20.2.2积的算术平方根 课件 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

# 华东师大版九年级上册数学20.2.2《积的算术平方根》专项练习（全文1444字） ## 一、知识点梳理 积的算术平方根性质：$\boldsymbol{\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}}$（$\boldsymbol{a\ge0,b\ge0}$）。文字表述：积的算术平方根，等于积中各因式算术平方根的积。这个性质就是二次根式乘法公式的逆用，它的核心用途是化简二次根式，是本节学习的重点。公式成立有严格前提：$a$、$b$必须是非负数，若两个因式中有负数，不能拆分根号。例如$\sqrt{(-4)\times(-9)}$不能写成$\sqrt{-4}\cdot\sqrt{-9}$，要先算出乘积$\sqrt{36}=6$。 利用积的算术平方根化简二次根式的基本步骤：第一步，把被开方数分解质因数，或者分解成几个因式相乘的形式；第二步，把被开方数中能开得尽方的因数或因式分离出来；第三步，将可以开方的部分开方后移到根号外面，剩下不能开方的部分保留在根号内；第四步，检查结果，保证被开方数不含能开得尽方的因数或因式，得到最简二次根式。 当被开方数含有字母时，题目若无特殊说明，默认字母取值使根式有意义。如果没有给出字母是非负数，开方移出根号时必须添加绝对值符号。常见形式：$\sqrt{a^2}=|a|$，当$a\ge0$时，$|a|=a$；当$\(a<0\)$时，$|a|=-a$。 本节常见易错点：一是忽略$a\ge0,b\ge0$的条件，盲目拆分根号；二是分解因数不彻底，化简不完整；三是含有字母的根式化简，忘记考虑字母正负，漏掉绝对值；四是区分“积的算术平方根”和“二次根式乘法”，乘法是$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}$，用来做乘法计算；积的算术平方根是$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$，用来化简根式，二者互为逆运算，使用场景不同。 ## 二、基础选择题 1. 下列变形正确的是（） A.$\sqrt{16\times9}=\sqrt{16}\times\sqrt{9}$ B.$\sqrt{(-16)\times(-9)}=\sqrt{-16}\times\sqrt{-9}$ C.$\sqrt{16+9}=\sqrt{16}+\sqrt{9}$ D.$\sqrt{16-9}=\sqrt{16}-\sqrt{9}$ 2. 化简$\sqrt{72}$的结果是（） A.$6\sqrt{2}$ B.$8\sqrt{3}$ C.$9\sqrt{8}$ D.$12\sqrt{6}$ 3. 化简$\sqrt{4a^3}(a\ge0)$的结果是（） A.$2a\sqrt{a}$ B.$4a\sqrt{a}$ C.$2\sqrt{a^3}$ D.$2a^2$ 4. 若$\sqrt{x(x-5)}=\sqrt{x}\cdot\sqrt{x-5}$成立，则$x$的取值范围是（） A.$x\ge0$ B.$x\ge5$ C.$0\le x\le5$ D.$\(x>5\)$ 5. 化简$\sqrt{(-5)^2\times3}$的结果是（） A.$-5\sqrt{3}$ B.$5\sqrt{3}$ C.$\sqrt{75}$ D.$15$ ## 三、填空题 1. $\sqrt{25\times16}=$________。 2. 化简$\sqrt{125}=$________。 3. $\sqrt{0.36\times0.49}=$________。 4. 化简$\sqrt{18x^2}(x\ge0)=$________。 5. 如果$\sqrt{96n}$是整数，那么正整数$n$的最小值为________。 ## 四、解答题 1. 利用积的算术平方根性质化简下列各式： （1）$\sqrt{50}$；（2）$\sqrt{216}$；（3）$\sqrt{0.81\times121}$；（4）$\sqrt{45a^2b}(a\ge0,b\ge0)$ 2. 化简： （1）$\sqrt{(-6)^2\times5}$；（2）$\sqrt{12a^2b^3}(a\ge0,b\ge0)$ 3. 一个正方形的面积是$\sqrt{288}\ \mathrm{cm^2}$，化简这个面积的二次根式。 4. 拓展探究：化简$\sqrt{a^4b+a^3b^2}(a\ge0,b\ge0)$。 ## 五、参考答案与解析 ### 选择题 1. A。解析：B中负数不能拆分根号；C、D根号不能对加减式子拆分。 2. A。解析：$\sqrt{72}=\sqrt{36\times2}=\sqrt{36}\times\sqrt{2}=6\sqrt{2}$。 3. A。解析：$\sqrt{4a^3}=\sqrt{4a^2\cdot a}=\sqrt{4a^2}\cdot\sqrt{a}=2a\sqrt{a}$。 4. B。解析：$\begin{cases}x\ge0\\x-5\ge0\end{cases}$，解得$x\ge5$。 5. B。解析：$\sqrt{(-5)^2\times3}=\sqrt{25\times3}=\sqrt{25}\times\sqrt{3}=5\sqrt{3}$。 ### 填空题 1.$20$；解析：$\sqrt{25\times16}=\sqrt{25}\times\sqrt{16}=5\times4=20$。 2.$5\sqrt{5}$；解析：$\sqrt{125}=\sqrt{25\times5}=5\sqrt5$。 3.$\(0.63\)$；解析：$\sqrt{0.36\times0.49}=0.6\times0.7=\(0.63\)$。 4.$3\sqrt{2}x$；解析：$\sqrt{18x^2}=\sqrt{9x^2\times2}=3x\sqrt{2}$。 5.$6$；解析：$\sqrt{96n}=\sqrt{16\times6n}=4\sqrt{6n}$，$6n$为完全平方数，$n$最小取6。 ### 解答题 1.（1）$\sqrt{50}=\sqrt{25\times2}=\sqrt{25}\times\sqrt{2}=5\sqrt{2}$ （2）$\sqrt{216}=\sqrt{36\times6}=6\sqrt{6}$ （3）$\sqrt{0.81\times121}=\sqrt{0.81}\times\sqrt{121}=0.9\times11=9.9$ （4）$\sqrt{45a^2b}=\sqrt{9a^2\cdot5b}=3a\sqrt{5b}$ 2.（1）原式$=\sqrt{36\times5}=\sqrt{36}\times\sqrt5=6\sqrt5$ （2）原式$=\sqrt{4a^2b^2\cdot3b}=2ab\sqrt{3b}$ 3. 解：$\sqrt{288}=\sqrt{144\times2}=\sqrt{144}\times\sqrt2=12\sqrt{2}$ 答：化简结果为$12\sqrt{2}\ \mathrm{cm^2}$。 4. 解：原式$=\sqrt{a^3b(a+b)}=\sqrt{a^2\cdot ab(a+b)}=a\sqrt{ab(a+b)}$ ## 六、易错总结 积的算术平方根性质使用时，**前提条件$a\ge0,b\ge0$是重中之重**，只有乘积里的因式都非负，才能拆分成两个根式相乘。很多同学看到乘法就直接拆分根号，忽略负数情况，导致错误。注意：根号只能拆分积与商，不能拆分加法、减法，$\sqrt{a+b} eq\sqrt{a}+\sqrt{b}$，这是高频陷阱。化简二次根式，分解质因数要分解到质数为止，保证被开方数没有平方因数。当被开方数含有平方形式，如$(-5)^2$，先计算平方得到正数，再拆分。题目给出字母$a\ge0,b\ge0$，移出根号直接写字母；若无说明，开方后要加绝对值。化简完成后必须检验，确认结果是最简二次根式，根号内不再含有能开得尽方的因数或因式。积的算术平方根用来化简，二次根式乘法用来计算，两个公式互为逆运算，做题时分清使用场景。 （全文1444字） 需要我继续做下一节 **20.2.2二次根式的除法** 的同规格1444字专项练习吗？ 华东师大版（新教材）数学九年级上册 20.2.2积的算术平方根 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/7 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第二十章 二次根式 02 新知导入 复习回顾 ①写出二次根式乘法法则，计算 ; . ②拆分,计算,对比结果. ,和数值相等. 02 新知导入 递进设问:无法直接开方,如何拆分简化计算? 因为, 是完全平方数, 所以可以将拆分为​简化运算. 03 新知讲解 活动一:积的算术平方根与应用 前面得到的等式, 也可以写成:. 利用这个性质可以进行二次根式的化简. 也称为积的算术平方根的性质 03 新知讲解 活动一:积的算术平方根与应用 例2:化简,使被开方数不含完全平方的因数. 解:. 这里,被开方数,含有这一完全平方的因数,通常可根据积的算术平方根的性质,并利用,将这个因数"开方"出来. 知识点1 二次根式的除法 1. 下列各式计算正确的是( ) B A. B. C. D. 2. 计算，则 中的数为( ) B A. B. C. 3 D. 6 返回 举一反三 6 3. 若面积为6的菱形的一条对角线长为 ，则另一条对角 线长为( ) C A. B. C. D. 【点拨】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半得，另一条 对角线的长为 .故选C. 返回 举一反三 7 4. 已知不等式 ，则这个不等式的 解集为_ ______. 返回 举一反三 8 03 新知讲解 活动一:积的算术平方根与应用 做一做:计算下列各式,并将所得的结果化简: (1); (2). 解:(1)原式=; (2)原式=. 03 新知讲解 方法总结 1.公式与前提:积的算术平方根,必须满足,负数乘积不能拆分根号。 2.公式作用:作为乘法法则逆运算,专门用来拆分单个根式,实现根式化简。 3.标准化简四步:①分解被开方数,找出所有完全平方因数;②逆用公式拆分根号;③利用将平方数开方移到根号外;④保证根号内无能开尽方的因数。 03 新知讲解 方法总结 4.符号处理技巧:被开方数内负负相乘先转化正数,再拆分;根号外负号保留,不参与拆分变形。 5.综合题型思路:先正向乘法合并根号,再逆用积的算术平方根拆分化简,两步完成计算。 05 课堂练习 1.化简的结果是 ( ) A. B. C.4 D.5 2.=  × 　 =　 　×　 　.  3.化简的结果为　 　.  4.在日常生活中,取款、上网都需要密码.为了增强密码的安全性,有人发明了“二次根式化简法”来产生密码,例如,于是就得到一个六位数的密码“500 105”,对于二次根式,用上述方法产生的六位数密码是 .  B 05 5.若是正整数,则下列符合要求的的值为 ( ) A.1 B.3 C.9 D.10 6.若,则的值为 .  7.自由落体公式为,若物体从高度为的高空落下,则下落的时间为 s.(g取10 m/s2)  课堂练习 B 1 12 5. 计算： （1） ； 【解】 . （2） . . 返回 举一反三 14 知识点2商的算术平方根 6. 若，则 的取值范围是( ) C A. B. C. D. 且 返回 举一反三 15 7. 下列从左到右的变形不一定正确的是( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 16 【点拨】A.成立，因为成立时，一定满足 , ,所以A不符合题意;B.成立，因为 有意义时， 一定满足,所以B不符合题意；C. 成立，因为 有意义时，一定满足, ,所以C不符合题意；D. ,时原式成立，否则不成立，如 ,所以D 符合题意，故选D. 返回 举一反三 17 8. 已知，化简 _____. 【点拨】由得,, , . 返回 举一反三 18 知识点3 最简二次根式 9. 二次根式，，，，， 中，最简二次根式有( ) C A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 返回 举一反三 19 10. 若是最简二次根式，且为整数，则 的最小值 为___. 2 【点拨】由题意得,解得. 为整数， ,3,4, ,当时， ，是最简二次根 式，故 的最小值是2. 返回 举一反三 20 知识点4 分母有理化 11. 的化简结果是_______. 12. [亳州期末] 已知与互为倒数，若，则 _______. 返回 举一反三 21 谢谢观看 THANKS $