浙江省浙南名校2027届高三上学期数学学科练习试题

绝密 考试结束前 高三年级数学学科练习 考生须知: 1.本卷共4页满分150分,考试时间120分钟: 2.答题前,在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字; 3.所有答案必须写在答题纸上,写在试卷上无效; 4.考试结束后,只需上交答题纸 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的, 1.已知集合A={x2≤x<7},B={x2<x<10},则C(A∩B)=() A.{x|2≤x<7} B.{x|x<2,或x>7} C.{x|x≤2,或x>7 D.{xx≤2,或x≥7} 2.在1+2x)的展开式中,第5项的系数为( ) A.15 B.6 C.240 D.192 3.若平面向量a,6满足a-b=2,b=(1,2),则a在b上的投影向量为() 2W545 5, 4. 已知复数z,则“z=1”是“(z+白)∈R”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5.1 两个线性相关变量x与y的统计数据如下表: 2 ? 5 7 y 3.5 n 6 7.5 根据表中数据,得到y关于x的经验回归直线方程为)=1,2x+0.2,则下列说法错误的有() A.x=4.5 B.n=4.8 C.变量x和y正相关 D.x=5对应的残差为-0.2 6.将函数f(x)=V3sin2x+sinxcosx- 的图象上所有点的横坐标平移p个单位,纵坐标保持 2 不变,得到偶函数y=g(x)的图象,则p的最小值为() 2 A. B. 3 C. D. 7.已知圆C:x2+(y-a)2=13与圆C2:(x-b)2+y2=4(a,b∈R)交于A,B两点,若存在实数 b,使得公共弦长AB=4,则实数a的取值范围是() A[-3,3] B.[-V5N5] C.[-2,2] D.(-0,-3]U[3,+o∞) 8.已知a,b∈R,函数f(x)=x3-(a+1)x2+(a-b)x+b,对任意x∈(0,+o),恒有f(x)≥0成 立,则a2+b的最小值为() A月 B.3 C.1 D.2 4 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求, 全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.已知数列{an}满足a=。,nan+1=(n+2)an+1,则( 5 C.{2a,}为等比数列 09 A.a2= B.{an}为递增数列 (n+1)n D.40=2 10.如图,在棱长为2的正方体ABCD-AB,CD中,E为AC的中 点,F为CC的中点,M为A,B的中点,点N为线段AC上的动点 A (含端点),则下列说法正确的是() A.EF⊥平面ABD B.三棱锥N-ACM的体积不是定值 C.三棱锥B,-BEM的外接球的表面积是6 第10题图 D.当直线NE与平面ABD所成角最大时,线段NE长为2 11.过抛物线C:x2=4y焦点F的直线与C交于A,B两点,其中A在第一象限且|FA>FB|, 已知点P(4,0),若直线PA,PB与C分别另外交于M,N两点,则() A.当FA=3时,OA=2W3 B.当|FA=2|FB|时,|FB=3 C,当直线AB与直线MN平行时,直线AB的斜率为2 D,当直线AB的斜率为}时,直线MN的斜率为-3 2 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.已知圆锥的侧面展开图是周长为 +2的半圆,则圆锥的表面积为 3an,n为奇数 13.已知{an}为等差数列,定义数列{bn}满足:bn= ,记Sn为数列{bn}的前n项 an+6,n为偶数 和,已知a2+a4=18,且S4=50,则S2n= 14.如下图,一个质点在随机外力的作用下,从原点O出发在数轴上移动,每次向左或向右移动一 个单位且相互独立,已知向右移的概率为2,向左移的概率为2,设该质点移动次后在数轴上对 5 应的数为随机变量5n,则5n的方差D(5n)= (用含n的式子表示). 65-4-3-2-10123456元 第14题图 四、解答题:本题共5小题,共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)在 MBC中,内角4,B,C的对边分别是a,b,G,且s血4+sinB sin A-sinC a-b (1)求角B的大小: (2)若点D满足AD=2DC,且BD=2,求 ABC面积的最大值. 16.(15分)已知函数f)=e -1 (1)求f(x)的单调区间; (2)已知a>1,求证:当x>a时,f(x)>a. 17.(15分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,AD=2,∠BAD=120 ,平面PAD⊥ 平面ABCD, PAD是等边三角形. (1)若平面PAB∩平面PCD=m,证明:CD//m; (2)求直线PD和平面PBC所成角的正弦值; (3)在棱AB上(含端点)是否存在点N,使二面角N-PC-B 的余弦值为4√7 2?若存在,求出的值若不存在,说明 35 NB 理由. B 第17题图 1区7分)已知精圆C若+y广-1a>)的左右贸点分别为4,4,点PK,与点C》 是椭圆C上两个不同的动点,记线段PQ与x轴的交点为M. (1)若 APQ的面积是 APQ的面积的3倍,求|PQ|的值; (2)设直线A,P与直线AQ的交点为E. (i)求点E的轨迹方程; (i)当点E在第一象限时,若 A,EM的面积是 A4EM的面积的入(2>1)倍,求点E的纵 坐标(用入表示). 19.(17分)设集合M={2026,2026+1,…,2026+n,n∈N,若存在非空集合A,B,满足 AUB=M,A∩B=中,则称A,B是集合M的一个划分.记p(P)为任意非空集合P的所有元素 之和. (1)当n=3时,求集合M的一个划分A,B,使得p(A)=p(B): (2)当n=2026时,是否存在集合M的一个划分A,B,使得p(A=p(B).若存在,求出A,B; 若不存在,说明理由; (3)若集合M存在一个划分A,B,使得p(A)=p(B),求满足条件的所有正整数n. 高三年级数学学科参考答案 命题学校:永嘉中学 审题学校:永康一中、苍南中学 1.D2.C3.B4.A5.B6.D7.A8.B 9.ABD 10.AC 11.ACD 3T 12.4 13. 68n2-61n 14. 24n 3 25 15.解: (1)因为c=sinA+sinB a-b sinA-sinC,所以,c。=a+b …2分 a-b a-c 整理得a2+c2-P=ac,则cosB=a2+c2-b _ac_1 …4分 2ac 2ac 2 因为0<B<元,所以B= …5分 3 (2)以点B为起点,记BA=u,BC=v,则园=c,=a, 且由B=60 ,有1v=accos60 =a 2, 因为4D=2DC,所以BD=BA+2BC=(a+2), …7分 3 3 由D=2,得4=面f-到+25P, 解得4=g(e2+4a+4i)=(e2+4d+2ac即4a+2ac+c=36, 则36-2ac=4a2+c2≥2W4a2xc2=4ac,即ac≤6, 当且仅当4a2=c2,即a=√3,c=2V3时取等号, …11分 4 6= 4 2N 故 ABC面积的最大值为3 ……13分 2 16.解: (1)函数f(x)=的定义域为x1x≠1号 …1分 f(x)-(y(-1)-o*G-1Y=G-1)-o*=-2 …3分 (x-1)2 (x-1)2 (x-1)2 高三数学学科答案第1页(共6页) 因为e*>0且(x-1)2>0(当x≠1时),所以f'(x)的符号完全由分子中的(x-2)决定, 所以f(x)的单调递减区间为(-∞,1)和(1,2); …5分 f(x)的单调递增区间为(2,+∞). …6分 (2) 解法一:要证当x>a时,fx)>a,即证>a。 因为x>a>1,所以x-1>0,不等式等价于:e*>a(x-1)…7分 令g(x)=e*-a(x-1),xe(a+∞),只需证g(x)>0, g'(x)=ex-a …9分 因为x>a>1,则g'(x)=ex-a>ea-a 设h(a)=ea-a,则h'(a)=ea-1,当a>1时,h'(a)>0,h(a)单调递增,所 以h(a)>h(1)=e-1>0,即ea>a. 综上,当x>a时,g'(x)=ex-a>ea-a>0. 即g(x)在区间(a十∞)上单调递增。…l1分 因此,对于任意x∈(a+o),都有:g(x)>g(a)=ea-a(a-1) 令m(a)=ea-a2+a 则m'(a)=ea-2a+1, …13分 m"(a)=ea-2,因为a>1,m"(a)=ea-2>0, m'(a)=ea-2a+1在区间(1,+∞)单调递增,m'(a)>e-1>0, 所以m(a)=ea-a2+a>m(1)=e>0,证毕。 …15分 解法二:要证当x>a时,f(x)>a,只需求f(x)的最小值>a …7分 当1<a≤2时,f(x)mtm=f(2)=e2>a显然成立10分 高三数学学科答案第2页(共6页) 当a>2时,fxmm=f(a)=只需证号>a即证ea-a2+a>0,方法同法一。…l5分 a-1 17.解: (I) 四边形ABCD为菱形 .CD∥AB, .ABC平面PAB,CD丈平面PAB CD∥平面PAB …2分 又:CDc平面PCD' 平面PCDO平面PAB=m …3分 P :CD//m …4分 (2) 0 解法一:记AD中点为O A ,平面PAD⊥平面ABCD,且 PAD是等边三角形 ∴.PO⊥平面ABCD ∴.以O为坐标原点,分别以OA,OC,OP为为x轴,y轴,z轴,如图建系,则 Dp=(1,0,V3,P =(0,V3,-V3,CB=(2,0,0),…6分 令平面P8C的法向量为m=k以,),则5y-V5:=0 2x=0 得m=(0,1,1), …8分 令直线PD和平面PBC所成角为O, ,m) DP.m6 D网 4 直线PD和平面P8C所成角的正弦值Y6 …10分 解法二:记AD中点O,连接OP,OC,作OH⊥PC, , 平面PAD⊥平面ABCD,且 PAD是等边三角形 高三数学学科答案第3页(共6页) .PO⊥平面ABCD ∴.PO⊥BC 又.BC⊥OC ∴.BC⊥平面POC …6分 ∴.平面PBC⊥平面POC ,'AD∥平面PBC ∴.dp=do=OH= …8分 2 ∴.直线PD和平面PBC所成角为O √6 …10分 'sin= dpOH PDPD 2 (3)假设存在满足条件的点N,令AN=tAB(O≤t≤1), .AN=(L,V31,0), …11分 CN=(t+l,V31-√3,0),令平面NPC的法向量为n=(x,y,), 则V-V=0 ++5-=0得a=30-01+L+理 …12分 alaw6动”2 2t+1) -47而 35 圈50341+5=0,1E金去,或1= 3 …14分 满足条件的点N存在,此时4N=3 …15分 NB2 18.解: (1)由题意知A(-a,0),A2(a,0),-a<x<a, 由 A,PQ的面积是 A,PQ的面积的3倍可得|A,M=3|MA,|, 即x+a=3(a-x),解得x=2' ……2分 高三数学学科答案第4页(共6页) 再代入椭圆方程解得y 2, 所以PQ=2|y,=V3 …4分 (2) (i)直线AP的方程为y=(x+a,直线A,Q的方程为y=一片(x-a), x+a x-a a2 联立直线4P与A,0直线的方程可解得x=￠,乃=, …7分 西+a>),代入化简得到号y=6>办 …9分 又y,≠0,则yE≠0, 点6的航迹的方程为。器少严=a>1y0) …10分 (ii)当 A,EM的面积是 A,EM的面积的(2>1)倍时, 可得|A,M=2|MA,, …12分 2-1 即x1+a=(a-x),解得x1= a, …14分 九+1 2√ A-1 a 代入E的轨迹方程二-少=1,解得 (2>1)(舍负), - 即点E的纵坐标为定 2(元>0 …17分 -1 19.解: (1)A={2026,2029),B={2027,2028 …3分 (2)假设存在M的一个划分A,B,使p(A)=p(B),则p(m)=p(A)+p(B)=2p(A)为偶数, 而p(m)=2026 2027+2027 1013为奇数,矛盾!…6分 高三数学学科答案第5页(共6页) (3)由于9(M0=m+1)+4052到为偶数,则n=4k或4k+3,keN.…8分 2 1 若n=4k+3,k∈N,构造集合 A=2026+i1除以4的余数为0或3,0≤i≤n,B=2026+jIj除以4的余数为1或2,0≤ j≤n} ,此时p(A)=p(B),满足题意:…l0分 2若n=4k,k∈N,记IPI为集合P中的元素个数.不妨|A>|B|, 则IA≥2k+1,|B|≤2k.已知 p(A)≥2026+(2026+1)+ +(2026+2k)=2026(2k+1)+k(2k+1),p(B)≤(2026+2k+ 1)+(2026+2k+2)+ +(2026+4k)=2026 2k+k(6k+1) .由p(4A)=p(B)知2026(2k+1)+k(2k+1)≤2026 2k+k(6k+1)即2026≤4k2,解得 k>23,n≥92.…12分 ()当n=92时, 令 A1={2026,2006+1,…,2026+46},B1=2026+47,2026+48,…,2026+92}.则 p(A1)=2026 47+47 23,p(B1)=2026 46+(47+92) 23, 于是p(A1)-p(B1)=2026 1-92 23=-90,将A1中的2072与B1中的2117交换,得到A 与B,易知此时p(A)=p(B).…14分 (i)当n>92时,将前92个数按照方案(①来划分,其余的数按照方案1 来 划分,也符合题意 …16分 综上所述,n=4k,k≥23,keN或n=4k+3,keN. …17分 高三数学学科答案第6页(共6页)