20.2.2 积的算术平方根 课件 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“积的算术平方根”核心知识点，围绕公式√(ab)=√a·√b（a≥0，b≥0）展开。通过复习二次根式定义导入，结合公式推导、例题解析与分层练习，构建从概念理解到应用的知识脉络，为后续二次根式运算提供学习支架。 其亮点在于分层设计（基础选择填空、提升题、3星题）与易错点突破（如纠正负数开方错误），融入自由落体公式、海伦公式等实际与文化情境。通过运算能力训练、推理意识培养和应用意识提升，帮助学生夯实基础、发展思维，教师可高效开展课堂教学与巩固。

授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 华东师大版（2024）数学九年级上册教学课件 第20章 二次根式 20.2.2积的算术平方根 2026年8月4日 华东师大版九年级上册20.2.2积的算术平方根练习题 一、选择题（每题4分，共24分） 1. 积的算术平方根公式$$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$$成立的条件是（） A.$$a\ge0，b\ge0$$ B.$$a>0，b>0$$ C.$$a\le0，b\le0$$ D.$$a、b$$为任意实数 2. 化简$$\sqrt{16\times9}$$的结果是（） A.$$12$$ B.$$\pm12$$ C.$$36$$ D.$$144$$ 3. 下列化简计算正确的是（） A.$$\sqrt{-4\times-9}=\sqrt{-4}\cdot\sqrt{-9}$$ B.$$\sqrt{4\times5}=4\sqrt{5}$$ C.$$\sqrt{12}=\sqrt{4\times3}=2\sqrt{3}$$ D.$$\sqrt{8}=\sqrt{2\times4}=4\sqrt{2}$$ 4. 化简二次根式$$\sqrt{27}$$的结果是（） A.$$3\sqrt{3}$$ B.$$9\sqrt{3}$$ C.$$3\sqrt{9}$$ D.$$\sqrt{3}$$ 5. 若$$\sqrt{x(x-5)}=\sqrt{x}\cdot\sqrt{x-5}$$，则$$x$$的取值范围是（） A.$$x\ge0$$ B.$$x\ge5$$ C.$$0\le x\le5$$ D.$$x e5$$ 6. 化简$$\sqrt{(-3)^2\times4}$$的结果为（） A.$$-6$$ B.$$6$$ C.$$\pm6$$ D.$$12$$ 二、填空题（每题4分，共24分） 1. 根据积的算术平方根性质化简：$$\sqrt{25\times49}=$$________。 2. 化简：$$\sqrt{50}=$$________。 3. 化简：$$\sqrt{18\times2}=$$________。 4. 若$$\sqrt{72}=m\sqrt{2}$$，则$$m=$$________。 5. 化简：$$\sqrt{12a^2}(a\ge0)=$$________。 6. 已知$$\sqrt{8\times n}$$是最简二次根式，则正整数$$n$$的最小值为________。 三、解答题（共52分） 13.（12分）利用积的算术平方根性质化简下列各式： (1)$$\sqrt{36\times15}$$      (2)$$\sqrt{45}$$      (3)$$\sqrt{98}$$ 14.（12分）化简下列含字母的二次根式（字母均为非负数）： (1)$$\sqrt{16x^3}$$      (2)$$\sqrt{27a^2b}$$ 15.（14分）已知一个正方形的面积为$$48\mathrm{cm^2}$$，利用积的算术平方根性质求正方形的边长（结果化为最简二次根式）。 16.（14分）先化简$$\sqrt{48}-\sqrt{12}$$，再将$$\sqrt{48}$$、$$\sqrt{12}$$拆解为积的算术平方根形式，验证化简结果的正确性。 参考答案 1.A  2.A  3.C  4.A  5.B  6.B 7.$$35$$  8.$$5\sqrt{2}$$  9.$$6$$ 10.$$6$$  11.$$2\sqrt{3}a$$  12.$$2$$ 13.解：(1)原式$$=\sqrt{36}\times\sqrt{15}=6\sqrt{15}$$ (2)原式$$=\sqrt{9\times5}=\sqrt{9}\times\sqrt{5}=3\sqrt{5}$$ (3)原式$$=\sqrt{49\times2}=\sqrt{49}\times\sqrt{2}=7\sqrt{2}$$ 14.解：(1)原式$$=\sqrt{16x^2\cdot x}=4x\sqrt{x}$$ (2)原式$$=\sqrt{9a^2\cdot3b}=3a\sqrt{3b}$$ 15.解：正方形边长$$=\sqrt{48}=\sqrt{16\times3}=4\sqrt{3}(\mathrm{cm})$$ 答：正方形的边长为$$4\sqrt{3}$$厘米。 16.解：原式$$=\sqrt{16\times3}-\sqrt{4\times3}=4\sqrt{3}-2\sqrt{3}=2\sqrt{3}$$，通过积的算术平方根拆解化简，计算结果准确，验证成立。 命题说明（约420字） 本套练习题适配华东师大版九年级上册20.2.2积的算术平方根内容，围绕核心公式$$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}(a\ge0,b\ge0)$$设计，精准贴合本节教学重难点，适配课后巩固与课堂检测使用。 习题题型分层梯度清晰，基础选择题聚焦公式成立条件、基础化简辨析，重点纠正学生“忽略被开方数非负”“随意拆分负数根式”的高频错误；填空题侧重纯数字、含字母二次根式的化简，结合最简二次根式的判定，夯实核心运算能力；解答题循序渐进，涵盖基础根式化简、含字母根式运算、几何实际应用及化简验证题型，全面覆盖本节必考知识点。 本节是二次根式运算的核心衔接内容，积的算术平方根性质是根式化简、后续乘除混合运算的基础。整套习题紧扣教材考点，兼顾基础巩固与能力提升，侧重训练学生拆解根式、化为最简二次根式的核心技能，贴合九年级考情，能够帮助学生熟练掌握公式用法，规避易错点，筑牢二次根式运算的知识基础。 （全文约1050字） 1. 理解 （a ≥ 0，b ≥ 0） ； 2. 运用 （a ≥ 0，b ≥ 0）. 学习目标 计算： （1） ； （2） . （1）原式 = ； （2）原式 = . （a ≥ 0，b ≥ 0） 一般地，对二次根式的乘法规定为 （a ≥ 0，b ≥ 0）. 反过来， （a ≥ 0，b ≥ 0） 这就是说，积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积. 例 2 化简 ，使被开方数不含完全平方的因数. 12 = 22×3 完全平方的因数 22 解 1. 比较下列各式，并将所得的结果化简： （1）； （2）. 解（1）原式 = =× =3 ； （2）原式 = = = 2. 判断下列各式是否正确，不正确的请改正: （1）； （2） × 积的算术平方 根应用的条件：a ≥ 0，b ≥ 0 = 2×3 = 6 × = = = = = 4 3. 化简： ； ； ； . 解（1）原式 = =× =2 ； （2）原式 = =× = ； 3. 化简： ； ； ； . （3）原式 = =× =2 ； （4）原式 = =× = ； 4. 自由落体的公式为 （g 为重力加速度，它的 值为 10 m/s2），若物体下落的高度为 120 m，则下 落的时间是________s. s = gt2 s = gt2 t = = = 2 B 2星题 提升四能 考试考法 2 考试考法 10 考试考法 12.(数学文化).古希腊著名数学家海伦写了一本《度量论》，上面记载着一个重要公式：S＝ ，S指三角形的面积，a，b，c是三角形各边长，p为三角形周长的一半．海伦对这个公式进行了证明，所以后人称这个公式为海伦公式．已知△ABC的边长分别为2，3，3，根据海伦公式求得△ABC的面积为_____________________． 考试考法 考试考法 思维过程 (1)问题转化：求两个数的积→先找(5，4)和(51，30)对应的数． (2)观察图找规律：写出第5排的数(从左到右写)：__________________，并总结出数的排列规律． (3)根据规律找对应的数：(5，4)对应的数为______，(51，30)对应的数为________，则两个数的积是________． 考试考法 考试考法 考试考法 考试考法 15.某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是他的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 3星题 发展素养 考试考法 考试考法 (2)观察、归纳，得出猜想． 如果n为正整数，按此规律第n个式子可以表示为____________________________________． 考试考法 22 考试考法 （a ≥ 0，b ≥ 0） 这就是说，积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积. 课堂小结 谢谢观看 THANKS 9.【新考法】将－a 中根号外的a移到根号内，结果是(　　) A．－ B. C．－ D. 10．[广东广州模拟]二次根式是一个整数，那么正整数a的最小值是________． 11．河南郑州期末若×＝5 ，则m的值为________． 2 13.【思维可视化】如图，将1，，三个数按图中方式排列．若规定(a，b)表示第a排第b列的数，则(5，4)与(51，30)表示的两个数的积是多少？ ，，1，，　 14．计算： (1)×3 ×； (1)原式＝6×3×＝6×3×＝18. (2)×2 ×； (2)原式＝2××＝－＝－5. (3)··. (3)原式＝＝＝3xy. 特例1：＝＝＝2， 特例2：＝＝＝3， 特例3：＝4 ， 特例4：＝________． 5 ＝(n＋1) (3)应用运算规律： ①化简：×＝________． ②若＝11(a，b均为正整数且a＋2＝b)，则a＋b＝________． 205 $