浙江省江浙皖共同体2026-2027学年第一学期高三年级10月联考数学试题

绝密 考试结束前 2026学年第一学期高三年级10月联考 数学 考生须知: 1.本卷满分150分,考试时间120分钟: 2.答题前,在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息: 3.所有答案必须写在答题卷上,写在试卷上无效,考试结束后,只需上交答题卷。 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确 的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上, 1.已知集合U={1,2,3,4,5,6,A={1,3,5},则C4=( ) A.{1,3,5} B.{2,4,6} C.{1,2,3,4}D.{3,4,5,6} x2 2.双曲线4少=1的离心率为(4) 5 √5 A.2 B.5 C.2 D.5 3.“a<b<0”是“>1”的( ) b A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知函数fx)=x3+3x2+ax+1有两个极值点,则a的取值范围是( ) A.(-0,3) B.(-0,3] C.(3,+o) D.[3,+oo) 5.某6个数据的样本平均数为26,方差为7.现增加一个数据26,则这7个数的方差为( ) A.5 B.6 C.7 D.8 6.如图,是古代用来盛粮食的小容器称为“升篓”,其形状是一个正四棱台,上、下底面边长分别为15cm, 9cm.若从一个盛满米的“升篓”中取出610g米后,米的高度下降一半,则剩余米的重量为( ) 第6题图 A.370g B.399g C.407g D.470g 4-x 7.已知函数=3一m)+hx,8=r一m).若为奇函数,则m+n=( ) A.-4 B.-2 C.0 D.2 2 7 2n 8.已知函数)=2sin(or+p)(@>0,l<2)其图象过点A(-3,0),B(3,2),且在x= 2 处的导数f(-3)<0.则正数0的最小值是( ) 11 A.2 B.6 c.6 D.2 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全 部选对得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9、已知复数:=1-1 2,则(4) √2 1 A.= 2 B.z+=1 C.z2>0 D.z2+z+5=0 2 三角形4B 的顶点A处有一只机器蛙,每次跳动,仍在原地的概率为。,跳向另外两 1 均为 4 记机器蛙第k次跳动后停在A,B,C的概率分别为P(A),Px(B),P(C,则( ) A.P:(B)=3 B.P2(B)=P2(C) 1 C.P(A)+2P(B)=1 D.PE(4)=P(4)+ 4 11.已知函数fx)的定义域为R,对于o∈R,定义集合D(x)={d∈Rf(x+d)>f(x)},若f(x)≤f(x), 则D(x)二D(x)成立,称函数x)为“D函数” 下列选项中是“D函数”的为( ) A.fx)=2x+1 B.=2 e,x≤0, C.fx)=sinx D.Ax)= 3,x>0 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.已知向量a=(2,一1),b=(0,1),则a(a-b)= 13.已知A(一2,0),B(0,2),若点C是抛物线y2=4x上的动点,则 ABC面积的最小值是 14.一袋中装有若干个标号为1,2,3,4,5,6,7,8的小球,其中标号为1,2,,8号的小球个数 成等差数列.小明从袋中有放回地摸了两次,每次摸1个球,若两次摸出的小球标号相同的概率为 5 36 则两次摸出的小球标号之和为9的概率是 四、解答题:本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 15.(本题满分13分)已知在 ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,,且simB+石)=2a nb+c (1)求角A: (2)若a=8,且 ABC的周长为21,求 ABC的面积. 16.(本题满分15分)给定函数x)=(x一a)e1. (1)若的最小值为-1,求a的值: (2)若曲线y=x)有两条过点(1,O)的切线,求a的取值范围. 17.(本题满分15分)如图,在正三棱柱ABC-AB1C中,AB=√2A4,点D在棱AB1上, (1)求证:①CD/∥平面ABC;②AB1⊥A1C: (2)若AD= 3DB,求二面角D-4C-B,的余弦值. B B 1。休超满分1?分)在平面直负杂标质0心中,已知机同C子若-1a>6~0治右质在 F2,0),离心率为2 (1)求椭圆C的标准方程: (2)设直线:y=x+2与C交于A,B两点. (i)求 ABO面积的最大值: (i)在y轴上是否存在一定点P,使得直线PA,PB的斜率之和恒为0?若存在,求出P的坐 标;若不存在,请说明理由. 19.(本题满分17分)设数列{an}为等比数列,对集合T={t1,t2,…,tk},t,t2,…,tk∈N*, 11 定义Sr=antap++a已知1={l,3},={L,4号,且Snn=l,SUn=8 (1)求数列{an}的通项公式: (2)对任意正整数k,若TC{k+1,k+2,…},求证:Sr<ak: (3)若BCN*,CcN*,且SB=SC,求证:B=C. 2026学年第一学期高三年级10月联考 数学参考答案 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正 确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 1.【答案】B 【解析】CUA={2,4,6.故答案选B. 2.【答案】C 【解析】e=2+-2+卫_5 故答案选C. 2 2 3.【答案】B 【解析】由a<b<0,得91,反之不成立,如a=2,b=1,满足81,但是不满足a<b<0, h 故“a>b>0”是“41”的充分不必要条件. h 4.【答案】A 【解析】由f'(x)=3x2+6x十a=0,因为fx)有两个极值点,所以62-12a>0,得a<3.故选A. 5.【答案】B 【解析】因为增加一个数为原6个数的平均数,故平均数不变,且7个数的方差s2=7 6十0)=6.故 答案选B. 6.【答案】A 【解析】从“升篓”中取出610g米后,米的高度下降一半至平面A2B2C2D2 D 处, B D 由题意可知正四棱台A2B2C2D2一ABCD和A1B1C1D1一A2B2C2D2的高相等, 设为h. B 因为,AB=15cm,A1B1=9cm,则,A2B2=12cm,则 '4B1GD4GD-写h:(122+12 9+92)=111h,Vh8,GD2 ABCD-h (152+15x12+122)=183h.设剩余的米 的质量为xg, 则8G02G2=h-2-三 VA2B2C2D2-ABCD 2=18站660解得x=370g.故答案选A. 7.【答案】C 【解析】由g=一)=3一m一十n4+”-的定义域为a,n十4关于原点对称,所以n十4十n= x-n 0,得n=-2,即g)=+2)=306一m十2)十1n2为奇函数,所以g0=0,得m十n=0.故答案选 x+2 C. 8.【答案】B 【解折】因为函数的图象过点4(-子0,行2.且/-<0, 所以-冬十p=2kx+o+g=2r+号,k∈Z, 两式相减,化简得,3w=2一)加一受,a∈乙, 即o-名nez 因为w>0,所以n>0, 当a=1时,0-之此时p=(2k+1+景∈Z, 又<受所以无答案,舍去. 当n=2时,0=子此时9=2x+1g,k∈Z, 6 又9<受所以p=一号满足题设要求,所以的最小值为号故答案选B. 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全 部选对得6分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分。 9.【答案】AD 【解折1由:是号则-出H 2i2 2 子:计F=-1,2计:+号0由此可得AD正 确,BC错误. 10.【答案】BCD 【解析】由题意及对称性可知:P(=之P( )=P(O=子P(B)=P(C,P)+P(B)+P(O=1.易 知A错误,B正确,c正确:对于D:P0=P④+P8+Pq-P+PB)-P4+ -P(-0+好故D正确, 11.【答案】ABD 【解析】对于A:因为f)=2x十1是单调增函数,对任意xo∈R,Dxo)={dd>0},所以A正确:对 于B:)-为单调减函数,故对任意o∈R,Do=ddK0,故B正确:对于C:sn0sin,D0) ={dsind>0,D()={dsin( +d>0}={dsind<0},D0)nD(m)=O,故C错误;对于D:函数)= 第2页(共7页) ex,x<0 >0在(-0,0,(0,十o0)上单调递增,当0<0时,要使m十d山>,即c十de, xo <o十d0,故Dxo)=(0,-xo:当x=0时,要使f(d)>f(0)=1,那么,若d≤0时,e≤1: 0< ,均不成立,故此时D0)=O:当x>0时,要使广八5+a正 那么,若x+d≤0,则左边eo+d0,右边为负数,不等式恒成立,此时d≤-xo: a>这。安中10故t时D)=(s6小0, 若。+d>0,则需-,1 若f(x)≤f(x)时,存在三种情况,分别为x≤x2≤0,x>0且x2≤0,0<x≤x2: 当x≤x≤0时,D(x)=(0,-x],D(x2)=(0,-x],由于-x≥-x2, 故D(x)sD(x): 当x>0且x≤0时,D(x)=(-0,-x]U(0,+∞),D(x)=(0,-x],故D(x2)≤D(x): 当0<x≤x2时,D(x)=(-∞,-x]U(0+∞),D(x2)=(-0,-x2]U(0,+∞), fex,x<0 由于-x2-,故D(x)cD(x).所以)= 宁x>0是“D函数”, 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分」 12.【答案】6 【解析】d (d-b)=(2,-1)(2,-2)=4+2=6. 13.【答案】1 【解析】过本、B的直线AB的方程为:y=x+2.设C4,4切.则点C到直线AB的距离d=4一4+2 v2 =4-41+24- V2 +l5所以S)=之48d=1 2 2 14.【答案】 【解析】设每次摸到1,2,,8球的概率依次为p1,p2,,p8,由题意可知:p1,p2,,ps成等 差数列.,且p十p十十p=1,且pm十pm=P十Pm=p十%=p十p%一子设两次摸出的两个球的号码相 同的事件为A,之和为9的事件为B, P(A)=p12+p22+p32+p42+ps2+p62+p7+p82,P(B)=pips+p2p7+p3p6+p4ps+psp4+pop3+pp2+p8p -2(PPs+px+pspe+psps).P)+P(B)-(pi+ps)+(p:+pY+(ps+po)+(ps+psF-+x(- 第3页(共7页) 由品程@名) 四、解答题:本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 15.【解】()由sin(B+马=+,得a(5sinB+cosB)=b+c, 62a 由正弦定理得:V3 sinAsinB+sinAcosB=sinB+sinC, …2分 sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB, 代入得:V3 sinAsinB=sinB+cosAsinB, 因为sinB≠0,所以5sin4-cosA=1, ..4分 所以2sin4-爱=1,即s血4-爱=分 .5分 因为0<A< ,即-亚<A-<5江, 6 66 所以4名名即4号 .7分 66 (2) 因为a=8,a+b+c=21,所以b+c=13, .8分 由余弦定理得:b2+c2-2 bccos/4=a2, 6+er-2b加1+月64, .10分 解得:bc=35, ..11分 所以Sc-cn4-355 4 .13分 16.【解】(1)函数的定义域为R, f'(x)=(x+1-a)el 2分 令f'(w)=0,解得x=a-1. f'x),x)的变化情况如下表所示. 大 (-o,a-1) a-1 (a-1,+o) f'(x) - 0 + fx) 单调减 -e-2 单调增 .4分 所以,fx)在区间(一oo,a一1)上单调减,在区间(a一l,+o)上单调增. 当x=a-1时,x)有极小值也是最小值fa一1)=一ea-2, ..6分 由题意得,一c2=-,解得a=1. e .7分 (2)由(1)得y'=f'x)=(x+1一a)el.设切点坐标为(xo,(o一a)e0-), 第4页(共7页) 所以切线的斜率k=(xo+1一a)e0-l, 所以切线方程为y-(xo一a)e0-1=(xo十1一a)e0-(x一xo). ..10分 又因为切线过原点,所以一(o-a)ex0-l=(xo+1一a)e0-l(1一xo, 整理得:x。2-(a十1)xo十2a-1=0, .13分 因为切线存在两条,所以方程有两个不等实根, 所以 =(a+1)2-4(2a-1)>0,解得a<1,或a>5. .15分 17.【解】(1)证明:①因为平面ABC∥平面A1B1C,CDc平面A1B1C1,所以CD∥平面ABC. .2分 ②设AB的中点为E,连接A1E,CE, 因为 ABC为正三角形,所以CE⊥AB, 又侧面ABB1A1⊥平面ABC,侧面ABB1AI∩平面ABC=AB,所以CE⊥平面ABB1A, .4分 因为AB1C平面ABB1A1,所以AB1⊥CE. 分 因为A正=AA+A正=AA+1AB,AB=AB+BB=AB-AA, 所以应孤=国1+(店-4=店-=2不的-=0, 所以AE⊥AB,即AB1⊥AE, .7分 又AENCE=E,AIE,CEC平面AICE,所以AB1⊥平面AICE, AICc平面A1CE,所以AB1⊥AIC 9分 (2)如图以{E乙,EA,E}建立空间坐标系(F是A1B1的中点),不妨设AB=4,则A0,2,0),C25, 0,0,D0,1,2V2),B1(0,-2,2V2), .11分 则CA=(-25,2,0),AD=(0,-1,2V2),AB1=(0,-4,22), 设平面ACD的法向量为n=(x,y,),由ADn=0,及CAn=0,得:y=2V2z,及2V3x-2y=0, 取x=4,得n=(4,45,V6. 同理可得平面AB1C的法向量m=(1,V3,V6 ..13分 设二面角D一AC一B1的值为0,由图可知0为锐角.且 cos =m 4,43,161,13,16=11 1nmV42+(4V3)2+(62V1+V3)2+V6235 所以二面角D-AC-B1的余弦值为h5 35 .15分 18。【解】(1)由题意知,e=之c=2,得a=4, .2分 b2=a2-c2=12 所以C的标准方程为+二=. 1612 .4分 (2)设Ax1,y),Bx2,2),直线I与y轴的交点为D(0,2). y=kx+2, 联立任+上=1,消去y整理得,(3+422+16x-32=0. 1612 因为x,:2是上述方程的根, 16k r1十x2= 3+4k2 所以 、 32 .6分 3+421 GD由S4og-Sam+S,o0Da+hoDIw =x+r2, .7分 因为xx2<0, 所以Sa4Bo=x+x2=r2一x1=V1+x2)2-4x1x2 162k2 +4x,32 V(3+422 3+42 =8V6x11+2 .9分 3+42 令V1+2k2=≥1, Sa4B0=8V6x-1816 22+13 .11分 (i)设存在点PO,t),使kP十kP=O, 即1-1+2-1=0, .13分 X1 X2 即-2+2-2-(1-2)2+3)=0, X1 X2 x12 因为1+1=十2=k X1 X2 X1X2 2 所以2k-(1-2) =0, .15分 2 因为上式对k∈R,恒成立,所以2-(1一2) =0,解得1=6. 故存在一定点P(O,6),使得直线PA,PB的斜率之和恒为0. ..17分 第6页(共7页) 19.【解】(1)设数列{an}的公比为g, 由T∩T2={1},得a1=1, 2分 由nU万=13,4.得1+4-号解得g 81 .4分 所以a,=太aeN .5分 (2)当T{k+1,k什2,},令T={,2,,tk},且k+1≤<2<.< 11 ,111 则5=antn2222t 2g-1 .7分 =1-11 212-12=a. ..9分 (3)令B={b1,b2,,bk},C={c1,c2,,c以,b1<b2<..<bk,C1<c2<.<c 设b1,b2,,bx与c1,c2,,C中第1个不等的项为第i个,即bc, 11 由SB=Sc, 20m2brt…t2r1202a +…t2-去掉前面1一1个相等的项得 1 11111 1 2c1(1) 2r126r-…t2r120rit2c1nt…t28 ..11分 1 若b,<c,则c-b≥1,(1)两边同除 261得 1 1 1 1 2b+1-6,..+ 1 2bkb:2crb,2941-b / 2crb' (2) .13分 11 而 111 2cb2c1-b…+2c-b,222+:.41 b1- 6下1, .15分 1 1 201-6 1+ 2b-bl,这与(2)矛盾,所以b<G不成立, 同理可得,b>不成立, 所以bc不成立。 所以b=c(i=1,2,)成立,所以B=C. ..17分 第7页(共7页)