，且， 所以，令，则， 所以上式为 ， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为，对. 故选：B 5．设命题：；命题：，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【分析】先解不等式，再利用充分不必要条件的性质得到a的范围. 【详解】当a=1时，的解为x=1,与已知不相符； 当a＞1时，1≤x≤a,因为是的充分不必要条件，所以a≥2， 当a＜1时，a≤x≤1,与已知不相符. 故答案为 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，考查充分不必要条件的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 6．解关于的不等式:＜. 【答案】 【详解】试题分析：＜即． 所以， 考点：含参数一元二次不等式的解法． 点评：中档题，含参数一元二次不等式的求解，首先应考虑因式分解法，讨论根的大小，写出解集． 7．（25-26高一上·湖南长沙·月考）已知函数． (1)若关于x的不等式的解集为，求a，b的值； (2)当时，解关于x的不等式． 【答案】(1)a＝2，b＝1； (2)答案见解析 【详解】（1）由不等式的解集得出对应方程的实数根，利用根与系数的关系求出a、b的值； （2）b＝1时不等式可化为，讨论a与1的大小，从而求出不等式的解集． 由函数，不等式化为，由不等式的解集为，所以方程的两根为1和2， 由根与系数的关系知：，解得a＝2，b＝1； b＝1时不等式，可化为 即； 当a＞1时，解不等式得x＜1或x＞a； 当a＝1时，解不等式得x≠1； 当a＜1时，解不等式得x＜a或x＞1． 综上，a＞1时，不等式的解集为{x|x＜1或x＞a}； a＝1时，不等式的解集为{x|x≠1}； a＜1时，不等式的解集为{x|x＜a或x＞1}． 8．解关于x的不等式： 【答案】 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【分析】分，，三种情况求解即可. 【详解】当时，不等式为，解得， 当时，由不等式，可得， 所以， 若，则，解不等式得或， 若，则，不等式的解集为若， 若，解得时，解不等式得或， 当时，由不等式，可得， 所以， 解得， 综上所述：当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 由一元二次不等式的解确定参数题型03 1．不等式的解集为，则实数的值是（    ） A．-1 B．1 C．3 D．-3 【答案】A 【分析】由一元二次方程根与系数的关系求解. 【详解】不等式的解集为， 则-1和2是方程的两根，有，解得. 故选：A 2．（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知关于的不等式的解集为或，则的解集为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接根据三个二次的关系解得系数的关系，进而直接解一元二次不等式可得. 【详解】关于的不等式的解集为或， 故，且，整理得到， 所以不等式，即，解得， 故选：A． 3．（24-25高一上·湖北·联考）若关于x的不等式的解集中恰有3个正整数，则实数 m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意写出不等式的解集，根据解集中恰有3个正整数求出m的取值范围． 【详解】关于x的不等式可化为 ， 该不等式的解集中恰有3个正整数，所以， 不等式的解集为，且， 即实数的取值范围是 故选：B. 4．（24-25高一上·上海·期中）已知一元二次不等式的解集为，则不等式的解集是________. 【答案】 【分析】先根据一元二次不等式的解集求出的值，代入到不等式中可求得解集. 【详解】由一元二次不等式的解集为， 所以方程的两根为和，则，， ，， 所以不等式为， 解得，即不等式的解集为. 故答案为：. 5．（26-27高一·山西大同·月考）已知关于的不等式． (1)当时，求该不等式的解集； (2)若该不等式的解集为，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次不等式的求解方法求解即可. （2）根据一元二次不等式与对应一元二次方程的关系，结合韦达定理求解即可. 【详解】（1） 当时，原不等式可化为，即， 所以不等式的解集为. （2） 由一元二次不等式与对应一元二次方程的关系可知，和是方程的两个实数根， 由韦达定理得，解得. 6．若不等式的解集为． （1）求的值； （2）求不等式的解集． 【答案】（1）a＝﹣1；（2）（﹣∞，﹣）∪（2，+∞）. 【解析】（1）由已知不等式的解集得到ax2+5x+14＝0的两个实数根为-2和7，利用韦达定理即可求出a的值； （2）将a＝﹣1代入不等式，求出对应方程的根，求出不等式的解集即可． 【详解】（1）依题意可得：的两个实数根为-2和7， 由韦达定理得：-2+7＝﹣，解得：a＝﹣1； （2）由（1）a＝﹣1，故，即2x2-3x﹣2＞0，解得：x或x， 故不等式的解集是（﹣∞，﹣）∪（2，+∞）． 【点睛】方法点睛：一元二次不等式与二次函数，二次方程之间的关系，韦达定理的应用，注意开口的方向. 7．已知不等式的解集为或. (1)求实数，的值； (2)解不等式. 【答案】(1)，； (2) 当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当，不等式的解集为. 【分析】（1）根据给定的解集，结合一元二次方程根与系数的关系求解作答. （2）利用（1）的结论，求解含参的一元二次不等式作答. 【详解】（1）因为不等式的解集为或，则是方程的二根，且， 因此，解得，， 所以，. （2）由（1）知，不等式为，即， 当时，；当时，；当时，， 所以当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当，不等式的解集为. 8．（24-25高三·黑龙江齐齐哈尔·联考）已知关于的不等式的解集为. (1)求，的值； (2)若，，且，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合二次不等式与二次方程的关系可求； （2）利用乘1法，结合基本不等式可求． 【详解】（1）不等式的解集为， 和是方程的两个实数根，且， ，解得； （2）（2）由（1）知， 于是有，，， 所以 当且仅当且，即时等号成立， 故的最小值为 三个“二次”关系的应用题型04 1．已知二次函数的图像如图所示，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题可根据图像得出结果. 【详解】结合图像易知， 不等式的解集， 故选：A. 2．（25-26高二·陕西榆林·期末）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合二次函数的图象与性质，列出不等式，即可求解. 【详解】设函数， 因为不等式的解集为，即在上恒成立， 则满足，解得，所以， 即实数的取值范围为. 3．设集合，，且，则实数    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】若的两个根分别为，利用一元二次方程的根与对应不等式解集的关系得，由韦达定理结合已知条件求，进而可求. 【详解】若的两个根分别为且， ∴且，， ∵，且， ∴， 综上，可得：. 故选：A. 4．（25-26高一上·辽宁丹东·月考）若一元二次不等式的解集为，则的最小值为（   ） A． B． C．8 D．4 【答案】C 【分析】由一元二次不等式解集得到，根据解集的端点和一元二次方程的根之间的关系，得到一元二次方程的根，进而得到、与的关系，最后利用基本不等式即可求出最小值. 【详解】由题意知，，且方程的两根为-1和3. 由韦达定理知，化简得，（）. ， 当且仅当，即时，等号成立. 因此的最小值为8. 故选：C. 5．（25-26高一上·浙江·联考）若集合有且只有两个元素，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【分析】结合二次函数性质列不等式求解即可. 【详解】令. ∵函数对称轴为直线， ∴要使有两个正整数实根， 这两个根只能， 则当时，,且时，， 解得. 故答案为： 6．（25-26高一上·安徽·期中）若不等式的解集为. (1)求实数a与b的值； (2)求不等式的解集. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由不等式的解集为，得方程的解为-2和3，根据韦达定理求得实数a与b的值； （2）将实数a与b的值代入不等式，根据一元二次不等式的解法求得其解集. 【详解】（1）由不等式的解集为，得方程的解为-2和3， 根据韦达定理，得. 所以. （2）由（1）得，代入不等式， 得，即. 解得：，或. 所以不等式的解集为或. 7．解不等式. 【答案】当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为． 【分析】需要分类讨论，先讨论，和，时，相应方程的两根大小易判断，可直接得出不等式的解集，时，相应方程的两根的大小不确定，需按两根大小分类． 【详解】当，原不等式等价于，解得． 当时，原不等式 1）当时，原不等式，此时，原不等式解集为 2）当时，原不等式 ①当，即时，原不等式解集为 ②当，即时，易得原不等式解集为 ③当，即时，易得原不等式解集为 综上所述得：当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． 【点睛】思路点睛：本题考查解含参数的一元二次不等式，解题时要注意分类讨论，分类讨论有三个层次：第一层次是最高次项系数是否为0，在最高次项系数不为零时，还应分正负，第二层次是相应的二次方程有无实根，在有实根的前提下，第三层次就是比较两根的大小． 8．（25-26高一上·江苏·月考）已知函数． (1)若关于的不等式的解集为，求不等式的解集； (2)若，，不等式的解集为，求的值； (3)若恒成立且时，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据一元二次不等式与一元二次方程的关系结合韦达定理求出，，代入解不等式即可求出答案； （2）根据一元二次不等式与一元二次方程的关系利用韦达定理即可求出答案； （3）根据不等式恒成立得到，进而得到，利用换元法借助于基本不等式求的最小值即可求出答案. 【详解】（1）由题意得的两根为和，且， 所以，， 即，， 则不等式可化为， 即，解得， 所以不等式的解集为. （2）由题意得， 因为不等式的解集为， 所以的两根为和， 所以，， 解得. （3）对于成立， 则，得， 设，因为，所以，则， 设，此时， 当且仅当，即，即时，等号成立， 由，即时，取最小值为3． 一元二次不等式在实数集上恒成立问题题型05 1．已知不等式的解集为空集，则a的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据题意，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由不等式的解集为空集， 根据二次函数的性质，则满足，解得. 即实数的取值范围是. 故选：A. 2．（24-25高一上·云南·月考）已知命题：，为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】二次不等式恒成立问题可转化为二次方程解的情况，可得不等式，解不等式即可. 【详解】因为命题：，为真命题，所以不等式的解集为. 若，则不等式可化为，解得，不等式解集不是； 若，则根据一元二次不等式解集的形式可知：，解得， 综上可知：， 故选：D. 3．“关于的不等式对恒成立”的一个充分不必要条件是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】C 【分析】先求出对恒成立的等价条件，逐项判断与前者的关系后可得正确的选项. 【详解】若，则恒成立，故符合； 若，则，故， 综上，， ABCD四个选项中，只有C中范围为的真子集， 故为对恒成立的充分不必要条件； 故选：C. 4．已知不等式对任意的恒成立，则实数a的最小值为__________． 【答案】 【分析】分离参数，利用基本不等式即可求解. 【详解】因为不等式对任意的恒成立， 所以对任意的恒成立， 又当时，，当且仅当，即时，等号成立， 所以，即，所以实数a的最小值为. 故答案为：. 5．（24-25高一上·辽宁·月考）已知关于的不等式. (1)若不等式的解集为或，求的值. (2)关于的不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）利用韦达定理即可求解； （2）利用二次项系数为负，且判别式小于0列不等式求解即可. 【详解】（1）若不等式的解集为或， 则和是方程的两个实数根； 由韦达定理可知：， 解得. （2）关于的不等式恒成立， 则有且， 解得：. 6．（25-26高一上·湖南永州·月考）命题P：“，不等式”是假命题，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】对k分、和三种情况讨论，即得解. 【详解】由题意一元二次不等式对一切实数x都成立， 当时，不等式变为对一切实数x都成立， 当时，要使一元二次不等式对一切实数x都成立， 则二次函数的图象在x轴下方， 即，得. 当时，二次函数的图象开口向上，一元二次不等式不可能对一切实数x都成立. 综上可知，的范围是. 7．（25-26高一上·江苏无锡·月考）已知不等式的解集为或． (1)求的值； (2)若的解集为，求实数的取值范围； (3)解不等式． 【答案】(1) (2) (3)当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法可知是方程的两根，从而可求a、b； （2）结合二次函数图象即可求解； （3）对不等式进行因式分解，根据二次不等式解法，分类讨论c的范围即可． 【详解】（1）由已知可得是方程的两根， 则，解得； （2）若的解集为， 则，解得， 即实数的范围为； （3）不等式化为，即， 当时，不等式化为，不等式无解， 当．时，解不等式可得：， 当时，解不等式可得：， 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 8．（24-25高一上·广西南宁·期末）已知函数，． (1)若对任意的恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于x的不等式． 【答案】(1) (2) 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为. 【分析】（1）先对二次项系数分类讨论，再依据二次函数性质建立不等式，求解参数即可. （2）对参数分类讨论，再求解不等式即可. 【详解】（1）由题意得对任意的恒成立， 当时，，而， 此时对任意的不成立，故排除， 故我们讨论的开口，当时，此时开口向下，不符合题意，故排除， 当时，此时开口向上，符合题意，令， 故，解得，得到实数的取值范围为. （2）当时，，令，解得 当时，我们讨论如下，因为， 所以，令， 解得或，当时，解得， 此时， 故得到的解集为， 当时，我们做出如下讨论，令，解得， 此时，令，解得， 令，解得，此时令，解得， 当时，恒成立，令，解得， 综上，当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为. 一元二次不等式的实际应用题型06 1．（24-25高一上·河南驻马店·月考）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入.则这批台灯的销售单价    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得出，然后通过计算以及即可得出结果. 【详解】设这批台灯的销售单价为x元，由题意得，， 即，解得，又因为，所以， 这批台灯的销售单价的取值范围是. 故选：C 2．若不计空气阻力，竖直上抛的物体距离抛出点的高度（单位：）与时间（单位：）满足关系式，其中为初速度.向盼归同学以竖直上抛一个排球，该排球在抛出点上方处及以上的位置最多停留时间为（    ） A．1.8 B．2.8 C．3.8 D．4.8 【答案】A 【分析】令，求解，求出排球在抛出点上方处及以上的位置最多停留时间. 【详解】由题意得：，令， 即，解得， 所以排球在抛出点上方处及以上的位置最多停留时间为. 故选：A. 3．（25-26高一上·江西景德镇·期中）某商店购进一批玩具，若按每个10元的价格销售，每天能售出30个，且售价每高1元，日销售量则减少2个.为了使这批玩具每天的销售总收入不低于300元，销售价格最高是_____. 【答案】15 【分析】设销售价格提高元，从而得到不等式，求出，得到答案. 【详解】设销售价格提高元，其中， 则，解得， 故销售价格最高为元. 故答案为：15 4．（25-26高一上·海南儋州·联考）某工厂生产件产品的总成本之间满足二次函数. (1)若要求生产总成本不超过30000元，求满足生产总成本要求的产品件数的取值范围； (2)试求该工厂生产多少件产品时，可使每件产品的平均成本最小. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据题意列出不等式直接计算，结合实际意义即可得解； （2）表示出平均成本，利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）若要求生产总成本不超过30000元，则， 即，解得， 又，所以满足生产总成本要求的产品件数的取值范围为. （2）由题意知，生产件数为时，每件的平均成本为， 由基本不等式可得， 当且仅当，即时，等号成立， 即该工厂生产件产品时，每件产品的平均成本最小. 5．某学校欲在广场旁的一块矩形空地上进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均种满宽度相同的鲜花.已知两块绿草坪的面积均为200平方米. (1)若矩形草坪的长比宽至少多10米，求草坪宽的最大值； (2)若草坪四周及中间的宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值. 【答案】(1)10米 (2)平方米 【分析】（1）设草坪的宽为米，长为米，则由题意，列出关于的不等式，求解即可；（2）求出整个绿化面的长为米，宽为米，然后由面积公式以及基本不等式求解最值即可． 【详解】（1）设草坪的宽为x米，长为y米，由面积均为200平方米，得， 因为矩形草坪的长比宽至少多10米， 所以，又， 所以，解得， 所以宽的最大值为10米； （2）记整个绿化面积为S平方米，由题意得， ，当且仅当米时，等号成立，所以整个绿化面积的最小值为平方米 6．（25-26高一上·江苏无锡·月考）某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m．其底面为长方形ABCD，其中AD ≥ AB．如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元． (1)若贮水池的总造价不超过312000元，求AD边长的范围； (2)怎样设计贮水池能使总造价最低? 最低总造价是多少? 【答案】(1)（单位：m） (2)当，时，贮水池的总造价最低，最低总造价是297600元． 【分析】（1）先设，，且，再根据总容积即可得到的值，再根据总造价可得到关于的一元二次不等式，进而求解即可得到AD边长的范围； （2）结合（1），再根据基本不等式求其最小值即可． 【详解】（1）设，，且， 则依题意可得，则，且， 则，且， 又总造价， 则，即， 整理得，解得， 所以AD边长的范围是（单位：m） （2）结合（1）有， 且总造价， 当且仅当时，等号成立， 所以当，时，贮水池的总造价最低，最低总造价是297600元． 7．（25-26高一上·江苏·联考）为发展空间互联网，抢占技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入，据了解，该企业研发部原有人，年人均投入万元，现把研发部人员分成技术人员和研发人员两类，其中技术人员有名（，且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入为万元. (1)要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的人的年总投入，则调整后的技术人员至少有多少人？ (2)是否存在实数，同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)人； (2)存在，. 【分析】（1）根据题意列出不等式并求解出解集，再根据的范围可求解出结果； （2）分别根据条件①和条件②列出不等式，通过分离参数求解出不等式最值，由此可求解出的取值范围，则结果可知. 【详解】（1）调整前的人的年总投入为万元， 调整后的研发人员的年总投入为万元， 由题意可知，，解得， 又因为，且，所以调整后的技术人员至少有人. （2）由①可知，所以，所以， 又因为，且，所以，所以； 由②可知，化简可得， 因为，当且仅当，即时（符合条件）取等号， 所以，所以， 由上可知，所以， 所以存在实数满足条件. 8．如图，有一个小矩形公园，其中，现过点修建一条笔直的围墙（不计宽度）与和的延长线分别交于点，现将小矩形公园扩建为三角形公园. (1)当多长时，才能使扩建后的公园的面积最小？并求出的最小面积. (2)当扩建后的公园的面积最小时，要对其进行规划，要求中间为三角形绿地（图中阴影部分），周围是等宽的公园健步道，如图所示. 若要保证绿地面积不小于总面积的，求健步道宽度的最大值.（小数点后保留三位小数） 参考数据：. 参考公式：. 【答案】(1)当时，公园的面积最小，为 (2) 【分析】（1）设，由几何关系表示出的面积函数，结合基本不等式求最小值； （2）如图所示，三角形绿地为，过作交于，延长交于G， 设健步道宽度为x，由几何关系求得中上的高（为中上的高），即可由相似比表示出三角形绿地的面积函数不等式，从而求得结果. 【详解】（1）设，矩形中，，则，∴， ∴ ， 当且仅当时，等号成立. 故当时，公园的面积最小，为； （2）由题意得，，，，，中EF上的高为， 如图所示，三角形绿地为，过作交于，延长交于G，易得. 设健步道宽度为x，则， 设中上的高h2，则， 则中上的高， 由得，解得. 故健步道宽度的最大值为. 一元二次不等式的整数解问题题型01 1．（25-26高一上·安徽宿州·质检）若关于的不等式的解集中恰有个整数解，则实数的取值范围为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题可先将不等式因式分解，再根据与的大小关系讨论不等式的解集，最后结合解集中恰有个整数解确定的取值范围． 【详解】将不等式因式分解，可得， 当时，此时不等式的解集为， 因为解集中恰有个整数解，那么这两个整数解应为和，所以； 当时，不等式变为，因为任何实数的平方都大于或等于，所以此时不等式无解，不符合题意； 当时，此时不等式的解集为， 因为解集中恰有个整数解，那么这两个整数解应为和，所以； 综上，实数的取值范围为或． 故选：D． 2．（24-25高一上·河南新乡·质检）若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据确定的取值范围，初步判断在不等式的解集内，不在不等式的解集内，进而确定不等式解集内的整数，列出不等式，可求出结果. 【详解】由题意，且，且，解得，则， 设不等式的解集为. 因为时，不成立，所以；因为时，，所以. 又因为中恰有3个整数，所以这3个整数必定是1，2，3. 由. 综上所述. 故选：C 【点睛】关键点点睛：不等式中所含有的整数解必定是连续的整数，弄清楚1，2，3满足不等式后，还要注意0，4不满足原不等式. 3．（24-25高一上·陕西西安·月考）设关于的不等式，只有有限个整数解，且0是其中一个解，则的取值是__________. 【答案】或 【分析】讨论a是否为0，不等于0时，利用解一元二次不等式结合题意验证，即可求得答案. 【详解】若，则原不等式为，即，原不等式的整数解有无数个，不符合题意，故. 设，其图象为抛物线， 由题意可知此抛物线开口向下才能满足条件，故. 因为0为其中一个解，所以，即， 所以，又，故或. 若，则不等式为，解得， 因为为整数，所以，符合题意； 若，则不等式为，解得3， 因为为整数，所以，符合题意， 所以的取值是 或， 故答案为：或. 4．若，且不等式的解集中有且仅有四个整数，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】分类讨论求出含参一元二次不等式的解集，然后根据题意得到不等式组，进而可以求出结果. 【详解】由，可得， 由题意当，即时，不等式的解集为； 若满足解集中仅有四个整数，为，则， 此时，与矛盾； 当时，即，不等式的解集为，不符合题意； 当，即时，不等式的解集为； 若满足解集中仅有四个整数，可能为，或， 当为时，则，且，无解， 当整数解为时，，且， 解得； 综上知，实数的取值范围是. 故答案为： 5．（24-25高三上·河南安阳·期中）已知不等式的解集为.若不存在整数满足不等式，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据一元二次不等式的解集，结合韦达定理可得，，然后代入目标不等式化简即可得解. 【详解】不等式的解集为， 则，且分别为方程的两根， 由根与系数的关系，得即. 将代入不等式， 化简得，即. 容易判断或时，均不符合题意，所以. 所以原不等式即为， 依题意应有且，所以. 故答案为： 6．关于的不等式，其中为大于0的常数． （1）若不等式的解集为，求实数的取值范围； （2）若不等式的解集为，且中恰好含有一个整数，求实数的取值范围. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）由不等式的解集为，得到一元二次不等式对应方程的判别式，即可求解； （2）由不等式对应方程的判别式，得到，设，利用一元二次方程和一元二次不等式的关系，得到不等式的解集中恰好含有一个整数1，转化为，即可求解. 【详解】（1）由题意，不等式的解集为， 则一元二次不等式对应方程的判别式，解得或， 又因为，解得. （2）由题意，一元二次不等式对应方程的判别式，解得， 又，所以， 设，其对称轴为， 因为，，所以对称轴， 所以不等式解集中恰好含有一个整数，则整数只能是1， 此时中恰好含有一个整数等价于，解得， 所以. 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，以及一元二次不等式与一元二次函数的关系，其中解答中熟练应用一元二次不等式和一元二次函数的关系是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 7．（25-26高一上·广东佛山·月考）已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数的取值范围； (2)当时，解关于的不等式； (3)若关于的不等式有且只有3个整数解，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用一元二次不等式恒成立的解法求解即可； （2）解一元二次不等式即可得解； （3）根据的不同取值范围分类讨论解不等式，再由解集中含有3个整数求解即可. 【详解】（1）不等式的解集为，即恒成立， 当时，的解集不是； 当时，恒成立， 则，解得， 所以实数a的取值范围为. （2）当时，是开口向下的抛物线，两根分别为和，且， 此时的解为； 所以不等式的解集为. （3）当时，，解得，不符合题意； 当时，是开口向上的抛物线，两根分别为和， 当，即时，的解为，至多有1个整数解， 因为有且只有3个整数解，所以不符合题意； 当，即时，的解为空集，不符合题意； 当，即时，的解为， 因为有且只有3个整数解，所以，解得； 当时，是开口向下的抛物线，两根分别为和，且， 此时的解为或，不符合题意； 综上，实数的取值范围为. 8．（25-26高一上·辽宁·期中）记不等式为不等式（*）． (1)当时，解关于的不等式（*）； (2)当时，关于的不等式（*）的解集中整数恰好有3个，求实数的取值范围； (3)当时，关于的不等式（*）在上恒成立，求的最大值． 【答案】(1)时，解集为，时，解集为 (2) (3)1 【分析】（1）分和两种情况解不等式即可； （2）以为主元进行因式分解得，结合可求解集，根据题意可得，求解即可； （3）令，分和两种情况讨论，结合二次函数的性质可求解. 【详解】（1）当时， 当时，易知的解集是； 当时，不等式（*）为， 于是， 由知，则（*）的解集是． 综上所述：当时，的解集是； 由，（*）的解集是． （2）当时，， 即． 当时，， 则不等式（*）的解集是 注意到， 故解集中三个整数为0，1，2，则，即 所以实数的取值范围是． （3）不等式（*）整理为 令，注意到为的零点． 当时，在不恒成立； 当时，由及二次函数图像知， 是的不变号零点且二次函数图象开口向下 则且，则 则，当时，取最大值为1． 此时，，则满足题意． 所以的最大值为1． 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题题型02 1．（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期中）当时，不等式恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，转化为不等式在上恒成立，求得，即可求解. 【详解】由时，不等式恒成立，即不等式在上恒成立， 当时，可得，所以，所以实数的取值范围为. 故选：A. 2．关于的一元二次不等式的解集为空集，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对m进行分类讨论，结合判别式求得m的取值范围. 【详解】当时，不等式的解集不是空集，不符合题意， 当时，要使不等式的解集为空集， 则需，解得. 所以的取值范围是. 故选：B 3．“”是“，成立”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由，成立求出b的范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答. 【详解】由，成立，则当时，恒成立，即， 当时，，解得， 因此，成立时，， 因为，所以“”是“，成立”的充分不必要条件. 故选：A 4．（25-26高一上·四川德阳·月考）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为_____ 【答案】 【分析】利用二次函数的性质即可求解. 【详解】记，则在上恒成立 故且，解得， 故答案为： 5．（24-25高一上·河南许昌·质检）若不等式对任意都成立，则实数m的取值范围为___________． 【答案】 【分析】利用参变分离法将不等式化成，只需求函数在上的最小值即得参数m的取值范围. 【详解】由不等式对任意都成立，可得不等式对任意都成立， 因，，则得， 故得，即实数m的取值范围为. 故答案为：. 6．（1）已知关于的方程在上有解，求实数的取值范围； （2）已知关于的方程在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）由题可知在上有解，根据二次函数的性质求函数最值即得； （2）由题可知在上有恒成立，根据二次函数的性质即得. 【详解】（1）由可得， 所以在上有解， 因为，在上单调递增， 所以， 所以； （2）由题可知在上有恒成立， 由上可知， 所以． 7．已知函数． (1)解关于x的不等式； (2)若不等式对一切恒成立，求m的取值范围． 【答案】(1)当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为或. (2) 【分析】（1）首先根据题意得到，再分类讨论解不等式即可. （2）首先将题意转化为，再利用换元法结合基本不等式求解即可. 【详解】（1），即， 当时，即，解集为； 当时， 当，即时，， 因为，所以解集为或. 当，即时，， 因为，所以解集为． 综上所述：当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为或. （2），即， 因为恒成立，所以， 设，则， 所以， 因为，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号， 所以当时，．即. 8．（25-26高一上·湖北武汉·月考）已知函数． (1)若不等式的解集为，求的取值范围； (2)解关于的不等式； (3)若不等式对一切恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或 (3) 【分析】（1）当时，函数为一次函数，不符题意；当时，结合二次函数图象性质即可列出不等式组求出m的范围； （2）将不等式化简并且进行因式分解，分类讨论二次项系数为0、为负、为正三种情况即可； （3）将不等式参变分离为，令，用t表示，结合基本不等式求出的最大值即可得到m的范围． 【详解】（1）当，即时，，不合题意； 当，即时，， 即， 解得． （2）化为即， ①当，即时，解集为； ②当，即时，， ∵， ∴解集为； ③当，即时，， ∵， ∴解集为或， 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或． （3）可化为， ∵， ∴， 令，则， ， 当且仅当，即，时，等号成立， 即当时，在上取得最大值1， 故要使不等式对一切恒成立， 则． 一元二次不等式在某区间上有解问题题型03 1．若关于的不等式有解，则实数的最大值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【详解】由关于的不等式有解， 得，解得， 所以实数的最大值为2． 2．已知命题，，若是真命题，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意知，不等式有解，可得出，可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围. 【详解】已知命题，，若是真命题，则不等式有解， ，解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：A. 【点睛】本题考查利用全称命题的真假求参数，涉及一元二次不等式有解的问题，考查计算能力，属于基础题. 3．若不等式在上有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将不等式在上有解，转化为不等式在上有解求解. 【详解】因为不等式在上有解， 所以不等式在上有解， 令，则， 所以， 所以实数的取值范围是 故选：B 4．若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】不等式在区间内有解，仅需，利用一元二次函数的图像和性质求解即可. 【详解】不等式在区间内有解，仅需即可， 令，因为的对称轴为，，， 所以由一元二次函数的图像和性质的得， 所以， 故选：D 5．若存在实数，使得成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别在、和的情况下，结合二次函数的性质讨论得到结果. 【详解】①当时，不等式化为，解得：，符合题意； ②当时，为开口方向向上的二次函数， 只需，即； ③当时，为开口方向向下的二次函数， 则必存在实数，使得成立； 综上所述：实数的取值范围为. 故选：C. 6．若存在，使不等式成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】当时，由参变量分离法可得，利用基本不等式求出的最大值，即可求得实数的取值范围. 【详解】当时，由，可得，则， 因为，当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，当时，的最大值为，故. 故选：A. 7．若不等式有解，则实数的取值集合是_________. 【答案】 【分析】结合二次函数的性质及判别式求解即可. 【详解】由题意，可得，即， 则实数的取值集合是. 故答案为：. 8．已知命题，不等式恒成立；命题，使成立. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题中恰有一个为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）由得到关于的不等式，解得即可； （2）首先求出命题为真时参数的取值范围，再分真假、假真两种情况讨论. 【详解】（1）命题，不等式恒成立，为真命题， 则，解得，即实数的取值范围为. （2）命题，使成立， 当为真命题时， 即，解得或， . 当命题中恰有一个为真命题时， ①为真命题，为假命题，即，所以； ②为假命题，为真命题，即，所以； 综上可得：. 一元二次方程根的分布问题题型04 1．已知关于x的一元二次不等式的解集为，则a=（   ） A．-3 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式的解与一元二次方程根的关系，结合韦达定理即可求解. 【详解】由不等式的解集为， 得和是方程的两个根，所以，． 故选：A 2．若一元二次方程（不等于0）有一个正根和一个负根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程有一个正根和一个负根可得判别式大于零以及两根之积小于零，列不等式组即可求解. 【详解】因为一元二次方程（不等于0）有一个正根和一个负根，设两根为， 则，解得， 故选：A 3．已知方程的两根都大于1，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知可得判别式，再借助韦达定理及两根都大于1的条件列出不等式，求解即得. 【详解】设方程的两根为，依题意有：， 因都大于1，则，且，显然成立， 由得，则有，解得， 由解得：，于是得， 所以的取值范围是. 故选：A 4．要使关于的方程的一根比1大且另一根比1小，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】设，要使得关于的方程的一根笔译1大且另一根比1小，转化为，即可求解. 【详解】由题意，设， 要使得关于的方程的一根笔译1大且另一根比1小， 根据二次函数的图象与性质，则满足，即， 即，解得，即实数的取值范围是. 【点睛】本题主要考查了一元二次函数的图象与性质的应用问题，其中解答中把关于的方程的一根笔译1大且另一根比1小，转化为是解得的关键，着重考查了转化思想，以及推理运算能力. 5．（24-25高一上·上海·期末）已知关于的方程至少有一个实根，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】分与时讨论，当时，令判别式大于等于零即可； 【详解】当时，方程为，解得； 当时，方程至少有一个实根，则，解得， 综上，实数的取值范围是. 故答案为：. 6．（25-26高一上·江苏·期中）已知函数. (1)若关于的方程一个根大于0，一个根小于0，求实数的取值范围； (2)若关于的方程有两个大于的不等实根，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得函数图象与轴交点的纵坐标即可. （2）直接根据二次函数根的分布进行求解即可. 【详解】（1）因为方程一个根大于0，一个根小于0， 所以， 所以， 故 （2）因为方程有两个大于的不等实根， 所以， 解得：. 7．已知关于的不等式的解集为. (1)求实数，的值； (2)当，，且满足时，求的最小值. 【答案】(1)，. (2)24 【分析】（1）根据一元二次不等式的解与方程的根之间的关系即可求解， （2）根据乘“1”法，即可结合基本不等式求解. 【详解】（1）∵不等式的解集为， ∴，且，为方程的两个根，故， 解得或（舍去）， （2）当，时，由（1）得， ∴， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值为24 8．已知a，，，关于x的方程有两个不相等的实根，且均大于小于0，求的最小值． 【答案】10 【分析】根据一元二次方程根的分布的特征得出满足的条件，进而通过取值范围讨论求解即可. 【详解】由题意得，，即， 因为a，， 由，得， 若，则，即，无解； 若，则，即，无解； 若，则，即，则或， 显然时，取最小值10， 若，由，得， 所以的最小值为10. 新定义问题题型 1．（24-25高一上·江西·月考）在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着神秘的“黑洞”现象.数学黑洞：无论怎样设值，最终都将得到固定的一个值，再也跳不出去，就像宇宙中的黑洞一样.目前已经发现的数学黑河有“123黑洞”、“卡普雷卡尔黑洞”、“自恋性数字黑洞”等.定义：若一个n位正整数的所有数位上数字的n次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知所有一位正整数的自恋数组成集合A，集合，则的子集个数为（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】C 【分析】由自恋数定义可得集合的一个子集，解不等式可得集合，求得中的元素个数即可得出其子集个数. 【详解】根据自恋数定义可知，所有一位正整数都是自恋数，即； 解不等式可得，即； 所以，即中共有5个元素， 因此的子集个数为个. 故选：C 2．设a、b是实数，定义：，则满足不等式的实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据定义分别求出，，然后解不等式可得. 【详解】， 设，， 所以， 所以， 所以，解得. 故选：C. 3．（25-26高一上·海南海口·月考）在上定义运算，若不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】根据定义，将问题转化为二次不等式在R上恒成立的问题，利用二次函数性质即可容易求得. 【详解】根据定义，不等式即为：， 整理得：对一切实数x恒成立， 则只需，整理得：， 解得，即实数的取值范围是. 故答案为：. 4．对于实数，若两函数，满足：①，或；②，，则称函数和互为“相异”函数.若和互为“相异”函数，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】根据两个函数互为“相异”函数可得，有恒成立，且在上有解，利用参变分离先讨论前者，再结合二次函数的图象和性质可得所求的取值范围. 【详解】因为当时，，当时，，当时，， 结合互为“相异”函数， 故，有恒成立，且在上有解. 先考虑，有恒成立，则在上恒成立， 故在上恒成立， 因为，故，故. 再考虑在上有解， 若，则，故在上无解， 若，的对称轴为，且开口向下， 由在上有解可得， 故或（舍）. 故实数的取值范围是， 故答案为：. 【点睛】方法点睛：对于新定义背景下的函数性质的讨论，一般是先根据定义得到含参数的函数的性质，对于不等式的恒成立或有解问题，可优先考虑参变分离的方法，也可以结合函数图象的性质处理. 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $