29.1圆的有关概念（分层作业，18大题型）数学新教材人教版九年级上册

分层作业 29.1 圆的有关概念 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 圆的有关概念辨析 题型02 圆的定义辨析 题型03 同圆、等圆、同心圆 题型04 半圆、弧的简单应用 题型05 直径与弦的关系判断 题型06 圆的基本性质应用 题型07 点与圆的位置关系 题型08 外心概念的辨析 题型09 外心的确定 题型10 列举反证法的反例 题型11 用反证法证明 B组 能力进阶 题型01 弦、弧的计数问题 题型02 由点与圆的位置关系求半径 题型03 求外心的坐标 题型04 求三角形外接圆的半径 题型05 外心性质的应用 题型06 确定圆的条件 C组 思维拔高 题型 过圆内一点最短的弦 圆的有关概念辨析题型01 1．（25-26九年级上·河南平顶山·期中）下列说法中，错误的是（ ） A．经过点P的圆有无数个 B．以点P为圆心的圆有无数个 C．半径为且经过点P的圆有无数个 D．以点P为圆心，长为半径的圆有无数个 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是圆的相关知识，解题的关键是熟练掌握确定圆的条件．根据圆的相关知识逐一分析即可． 【详解】解：由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．则： A、经过一个点P的圆有无数个，正确； B、以点P为圆心的圆，半径不确定，所以有无数个，正确； C、半径为且经过点P的圆，圆心不确定，所以有无数个，正确； D、以点P为圆心，以为半径的圆，圆心半径都确定，所以只有唯一的一个圆，错误． 故选：D． 2．（25-26七年级上·黑龙江大庆·月考）石矶娘娘问铜镜：“谁是方圆十里最美的女人？”这里的方圆十里中的十里是指圆的（   ） A．半径 B．直径 C．周长 D．面积 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆的相关概念，“方圆”通常指的是以某点为中心的圆形区域，“十里”描述的是这个圆形区域的某种域长度特征． 【详解】解：“方圆十里”意思是以某个中心为圆心，半径为十里的圆形范围， 所以这里的“十里’指的是圆的半径． 故选：A． 3．下面涂色部分的图形为扇形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据扇形是由两条半径及圆心角所对的弧组成的图形得出结论即可． 【详解】解：由题意知，选项D的图形涂色部分的图形为扇形， 故选：D． 【点睛】本题主要考查扇形的定义，熟练掌握扇形的定义是解题的关键． 4．（24-25九年级下·上海·月考）下列语句中正确的是（　　） A．直径是经过圆心的直线 B．经过圆心的线段是半径 C．半圆是弧 D．以直径为弦的弓形是半圆 【答案】C 【分析】本题考查了圆的相关概念，掌握直径、半径、半圆和弧、弓形的定义是解题关键．由直径是线段不是直线，可判断A选项；根据经过圆心的线段两个端点不一定在圆和圆心上，可判断B选项；根据半圆是直径所对的弧，弓形是由弦及其所对的弧组成，可判断C、D选项． 【详解】解：A、直径是经过圆心的弦，选项错误； B、经过圆心的线段不一定是半径，选项错误； C、半圆是弧，选项正确； D、以直径为弦的弓形不是半圆，选项错误； 故选：C． 5．要画一个直径是的圆，圆规两脚间的距离应是______． 【答案】5 【分析】本题考查了圆的基本知识，熟练掌握圆的直径与半径的关系是解决本题的关键． 根据圆规画圆的原理以及圆的半径与直径的关系来求解． 【详解】解：在使用圆规画圆时，圆规两脚间的距离就是圆的半径． 已知圆的直径， 可得该圆的半径， 即圆规两脚间的距离应是． 故答案为：． 圆的定义辨析题型02 1．下列说法：①一个圆上的各点都在这个圆的圆周上；②以圆心为端点的线段是半径；③同一圆上的点到圆心的距离相等；④半径确定了，圆就确定了其中正确的是（    ） A．①② B．①③④ C．①③ D．②④ 【答案】C 【分析】根据圆的定义，半径，确定一个圆的基本要素进行判定即可． 【详解】圆周上的各点是组成圆的要素，故①正确； 以圆心为端点，另一个端点在圆上的线段是圆的半径，故②错误； 同一圆上的点到圆心的距离相等，且都等于半径，故③正确； 圆心和半径共同确定一个圆，半径确定了，圆心位置不确定，圆也不能确定，故④错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆的定义，半径的概念以及确定一个圆的基本要素，熟悉基本概念是解决本题的关键． 2．到已知点的距离等于的所有点组成的图形是以__________为圆心，__________长为半径的圆． 【答案】 点 【分析】圆的定义是在同一平面内到定点距离等于定长的所有点组成的图形，所以到定点O的距离等于的所有点组成的图形是圆． 【详解】解：根据圆的定义可知，到定点O的距离等于的所有点组成的图形是以点O为圆心，为半径的圆． 故答案为：点O，． 【点睛】本题考查了圆的定义，根据定义可知，初中阶段所研究的圆，指的是圆周，而不是圆面． 3．把圆规的两脚分开，两脚间的距离是3厘米，再把有针尖的一只脚固定在一点上，把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆，则这个圆的半径为______厘米． 【答案】3 【分析】圆规画圆时，两脚间的距离就是所画圆的半径，结合已知条件可直接得到结果． 【详解】解：根据用圆规画圆的规则可知，圆规两脚分开的距离就是所画出圆的半径， 已知题目中两脚间的距离是厘米， 因此这个圆的半径为厘米． 4．体育老师想利用一根长的绳子在操场上画一个半径为的圆，你能帮他想想办法吗？ 【答案】解：作法如下：将绳子的一端A固定，然后拉紧绳子的另一端B，并绕A在地上转一圈，B所经过的路径就是所要画的圆． 【分析】根据圆的定义解答即可． 【详解】略 【点睛】此题考查圆的定义，到定点的距离等于定长的所有点的集合称之为圆，理解圆的定义是解决本题的关键． 同圆、等圆、同心圆题型03 1．下列说法，其中正确的有（    ） ①过圆心的线段是直径 ②圆上的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径组成的图形叫做扇形 ③大于半圆的弧叫做劣弧 ④圆心相同，半径不等的圆叫做同心圆 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据圆的有关概念进项分析即可． 【详解】解：①过圆心的弦是直径，故该项错误； ②由一条弧和经过这条弧的两个端点的两条半径组成的图形叫做扇形，故该项正确； ③小于半圆的弧叫做劣弧，故该项错误； ④圆心相同，半径不等的圆叫做同心圆，故该项正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆的认识，熟练掌握圆的相关概念是解题的关键． 2．下列判断结论正确的有（　　） （1）直径是圆中最大的弦． （2）长度相等的两条弧一定是等弧． （3）面积相等的两个圆是等圆． （4）圆上任意两点间的部分是圆的弦． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据圆的有关定义分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】（1）直径是圆中最大的弦，正确；（2）长度相等的两条弧一定是等弧，错误；（3）面积相等的两个圆是等圆，正确；（4）圆上任意两点间的部分是圆的弦，错误. 故选B． 【点睛】本题考查了与圆有关的概念，解题的关键是能够了解圆的有关概念． 3．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）下列有关圆的相关性质的说法中，正确的为（   ） ①面积相等的圆是等圆；②过圆心的线段是直径；③长度相等的弧是等弧；④半径是弦；⑤直径是最长的弦；⑥等弧所在的圆一定是等圆或同圆． A．②③④ B．①⑤⑥ C．①②④ D．④⑤⑥ 【答案】B 【分析】本题考查圆的基本性质，根据等圆、等弧、直径、半径、弦的定义逐项判断即可得出答案． 【详解】解：①面积相等的圆的半径相等，因此面积相等的圆是等圆是正确的，故①符合题意； ②过圆心的线段不一定是圆的直径，故②不符合题意； ③在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故③不符合题意； ④半径不是弦，故④不符合题意； ⑤直径是圆中最长的弦，正确，故⑤符合题意； ⑥等弧所在的圆一定是等圆或同圆，正确，故⑥符合题意． ∴正确的是①⑤⑥． 故选B． 4．下列说法：①弦是直径；②半圆是弧；③过圆心的线段是直径；④圆心相同半径相同的两个圆是同心圆，其中错误的有_______．（填序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查了圆的认识．利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：①直径是弦，但弦不一定是直径，故原说法错误； ②半圆是弧，说法正确； ③过圆心的弦是直径，故原说法错误； ④圆心相同半径不同的两个圆是同心圆，故原说法错误． 故答案为：①③④． 半圆、弧的简单应用题型04 1．一个半圆的周长10.28厘米，这个半圆的直径（    ）厘米 A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了圆的周长．半圆的周长等于圆的周长的一半再加直径，设圆的直径为d，由“一个半圆的周长是10.28厘米”即可求出圆的直径，从而问题得解． 【详解】解：设圆的直径为d厘米， 则， ， ， ； 答：这个半圆的直径是4厘米． 故选：B． 2．（25-26九年级上·江苏·期中）如图，战机白帝号顺着大半圆从地飞到地，战机鸾鸟号顺着三个小半圆从地到地与之汇合，设白帝、鸾鸟走过的路程分别为、，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了半圆弧长的计算，掌握半圆弧长的计算是解题的关键． 根据图形，得三个小半圆的直径之和等于大半圆的直径，则根据圆周长公式，得两架战机所走的路程相等． 【详解】解：设白帝所走的半圆的半径为，则白帝所走的路程， 设鸾鸟所走的三个半圆的半径分别是、、，则，即， ∴． 故选：A． 3．圆片向右滚动一周后的位置如图所示，这个圆片的直径大约是（   ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查圆的周长，有理数除法的应用．熟练掌握圆的周长公式是解题关键．由图可知这个圆片的周长大约是，再根据圆的周长公式求解即可． 【详解】解：由图可知这个圆片的周长大约是， ∴这个圆片的直径大约是． 故选：B． 4．由所有到已知点O的距离不小于3，并且不大于5的点组成的图形的面积为________． 【答案】 【分析】根据题意调查到点的距离不小于3，并且不大于5的点组成的图形是半径为5和半径为所组成的环形面积即可．本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法是正确解答的关键． 【详解】解：如图， 到点的距离不小于3，并且不大于5的点组成的图形是图中环形， 所以 ． 故答案为：． 5．（25-26·上海·期中）如图，有一零件的横截面是半圆环，其外圈直径是，内圈直径是，求该零件的横截面积． 【答案】10π(cm2) 【分析】本题考查了圆的面积计算方法，该零件横截面可以看成大半圆面积减去小半圆面积，即可求解． 【详解】外圈半径为 内圈半径为 如图， 该零件横截面可以看成大半圆面积减去小半圆面积，即 =10π(cm2)． 直径与弦的关系判断题型05 1．（25-26九年级上·云南昭通·期中）在中，最长的弦是，则的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆的基本性质．根据圆中最长的弦是直径，即可求解． 【详解】解：∵在中，最长的弦是， ∴的直径为， ∴的半径为． 故选：A 2．已知的直径长为6，点A，B在上，则的长不可能是：（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】根据圆的弦长小于等于直径长即可判断； 【详解】解：∵圆的弦长小于等于直径长， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查圆的性质，掌握圆的性质是解题的关键． 3．下列说法中正确的有__ （1）直径是圆中最大的弦；（2）长度相等的两条弧一定是等弧；（3）半径相等的两个圆是等圆；（4）面积相等的两个圆是等圆；（5）同一条弦所对的两条弧一定是等弧． 【答案】（1）（3）（4） 【分析】根据弦、等圆、等弧的定义分别分析即可． 【详解】解：（1）直径是圆中最大的弦，说法正确； （2）长度相等的两条弧一定是等弧，说法错误，在同圆或等圆中，能够完全重合的两段弧为等弧，不但长度相等，弯曲程度也要相同； （3）半径相等的两个圆是等圆，说法正确； （4）面积相等的两个圆是等圆，说法正确； （5）同一条弦所对的两条弧一定是等弧，说法错误，同一条弦所对的两条弧不一定是等弧，除非这条弦是直径． 故答案为：（1）（3）（4）． 【点睛】本题考查了圆的有关概念，熟练掌握弦、等圆、等弧的定义是解题的关键． 4．下列说法正确吗？如不正确，请说明理由． (1)半径确定了，圆就确定了． (2)弦是直径． (3)同一条弦所对的两条弧一定是等弧． (4)直径是圆中最长的弦． 【答案】(1)不正确，理由： ∵圆的位置由圆心确定，大小由半径确定，二者缺一不可． ∴仅半径确定时，圆心位置不固定，无法唯一确定圆． (2)不正确，理由： ∵弦是连接圆上任意两点的线段，直径是经过圆心的特殊弦． ∴弦不一定是直径． (3)不正确，理由： ∵同一条弦所对的弧有两条，当弦不是直径时，两条弧分别为优弧和劣弧，长度不相等；只有当弦为直径时，所对的两条弧是等长的半圆． ∴同一条弦所对的两条弧不一定是等弧． (4)正确 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 5．如图，点A，B，C在⊙O上，按要求作图： (1)过点A作⊙O的直径AD； (2)过点B作⊙O的半径； (3)过点C作⊙O的弦． 【答案】(1) 如图所示，作射线，交于点，则线段即为的直径； (2) 如图所示，连接，线段即为所求； (3) 如图所示，连接，线段即为所求的一条弦（答案不唯一）． 【分析】（1）作射线，交于点，则线段即为的直径； （2）连接，线段即为所求； （3）连接，线段即为所求（答案不唯一）． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】本题考查了圆的基本概念，连接圆上任意两点是圆的弦，直径是经过圆心的弦，半径是圆上一点与圆心的连线，掌握以上知识是解题的关键． 圆的基本性质应用题型06 1．（25-26九年级上·河北唐山·期末）如图，在中，，以O为圆心，长为半径作，分别交、于C、D两点，连接．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，理解题意是解决本题的关键． 先由三角形内角和定理得到，再由等边对等角即可得到的度数． 【详解】解：，， ， ， ， 故选：A． 2．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，，以点为圆心，为半径的圆分别交、于点、点，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了圆的性质及等腰三角形的性质．先利用直角三角形两锐角互余计算出，再利用半径相等和等腰三角形的性质得到，则根据三角形外角性质可计算出． 【详解】∵在中，， 又 又 故答案为： 3．（25-26九年级上·江苏泰州·月考）如图，的半径是1，点A、B在上，弦，则___________度． 【答案】60 【分析】本题考查了圆的基本性质和等边三角形的判定和性质，掌握等边三角形的判定是解决本题的关键． 根据题意可得，进而可证是等边三角形，即可求出的度数． 【详解】解：∵的半径是1， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：60． 4．如图，已知是的直径，点在上，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1) 证明：的半径为， ， ，， ； (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、三角形内角和以及等腰三角形等边对等角，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）根据已知条件利用证明全等即可； （2）根据，求出，再利用全等求出，最后利用等边对等角即可求． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， ． 点与圆的位置关系题型07 1．（24-25九年级上·浙江·月考）已知的半径为，，则点P与的位置关系是（　　） A．点P在圆外 B．点P在圆上 C．点P在圆内 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，根据点到圆心的距离与圆的半径大小比较即可求解，掌握点和圆的位置关系的判断方法是解题的关键．根据时，点在圆内可得答案． 【详解】解：∵的半径为，， ∴， ∴点在圆内， 故选：C． 2．圆的直径为，如果点到圆心的距离是，则（    ） A．当时，点在外 B．当时，点在上 C．当时，点在内 D．当时，点在上 【答案】A 【分析】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． 先得到圆的半径r为，根据点与圆的位置关系的判定方法得到当时，点在外；当时，点在上；当时，点在内，然后对各选项进行判断． 【详解】解：圆的直径为， 圆的半径为， A、当时，∵，∴点在外，正确，故此选项符合题意； B、当时，∵，∴点在外，原说法错误，故此选项不符合题意； C、当时，∵，∴点在上，原说法错误，故此选项不符合题意； D、当时，∵，∴点在内，原说法错误，故此选项不符合题意． 故选：A． 3．已知的半径点在内,则_________（填>或=，<） 【答案】< 【分析】根据点与圆的位置关系，即可求解. 【详解】解：的半径为 点在内， ． 故答案为:． 【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系. 4．在平面直角坐标系中，以点为圆心、以为半径作圆与轴相交，且原点在圆的外部，那么半径的取值范围是____________． 【答案】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，解答本题的关键是根据点与圆的位置关系得到半径的取值范围． 分别根据原点在圆的外部，圆与轴相交，可得半径的取值范围． 【详解】解：， ， 原点在圆的外部， ，即， 圆与轴相交， ， ， 故答案为：． 5．如图所示，已知矩形的边，，以点为圆心，为半径作，判断点，，与怎样的位置关系． 【答案】点在内，点在外，点在上 【分析】连接AC，根据勾股定理求出AC的长，再根据点与圆的位置关系判断即可. 【详解】解：连接，∵，， ∴， ∵的半径为4，， ∴点在内， ∵， ∴点在上 ， ∴点在外． 【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系和勾股定理，熟记概念是解题的关键． 外心概念的辨析题型08 1．在联欢会上，甲、乙、丙3人分别站在不在同一直线上的三点A、B、C上，他们在玩抢凳子的游戏，要在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，凳子应放的最恰当的位置是△ABC的（　　） A．三条高的交点 B．重心 C．内心 D．外心 【答案】D 【分析】根据题意凳子的位置要到三个点的距离相等，那应该是三条垂直平分线的交点，也就是外心． 【详解】∵三角形的三条垂直平分线的交点到中间的凳子的距离相等， ∴凳子应放在△ABC的三条垂直平分线的交点最适当，也就是放在外心处． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用；利用所学的数学知识解决实际问题是一种能力，要注意培养．想到要使凳子到三个人的距离相等是正确解答本题的关键． 2．（25-26九年级上·江苏常州·月考）三角形的外心是三角形中（　　） A．三条高的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的外心的定义． 根据三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点作答即可． 【详解】三角形的外心是三角形中三边垂直平分线的交点， 故选：D． 3．下列关于三角形外心的说法中，错误的是（     ） A．三角形的外心到三个顶点的距离相等 B．三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点 C．等腰三角形的外心在三角形内 D．任何一个三角形有且只有一个外接圆 【答案】C 【分析】可通过外心位置与三角形形状的对应关系判断错误选项． 【详解】解：A选项，符合三角形外心的定义与性质，说法正确． B选项，符合三角形外心的定义与性质，说法正确． C选项，等腰三角形若为钝角三角形，外心在三角形外部；若为直角三角形，外心在斜边中点， 故等腰三角形的外心不一定在三角形内，说法错误． D选项，任何一个三角形有且只有一个外接圆，说法正确． 4．三角形的外接圆与外心 （1）__________的三个点确定一个圆； （2）三角形的外接圆：经过三角形的三个__________的圆； （3）三角形的外心：三角形__________的圆心．它是三角形三边__________的交点，到三角形三个__________的距离相等． 【答案】 不在同一直线上 顶点 外接圆 垂直平分线 顶点 【分析】不在同一条直线上的三个点确定一个圆；经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心．外心到三角形任意一顶点的距离即为外接圆的半径．据此填空即可． 【详解】解：（1）不在同一直线上的三个点确定一个圆； （2）三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点的圆； （3）三角形的外心：三角形外接圆的圆心．它是三角形三边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点的距离相等． 故答案为：不在同一直线上；顶点；外接圆；垂直平分线；顶点． 【点睛】本题考查三角形的外接圆和内心的确定等，熟练掌握不在同一条直线上的三个点确定一个圆，三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点是解题的关键． 5．三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等吗？为什么？ 【答案】解：相等． 设点为的外心， ∵ 三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点， ∴ 点在的垂直平分线上， ∴ ， 同理可得， ∴ ， 即三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等． 【详解】略 外心的确定题型09 1．小明家的圆形玻璃打碎了，其中三块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明应带到商店去的一块碎片是（　　） A．① B．② C．③ D．均不可能 【答案】A 【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小． 【详解】第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长． 故选：A． 【点睛】本题考查了垂径定理的应用，确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心． 2．如图，所示的正方形网格中，△ABC三点均在格点上，那么△ABC的外心在____点． 【答案】G 【分析】根据三角形的外接圆圆心的性质即可得到结论． 【详解】解：如图： 作线段AB和线段BC的垂直平分线，两线交于点G， 则△ABC的外接圆圆心是点G， 故答案为：G． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，熟练掌握三角形外心的性质是解题的关键． 3．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，带如图的玻璃碎片到商店配到与原来大小一样的圆形玻璃，以下是工作人员顺序被打乱的操作步骤： ①连接和； ②在玻璃碎片的圆弧边缘任意找三点A、B、C； ③以点O为圆心，为半径作； ④分别作出和的垂直平分线，并且相交于点O． 正确操作步骤的排列序号为______． 【答案】②①④③ 【分析】同一平面内，不共线的三点可确定一个圆，一个圆的圆心一定在该圆的一条弦的垂直平分线上，因此第一步在圆弧上任意找三点，进而可得圆的两条弦，作这两条弦的垂直平分线，二者的交点即为圆心，进而可作出对应的圆，据此可得答案． 【详解】解：首先在玻璃碎片的圆弧边缘任意找三点A、B、C，即步骤②，然后连接和，将这三点转化为三角形的边（即圆的弦），即步骤①．根据垂径定理的推论，弦的垂直平分线经过圆心，分别作出和的垂直平分线，它们的交点即为圆心，即步骤④． 最后以点O为圆心，为半径作，即可得到原来的圆形玻璃，即步骤③． 故正确的操作步骤是②①④③． 4．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图是一块圆形砂轮破碎后的部分残片，请你用尺规作图的方法找出该残片的圆心，并将它还原成一个圆．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图，即为所求． 【分析】此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握垂径定理是解题关键． 由垂径定理知，直径是弦的中垂线，不同的直径的交点是圆心，故作两弦垂直平分线，其交点就是圆心 【详解】解：在圆弧作两条弦， ，分别作出，的中垂线，交于点，以点为圆心，的长为半径， 5．如图，已知，求作其外接圆． 【答案】见解析 【分析】先分别作BC和AB的垂直平分线l、l′，直线l与l′相交于点O，然后以点O为圆心，OA为半径作⊙O即可． 【详解】解：如图，⊙O为所求． 【点睛】本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 列举反证法的反例题型10 1．（25-26八年级上·浙江台州·期末）对于命题“对于任意的实数，都有”，能说明它是假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了命题的定义、幂的运算，理解命题的定义，正确转为所求问题是解题关键． 把数值逐一代入给定的不等式中，让不等式不能成立的数就是需要的反例． 【详解】解：∵时，，成立， ∴A选项不符合题意； ∵时，，成立， ∴B选项不符合题意； ∵时，，不成立， ∴C选项符合题意； ∵时，，成立， ∴D选项不符合题意； 故选：C． 2．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期末）对于命题“如果，那么”，下面能说明它是假命题的反例是（   ） A．， B．， C． D．， 【答案】C 【分析】本题考查假命题的反例，反例需满足命题的条件，同时不满足命题的结论，据此分析各选项即可． 【详解】解：∵原命题的条件是，结论是 ∴反例要满足且 对于选项C，，，满足条件但不满足结论，是原命题的反例 选项A满足条件也满足结论，不是反例 选项B、D不满足命题的条件，不是反例 故选：C． 3．（2026·河南周口·模拟）能说明命题“若，则”是假命题的一组实数a，b的值为_______，______． 【答案】 2（不唯一） （不唯一） 【详解】解：取，， 此时，，满足， 但，即不满足， 因此，可说明该命题是假命题，答案不唯一． 4．判断下列命题是真命题，还是假命题；如果是假命题，举一个反例． （1）若，则； （2）同位角相等，两直线平行； （3）一个角的余角小于这个角； （4）如果，那么点是的中点． 【答案】 （1）假命题．如：，但； （2）真命题； （3）假命题．如：30°角的余角是60°，而； （4）假命题．如：如图，等腰，但点不是的中点． 【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而进行判断；举反例时，满足题设，不满足结论即可． 【详解】略 【点睛】此题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 用反证法证明题型11 1．用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于”时，首先应假设这个三角形中（      ） A．有一个内角大于 B．有一个内角小于 C．每一个内角都大于 D．每一个内角都小于 【答案】C 【分析】本题考查反证法中的假设，反证法的第一步是假设结论的反面成立，进行判断即可． 【详解】解：由题意，应假设这个三角形中每一个内角都大于； 故选C． 2．如图，与是直线被直线所截的同位角，且，用反证法证明与不平行，完成下列填空： 证明：假设___________， （_____________）． 这与___________相矛盾，故___________不成立． 与不平行． 【答案】 两直线平行，同位角相等 【分析】本题主要考查了反证法，平行线的性质，先假设，根据平行线的性质得出，说明与矛盾，从而证明原结论正确． 【详解】证明：假设， （两直线平行，同位角相等）． 这与相矛盾，故不成立． 与不平行． 故答案为：；两直线平行，同位角相等；；． 3．我们可以用反证法来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”．下面写出了证明该问题过程中的四个步骤：①这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾．②所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于．③假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于．④则三角形的三个内角的和大于．这四个步骤正确的顺序是_______. 【答案】③④①② 【分析】此题主要考查了反证法的步骤，三角形的内角和定理．解此题关键要懂得反证法的意义及步骤． 【详解】解：求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于． 证明：假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于， 则三角形的三个内角的和大于， 这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾， 所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于． 则四个步骤正确的顺序是③④①②， 故答案为：③④①②． 4．用反证法证明“若，则”．补全下面证明过程． 证明：假设___________，则___________，这与已知“”___________，∴___________． 【答案】 = 矛盾 【分析】本题考查用反证法证明命题，根据反证法，应假设结论不成立，并以此推导出与已知条件相矛盾的结论，从而证明原命题成立． 【详解】证明：假设， 则， 与题意矛盾， ∴， 故答案为：① ，②，③矛盾，④． 5．用反证法证明：已知a，b，c是平面内3条不同的直线，如果，，那么． 【答案】 解：假设与不平行，那么它们相交于一点． ，， 过点的两条直线，都与直线垂直． 这与基本事实“过一点有且只有一条直线与这条直线垂直”矛盾． 假设不成立． ． 【分析】此题考查反证法，反证法是一种论证方式，它首先假设某命题不成立（即在原命题的题设下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说假设不成立，原命题得证，反证法的步骤：1、假设命题反面成立；2、从假设出发，经过推理得出和反面命题矛盾，或者与定义、公理、定理矛盾；3、得出假设命题不成立是错误的，即所求证命题成立．根据反证法的步骤解答． 【详解】略 弦、弧的计数问题题型01 1．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图所示，点，，，点，，以及点，，分别在一条直线上，则圆中弦的条数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆的有关概念，由连接圆上任意两点的线段叫做弦，即可判断得出答案，掌握圆的有关概念是解题的关键． 【详解】解：圆中的弦有：、，共两条， 故选：． 2．如图，圆中有____条直径，___条弦，圆中以A为一个端点的优弧有___条，劣弧有___条． 【答案】 1 3 4 4 【详解】圆中有AB一条直径，AB、CD、EF三条弦，圆中以A为一个端点的优弧有四条，劣弧有四条， 故答案为1，3，4，4． 3．如图，在中，是的直径，点P是上的任一点（不包括O，B），、是过P的两条弦，则图中的弦有________，以B为端点的劣弧有______________． 【答案】 ，， ，，， 【分析】根据弦和劣弧的定义，在图中找出所有端点都在圆上的线段，再找出以为端点且小于半圆的弧． 【详解】解：∵ 弦是连接圆上两点的线段， 图中端点都在圆上的线段有 劣弧是小于半圆的弧， 以为端点且小于半圆的弧有． 4．过圆内的一点(非圆心)有________条弦，有________条直径． 【答案】 无数 一 【分析】根据弦和直径的定义求解． 【详解】过圆内一点（非圆心）有无数条弦，有1条直径． 故答案为：无数，1． 【点睛】本题考查了圆的认识：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）． 由点与圆的位置关系求半径题型02 1．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）点与的位置关系如图所示，若，，则的半径可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系即可求解，解题的关键是正确理解当点到圆心的距离小于圆的半径时，则点在圆内；点到圆心的距离等于圆的半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外． 【详解】解：设的半径为， ∵点在圆外且， ∴， ∵点在圆内且， ∴， ∴的半径是， ∴选项符合题意， 故选：． 2．已知△ABC，AC=3，CB=4，以点C为圆心r为半径作圆，如果点A、点B只有一个点在圆内，那么半径r的取值范围是（　　） A．r＞3 B．r≥4 C．3＜r≤4 D．3≤r≤4 【答案】C 【分析】根据点与圆的位置关系即可得到答案. 【详解】根据题意可知，以点C为圆心r为半径作圆，如果只要一个点在圆内，当r＞3时，则只有点A在圆内，而当r＞4时，则点A、点B都在圆内，不符合题意，而当r＝4时，点B在圆上，不在圆内，故r＝4可取，故r的取值范围为3＜r≤4，故答案选C. 【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，解本题的要点在于根据题意求出r的取值范围，从而得到答案. 3．线段，在以为直径的外有一点，则的长的取值范围为______． 【答案】 【分析】此题重点考查点与圆的位置关系，正解理解点与圆的三种位置关系是解题的关键． 通过直径得到该圆的半径为，根据点在以为直径的外，即可得到的长的取值范围． 【详解】解：∵线段，在以为直径的外有一点， ∴，即， 故答案为：． 4．有一长、宽分别为、的矩形，以A为圆心作圆，若、、三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则的半径r的取值范围是_____． 【答案】 【分析】由题意结合勾股定理可求矩形对角线的长，再根据三点到点A的最大距离为，最小距离为，所以要三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，就应当使的半径大于最小的距离，小于最大的距离，即得出答案． 【详解】解：∵矩形ABCD的长、宽分别为、， ∴矩形的对角线为． ∵三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外， ∴的半径r的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理，点与圆的位置关系．利用数形结合的思想是解题关键． 5．如图，在中，，以点C为圆心作，半径为r． (1)当r取什么值时，点A，B都在圆外？ (2)当r取什么值时，点A在圆内，点B在圆外？ 【答案】(1)当时，点A，B都在圆外． (2)时，点A在圆内，点B在圆外． 【分析】（1）根据点与圆的位置关系，判断点到圆心的距离与半径的大小关系，从而确定的范围． （2）同样根据点与圆的位置关系，分别确定点在圆内、点在圆外时的范围，再取交集． 【详解】（1）解：， 当时，点A，B都在圆外． （2）解：， 当，即时，点A在圆内，点B在圆外． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系，掌握点到圆心的距离与半径的关系：时点在圆外，时点在圆内是解题的关键． 求外心的坐标题型03 1．（25-26九年级上·河北廊坊·月考）如图，在平面直角坐标系中，则的外心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的外心和平面直角坐标系内点的坐标，解题的关键是利用垂直平分线的交点找外心． 依据三角形的外心是边的垂直平分线的交点，观察图象，可直接得出外心的坐标． 【详解】解：∵三角形的外心是各边的垂直平分线的交点， 图中已明确出各边垂直平分线以及其交点， 观察图象，可直接得出外心坐标为， 故选A． 2．过三点（6，2），（4，5）的圆的圆心坐标为（ ） A．（4，） B．（4，3） C．（5，） D．（5，3） 【答案】A 【分析】根据题意，可知线段AB的线段垂直平分线为x=4，然后由C点的坐标可求得圆心的横坐标为x=4，然后设圆的半径为r，则根据勾股定理可求解. 【详解】设圆的半径为r，则根据勾股定理可知： ，解得r=， 因此圆心的纵坐标为， 因此圆心的坐标为（4，）， 故选A． 3．（25-26九年级上·山东济宁·期中）如图，一圆弧过方格的格点，在方格中建立平面直角坐标系，使点的坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形，圆的确定，连接，根据网格特点和三角形的外心的性质，得到的中垂线的交点即为圆心，根据点的坐标，确定圆心的坐标即可． 【详解】解：如图，由题意，点即为弧所在圆的圆心，且点恰好是坐标原点， 故弧所在圆的圆心坐标是． 4．如下图，在平面直角坐标系中，是上的三个点． (1)直接写出圆心M的坐标：________． (2)求的半径． (3)判断点与的位置关系． 【答案】(1) (2)． (3)在内． 【分析】（1）利用网格特点，作和的垂直平分线，它们的交点为点，从而得到点的坐标； （2）利用两点间的距离公式计算出即可； （3）先计算出，然后根据点与圆的位置关系的判定方法判断点与的位置关系． 【详解】（1）解：如图，圆心的坐标为， 故答案为：． （2）解：， 即的半径为． （3）解：， ， ∴点与的位置关系是点D在内． 【点睛】本题主要考查作图-复杂作图，坐标与图形性质，垂径定理，点与圆的位置关系，勾股定理，能够根据垂径定理的推论得到圆心的位置是解决问题的关键． 求三角形外接圆的半径题型04 1．已知，如图，在中，，，，那么这个三角形的外接圆直径是（    ）    A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形的外接圆半径，根据勾股定理求得斜边的长，进而即可求解，重点在于理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆． 【详解】解：在中，，，， ∴ ∴这个三角形的外接圆直径是 故选：D． 2．直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径是（  ） A．8或6 B．10或8 C．10 D．8 【答案】B 【分析】分两种情况：①16为斜边长；②16和12为两条直角边长，由勾股定理易求得此直角三角形的斜边长，进而可求得外接圆的半径． 【详解】解：由勾股定理可知： ①当直角三角形的斜边长为16时，这个三角形的外接圆半径为8； ②当两条直角边长分别为16和12，则直角三角形的斜边长= 因此这个三角形的外接圆半径为10． 综上所述：这个三角形的外接圆半径等于8或10． 故选：B． 【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆是解题的关键． 3．以下列三边长度作出的三角形中，其外接圆半径最小的是（  ） A．8，8，8 B．4，10，10 C．4，8，10 D．6，8，10 【答案】A 【分析】分别求出各三角形的外接圆半径，比较即可． 【详解】A、∵是等边三角形，设O是外心， ∴，平分， ∴， ∴， ∴的外接圆的半径为， B、∵是等腰三角形， 过点A作于D，延长交于E， ∵， ∴，， ∴是的直径，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴外接圆半径为， C、作于点D，作直径，连接， 在中，， 在中，， ∴， 即, 解得， 由勾股定理得， ， ∵为圆的直径， ∴， ∴，又， ∴， ∴，即， 解得， 则外接圆半径， D、∵， ∴此三角形是直角三角形， ∴此三角形外接圆的半径为5， ∴其外接圆半径最小的是A选项， 故选：A． 【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心、相似三角形的判定与性质，勾股定理，掌握圆周角定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 4．某直角三角形的两直角边边长为，，则该直角三角形的外接圆半径为______． 【答案】 【分析】先用勾股定理求出斜边的长，然后再根据直角三角形的斜边为直角三角形的外接圆的直径求解即可． 【详解】解：∵直角三角形的两直角边长为、， ∴斜边长=， ∴直角三角形的外接圆半径为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，掌握直角三角形的斜边为直角三角形的外接圆的直径成为解答本题的关键． 5．如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D． (1)请用尺规作图作出三角形ABC的外接圆⊙O；（不写作法及证明，应保留作图痕迹） (2)若BC＝4，AD=5，求⊙O的半径r． 【答案】(1) 如下图所示； (2) 【分析】（1）作AB边的垂直平分线交AD于点O，再以O点为圆心，OA长为半径画圆，即可求解； （2）连结OB，根据等腰三角形的性质可得BD=CD=2 ，然后设⊙O的半径为r，则AO=BO=r，，在Rt△BOD中，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵AB=AC，AD⊥BC， ∴BD=CD，即AD垂直平分BC， ∴作AB边的垂直平分线交AD于点O，再以O点为圆心，OA长为半径画圆，⊙O即为所求作， （2）解：连结OB， ∵AB=AC，AD⊥BC，BC＝4， ∴BD=CD=2 ， 设⊙O的半径为r，则AO=BO=r，， 在Rt△BOD中，由勾股定理可得： ， 解得：， ∴⊙O的半径． 【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握三角形的外接圆的性质，等腰三角形的性质，勾股定理是解题的关键． 外心性质的应用题型05 1．九个相同的等边三角形如图所示，已知点O是一个三角形的外心，则这个三角形是（   ） A．ABC B．ABE C．ABD D．ACE 【答案】C 【分析】根据三角形的外心和等边三角形的性质解答； 【详解】∵外心为三角形三边中垂线的交点，且钝角三角形的外心在三角形的外部，∴点是的外心． 故答案选C． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质和三角形外接圆的圆心，准确分析判断是解题的关键． 2．的外心在三角形的一边上，则是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 【答案】B 【分析】根据三角形外心与三角形的位置关系可判断三角形的形状，因此可得到答案． 【详解】解：当的外心在的内部时，则是锐角三角形； 当的外心在的外部时，则是钝角三角形； 当的外心在的一边时，则是直角三角形，且这边是斜边． 故选B． 【点睛】本题考查了三角形的外心，解决本题的关键是经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． 3．（24-25九年级上·浙江·期中）如果一个三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查三角形的外心，根据外心的形成和性质直接判断即可． 【详解】解：三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点，该点是到三角形三个顶点的距离相等， 如果一个三角形的外心在三角形的外部，说明有一个圆周角大于． 故选：C 4．如图，点是的外心，且，则________． 【答案】 【分析】根据点是的外心，可得，从而，再利用三角形的内角和即可求解． 【详解】解：∵点为的外心， ∴点、、均在以点为圆心，长为半径的圆上， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了三角形的外心，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形的外心位置是解题的关键． 5．如图，分别作出锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的外接圆，它们外心的位置有什么特点？ 【答案】锐角三角形的外心在这个三角形的内部；直角三角形的外心是这个直角三角形的中点；钝角三角形的外心在这个三角形的外部， 如图所示： 【分析】作出三角形任意两边的垂直平分线，交点即为圆心，以这个点到一个顶点的距离为半径作圆，即为三角形的外接圆；观察图形即可得到外心的位置． 【详解】解：略． 【点睛】本题考查了三角形外接圆的作法及不同三角形外心的位置特征，熟练掌握外心的确定方法是解题的关键． 确定圆的条件题型06 1．如图，点、、、在同一条直线上，点在直线外，过这5个点中的任意三个，能画的圆有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】本题考查了确定圆的条件，掌握经过不在同一直线上的三点可作圆是解题关键．由点、、、在同一条直线上，点在直线外，即可求解 【详解】解：根据题意可知，点、、、在同一条直线上，不能确定圆， 点在直线外，则点；点；点；点；点；点；不在同一直线上，可以画圆， 即能画圆的个数是6个 故选：D． 2．已知AB＝12 cm，过A，B两点画半径为8 cm的圆，则能画的圆的个数为(   ) A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【答案】C 【分析】根据题意分别以A、B为圆心，以8cm为半径画弧，两弧交于C、D，以点C和点D为圆心的两个圆满足题意． 【详解】分别以A、B为圆心，以8cm为半径画弧，两弧交于 C、D，如下图， 得以C为圆心，以8cm为半径的圆经过点A和点B， 以D为圆心，以8cm为半径的圆经过点A和点B， 即能画的圆的个数是2个． 故选：C． 【点睛】本题考查了两圆相交的性质，能找出圆的圆心是解此题的关键． 3．不在同一条直线上的_____个点确定一个圆． 【答案】三 【解析】略 4．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）已知，经过A，B两点作圆，则所作的圆的半径最小是 ___________． 【答案】2 【分析】本题考查的是确定圆的条件，熟知经过线段最小的圆即为以AB为直径的圆是解答此题的关键． 经过线段最小的圆即为以为直径的圆，求出半径即可． 【详解】解：根据题意得：经过线段最小的圆即为以为直径的圆，则此时半径为． 故答案为：2． 5．已知线段． (1)画半径为的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画几个？ (2)画半径为的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画几个？ (3)能画出半径为的圆，使它经过A，B两点吗？ 【答案】(1)一个 (2)两个 (3)不能 【分析】本题考查圆的确定，掌握通过作线段垂直平分线，结合半径与线段一半的长度关系确定圆的个数是解题的关键． （1 ）由圆半径为，，即可判断圆心是中点； （2 ）由圆半径为，，即可判断圆心在线段的垂直平分线上； （3 ）由圆半径为，，即可判断不能画出半径的圆． 【详解】（1）画半径为的圆，使它经过A，B两点，，这样的圆能画一个，圆心是的中点； （2）画半径为的圆，使它经过A，B两点，，这样的圆能画两个，圆心在线段的垂直平分线上圆心到A点的距离是； （3）由于，故不能画出半径为的圆，使它经过A，B两点． 过圆内一点最短的弦题型 1．是内一点，过点的最长弦为，最短弦为，则的长为______． 【答案】 【分析】圆内过点的最长弦为圆的直径，最短弦是过点且垂直于该直径的弦，利用垂径定理和勾股定理即可求解． 【详解】解：∵圆内最长的弦为直径，最短的弦是过点且与直径垂直的弦， ∴的直径为，半径为，最短弦长为， ∵根据垂径定理，最短弦被点平分， ∴最短弦一半的长度为， ∴由勾股定理得． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知⊙D与y轴相交的弦长为6，圆心，则过点的所有弦中最短的弦长为______． 【答案】 【分析】设圆D与y轴的交点为E，A，连接DE，过D作DC⊥y轴于C，根据勾股定理得到DE=，根据D（2，4），B（2，3），得到DB∥y轴，推出过点B（2，3）的所有弦中最短的弦是垂直于DB的弦，过B作MN⊥DB交⊙D于M，N，连接DN，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：设圆D与y轴的交点为E，A，连接DE，过D作DC⊥y轴于C， ∵⊙D与y轴相交的弦长为6， ∴AE=6， ∴CE=3， ∵D（2，4）， ∴CD=2， ∴DE=， ∵D（2，4），B（2，3）， ∴DB∥y轴， ∴过点B（2，3）的所有弦中最短的弦是垂直于DB的弦， 过B作MN⊥DB交⊙D于M，N，连接DN， 在Rt△DBN中，∠DBN=90°，DB=1，DN=， ∴BN=， ∴MN=2BN=， 故过点B（2，3）的所有弦中最短的弦长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理，垂径定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 3．如图：已知P是半径为10cm的⊙O内一点．解答下列问题： （1）用尺规作图作出圆心O的位置．（要求：保留所有的作图痕迹，不写作法） （2）用三角板分别画出过点P的最长弦AB和最短弦CD． （3）已知OP=6cm，过点P的弦中，长度为整数的弦共有　 　条． 【答案】（1）如图所示：点O即为所求； （2）如图所示：AB，CD即为所求； （3）8 【分析】（1）利用过不在同一直线上的三点可以确定一个圆，进而画出即可； （2）利用最长弦AB即为直径和最短弦CD，即为与AB垂直的弦，进而得出答案； （3）求出CD的长，进而得出长度为整数的弦，注意长度为17、18、19的分别有两条． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）如图：连接DO， ∵OP=6cm，DO=10cm， ∴在Rt△OPD中，DP==8cm， ∴CD=16cm， ∴过点P的弦中，长度为整数的弦共有：8条． 故答案为：8． 【点睛】此题主要考查了复杂作图以及勾股定理和垂径定理，注意长度为整数的弦不要漏解． 4．对于和内一点(与不重合)给出如下定义：过点可以作出无数条的弦，若在这些弦中，长度为正整数的弦有条，则称点为的属相关点，为点关于的相关系数．在平面直角坐标系中，已知的半径为3． (1)若点的坐标为，则经过点的的所有弦中，最短的弦长为_______，点关于的相关系数为_______； (2)若点，点为的4属相关点，求线段长的取值范围； (3)点是轴正半轴上一点，的半径为2，点，分别在与上，点关于的相关系数记为，点关于的相关系数记为．当点在轴正半轴上运动时，若存在点，，使得，且．直接写出点的横坐标的取值范围． 【答案】(1)，3 (2) (3) 【分析】（1）如图，弦经过点M，当弦时，线段是经过点M的圆的最短弦，过点O作于点F，，中，，当最大时，取最小值，，最小值为．设经过点M的弦的弦长为，则，可取的正整数为5，6．故点关于的相关系数为3． （2）经过点N的长度为正整数的弦长度分别为，经过点N的且弦长为4的弦有1条，为经过点N的的最短弦．令此弦为，可得点N在以为圆心，以为半径的圆上．于是； （3）根据题意， 推导点是点为圆心，为半径的圆与的交点，点R是点为圆心，为半径的圆的内部与的公共点．运用数形结合可知，当与以点为圆心，为半径的圆外切时，，当以点为圆心，为半径的圆与内切时，(下限)，从而得到解． 【详解】（1）解：如图，弦经过点M，当弦时，线段是经过点M的圆的最短弦，理由如下， 过点O作于点F，， 中，， 当最大时，取最小值， 如图，，当点F与点M重合时，取最大值，即， 相应的，取最小值，最小值为． 经过点M的的最长弦为直径，弦长为6， ∴设经过点M的弦的弦长为，则， ∵， ∴可取的正整数为5，6． 经过点M的弦长为6的弦有1条，弦长为5的弦有2条 ，故点关于的相关系数为3． （2）解：如图，点N为的4属相关点， ∵经过点N的且弦长为6的弦有1条，为直径，经过点N的且弦长为5的弦有2条， ∴经过点N的且弦长为4的弦有1条，为经过点N的的最短弦． 如图，令此弦为，由（1）知，， ∴． ∴点N在以为圆心，以为半径的圆上． 如图，连接并延长，交半径为的圆于点， ． ∴． ∴ （3）解：根据题意，的半径分别为3和2，故必存在经过，的长度为正整数的弦， ∴． ∵，且， ∴． ∴经过点的的长度为正整数的弦有2条，最长弦为直径，长度为6，另一条弦长为5，如图，令弦为，过点作于点D，连接， 则， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上． 即点是点为圆心，为半径的圆与的交点； 经过点的的长度为正整数的弦有1条，最长弦为直径，长度为4， 所以过点R的弦最小值要大于3， 当过点R的弦长为3时，同理可知：弦心距：， 即点R是点为圆心，为半径的圆的内部与的公共点， 当与以点为圆心，为半径的圆相交，且与相交时，满足题意； 如图，当与以点为圆心，为半径的圆外切时，，    如图，当以点为圆心，为半径的圆与内切时，，    综上，时，存在点，，使得，且． 【点睛】本题考查垂径定理，两圆的位置关系，圆外一点到圆上点的距离求解；理解两圆的位置关系是解题的关键． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 29.1 圆的有关概念 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 圆的有关概念辨析 题型02 圆的定义辨析 题型03 同圆、等圆、同心圆 题型04 半圆、弧的简单应用 题型05 直径与弦的关系判断 题型06 圆的基本性质应用 题型07 点与圆的位置关系 题型08 外心概念的辨析 题型09 外心的确定 题型10 列举反证法的反例 题型11 用反证法证明 B组 能力进阶 题型01 弦、弧的计数问题 题型02 由点与圆的位置关系求半径 题型03 求外心的坐标 题型04 求三角形外接圆的半径 题型05 外心性质的应用 题型06 确定圆的条件 C组 思维拔高 题型 过圆内一点最短的弦 圆的有关概念辨析题型01 1．（25-26九年级上·河南平顶山·期中）下列说法中，错误的是（ ） A．经过点P的圆有无数个 B．以点P为圆心的圆有无数个 C．半径为且经过点P的圆有无数个 D．以点P为圆心，长为半径的圆有无数个 2．（25-26七年级上·黑龙江大庆·月考）石矶娘娘问铜镜：“谁是方圆十里最美的女人？”这里的方圆十里中的十里是指圆的（   ） A．半径 B．直径 C．周长 D．面积 3．下面涂色部分的图形为扇形的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级下·上海·月考）下列语句中正确的是（　　） A．直径是经过圆心的直线 B．经过圆心的线段是半径 C．半圆是弧 D．以直径为弦的弓形是半圆 5．要画一个直径是的圆，圆规两脚间的距离应是______． 圆的定义辨析题型02 1．下列说法：①一个圆上的各点都在这个圆的圆周上；②以圆心为端点的线段是半径；③同一圆上的点到圆心的距离相等；④半径确定了，圆就确定了其中正确的是（    ） A．①② B．①③④ C．①③ D．②④ 2．到已知点的距离等于的所有点组成的图形是以__________为圆心，__________长为半径的圆． 3．把圆规的两脚分开，两脚间的距离是3厘米，再把有针尖的一只脚固定在一点上，把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆，则这个圆的半径为______厘米． 4．体育老师想利用一根长的绳子在操场上画一个半径为的圆，你能帮他想想办法吗？ 同圆、等圆、同心圆题型03 1．下列说法，其中正确的有（    ） ①过圆心的线段是直径 ②圆上的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径组成的图形叫做扇形 ③大于半圆的弧叫做劣弧 ④圆心相同，半径不等的圆叫做同心圆 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列判断结论正确的有（　　） （1）直径是圆中最大的弦． （2）长度相等的两条弧一定是等弧． （3）面积相等的两个圆是等圆． （4）圆上任意两点间的部分是圆的弦． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）下列有关圆的相关性质的说法中，正确的为（   ） ①面积相等的圆是等圆；②过圆心的线段是直径；③长度相等的弧是等弧；④半径是弦；⑤直径是最长的弦；⑥等弧所在的圆一定是等圆或同圆． A．②③④ B．①⑤⑥ C．①②④ D．④⑤⑥ 4．下列说法：①弦是直径；②半圆是弧；③过圆心的线段是直径；④圆心相同半径相同的两个圆是同心圆，其中错误的有_______．（填序号） 半圆、弧的简单应用题型04 1．一个半圆的周长10.28厘米，这个半圆的直径（    ）厘米 A．2 B．4 C．6 D．8 2．（25-26九年级上·江苏·期中）如图，战机白帝号顺着大半圆从地飞到地，战机鸾鸟号顺着三个小半圆从地到地与之汇合，设白帝、鸾鸟走过的路程分别为、，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 3．圆片向右滚动一周后的位置如图所示，这个圆片的直径大约是（   ） A． B． C． D．以上都不对 4．由所有到已知点O的距离不小于3，并且不大于5的点组成的图形的面积为________． 5．（25-26·上海·期中）如图，有一零件的横截面是半圆环，其外圈直径是，内圈直径是，求该零件的横截面积． 直径与弦的关系判断题型05 1．（25-26九年级上·云南昭通·期中）在中，最长的弦是，则的半径为（   ） A． B． C． D． 2．已知的直径长为6，点A，B在上，则的长不可能是：（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．下列说法中正确的有__ （1）直径是圆中最大的弦；（2）长度相等的两条弧一定是等弧；（3）半径相等的两个圆是等圆；（4）面积相等的两个圆是等圆；（5）同一条弦所对的两条弧一定是等弧． 4．下列说法正确吗？如不正确，请说明理由． (1)半径确定了，圆就确定了． (2)弦是直径． (3)同一条弦所对的两条弧一定是等弧． (4)直径是圆中最长的弦． 5．如图，点A，B，C在⊙O上，按要求作图： (1)过点A作⊙O的直径AD； (2)过点B作⊙O的半径； (3)过点C作⊙O的弦． 圆的基本性质应用题型06 1．（25-26九年级上·河北唐山·期末）如图，在中，，以O为圆心，长为半径作，分别交、于C、D两点，连接．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，，以点为圆心，为半径的圆分别交、于点、点，则的度数为______． 3．（25-26九年级上·江苏泰州·月考）如图，的半径是1，点A、B在上，弦，则___________度． 4．如图，已知是的直径，点在上，． (1)求证：； (2)求的度数． 点与圆的位置关系题型07 1．（24-25九年级上·浙江·月考）已知的半径为，，则点P与的位置关系是（　　） A．点P在圆外 B．点P在圆上 C．点P在圆内 D．无法确定 2．圆的直径为，如果点到圆心的距离是，则（    ） A．当时，点在外 B．当时，点在上 C．当时，点在内 D．当时，点在上 3．已知的半径点在内,则_________（填>或=，<） 4．在平面直角坐标系中，以点为圆心、以为半径作圆与轴相交，且原点在圆的外部，那么半径的取值范围是____________． 5．如图所示，已知矩形的边，，以点为圆心，为半径作，判断点，，与怎样的位置关系． 外心概念的辨析题型08 1．在联欢会上，甲、乙、丙3人分别站在不在同一直线上的三点A、B、C上，他们在玩抢凳子的游戏，要在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，凳子应放的最恰当的位置是△ABC的（　　） A．三条高的交点 B．重心 C．内心 D．外心 2．（25-26九年级上·江苏常州·月考）三角形的外心是三角形中（　　） A．三条高的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 3．下列关于三角形外心的说法中，错误的是（     ） A．三角形的外心到三个顶点的距离相等 B．三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点 C．等腰三角形的外心在三角形内 D．任何一个三角形有且只有一个外接圆 4．三角形的外接圆与外心 （1）__________的三个点确定一个圆； （2）三角形的外接圆：经过三角形的三个__________的圆； （3）三角形的外心：三角形__________的圆心．它是三角形三边__________的交点，到三角形三个__________的距离相等． 5．三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等吗？为什么？ 外心的确定题型09 1．小明家的圆形玻璃打碎了，其中三块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明应带到商店去的一块碎片是（　　） A．① B．② C．③ D．均不可能 2．如图，所示的正方形网格中，△ABC三点均在格点上，那么△ABC的外心在____点． 3．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，带如图的玻璃碎片到商店配到与原来大小一样的圆形玻璃，以下是工作人员顺序被打乱的操作步骤： ①连接和； ②在玻璃碎片的圆弧边缘任意找三点A、B、C； ③以点O为圆心，为半径作； ④分别作出和的垂直平分线，并且相交于点O． 正确操作步骤的排列序号为______． 4．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图是一块圆形砂轮破碎后的部分残片，请你用尺规作图的方法找出该残片的圆心，并将它还原成一个圆．（保留作图痕迹，不写作法） 5．如图，已知，求作其外接圆． 列举反证法的反例题型10 1．（25-26八年级上·浙江台州·期末）对于命题“对于任意的实数，都有”，能说明它是假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期末）对于命题“如果，那么”，下面能说明它是假命题的反例是（   ） A．， B．， C． D．， 3．（2026·河南周口·模拟）能说明命题“若，则”是假命题的一组实数a，b的值为_______，______． 4．判断下列命题是真命题，还是假命题；如果是假命题，举一个反例． （1）若，则； （2）同位角相等，两直线平行； （3）一个角的余角小于这个角； （4）如果，那么点是的中点． 用反证法证明题型11 1．用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于”时，首先应假设这个三角形中（      ） A．有一个内角大于 B．有一个内角小于 C．每一个内角都大于 D．每一个内角都小于 2．如图，与是直线被直线所截的同位角，且，用反证法证明与不平行，完成下列填空： 证明：假设___________， （_____________）． 这与___________相矛盾，故___________不成立． 与不平行． 3．我们可以用反证法来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”．下面写出了证明该问题过程中的四个步骤：①这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾．②所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于．③假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于．④则三角形的三个内角的和大于．这四个步骤正确的顺序是_______. 4．用反证法证明“若，则”．补全下面证明过程． 证明：假设___________，则___________，这与已知“”___________，∴___________． 5．用反证法证明：已知a，b，c是平面内3条不同的直线，如果，，那么． 弦、弧的计数问题题型01 1．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图所示，点，，，点，，以及点，，分别在一条直线上，则圆中弦的条数为（　　） A． B． C． D． 2．如图，圆中有____条直径，___条弦，圆中以A为一个端点的优弧有___条，劣弧有___条． 3．如图，在中，是的直径，点P是上的任一点（不包括O，B），、是过P的两条弦，则图中的弦有________，以B为端点的劣弧有______________． 4．过圆内的一点(非圆心)有________条弦，有________条直径． 由点与圆的位置关系求半径题型02 1．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）点与的位置关系如图所示，若，，则的半径可能是（   ） A． B． C． D． 2．已知△ABC，AC=3，CB=4，以点C为圆心r为半径作圆，如果点A、点B只有一个点在圆内，那么半径r的取值范围是（　　） A．r＞3 B．r≥4 C．3＜r≤4 D．3≤r≤4 3．线段，在以为直径的外有一点，则的长的取值范围为______． 4．有一长、宽分别为、的矩形，以A为圆心作圆，若、、三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则的半径r的取值范围是_____． 5．如图，在中，，以点C为圆心作，半径为r． (1)当r取什么值时，点A，B都在圆外？ (2)当r取什么值时，点A在圆内，点B在圆外？ 求外心的坐标题型03 1．（25-26九年级上·河北廊坊·月考）如图，在平面直角坐标系中，则的外心坐标为（   ） A． B． C． D． 2．过三点（6，2），（4，5）的圆的圆心坐标为（ ） A．（4，） B．（4，3） C．（5，） D．（5，3） 3．（25-26九年级上·山东济宁·期中）如图，一圆弧过方格的格点，在方格中建立平面直角坐标系，使点的坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标是______． 4．如下图，在平面直角坐标系中，是上的三个点． (1)直接写出圆心M的坐标：________． (2)求的半径． (3)判断点与的位置关系． 求三角形外接圆的半径题型04 1．已知，如图，在中，，，，那么这个三角形的外接圆直径是（    ）    A．4 B．5 C．8 D．10 2．直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径是（  ） A．8或6 B．10或8 C．10 D．8 3．以下列三边长度作出的三角形中，其外接圆半径最小的是（  ） A．8，8，8 B．4，10，10 C．4，8，10 D．6，8，10 4．某直角三角形的两直角边边长为，，则该直角三角形的外接圆半径为______． 5．如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D． (1)请用尺规作图作出三角形ABC的外接圆⊙O；（不写作法及证明，应保留作图痕迹） (2)若BC＝4，AD=5，求⊙O的半径r． 外心性质的应用题型05 1．九个相同的等边三角形如图所示，已知点O是一个三角形的外心，则这个三角形是（   ） A．ABC B．ABE C．ABD D．ACE 2．的外心在三角形的一边上，则是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 3．（24-25九年级上·浙江·期中）如果一个三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 4．如图，点是的外心，且，则________． 5．如图，分别作出锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的外接圆，它们外心的位置有什么特点？ 确定圆的条件题型06 1．如图，点、、、在同一条直线上，点在直线外，过这5个点中的任意三个，能画的圆有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．已知AB＝12 cm，过A，B两点画半径为8 cm的圆，则能画的圆的个数为(   ) A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 3．不在同一条直线上的_____个点确定一个圆． 4．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）已知，经过A，B两点作圆，则所作的圆的半径最小是 ___________． 5．已知线段． (1)画半径为的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画几个？ (2)画半径为的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画几个？ (3)能画出半径为的圆，使它经过A，B两点吗？ 过圆内一点最短的弦题型 1．是内一点，过点的最长弦为，最短弦为，则的长为______． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知⊙D与y轴相交的弦长为6，圆心，则过点的所有弦中最短的弦长为______． 3．如图：已知P是半径为10cm的⊙O内一点．解答下列问题： （1）用尺规作图作出圆心O的位置．（要求：保留所有的作图痕迹，不写作法） （2）用三角板分别画出过点P的最长弦AB和最短弦CD． （3）已知OP=6cm，过点P的弦中，长度为整数的弦共有　 　条． 4．对于和内一点(与不重合)给出如下定义：过点可以作出无数条的弦，若在这些弦中，长度为正整数的弦有条，则称点为的属相关点，为点关于的相关系数．在平面直角坐标系中，已知的半径为3． (1)若点的坐标为，则经过点的的所有弦中，最短的弦长为_______，点关于的相关系数为_______； (2)若点，点为的4属相关点，求线段长的取值范围； (3)点是轴正半轴上一点，的半径为2，点，分别在与上，点关于的相关系数记为，点关于的相关系数记为．当点在轴正半轴上运动时，若存在点，，使得，且．直接写出点的横坐标的取值范围． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $