20.2.1 二次根式的乘法（课件）--2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

# 华东师大版九年级上册数学20.2.1《二次根式的乘法》专项练习（全文1444字） ## 一、知识点梳理 二次根式的乘法法则：$\boldsymbol{\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\(=\)\sqrt{ab}}$（$\boldsymbol{a\ge0,b\ge0}$）。两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数保持不变。注意法则成立的前提条件：被开方数$a$、$b$都必须是非负数，若$a$或$b$为负数，式子无意义，不能套用公式。 乘法法则可以逆向使用：$\boldsymbol{\sqrt{ab}\(=\)\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}}$（$\boldsymbol{a\ge0,b\ge0}$）。逆用公式的核心作用是**化简二次根式**。化简时，把被开方数分解因数，尽可能分离出完全平方数，再将能开得尽方的因数开方移到根号外面。 化简二次根式的标准要求：被开方数不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含有分母。计算时一般先做乘法，再化简；也可以先化简各个二次根式，再相乘，两种方法灵活选择。遇到系数不为1的二次根式相乘，系数与系数相乘，被开方数与被开方数相乘，即$m\sqrt{a}\cdot n\sqrt{b}\(=\)mn\sqrt{ab}(a\ge0,b\ge0)$。 常见易错点：①忽略$a\ge0,b\ge0$的前提，错误计算$\sqrt{-2}\cdot\sqrt{-3}\(=\)\sqrt{6}$；②化简时漏写根号，把$\sqrt{12}$直接写成$2\sqrt{3}$以外的结果；③带分数要先化成假分数，再进行根式运算，不能直接拆分整数和根号部分。 ## 二、基础选择题 1. 计算$\sqrt{2}\times\sqrt{3}$的结果是（） A.$\sqrt{5}$ B.$\sqrt{6}$ C.$5$ D.$6$ 2. 下列计算正确的是（） A.$\sqrt{2}\times\sqrt{3}\(=\)\sqrt{5}$ B.$\sqrt{2}\times\sqrt{2}\(=\)2$ C.$\sqrt{(-4)\times(-9)}\(=\)\sqrt{-4}\times\sqrt{-9}$ D.$\sqrt{8}\(=\)4\sqrt{2}$ 3. 化简$\sqrt{18}$的结果是（） A.$3\sqrt{2}$ B.$2\sqrt{3}$ C.$2\sqrt{9}$ D.$9\sqrt{2}$ 4. 计算$2\sqrt{3}\times3\sqrt{2}$的结果是（） A.$5\sqrt{5}$ B.$6\sqrt{6}$ C.$6\sqrt{5}$ D.$5\sqrt{6}$ 5. 若$\sqrt{x-2}\cdot\sqrt{x+3}\(=\)\sqrt{(x-2)(x+3)}$成立，则$x$的取值范围是（） A.$x\ge2$ B.$x\ge-3$ C.$-3\le x\le2$ D.$\(x>2\)$ ## 三、填空题 1. $\sqrt{5}\times\sqrt{20}\(=\)$________。 2. 化简$\sqrt{48}\(=\)$________。 3. $3\sqrt{2}\times\sqrt{\dfrac13}\(=\)$________。 4. $\sqrt{27}\times\sqrt{\dfrac13}\(=\)$________。 5. 若$\sqrt{20n}$是整数，则正整数$n$的最小值为________。 ## 四、解答题 1. 计算： （1）$\sqrt{7}\times\sqrt{14}$；（2）$\sqrt{1.6}\times\sqrt{0.4}$；（3）$-\sqrt{5}\times\sqrt{15}$；（4）$2\sqrt{6}\times\dfrac12\sqrt{18}$ 2. 化简： （1）$\sqrt{200}$；（2）$\sqrt{0.09\times0.25}$；（3）$\sqrt{50a^2b}(a\ge0,b\ge0)$ 3. 一个长方形的长为$\sqrt{12}\mathrm{cm}$，宽为$\sqrt{3}\mathrm{cm}$，求这个长方形的面积。 4. 拓展探究：已知$a\ge0,b\ge0$，化简$\sqrt{a^3b^2+a^2b^3}$。 ## 五、参考答案与解析 ### 选择题 1. B。解析：$\sqrt2\cdot\sqrt3\(=\)\sqrt{2\times3}\(=\)\sqrt6$。 2. B。解析：A被开方数不能直接相加；C负数不能开平方；D$\sqrt8\(=\)2\sqrt2$。 3. A。解析：$\sqrt{18}\(=\)\sqrt{9\times2}\(=\)\sqrt9\cdot\sqrt2\(=\)3\sqrt2$。 4. B。解析：系数相乘$2\times3\(=\)6$，根式相乘$\sqrt3\cdot\sqrt2\(=\)\sqrt6$，结果$6\sqrt6$。 5. A。解析：$\begin{cases}x-2\ge0\\x+3\ge0\end{cases}$，解得$x\ge2$。 ### 填空题 1.$10$；解析：$\sqrt5\times\sqrt{20}\(=\)\sqrt{100}\(=\)10$。 2.$4\sqrt{3}$；解析：$\sqrt{48}\(=\)\sqrt{16\times3}\(=\)4\sqrt3$。 3.$\sqrt{6}$；解析：$3\sqrt{2\times\dfrac13}\(=\)3\sqrt{\dfrac23}\(=\)\sqrt6$。 4.$3$；解析：$\sqrt{27\times\dfrac13}\(=\)\sqrt9\(=\)3$。 5.$5$；解析：$\sqrt{20n}\(=\)\sqrt{4\times5n}\(=\)2\sqrt{5n}$，$5n$为完全平方数，$n$最小是$5$。 ### 解答题 1.（1）原式$\(=\)\sqrt{7\times14}\(=\)\sqrt{98}\(=\)\sqrt{49\times2}\(=\)7\sqrt2$ （2）原式$\(=\)\sqrt{1.6\times0.4}\(=\)\sqrt{0.64}\(=\)0.8$ （3）原式$\(=\)-\sqrt{5\times15}\(=\)-\sqrt{75}\(=\)-5\sqrt3$ （4）原式$\(=\)\left(2\times\dfrac12\right)\times\sqrt{6\times18}\(=\)\sqrt{108}\(=\)6\sqrt3$ 2.（1）$\sqrt{200}\(=\)\sqrt{100\times2}\(=\)10\sqrt2$ （2）$\sqrt{0.09\times0.25}\(=\)\sqrt{0.09}\times\sqrt{0.25}\(=\)0.3\times0.5\(=\)0.15$ （3）$\sqrt{50a^2b}\(=\)\sqrt{25a^2\cdot2b}\(=\)5a\sqrt{2b}$ 3. 解：长方形面积$\(=\)$长$\times$宽 $S\(=\)\sqrt{12}\times\sqrt3\(=\)\sqrt{36}\(=\)6(\mathrm{cm^2})$ 答：长方形面积为$6\mathrm{cm^2}$。 4. 解：原式$\(=\)\sqrt{a^2b^2(a+b)}\(=\)\sqrt{a^2b^2}\cdot\sqrt{a+b}\(=\)ab\sqrt{a+b}$ ## 六、易错总结 二次根式乘法运算，首要记住$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\(=\)\sqrt{ab}$成立条件$a\ge0,b\ge0$。很多同学做题时忽略取值范围，直接对负数开根号相乘，造成根本性错误。逆用公式化简根式，要把被开方数分解，优先找出里面的完全平方因数。带分数参与根式乘法，必须先化为假分数，不能直接拆分整数部分。含有字母的根式化简，题目给出字母非负条件，才能直接把因式开方移出根号；若没有说明字母正负，要加绝对值。根式相乘，系数和被开方数分开相乘，不要混淆运算顺序。计算完成后，一定要检查结果是否为最简二次根式，被开方数不能还有可开方的因数。 （全文1444字） 需要我再生成一份**无答案空白版**，方便打印做题吗？ 华东师大版（新教材）数学九年级上册 20.2.1二次根式的乘法 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/7 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第二十章 二次根式 学 习 目 标 1 2 3 理解并掌握二次根式的乘法法则和积的算术平方根法则. 能运用二次根式的乘法法则和积的算术平方根法则进行化简和运算. 经历探究二次根式的乘法法则过程，培养学生的数学思维能力.体会二次根式的乘法运算与积的算术平方根运算是互逆运算. 学习目标 二次根式的定义和性质： 定义：形如的式子叫做二次根式。其中叫做被开方数. 性质：①()2 = a ( a ≥ 0 ). ② 回顾训练 化简 解：当，即时，原式 当，即时，原式 情境导入 02 新知导入 复习回顾 1:二次根式有意义的条件是什么?计算, 被开方数； 。 2:计算,,观察两个式子数值关系. ；无直接相等关系。 02 新知导入 递进设问:已知长方形长​,宽​,如何列式求面积？两个根式相乘能否直接合并根号？ 面积列式; 可先分别开方再相乘,也可尝试合并根号计算. 03 新知讲解 活动一:二次根式的乘法法则 试一试:计算 (1),; (2),. 从计算的结果,我们可以发现: , . 03 新知讲解 活动一:二次根式的乘法法则 一般地,设,有. 这是什么道理呢?下面我们来证明这个结论: 一方面,(积的乘方法则) (算术平方根的意义). 另一方面,. 根据算术平方根的意义,可得是的算术平方根, 即. 03 新知讲解 活动一:二次根式的乘法法则 于是我们得到二次根式的乘法法则:. 方法总结:1.公式正向形式:,适用条件; 2.运算规则:两个二次根式相乘,根号不变,内部被开方数相乘; 3.前提要求:参与相乘的两个被开方数必须均为非负数,负数不能直接套用该公式; 4.推导依据:利用积的乘方与二次根式平方性质完成公式验证。 04 典例分析 活动二:例题精讲 例1 计算:(1); (2). 解:(1). (2). 知识点1 二次根式的乘法 1. 下列运算正确的是( ) D A. B. C. D. 2. 若，则 ( ) A A. 12 B. C. D. 返回 举一反三 10 3. 计算： （1） ； 【解】 . （2） ； . 举一反三 11 （3） . . 返回 举一反三 12 03 新知讲解 方法总结 1.完整运算三步法:①判断均非负;②套用乘法法则合并根号; ③化简根号内数值,开尽平方因数; 2.含分数根式相乘:分数相乘后再开方,优先约分简化计算; 3.符号处理:出现负号放在根号外侧,仅对被开方数使用乘法公式; 4.结果要求:最终必须化为最简二次根式,根号内无完全平方因数。 05 课堂练习 1.计算的结果为( ) A. B. C. D. 2.已知成立,则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 3.下列计算正确的是( ) A. B. C. D. D B B 05 4.计算: . 5.若实数与的乘积是有理数,则的值可以是 . 6.若·的值是整数,则的值可以是( ) A.2 B.15 C.20 D.25 课堂练习 C 原式=. 随堂练习 1.计算下列各式，并将所得的结果化简： （1）； （2） 基础过关(P6) 随堂练习 2.若，则（　　） A． B． C． D．为一切实数 能力提升 解：由题意可知 且， 解得 且.则。 A 随堂练习 3.化简 能力提升 (1) 　　　 ； (2) 　　 解：(1)　　　 　 归纳: 当二次根式内的因数或因式可以化成含平方差或完全平方的积的形式，此时运用乘法公式可以简化运算. (2)　　　 　 知识点2 二次根式的乘法的应用 4. 下列各数中，与 的积仍为无理数的是( ) D A. B. C. D. 5. 如图，一只电子蚂蚁在数轴上爬行，爬到表 示 的点处，则该点可能是下列点中的( ) A A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 返回 举一反三 19 6. 小王利用计算机设计了一个程序，输入和输出 的数据如下表.那么当输入的数据为20时，输出的数据是____. 输入 1 2 3 4 … 输出 … 10 返回 举一反三 20 7. 下列四个式子中，与 相等的是( ) D A. B. C. D. 【点拨】由题意得，， . 返回 举一反三 21 注意先要判断根号外的式子的正负.若根号外的式子 为正，可直接移入根号内（平方后乘被开方数）；若根号外 的式子为负，需先提取“-”，再将其绝对值移到根号内. 8. 在实数，， 中，一个数的平方等于另外两个数的 积，那么符合条件的 的整数值是____. . . . . 返回 举一反三 22 9. 比较大小：（填“ ”“”或“ ”） （1）___ ； 【点拨】 ， . ， . . 举一反三 23 （2）___ . ， . ，, , . 返回 举一反三 24 10. 庐山云雾茶历史悠久，是中国名 茶系列之一.如图，它是庐山云雾茶的一种包装 铁盒，若其内部底面半径为，深 ， 则其容积为________（结果保留根号和 ）. 返回 举一反三 25 2.积的算术平方根法则是什么？ 3.化简二次根式的步骤是什么？ (3) 将平方因数应用 化简，再与剩余部分相乘. (1) 将被开方数分解成平方因数和非平方因数乘积的形式； (2) 应用 1.二次根式的乘法法则是什么？ 课堂小结 谢谢观看 THANKS $