29.1.2 过三点的圆（第2课时 反证法）（分层作业）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 聚焦反证法核心技能，通过举反例、假设构建、命题证明三级分层设计，实现从概念理解到逻辑推理的递进巩固，培养推理意识与创新思维。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |举反例|反例构造、假命题识别|基础题为主，涉及代数、几何多情境，如三角形外心位置反例，夯实概念理解| |假设构建|反证法第一步假设，命题否定|聚焦假设准确性，如“至少有一个”的否定，培养逻辑思维严谨性| |命题证明|完整反证法推理，综合应用|证明题与拓展题结合，如证明三角形内角性质、勾股定理逆定理，提升推理能力与创新意识|

29.1.2 过三点的圆（第2课时 反证法）（原卷版） 目 录 类型一、举反例 1 类型二、反证法证明中的假设 3 类型三、用反证法证明命题 6 类型一、举反例 1．对于命题“若，则”的逆命题是假命题，举一个反例，则符合要求的反例是（     ） A．， B．， C．， D．， 2．下列选项中，能说明命题“任何偶数都是的整数倍”是假命题的反例是（     ） A． B． C． D． 3．对于命题“三角形的外心在三角形内”，以下能用来说明这是一个假命题的反例可以是（     ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．直角三角形 4．下列选项中，能说明命题“若，则．”是假命题的a的值是（     ） A．4 B． C．0.5 D． 5．为说明“若，则”是假命题，可举反例（     ） A．， B．， C．， D．， 6．判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例．反例中可以为（     ） A． B． C． D． 7．如图，在中，、相交于点，平分．可以作为假命题“相等的角是对顶角”的反例是（     ） A． B． C． D． 8．对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（     ） A．， B． C．， D．， 9．数学中说明某个命题不成立时常采用“举反例”的方法．为说明命题“对于任何实数，都有”是假命题，所列举反例正确的是（     ） A． B． C． D． 10．下列能说明命题“若，则”是假命题的一组反例是（     ） A．， B．， C．， D．， 11．下列选项中，可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（    ） A． B． C． D． 12．对于命题“若，则”，能说明它是假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 13．判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例．反例中的可以为（    ） A．2 B．0 C． D． 14．对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（   ） A． B．， C．， D． 15．对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（    ） A． B． C． D． 16．请写出能判断命题“若，则”是假命题的一组实数，的值：_____，_____． 17．能说明“若，则”是假命题的一个反例是___________．（写出一个即可） 18．举一个证明命题“如果，那么，”为假命题的反例是________________． 19．用一组，的值说明命题“如果，那么”是假命题，这组值可以是________，________． 20．用一组，，的值说明命题“如果，那么”是假命题，这组值可以是__________、__________、__________． 21．请写出一个能说明命题“若，则”是假命题的实数：________． 22．判定命题“如果，那么”是假命题，只需要举一个反例，这个反例可以是________． 23．能说明命题“若，则”是假命题的一组实数，的值为，________． 24．已知命题：“对于任何实数，”是假命题，请举一个反例，的值可以是_________． 25．要说明命题：“若为无理数，则与的和为无理数”是假命题，其反例可以是______．（写出一个满足条件的反例即可） 26．项目式学习 【项目主题】 一类勾股数有序表示的探究 【预备知识】 能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数称为勾股数，即满足的正整数，，是勾股数，记为． 设，为正整数，且，因为，所以为勾股数．本项目只研究形如的勾股数． 【规律探究】 分别对，进行有序赋值，得到这类勾股数的一种排序方式，列表如下： 勾股数 序号 2 1 1 3 1 2 2 3 4 1 4 2 5 3 6 … … … … 【规律应用】 根据上表规律，请完成下列问题： (1)，对应的勾股数是（_____，_____，_____），序号为_____； (2)勾股数对应的_____，_____； (3)序号为15的勾股数是（_____，_____，_____）． 【项目拓展】 (4)项目组某成员观察上表发现：在序号从1依次增大到6的过程中，勾股数中的值随着序号的增大而增大．他猜想：在序号从6依次增大到16的过程中，的值也会随着序号的增大而增大．请问他的猜想是否正确？若正确，说明理由；若不正确，举例说明． 类型二、反证法证明中的假设 27．用反证法证明命题“等腰三角形的底角是锐角”时，第一步应假设（     ） A．等腰三角形的底角是直角或钝角 B．等腰三角形的底角是直角 C．等腰三角形的底角是钝角 D．等腰三角形的底角是锐角 28．已知中，求证．若用反证法证这个结论，应首先假设（     ） A． B． C． D． 29．用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应先假设（     ） A．有两个锐角都不大于 B．只有一个锐角不大于 C．有两个锐角都大于 D．只有一个锐角大于 30．用反证法证明命题结论“是负数”时，应先假设（     ） A． B． C． D． 31．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程有两个不相等的有理根，则a，b，c不可能全为奇数”时，应先假设（     ） A．a，b，c全为偶数 B．a，b，c至多有一个奇数 C．a，b，c全为奇数 D．a，b，c至多有两个奇数 32．已知五个正数的和等于1，用反证法证明“这五个正数中至少有一个数大于或等于”时，应先作出的假设（     ） A．这五个正数中只有一个数大于或等于 B．这五个正数中至多有一个数大于或等于 C．这五个正数中没有一个数大于或等于 D．这五个正数中都大于或等于 33．用反证法证明命题：在一个四边形中，至少有一个内角大于或等于，应先假设（     ） A．四边形中有一个内角小于 B．四边形中每个内角都小于 C．四边形中有一个内角大于 D．四边形中每个内角都大于 34．如图，用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”这个结论时，可假设（     ） A． B． C． D．与不平行 35．用反证法证明：在中，，，则，第一步应假设（     ） A． B． C． D． 36．用反证法证明“若的周长为20，则较长边的长不小于5”时，应假设（     ） A． B． C． D． 37．用反证法证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于”时，应先假设（    ） A．三个角都小于或等于 B．三个角都大于或等于 C．三个角都小于 D．三个角都大于 38．用反证法证明“都是正数，且，那么这五个数中至少有一个大于或等于．”时，应先假设（    ） A．这五个数都小于 B．这五个数中至少有一个小于或等于 C．这五个数都大于 D．这五个数中至少有一个大于或等于 39．用反证法证明“直线，，在同一平面内，若，，则．”，应先假设（     ） A． B．与相交 C． D．不垂直于 40．用反证法证明命题“在中，若，则，中至少有一个角不大于”时，第一步应假设（     ） A．，都大于 B．，都不大于 C．，中有一个大于 D．，都小于 41．“若，则”，用反证法证明这个结论时，应先假设________． 42．用反证法证明“在三角形中至少有一个内角大于或等于”，应先假设_______． 43．证明：若是奇数，则为奇数．用反证法证明这个结论时，应先假设__________． 44．用反证法证明命题 “已知a，b，c是三条不同的直线，如果，，那么”时，第一步应假设______． 45．用反证法证明“如果，那么”时，第一步应假设______． 46．用反证法证明“在中，若，则”时，应提出假设__________． 47．如图，已知：直线、被直线所截，与不平行．求证：．在证明该结论时，可以用反证法先假设______________，则由“同旁内角互补，两直线平行”，可得________．这与____________矛盾，说明假设不成立，由此得到． 类型三、用反证法证明命题 48． 证明：两条直线相交只有一个交点． 已知：两条相交直线与． 求证：与只有一个交点． 49．求证：如果整数m的平方是一个偶数，那么m必为偶数． 50．证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于． 已知：． 求证：中至少有一个内角小于或等于． 51．试证明一个五边形不可能有4个内角为锐角． 52．试着用反证法证明勾股定理的逆定理． 53．求证：在一个三角形中，如果有两条边不相等，那么它们所对的角也不相等． 54．【阅读理解】 素材一：为什么不是有理数？教材中给出一种证明方法： 假设是有理数，则存在两个互质的正整数，，使得， 于是，两边平方得， 由是偶数，可得是偶数，而只有偶数的平方才是偶数，所以也是偶数， 因此可设（是正整数），则有，即， 所以也是偶数，这与，互质矛盾， 所以不能写成分数的形式，故不是有理数，是无理数． 素材二：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得，若，其中，为有理数，是无理数，则，． 【问题解决】 (1)下列说法正确的是（     ） A．有理数与无理数的差一定是无理数 B．有理数与无理数的积一定是无理数 C．无理数与无理数的差一定是无理数 D．无理数与无理数的积一定是无理数 (2)已知有理数，满足，求的值． (3)请模仿材料的推理过程，证明：是无理数． 55．用反证法证明命题：“若，且，则”． 56．在中，，，求证：．（用反证法证明） 57．证明命题“同旁内角不互补的两条直线不平行”是真命题． 首先要证明一个命题是真命题，通常步骤是： ① 根据题意画出示意图，如图1； ② 根据条件和结论，参照示意图写出“已知”和“求证”； 即：已知：如图，直线被直线所截，． 求证：直线a与不平行． ③ 写出由条件推出结论的完整过程（根据以下证明过程完成填空） 证明：假设所求证的结论不成立，即a ， 则 （ ） 这与 矛盾，故 不成立． 所以 ． 上述证明过程的证明方式是 ． 58．北师大版教材八年级下册§1.1在探究反证法时，给出了如下思路：“在一个三角形中，如果两个角不相等，那么它们所对的边也不相等．假设，则由等边对等角得，这与已知矛盾，故． (1)上述证明使用的方法是 ； (2)写出“等腰三角形两底角相等”的逆命题，并判断真假； (3)仿照上述思路、用反证法证明：一个三角形中不能有两个直角． 59．用反证法证明“三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于” 1．某校为丰富校园生活、培育团队精神，特举办班超三人篮球赛，根据场上位置分工，出场三人的位置一般分为中锋、前锋、后卫，七年级某班选派甲、乙、丙三名同学首发出场，其中后卫比丙年龄大，中锋和乙不同岁，乙比前锋年龄小，下列推断正确的是（     ） A．甲是后卫，乙年龄最小 B．乙是后卫，丙年龄最小 C．甲是后卫，丙年龄最小 D．乙是后卫，乙年龄最小 2．设均为整数，若，则下列结论正确的是（    ） A．不可能都是奇数 B．不可能都是偶数 C．必一奇一偶 D．不可能是偶数 3．已知中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①∴，这与三角形内角和为矛盾 ②因此假设不成立，∴ ③假设在中， ④由，得，即 这四个步骤正确的顺序应是（    ） A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①② 4．用反证法证明命题“五边形的外角中，至多有3个钝角”，应先假设（     ） A．五边形的外角中有3个是锐角或直角 B．五边形的外角中有1个或2个钝角 C．五边形的外角中有4个或5个钝角 D．五边形的外角中没有钝角 5．在学习反证法后，乐乐尝试用反证法证明“如图，已知P是直线l外一点，直线、相交于点P，且，则直线与直线l必相交”这一命题：他假设直线与直线l不相交，则有，又因为，所以与平行，这与__________________________________矛盾，故假设不成立，所以直线与直线l必相交． 6．以下是用反证法证明命题“在三角形中，大角对大边”的四个步骤： ①如图，已知：在中，．求证：． ②无论哪种情况，都与已知矛盾． ③因此假设都不成立，所以． ④假设，；假设，．这四个步骤正确的顺序应是_______________． 7．数学课上，学生提出如何证明以下问题： 如图，．求证：．    老师说，我们可以用反证法来证明，具体过程如下： 证明：假设， 如图，延长交的延长线于点，为延长线上一点．    ∵， ∴． ∵， ∴， 这与“________”相矛盾， ∴假设不成立， ∴． 以上证明过程中，横线上的内容应该为________． 1．如图1，在与中，，，如果，那么．这个命题是真命题还是假命题？ 古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》记载了这个命题，并证明了上述命题是一个真命题．下面是《几何原本》中为证明该命题所添加的辅助线：如图2，因为，所以以为边做，使，连接、，此时点F在下方． (1)根据《几何原本》中所添加的辅助线，证明该命题是真命题； (2)在研究完上述命题后，还能提出一个新的命题：如图1，已知与中，，，如果，那么．事实上，利用刚刚证明的命题以及同学们学习过的反证法，可以证明这个新的命题仍然是真命题，请利用反证法证明． 2．“集合”是数学中一个基本概念，指一组互不相同的对象的全体．例如，装有三枚不同颜色小球的袋子可视为一个集合．集合中的元素没有顺序之分，如{苹果，香蕉}与{香蕉，苹果}是同一个集合；集合中的元素彼此不重复，如需写成，重复元素被视为一个元素．若有限集合（，为正整数）中的元素满足，则称为“平衡集合”． (1)是否存在实数，使得集合为“平衡集合”？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； (2)、是两个不同的正数，且是“平衡集合”，请用反证法证明：、至少有一个大于2． 3．如图1，中，，，D、E分别在、上（D、E不与重合）、、交于点． (1)若，则与一定相等吗？若不一定，在图2中举出反例，并简单说明（不写作法，保留痕迹）． (2)如图3，若，则与一定相等吗？试用反证法给出证明． (3)若中有两角相等，中有两角相等，中有两角相等，直接写出度数、度数和度数之和． 4．设，是两个不相等的正整数，为质数，满足，且是整数． (1)求证：； (2)求的值； (3)求，的值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 29.1.2 过三点的圆（第2课时 反证法）（解析版） 目 录 类型一、举反例 1 类型二、反证法证明中的假设 10 类型三、用反证法证明命题 15 类型一、举反例 1．对于命题“若，则”的逆命题是假命题，举一个反例，则符合要求的反例是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】解：原命题的逆命题为“若，则”，反例需满足且． 选项A中，选项B中，均不满足，排除； 选项C中，，满足逆命题结论，不是反例，排除； 选项D中，，不满足逆命题结论，是反例． 2．下列选项中，能说明命题“任何偶数都是的整数倍”是假命题的反例是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：反例需满足是偶数且不是的整数倍，是奇数，不满足偶数条件， 排除B， ，均为偶数，且，，都是的整数倍， 排除A，D， 是偶数，且，不是的整数倍， 符合反例要求， 故选：C． 3．对于命题“三角形的外心在三角形内”，以下能用来说明这是一个假命题的反例可以是（     ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．直角三角形 【答案】D 【详解】解：三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，是三角形外接圆的圆心， 不同类型三角形外心的位置规律为：锐角三角形的外心在三角形内部， 直角三角形的外心为斜边中点，在三角形的边上， 钝角三角形的外心在三角形外部， 本题选项中只有直角三角形的外心不在三角形内部，可以作为说明原命题是假命题的反例，因此D符合题意． 4．下列选项中，能说明命题“若，则．”是假命题的a的值是（     ） A．4 B． C．0.5 D． 【答案】D 【分析】要说明一个命题是假命题，只需找到使命题不成立的反例即可.当不等式两边同乘负数时，不等号方向改变，因此当时原命题不成立. 【详解】解：对不等式变形，两边同时减去，得：， ∵已知，若，根据不等式的性质，不等号方向改变，可得， ∴此时，原命题不成立. 选项中只有，符合要求，因此选D. 5．为说明“若，则”是假命题，可举反例（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】要说明原命题是假命题，只需找出满足条件，但不满足结论的反例，逐个验证选项即可． 【详解】解：选项A．，，且，符合原命题，不是反例． 选项B．，，且，满足条件，但不满足结论，是原命题的反例． 选项C．，，不满足命题条件，不是反例． 选项D．，，不满足命题条件，不是反例． 6．判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例．反例中可以为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】反例需要满足命题条件，且不满足命题结论，据此逐一判断选项即可． 【详解】反例需要满足条件，且不满足结论． 选项B、D中，，均不满足， B、D不符合要求，不是反例； 选项C中，满足，且，满足命题结论， C不是反例； 选项A中，满足，且，不满足， A是符合要求的反例． 7．如图，在中，、相交于点，平分．可以作为假命题“相等的角是对顶角”的反例是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】要说明命题“相等的角是对顶角”是假命题，需要举出一个反例，即找到两个角相等，但它们不是对顶角；根据角平分线的定义可得，这两个角相等但不是对顶角，符合反例的要求． 【详解】解：∵平分， ∴； 又∵与有公共边，它们不是对顶角， ∴可以作为假命题“相等的角是对顶角”的反例； 对于B选项，与是对顶角，不能作为反例； 对于A、C选项，角不相等，不满足命题的题设． 8．对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（     ） A．， B． C．， D．， 【答案】B 【分析】能说明原命题是假命题的反例，需要满足原命题的条件，但不满足原命题的结论，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A、∵，， ∴，且，不可以说明原命题是假命题，故此选项不符合题意； B、∵， ∴，且，可以说明原命题是假命题，故此选项符合题意； C、∵，， ∴，不满足，不可以说明原命题是假命题，故此选项不符合题意； D、∵， ∴，不满足，不可以说明原命题是假命题，故此选项不符合题意． 9．数学中说明某个命题不成立时常采用“举反例”的方法．为说明命题“对于任何实数，都有”是假命题，所列举反例正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， 当时，，当时，， ∴该命题的反例为负数， 四个选项中只有是负数，代入验证得，符合反例要求． 10．下列能说明命题“若，则”是假命题的一组反例是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】要说明命题“若，则”是假命题，只需找到满足条件，但不满足结论的反例，据此对各选项判断即可． 【详解】解：∵反例需要满足原命题条件，不满足原命题结论， 对各选项逐一判断： 选项A，，满足，且，满足结论，不能作为反例． 选项B，，，不满足条件，不能作为反例， 选项C，，满足即，计算得，，可得，不满足原命题结论，可作为反例， 选项D，，，不满足条件，不能作为反例． 11．下列选项中，可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】要判断一个命题是假命题，只需举出满足命题条件，但不满足命题结论的反例即可，本题只需找到满足且的值即可． 【详解】解：∵ 命题“若，则”的反例需要满足条件，同时不满足结论， 当时，，满足条件， 且，不满足结论， ∴ 可以作为该命题是假命题的反例． 12．对于命题“若，则”，能说明它是假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查举反例判断命题真假，反例需满足命题的条件，但不满足命题的结论，据此逐一检验选项即可． 【详解】解：说明该命题是假命题的反例，需要满足条件，且不满足结论，即， 对选项A：，，满足条件，且，满足结论，不符合要求； 对选项B：，，满足条件，且，满足结论，不符合要求； 对选项C：，，不满足，不符合条件，不符合要求； 对选项D：，，，满足，但，不满足，符合反例要求． 13．判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例．反例中的可以为（    ） A．2 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】举反例判断假命题，反例需满足命题的条件，且不满足命题的结论，据此逐一判断选项即可； 【详解】解：反例需满足命题条件，不满足命题结论， 选项A中，不满足条件，不符合要求； 选项B中，满足，且，满足结论，不符合要求； 选项C中，满足，且，满足结论，不符合要求； 选项D中，满足，且，不满足结论，符合反例要求， ∴反例中的可以为． 14．对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（   ） A． B．， C．， D． 【答案】B 【分析】要说明原命题是假命题，需要找到满足命题条件，但不满足命题结论的例子． 【详解】解：A、，则，满足条件也满足结论，不能作为反例，故A不符合题意； B、，，则，满足条件，但，不满足结论，可以作为反例，故B符合题意； C、，，，不满足条件，不能作为反例，故C不符合题意； D、，不满足条件，不能作为反例，故D不符合题意． 15．对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】能说明命题是假命题的反例，需要满足命题的条件，但不满足命题的结论，据此判断选项即可． 【详解】解：命题“如果，那么”的反例需要满足，且． ∵ 满足，且，满足条件但不满足结论， ∴ 是该假命题的反例． B选项，不满足，不符合要求； C选项，满足，且，符合命题结论，不符合要求； D选项，满足，且，符合命题结论，不符合要求． 16．请写出能判断命题“若，则”是假命题的一组实数，的值：_____，_____． 【答案】 1 【分析】要证明原命题为假命题，只需找到一组满足但不满足的实数，即可． 【详解】解：取，时， ，，可得，即，满足原命题的条件； ，，可得，即，不满足命题的结论，可说明原命题是假命题． 17．能说明“若，则”是假命题的一个反例是___________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】只需找到满足，但不满足的一组即可． 【详解】解：取，， 计算得，． ，即满足条件， 而，即不满足结论， 这组数可以说明原命题是假命题． 18．举一个证明命题“如果，那么，”为假命题的反例是________________． 【答案】，（答案不唯一） 【分析】要证明一个命题是假命题，只需举出满足命题条件，但不满足命题结论的实例即可，本题只需找到满足，且不全为的一组值即可． 【详解】解：当，时，满足，但此时不满足，， 故反例可以是，． 19．用一组，的值说明命题“如果，那么”是假命题，这组值可以是________，________． 【答案】 【分析】要说明该命题是假命题，只需举出满足条件，但不满足结论的反例即可. 【详解】解：当，时，满足， 计算得，， ∵， ∴， 不满足，因此可以说明命题“如果，那么”是假命题． 故，时，命题“如果，那么”是假命题．（答案不唯一） 20．用一组，，的值说明命题“如果，那么”是假命题，这组值可以是__________、__________、__________． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】只需举出反例说明命题错误即可，根据不等式的性质，当为非正数时，满足，但无法得到，即可完成举例． 【详解】解：当，，时，可得，即，不满足，因此可以说明“如果，那么”是假命题． 21．请写出一个能说明命题“若，则”是假命题的实数：________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】要说明一个命题是假命题，只需举出满足命题题设，不满足命题结论的反例即可，本题题设为，结论为，只需找出符合要求的反例即可． 【详解】解：当时，，满足题设条件，，不满足的结论，因此可以说明原命题是假命题． 22．判定命题“如果，那么”是假命题，只需要举一个反例，这个反例可以是________． 【答案】，（答案不唯一） 【分析】题中条件为，结论为，则只需找出满足且的一组即可． 【详解】解：当，时，，， 满足，但，不满足， ∴，可作为该命题的反例． 23．能说明命题“若，则”是假命题的一组实数，的值为，________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】判断一个命题为假命题可通过举反例求解，已知，只需找到满足且不满足的即可． 【详解】解：当，时，，，满足， 又，，可得，不满足， ，可说明原命题是假命题． 24．已知命题：“对于任何实数，”是假命题，请举一个反例，的值可以是_________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据绝对值的性质，取一个负数，验证即可，例如取，此时，可证明命题为假． 【详解】解：根据绝对值的性质，当时，， 取（答案不唯一，任意负数均可）， 此时，而，与矛盾． 25．要说明命题：“若为无理数，则与的和为无理数”是假命题，其反例可以是______．（写出一个满足条件的反例即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】要说明该命题为假命题，只需构造满足命题条件，不满足命题结论的例子即可，即取为无理数，使为有理数即可． 【详解】解：命题条件为：，是无理数，命题结论为：是无理数， 取，此时是无理数，满足命题条件， 计算得， 是有理数，不满足命题结论，因此可作为该命题的反例． 26．项目式学习 【项目主题】 一类勾股数有序表示的探究 【预备知识】 能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数称为勾股数，即满足的正整数，，是勾股数，记为． 设，为正整数，且，因为，所以为勾股数．本项目只研究形如的勾股数． 【规律探究】 分别对，进行有序赋值，得到这类勾股数的一种排序方式，列表如下： 勾股数 序号 2 1 1 3 1 2 2 3 4 1 4 2 5 3 6 … … … … 【规律应用】 根据上表规律，请完成下列问题： (1)，对应的勾股数是（_____，_____，_____），序号为_____； (2)勾股数对应的_____，_____； (3)序号为15的勾股数是（_____，_____，_____）． 【项目拓展】 (4)项目组某成员观察上表发现：在序号从1依次增大到6的过程中，勾股数中的值随着序号的增大而增大．他猜想：在序号从6依次增大到16的过程中，的值也会随着序号的增大而增大．请问他的猜想是否正确？若正确，说明理由；若不正确，举例说明． 【答案】(1)24，10，26，7 (2)6，1 (3)11，60，61 (4)不正确， 理由：当，时，，序号为； 当，时，，序号为； ∵，， ∴序号从10增加到11时，的值减小， ∴他的猜想不正确． 【分析】（1）根据表格中的规律求解即可； （2）根据题干中勾股数的定义可得，，，把、两式相加并结合已知条件则求出m的值，然后把m的值代入求解即可； （3）根据表格中的规律发现：每一个m对应的勾股数组数为组，从得出m值从2取到k时，勾股数的总组数为组，然后根据题意得出，求出k的值，即可求解； （4）举反例说明即可． 【详解】（1）解∶当，时，，，， ∴，对应的勾股数是，序号为7； （2）解：根据题意，得，，， ∴，即， 又， ∴， 把代入，得， 解得， ∴勾股数对应的，； （3）解：由表格知，当时，符合题意的勾股数有组； 当时，符合题意的勾股数有组； 当时，符合题意的勾股数有组； …… 当（的整数）时，符合题意的勾股数有组； 此时一共有组勾股数， 当时，解得或（舍去）， ∴序号为15时，，， ∴，，， 序号为15的勾股数是； （4）略 类型二、反证法证明中的假设 27．用反证法证明命题“等腰三角形的底角是锐角”时，第一步应假设（     ） A．等腰三角形的底角是直角或钝角 B．等腰三角形的底角是直角 C．等腰三角形的底角是钝角 D．等腰三角形的底角是锐角 【答案】A 【详解】解：用反证法证明命题时，第一步应假设结论的反面成立，命题“等腰三角形的底角是锐角”的结论的反面为等腰三角形的底角是直角或钝角． 28．已知中，求证．若用反证法证这个结论，应首先假设（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】反证法证明命题时，需先假设待证结论不成立，即假设结论的反面成立，据此即可确定答案． 【详解】解：本题要证明的结论是，其反面为， ∴ 应首先假设． 29．用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应先假设（     ） A．有两个锐角都不大于 B．只有一个锐角不大于 C．有两个锐角都大于 D．只有一个锐角大于 【答案】C 【详解】∵用反证法证明命题，需要先假设结论的反面成立． 原结论为“直角三角形中至少有一个锐角不大于”， “至少有一个不大于”的否定为“全部都大于”， 又∵直角三角形有且仅有两个锐角， ∴应假设两个锐角都大于． 30．用反证法证明命题结论“是负数”时，应先假设（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】反证法证明命题时，需要先假设原命题的结论不成立，找出原结论的反面即可得到答案． 【详解】解：∵反证法证明命题，第一步需要假设原命题结论不成立，原命题结论为“是负数”，即， ∴假设结论不成立，即为不是负数，可得． 31．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程有两个不相等的有理根，则a，b，c不可能全为奇数”时，应先假设（     ） A．a，b，c全为偶数 B．a，b，c至多有一个奇数 C．a，b，c全为奇数 D．a，b，c至多有两个奇数 【答案】C 【分析】反证法证明命题时，需先假设原命题的结论不成立，只需对原结论进行否定即可得到所求假设． 【详解】解：∵反证法证明命题时，第一步要假设原命题的结论不成立，命题需证明的结论为：，，不可能全为奇数， ∴该结论的否定为：，，全为奇数，即应先假设，，全为奇数． 32．已知五个正数的和等于1，用反证法证明“这五个正数中至少有一个数大于或等于”时，应先作出的假设（     ） A．这五个正数中只有一个数大于或等于 B．这五个正数中至多有一个数大于或等于 C．这五个正数中没有一个数大于或等于 D．这五个正数中都大于或等于 【答案】C 【详解】解：用反证法证明“这五个正数中至少有一个数大于或等于”时， 应先作出的假设为这五个正数中没有一个数大于或等于． 33．用反证法证明命题：在一个四边形中，至少有一个内角大于或等于，应先假设（     ） A．四边形中有一个内角小于 B．四边形中每个内角都小于 C．四边形中有一个内角大于 D．四边形中每个内角都大于 【答案】B 【分析】反证法证明命题时，需先假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立，解题关键是正确得到原结论的否定形式. 【详解】解：∵用反证法证明命题时，要先假设结论不成立，原命题结论为“四边形中至少有一个内角大于或等于”， “至少有一个内角大于或等于”的否定是“四边形中每个内角都小于”， ∴应先假设四边形中每个内角都小于. 34．如图，用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”这个结论时，可假设（     ） A． B． C． D．与不平行 【答案】C 【分析】反证法证明命题时，第一步应假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立， 原命题的结论是“两条直线不平行”，其反面是“两条直线平行”，据此可得答案． 【详解】解：用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行” 时，首先要假设结论不成立， ∵ 原命题的结论是“两条直线不平行” ， ∴ 其反面是“两条直线平行”， ∴首先要假设． 35．用反证法证明：在中，，，则，第一步应假设（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】反证法证明命题时，第一步需要假设所要证明结论的反面成立，只需写出原结论的否定即可得到结果． 【详解】解：∵本题要证明的结论是， ∴反证法第一步应假设结论不成立，应假设． 36．用反证法证明“若的周长为20，则较长边的长不小于5”时，应假设（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反证法的基本步骤，反证法证明命题时，首先需要假设结论不成立，即假设原结论的反面成立，找到原结论的反面即可得到答案． 【详解】解：原命题要证明的结论是“较长边的长不小于”，即结论为， ∵反证法需要假设结论不成立，结论的反面为， ∴应假设，故选：A． 37．用反证法证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于”时，应先假设（    ） A．三个角都小于或等于 B．三个角都大于或等于 C．三个角都小于 D．三个角都大于 【答案】C 【详解】解：∵用反证法证明命题，第一步需假设原结论不成立 原命题结论为“在三角形中，至少有一个内角大于或等于” ∴该结论的反面为“三角形的三个内角都小于” 因此应先假设三个内角都小于． 38．用反证法证明“都是正数，且，那么这五个数中至少有一个大于或等于．”时，应先假设（    ） A．这五个数都小于 B．这五个数中至少有一个小于或等于 C．这五个数都大于 D．这五个数中至少有一个大于或等于 【答案】A 【分析】反证法证明命题时，需先假设原结论不成立，找出原结论的反面情况即可得到答案． 【详解】解：∵反证法证明命题的第一步是假设结论不成立，原结论为“这五个数中至少有一个大于或等于”，“至少有一个满足条件”的反面是“全部都不满足条件”， ∴原结论的反面为“这五个数都小于”． 39．用反证法证明“直线，，在同一平面内，若，，则．”，应先假设（     ） A． B．与相交 C． D．不垂直于 【答案】B 【详解】解：用反证法证明“直线，，在同一平面内，若，，则”时， 应假设直线与直线不平行，即直线与直线相交． 40．用反证法证明命题“在中，若，则，中至少有一个角不大于”时，第一步应假设（     ） A．，都大于 B．，都不大于 C．，中有一个大于 D．，都小于 【答案】A 【分析】反证法第一步需假设原命题结论不成立，只需找出原结论的否定即可． 【详解】解：反证法证明命题时，第一步应假设命题的结论不成立，即假设结论的否定成立， 原命题结论为“，中至少有一个角不大于”， 该结论的否定为“，都大于”， ∴第一步应假设，都大于． 41．“若，则”，用反证法证明这个结论时，应先假设________． 【答案】 【详解】解：若，则，用反证法证明这个结论时，应先假设． 42．用反证法证明“在三角形中至少有一个内角大于或等于”，应先假设_______． 【答案】三角形三个内角都小于 【分析】反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．据此解答即可． 【详解】解：用反证法证明“在三角形中至少有一个内角大于或等于”，应先假设三角形三个内角都小于． 43．证明：若是奇数，则为奇数．用反证法证明这个结论时，应先假设__________． 【答案】n为偶数 【详解】解：反证法的核心步骤是：先假设要证明的结论不成立， ∵本题需要证明的结论是“ n为奇数”，结论的反面就是“ n是偶数”， ∴若是奇数，则为奇数．用反证法证明这个结论时，应先假设n为偶数． 44．用反证法证明命题 “已知a，b，c是三条不同的直线，如果，，那么”时，第一步应假设______． 【答案】a与c不平行 【详解】解：由题意，第一步应假设a与c不平行. 45．用反证法证明“如果，那么”时，第一步应假设______． 【答案】 【分析】本题考查反证法的基本步骤，反证法证明命题时，第一步需要假设原命题的结论不成立，找出原结论的否定即可得到结果． 【详解】解：反证法证明命题时，第一步需要假设原命题的结论不成立，本题原命题的结论为， 的否定为 因此第一步应假设． 46．用反证法证明“在中，若，则”时，应提出假设__________． 【答案】 【分析】反证法证明命题时，第一步需要假设命题的结论不成立，因此只需找出原结论的反面，即可得到反证法需要提出的假设． 【详解】解：该命题需要证明的结论为，反证法需假设结论不成立，即不小于， 因此应提出的假设为． 47．如图，已知：直线、被直线所截，与不平行．求证：．在证明该结论时，可以用反证法先假设______________，则由“同旁内角互补，两直线平行”，可得________．这与____________矛盾，说明假设不成立，由此得到． 【答案】 与不平行 【详解】解：在证明该结论时，可以用反证法先假设， 则由“同旁内角互补，两直线平行”，可得，这与与不平行矛盾， 说明假设不成立，由此得到． 类型三、用反证法证明命题 48． 证明：两条直线相交只有一个交点． 已知：两条相交直线与． 求证：与只有一个交点． 【答案】 证明：假设直线与有两个或两个以上的交点，不妨取其中两个交点为、， ∵经过两点有且只有一条直线， ∴经过点、的直线有且只有一条， 这与、是两条不同的直线且均经过点、矛盾， ∴假设不成立，即与只有一个交点． 【分析】运用反证法，假设两条相交直线有至少两个交点，结合两点确定一条直线的基本事实推出矛盾，即可证明原命题成立； 【详解】略 49．求证：如果整数m的平方是一个偶数，那么m必为偶数． 【答案】 证明：假设整数不是偶数，则是奇数， 设（为整数）， 则， ∵为整数， ∴是整数， ∴是奇数，即是奇数， 这与已知“的平方是偶数”矛盾，故假设不成立， ∴整数必为偶数． 【分析】根据反证法，假设整数不是偶数，则是奇数，设（为整数），求出解答即可； 【详解】略 50．证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于． 已知：． 求证：中至少有一个内角小于或等于． 【答案】证明：假设中没有内角小于或等于． 即，，． ． 这与三角形的内角和为矛盾， ∴该假设不成立． 中至少有一个内角小于或等于． 【分析】假设中没有内角小于或等于，根据三角形内角和定理得出矛盾，即可解答． 【详解】略 51．试证明一个五边形不可能有4个内角为锐角． 【答案】证明：假设一个五边形可能有4个内角为锐角，记这四个角之和为， 则有， 由多边形的内角和公式可得五边形内角和为， 记第五个角为，则有， ∴， ∵五边形每一个内角均小于， ∴原假设不成立，即一个五边形不可能有4个内角为锐角． 【分析】先假设原命题成立，按照该命题的条件进行推理，若出现与实际不符的情况，便可证明原命题是错误的． 【详解】略． 52．试着用反证法证明勾股定理的逆定理． 【答案】已知：在中，，，，且， 求证：． 证明：假设，即不是直角三角形， 作直角三角形，使，，， 在直角三角形中，由勾股定理得 ， ， ， ， 在和中，，，， ， ，这与假设矛盾， 假设不成立，即， 故勾股定理的逆定理成立． 【分析】根据勾股定理和全等三角形的判定和性质证明假设不成立，由此得出原命题成立． 【详解】略 53．求证：在一个三角形中，如果有两条边不相等，那么它们所对的角也不相等． 【答案】 已知：在中，， 求证：． 证明： 假设， ∵ 等角对等边， ∴ 这与已知矛盾，故假设不成立 ∴， 即在一个三角形中，如果有两条边不相等，那么它们所对的角也不相等． 【分析】先假设它们的对边相等，然后根据等腰三角形的判定得出假设不成立，从而证得原结论成立． 【详解】略 54．【阅读理解】 素材一：为什么不是有理数？教材中给出一种证明方法： 假设是有理数，则存在两个互质的正整数，，使得， 于是，两边平方得， 由是偶数，可得是偶数，而只有偶数的平方才是偶数，所以也是偶数， 因此可设（是正整数），则有，即， 所以也是偶数，这与，互质矛盾， 所以不能写成分数的形式，故不是有理数，是无理数． 素材二：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得，若，其中，为有理数，是无理数，则，． 【问题解决】 (1)下列说法正确的是（     ） A．有理数与无理数的差一定是无理数 B．有理数与无理数的积一定是无理数 C．无理数与无理数的差一定是无理数 D．无理数与无理数的积一定是无理数 (2)已知有理数，满足，求的值． (3)请模仿材料的推理过程，证明：是无理数． 【答案】(1)A (2) (3)证明：假设是有理数，则存在两个互质的正整数，，使得 于是有，两边同时平方得， 是偶数，得也是偶数，所以也是偶数． 设（是正整数），代入上式，得，即． 是偶数，是奇数， 是偶数， 是偶数， 这样，都是偶数，与假设，互质矛盾． 即不能写成分数的形式，即不是有理数，是无理数． 【分析】（1）利用举反例判断即可； （2）将式子变形为，由，为有理数，是无理数，进而可得出，， 进而可得出a,b的值，最后可求出代数式的值. （3）根据题干反证法证明即可. 【详解】（1）‌解：A正确‌：有理数与无理数的差一定是无理数．若差为有理数，则无理数有理数有理数有理数，产生矛盾；故差必为无理数． B 错误‌：有理数与无理数的积‌不一定‌是无理数．反例：（有理数）． ‌C 错误‌：无理数与无理数的差‌不一定‌是无理数．例如（有理数）， ‌D 错误‌：无理数与无理数的积‌不一定‌是无理数．例如（有理数），或（有理数）. （2）解：， ， ，为有理数，是无理数， ，， ，， ． （3）略 55．用反证法证明命题：“若，且，则”． 【答案】证明：假设， 当时，， ∴与条件矛盾； 当时，， ∴与条件矛盾； ∴原假设不成立，原命题成立． 【分析】假设，分两种情况分析，当时，当时，分别验证即可． 【详解】略 56．在中，，，求证：．（用反证法证明） 【答案】 证明：假设， ∵， ∴， ∴， ∴，与相矛盾， ∴不成立， ∴． 【分析】假设，通过三角形内角和定理可得，所以，与相矛盾，从而求证． 【详解】 略 57．证明命题“同旁内角不互补的两条直线不平行”是真命题． 首先要证明一个命题是真命题，通常步骤是： ① 根据题意画出示意图，如图1； ② 根据条件和结论，参照示意图写出“已知”和“求证”； 即：已知：如图，直线被直线所截，． 求证：直线a与不平行． ③ 写出由条件推出结论的完整过程（根据以下证明过程完成填空） 证明：假设所求证的结论不成立，即a ， 则 （ ） 这与 矛盾，故 不成立． 所以 ． 上述证明过程的证明方式是 ． 【答案】；；两直线平行，同旁内角互补；；假设；直线与不平行；反证法． 【分析】根据反证法完成填空即可． 【详解】解：填空如下： 证明：假设所求证的结论不成立，即， 则（两直线平行，同旁内角互补） 这与矛盾，故假设不成立． 所以，直线与不平行． 上述证明过程的证明方式是反证法． 58．北师大版教材八年级下册§1.1在探究反证法时，给出了如下思路：“在一个三角形中，如果两个角不相等，那么它们所对的边也不相等．假设，则由等边对等角得，这与已知矛盾，故． (1)上述证明使用的方法是 ； (2)写出“等腰三角形两底角相等”的逆命题，并判断真假； (3)仿照上述思路、用反证法证明：一个三角形中不能有两个直角． 【答案】(1)反证法 (2)逆命题为“如果一个三角形中两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形”，该命题是真命题 (3) 证明：假设一个三角形中有两个直角，不妨设在中，，， ∵三角形内角和为， ， ∵在一个三角形中 ， ∴， 这与三角形内角和等于矛盾， ∴假设不成立， ∴一个三角形中不能有两个直角． 【分析】（1）根据反证法的定义即可判断； （2）根据逆命题的定义，找准结论和条件即可写出逆命题，并判断； （3）根据反证法，假设一个三角形中有两个直角，再利用三角形内角和证伪即可． 【详解】（1）解：由题目中的证明过程可知，该方法为反证法； （2）解：逆命题需将结论和条件互换，故逆命题为“如果一个三角形中两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形”， 根据“等角对等边”定理可知，此为真命题； （3）略． 59．用反证法证明“三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于” 【答案】 证明：假设三角形三个内角都大于，则，，， ，与三角形内角和为矛盾，故假设不成立，原命题成立． 【详解】略 1．某校为丰富校园生活、培育团队精神，特举办班超三人篮球赛，根据场上位置分工，出场三人的位置一般分为中锋、前锋、后卫，七年级某班选派甲、乙、丙三名同学首发出场，其中后卫比丙年龄大，中锋和乙不同岁，乙比前锋年龄小，下列推断正确的是（     ） A．甲是后卫，乙年龄最小 B．乙是后卫，丙年龄最小 C．甲是后卫，丙年龄最小 D．乙是后卫，乙年龄最小 【答案】B 【分析】根据题干给出的条件，逐步排除得到每个人的位置和年龄大小关系即可判断选项． 【详解】解：∵ 甲、乙、丙对应中锋、前锋、后卫三个不同位置，已知条件： 1. 后卫比丙年龄大，可得后卫不是丙； 2. 中锋和乙不同岁，可得中锋不是乙； 3. 乙比前锋年龄小，可得乙不是前锋； ∴ 乙既不是中锋也不是前锋，因此乙是后卫。 ∵ 乙是后卫，后卫比丙年龄大， ∴ 乙的年龄大于丙的年龄； 又∵ 乙比前锋年龄小， ∴ 前锋年龄大于乙的年龄； 得到年龄关系：前锋乙丙，因此丙年龄最小． 综上，乙是后卫，丙年龄最小，选项B正确． 2．设均为整数，若，则下列结论正确的是（    ） A．不可能都是奇数 B．不可能都是偶数 C．必一奇一偶 D．不可能是偶数 【答案】A 【分析】当都是奇数时，是奇数，是奇数，是奇数，此时必定不满足，据此可判断A；根据可判断B、C、D． 【详解】解：当都是奇数时，是奇数，是奇数，是奇数， ∴是偶数， ∴此时一定不满足， ∴不可能都是奇数，故A结论正确，符合题意； ∵，满足，本例中都是偶数，是偶数， ∴可能都是偶数，故B、C、D结论都错误，不符合题意； 3．已知中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①∴，这与三角形内角和为矛盾 ②因此假设不成立，∴ ③假设在中， ④由，得，即 这四个步骤正确的顺序应是（    ） A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①② 【答案】D 【分析】本题考查反证法，解题的关键是掌握反证法的一般步骤：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．据此进行判断即可．也考查了等边对等角． 【详解】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤： ③假设在中，， ④由，得，即， ①∴，这与三角形内角和为矛盾， ②因此假设不成立，∴， ∴这四个步骤正确的顺序应是③④①②． 故选：D． 4．用反证法证明命题“五边形的外角中，至多有3个钝角”，应先假设（     ） A．五边形的外角中有3个是锐角或直角 B．五边形的外角中有1个或2个钝角 C．五边形的外角中有4个或5个钝角 D．五边形的外角中没有钝角 【答案】C 【分析】反证法证明命题时，需先假设原命题的结论不成立，只需找出原命题结论的否定即可得到结果． 【详解】解：反证法的第一步为假设命题的结论不成立 ∵原命题结论是“五边形的外角中，至多有3个钝角”，“至多3个”表示钝角个数不大于3，其否定为钝角个数大于3， ∵五边形共有5个外角，钝角个数大于3，即钝角为4个或5个， ∴应假设“五边形的外角中有4个或5个钝角”． 5．在学习反证法后，乐乐尝试用反证法证明“如图，已知P是直线l外一点，直线、相交于点P，且，则直线与直线l必相交”这一命题：他假设直线与直线l不相交，则有，又因为，所以与平行，这与__________________________________矛盾，故假设不成立，所以直线与直线l必相交． 【答案】直线相交 【分析】假设直线与直线l不相交，则有，根据平行线的传递性得出与平行，得出与条件：直线相交矛盾结论即可． 【详解】解：假设直线与直线l不相交，则有， 又因为， 所以与平行， 这与直线相交矛盾，故假设不成立， 所以直线与直线l必相交． 6．以下是用反证法证明命题“在三角形中，大角对大边”的四个步骤： ①如图，已知：在中，．求证：． ②无论哪种情况，都与已知矛盾． ③因此假设都不成立，所以． ④假设，；假设，．这四个步骤正确的顺序应是_______________． 【答案】①④②③ 【分析】反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．据此即可解答． 【详解】解：如图，已知：在中，．求证：． 假设，；假设，； 无论哪种情况，都与已知矛盾． 因此假设都不成立，所以． 7．数学课上，学生提出如何证明以下问题： 如图，．求证：．    老师说，我们可以用反证法来证明，具体过程如下： 证明：假设， 如图，延长交的延长线于点，为延长线上一点．    ∵， ∴． ∵， ∴， 这与“________”相矛盾， ∴假设不成立， ∴． 以上证明过程中，横线上的内容应该为________． 【答案】三角形的外角和等于 【分析】先假设，通过证明假设不成立，从而得到正确的结论． 【详解】证明：假设， 如图，延长交的延长线于点，为延长线上一点．    ∵， ∴． ∵， ∴， 这与“三角形的外角和等于”相矛盾， ∴假设不成立， ∴． 故答案为：三角形的外角和等于 【点睛】本题考查的是反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确． 1．如图1，在与中，，，如果，那么．这个命题是真命题还是假命题？ 古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》记载了这个命题，并证明了上述命题是一个真命题．下面是《几何原本》中为证明该命题所添加的辅助线：如图2，因为，所以以为边做，使，连接、，此时点F在下方． (1)根据《几何原本》中所添加的辅助线，证明该命题是真命题； (2)在研究完上述命题后，还能提出一个新的命题：如图1，已知与中，，，如果，那么．事实上，利用刚刚证明的命题以及同学们学习过的反证法，可以证明这个新的命题仍然是真命题，请利用反证法证明． 【答案】(1)证明：由题意知，在和中，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在中，， ∴， 即． (2)证明：假设如果，那么， 当时， 在和中，， ∴， ∴，与已知矛盾； 当时， 由（1）中已证明的命题可知， 若，，，那么 ， 与已知矛盾； 综上所述，假设不成立， ∴． 【分析】（1）证明，得到，从而得到，利用“在同一个三角形中，大角对大边”进行证明； （2）根据反证法的要求先假设结论为，再通过证全等和第一位的结论，推翻假设的结论即可． 【详解】（1）解：略 （2）解：略 2．“集合”是数学中一个基本概念，指一组互不相同的对象的全体．例如，装有三枚不同颜色小球的袋子可视为一个集合．集合中的元素没有顺序之分，如{苹果，香蕉}与{香蕉，苹果}是同一个集合；集合中的元素彼此不重复，如需写成，重复元素被视为一个元素．若有限集合（，为正整数）中的元素满足，则称为“平衡集合”． (1)是否存在实数，使得集合为“平衡集合”？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； (2)、是两个不同的正数，且是“平衡集合”，请用反证法证明：、至少有一个大于2． 【答案】(1)存在， (2) 证明：，是平衡集合，且、为不同正数， ． ． ． ． 又设，， ． 又且， 且，此时．等号成立当且仅当，即，这与是两个不同的正数矛盾． 、至少有一个大于2． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、反证法、规律型：数字的变化类，解题时要熟练掌握并能灵活运用新定义进行计算是关键． （1）依据题意，由求解后再结合 “平衡集合”的定义可以判断得解； （2）依据题意，，是平衡集合，且、为不同正数，则，可得，故，又设，，则，从而若且，则且，此时．等号成立当且仅当，即，这与不同矛盾，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：存在， 由题意得： 即， 解得或． 当时，集合为不满足集合元素的互异性，舍去． 当时，， 此时集合为，满足“平衡集合”的定义． 综上，存在实数，使得集合为“平衡集合”． （2）略 3．如图1，中，，，D、E分别在、上（D、E不与重合）、、交于点． (1)若，则与一定相等吗？若不一定，在图2中举出反例，并简单说明（不写作法，保留痕迹）． (2)如图3，若，则与一定相等吗？试用反证法给出证明． (3)若中有两角相等，中有两角相等，中有两角相等，直接写出度数、度数和度数之和． 【答案】(1) 解：若，则与不一定相等，如图： (2) 解：若，则与一定相等， 证明：假设，这里不妨设， ∴， ∵， ∴， ∴， 在上截取，连接， ∵， ∴ ∴， ∴， 与（三角形的一个外角大于任何一个与之不相邻的内角）矛盾， 故假设不成立， ∴； 若假设时，同理与三角形的外角性质矛盾， ∴； (3)或或或 【分析】（1）当点在上某个位置时，以为圆心，为半径画弧与产生两个交点，这两个交点即为点，此时，但； （2）假设，这里不妨设，在上截取，连接，证明，然后根据全等三角形的性质，三角形的外角性质进行证明即可； （3）分9种情况讨论，根据三角形内角和以及三角形的外角性质列二元一次方程组求解即可． 【详解】（1）当点在上某个位置时，以为圆心，为半径画弧与产生两个交点，这两个交点即为点，此时，但， 故若，则与不一定相等； （2）略 （3）解：①当时， ∵ ∴ 设， 则在中，由三角形内角和定理可得 ∴， 在中，由三角形内角和定理可得， ∴，解得， ∴； ②当时， ∵ ∴ 设， ∴ 在和中，由三角形内角和定理可得 解得， 此时，不符合题意； ③当时，此时重合，不符合题意； ④当时， ∵， ∴， 设 则在中，由三角形内角和定理得，则 在中，由三角形内角和定理可得 ∴， ∵， ∴， ∴ 解得 ∴； ⑤当时， ∵， ∴，设， 则在中，由三角形内角和定理可得， 在中，由三角形内角和定理可得 ∵， ∴， 在中，由三角形内角和定理可得， ∴ 解得 ∴； ⑥当时，此时重合，不符合题意； ⑦当时， ∵， ∴， 设， ∴， 在中，由三角形内角和定理可得 在中，由三角形内角和定理可得， ∴ 解得 ∴； ⑧当时， 设，，则中，由三角形内角和定理可得， ∴ ∵， ∴， 在中，由三角形内角和定理可得 ∴ 解得 ∴ ⑨时，此时三点重合，不符合题意， 综上：度数、度数和度数之和为或或或． 4．设，是两个不相等的正整数，为质数，满足，且是整数． (1)求证：； (2)求的值； (3)求，的值． 【答案】(1)见解析 (2)p=3 (3)a=5，b=2 【分析】（1）运用不等式的性质和因式分解，由可推出，然后用反证法证明不成立，从而解决问题； （2）设（其中，为正整数，则有，与条件结合，可得，若为正整数，则与中有一个是1，另一个是，或者两个都是p；若是正整数，则与中有一个是1，另一个是，或者两个都是p，只需通过分类讨论就可解决问题； （3）由（2）可知，只有当时，存在正整数、及质数，使得条件成立，此时，整理得，从而得到，由是大于的正整数，可得是小于的正整数，从而求出b，就可得到a． 【详解】（1）解：∵a，是两个不相等的正整数， ，都是正整数，． 是整数， ， ， ， 即． 假设， 则有． 与连续整数， 是偶数， 为质数， ， ， ，， ， 与条件“是整数”矛盾， ； （2）解：设其中，为正整数， 则有， ， ． 是质数， ． 且， 此时，整理得， 方程无解． 且， 此时，与条件“、为不相等的正整数”矛盾； ， 此时， ， ． 为整数， 也是整数， 正整数． ， 正整数， ， ， ，与为正整数矛盾； 且， 此时， 整理得， 解得，， 与为正整数矛盾； 且， 此时， ， ， ， ， 与“是大于的正整数”矛盾； ， 此时， 整理得， 则 ． 是大于的正整数， 是小于的正整数， 整数， ， ， ． 综上所述：； （3）解：由（2）可知， 只有当时，存在正整数、及质数，使得条件成立， 此时，整理得， 则 ． 是大于的正整数， 是小于的正整数， 整数， ， ． 【点睛】本题考查了质数和合数、质因数的分解、因式分解、分式的分解等知识，难度比较大，在解决问题的过程中用到了分类讨论、转化、反证法等重要的数学思想方法． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $