1.5 数学归纳法课件-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第二册

课时1 数学归纳法 情境 1：有人看到树上有一只乌鸦，感慨道“真是天下乌鸦一般黑啊！”，请问这个结论正确吗？ 情境 2：如果{an}是一个等差数列，通过下列推定可得： a1 = a1 = a1 + 0×d， a2 = a1 + d = a1 + 1×d， a3 = a2 + d = a1 + 2×d， ······ 归纳可得：an= a1 + (n – 1)d. 思考 1：这个结论一定正确吗？ 思考 2：上述命题结论不一定都是正确的，如何解决这些存在的问题呢？ 问题 1：已知数列{an}满足 a1 = 1， an+1 = (n∈N*)，计算 a2，a3，a4， 猜想其通项公式，并证明你的猜想. 计算可得：a2 = 1，a3 = 1，a4 = 1；由此猜想通项公式为：an = 1 (n∈N*)； 思考：当 n 较小时，可逐一验证，但当 n 取所有正整数时，如何验证？ 思路点拨：通过有限个步骤的推理，证明 n 取所有正整数时命题都成立. 问题 2：在多米诺骨牌游戏中，码放骨牌时，要保证任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌也倒下. 这样，只要推倒第 1 块骨牌，就可导致第 2 块骨牌倒下；而第 2 块骨牌倒下，就可导致第 3 块骨牌倒下；······. 总之，不论有多少块骨牌，都能全部倒下. （1）在游戏中，能使所有骨牌全部倒下的条件是什么？ ① 第一块骨牌倒下； ② 任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下； （2）条件 ② 的作用是什么？如何用数学语言描述它？ 递推关系：第 k 块骨牌倒下 ⇒ 第 k + 1 块骨牌倒下. 结论：无论有多少块骨牌，只要保证条件 ①② 成立，那么所有的骨牌一定可以全部倒下. 问题 3：类比多米诺骨牌游戏证明问题 1 中猜想： 数列{an}满足 a1 = 1，an+1 = (n∈N*)，则通项公式为 an = 1 (n∈N*). 条件：由条件易知，n = 1 时猜想成立，即相当于骨牌游戏的条件 ①； 类比条件 ② 递推关系得出：当 n = k 时猜想成立，则当 n = k + 1 时猜想也成立，即 ak = 1成立，则 ak + 1 = 1 也成立. 只要证明这个递推关系成立即可； 证明：如果 ak = 1，那么 ak+1 = = 1；即 n = k + 1 时猜想也成立. 结论：对于任意正整数 n，猜想都成立，即数列{an}的通项公式是an = 1 (n∈N*). 对于猜想“an=1”，由n=1成立，就有n=2成立；由n=2成立，就有n=3成立； 对所有正整数 n (n ≥ n0，n∈N*)，命题都成立 证明一个与正整数 n (n ≥ n0，n∈N*) 有关的的命题 （1）证明当n = n0 (n0∈N*) 时 命题成立 （2）假设当n = k (k ≥ n0，k∈N*) 时， 命题成立，证明当n = k + 1 时命题也成立 归纳奠基 归纳递推 两个步骤 缺一不可 数学归纳法 思考：数学归纳法中的两个步骤之间有什么关系？ 记 P(n) 是一个关于正整数 n 的命题. 数学归纳法证明形式可改写为： 条件：（1）P(n0) 为真；（2）若 P(k) 为真，则 P(k+1) 也为真； 结论： P(n) 为真. 在数学归纳法的两步中，第一步验证了当 n = n0 时结论成立，即命题 P(n0) 为真；第二步是证明一种递推关系，即要证明一个新命题： 若 P(k) 为真，则 P(k+1) 也为真； 完成这两步，就有 P(n0) 真，P(n0+1) 真 ······ P(k) 真， P(k+1) 真······. 例 1：用数学归纳法证明：如果 {an} 是一个公差为 d 的等差数列那么 an= a1 + (n – 1)d ① 对任何 n∈N*都成立. 分析：用数学归纳法证明的第一步应证明 n = 1 时命题成立；第二步要明确证明的目标，即要证明一个新命题：如果 n = k 时 ① 式是正确的，那么 n = k + 1 时 ① 式也是正确的. 证明：（1）当 n = 1 时，左边 = a1，右边 = a1 + 0×d = a1，① 式成立； （2）假设当 n = k (k∈N*) 时，①式成立，即 ak = a1 + (k – 1)d ； 根据等差数列的定义有：ak+1 – ak = d， 即 ak+1= ak + d = [a1 + (k – 1)d ] + d = a1 + [(k – 1) + 1]d = a1 + [(k + 1) – 1]d， 即当 n = k + 1 时，① 式也成立. 由（1）（2）可知，① 式对任何 n∈N*都成立. 例 2：用数学归纳法证明：如果首项为a1，公比为 q 的等比数列的通项公式为 an= a1·qn – 1 ①. 证明：按照数学归纳法步骤解答即可； （1）当 n = 1 时，左边 = a1，右边 = a1·q1 – 1 = a1，① 式成立； （2）假设当 n = k (k∈N*) 时，①式成立，即 ak = a1·qk – 1； 根据等比数列的定义有： = q， 即 ak+1= ak·q = a1·qk – 1·q = a1·qk – 1 + 1 = a1·q(k + 1) – 1， 即当 n = k + 1 时，① 式也成立. 由（1）（2）可知，① 式对任何 n∈N* 都成立. 1.下题在应用数学归纳法证明的过程中，有没有错误？若有错误，错在哪里？ 求证：当 n∈N* 时，n = n + 1； 证明：假设当 n = k (k∈N*) 时，等式成立，即 k = k + 1； 则当 n = k + 1 时，左边 = k + 1 = (k + 1) + 1 = 右边； 所以当 n = k + 1 时，等式也成立. 由此得出，对任何n∈N*，等式n=n+1都成立. 解：有错误；错误之处在于没有证明第（1）步，即未证明 n = 1 时等式是否成立. 1. 什么是数学归纳法？ 2. 如何使用数学归纳法证明一些简单的数学命题？ 回顾：结合本节课所学，回答下列问题？ 命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成立 验证当 n = n0 时命题成立 若 n = k (k ≥ n0) 时命题成立，证明 n = k + 1 时命题也成立 归纳奠基 归纳递推 课时2 数学归纳法的应用 例 1：用数学归纳法证明：12 + 22 + ··· + n2 = n (n + 1) (2n + 1)（n∈N*） 证明：（1）当n=1时，②式左边=12=1，右边= (1 + 1)(2 + 1)=1，②式成立； （2）假设当 n = k (k∈N*) 时，②式成立，即12 + 22 +···+ k2 = k(k + 1)(2k + 1)， 在上式两边同时加上 (k + 1)2，有 12 + 22 + ··· + k2 + (k + 1)2 = k (k + 1) (2k + 1) + (k + 1)2 = = = (k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]，即当n = k+1时，②式也成立； 由（1）（2）可知，② 式对任何 n∈N*都成立. 注意：数学归纳法证明时，第二步要证明的是一个以“当n = k时，②式成立”为条件，得出“当n = k + 1时，②式也成立”的命题，证明时必须使用上上述条件！ 典 型 例 题 练一练 1：用数学归纳法证明 1 + 2 + 3 + ⋯ + 4n = 8n2 + 2n (n∈N*)，则当 n = k + 1 时，等式左端应在 n = k 的基础上加上（ ） A. 4k + 1 B. 8(k + 1)2 + 2(k + 1) C. 4(k + 1) D. (4k + 1) + (4k + 2) + (4k + 3) + (4k + 4) 提示：当 n = k (k∈N*) 时，左侧 = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 4k； 当 n = k + 1 时，左侧 = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 4k + ⋯ + 4(k + 1)； 故左端应在 n = k 的基础上加上的项为 (4k+1) + (4k+2) + (4k+3) + (4k+4). D 当 堂 检 测 例 2：已知数列{an}满足 a1 = 0，2an+1 – anan+1 = 1，试猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明. 解：由 2an+1 – anan+1 = 1，可得 an+1 = (n∈N*)， 由 a1 = 0，可得 a2 = = ；同理可得 a3 = = ，a4 = ，a5 = ； 归纳上述结果，猜想 an = (n∈N*) ③. 典 型 例 题 已知：a1 = 0，an+1 = (n∈N*)，用数学归纳法证明 an = (n∈N*) ③. 证明：（1）当 n = 1 时，③式左边 = a1 = 0，右边 = = 0，猜想成立； （2）假设当 n = k (k∈N*) 时，③式成立，即 ak = ； 当 n = k + 1 时，ak+1 = = = = ， 即当 n = k + 1 时，猜想也成立； 由（1）（2）可知，猜想对任何 n∈N* 都成立. 典 型 例 题 “归纳 —— 猜想 —— 证明”的一般步骤： 计算 归纳 猜想 证明 根据条件，准确计算前若干项（归纳、猜想的基础） 通过观察、分析、比较、综合、联想，猜想出一般结论 对一般结论用数学归纳法进行证明（两步骤缺一不可） 知 识 梳 理 例 3：设 x 为正实数，n 为大于 1 的正整数，若数列 1，1 + x，(1 + x)2，…，(1 + x) n – 1，… 的前 n 项和为 Sn，试比较 Sn 与 n 的大小，并用数学归纳法证明你的结论. 解法 1：由已知可得 Sn = 1 + (1 + x) + (1 + x)2 + ··· + (1 + x) n – 1. 当 n = 2 时，S2 = 1 + (1 + x) = 2 + x；由 x > 0，可得 S2 = 2 + x > 2； 当 n = 3 时，S3 = 1 + (1 + x) + (1 + x)2 = 3 + 3x + x2；由 x > 0，可得 S3 > 3； 由此，猜想：当 x∈R*，n∈N*且 n > 1 时，Sn > n； 典 型 例 题 已知：x∈R*，n∈N*且 n > 1 ，数列 1，1 + x，(1 + x)2，…，(1 + x) n – 1，… 的前 n 项和为 Sn；猜想：Sn > n . （1）当 n = 2 时，由上述过程知，不等式成立； （2）假设当 n = k (k∈N*，且 k ≥ 2 ) 时，不等式成立，即 Sk > k ； 所以当 n = k + 1 时，不等式也成立； 由 x > 0，可得 1 + x > 1，所以 (1 + x)k > 1； 于是 Sk + 1 = Sk + (1 + x)k > k + (1 + x)k > k + 1，即 Sk + 1 > k + 1 由（1）（2）可知，不等式 Sn > n 对任何大于 1 的正整数 n 都成立. 典 型 例 题 解法 2：由已知可得所给数列是等比数列，公比为 1 + x， 当 n = 2 时，S2 = = 2 + x；由 x > 0，可得 S2 > 2； 当 n = 3 时，S3 = = 3 + 3x + x2；由 x > 0，可得 S3 > 3； 由此，猜想：当 x > 0，n∈N*，且 n > 1 时，Sn > n； 试着用不同的解法，比较 Sn 与 n 的大小，并用数学归纳法证明你的结论. 所以 Sn = 1 + (1 + x) + (1 + x)2 + ··· + (1 + x) n – 1 = ， 典 型 例 题 猜想：Sn > n . （1）当 n = 2 时，由上述过程知，不等式成立； （2）假设当n = k (k∈N*，且k ≥ 2)时，不等式 Sk > k 成立，即 > k， 所以当 n = k + 1 时，不等式也成立； 由 x > 0，可得 (1 + x)k > xk + 1； 又 x > 0，所以 Sk + 1 > k + 1， 由（1）（2）可知，不等式 Sn > n 对任何大于 1 的正整数 n 都成立. 所以 S = = > = xk + k + 1， 典 型 例 题 练一练 2：在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为 n(n – 3) 条时，第一步检验 n 等于_______. 3 当 堂 检 测 练一练 3：观察下列两个数列{an}，{bn}： 数列{an}：1，4，9，16，25，36，49，64，81，···； 数列{bn}：2，4，8，16，32，64，128，256，512，··· . 猜想从第几项起 an 小于 bn，并证明你的结论. 解：通过观察，猜想：从第 5 项起 an < bn，即 n2 < 2n (n∈N*，n ≥ 5) . （1）当 n = 5 时，有 52 < 25，命题成立； （2）假设当 n = k (k∈N*，k ≥ 5)时，命题成立，即有 k2 < 2k； 则当n = k+1时，(k+1)2 = k2+2k+1 < k2+2k+k = k2+3k < k2+k2 = 2k2 < 2×2k = 2k+1； 即当n = k+1时，命题也成立； 由（1）（2）可知，不等式 n2 < 2n 对任何大于 4 的正整数 n 都成立. 当 堂 检 测 1. 运用数学归纳法解题时一定要“用上假设，递推才真”； 2. 灵活运用“归纳 —— 猜想 —— 证明”的一般步骤： 回顾：结合关键词“数学归纳法的应用”，说说有哪些需要注意的地方？ 计算 归纳 猜想 证明 根据条件，准确计算前若干项（归纳、猜想的基础） 通过观察、分析、比较、综合、联想，猜想出一般结论 对一般结论用数学归纳法进行证明（两步骤缺一不可） 课 堂 总 结 $