2.2 等差数列的前n项和课件-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第二册

1.2.2 课时1 等差数列的前 n 项和 经典回顾：请快速计算：1 + 2 + 3 + … + 99 + 100 的值. 思考：结合等差数列的概念，说说上述计算过程对你有什么启示？ 高斯配对法： 1 + 100 = 101， 2 + 99 = 101， ……， 50 + 51 = 101； 求值：50×101 = 5050. 问题1：如图，有 200 根相同的圆木料，要把它们堆放成正三角形垛，并使剩余的圆木料尽可能的少，那么最终将剩余多少根圆木料？ 分析：根据题意，各层圆木料数比上一层多一根， 故其构成等差数列： 1，2，3，··· 设共堆放了 n 层，能构成正三角形垛的圆木料数为 Sn， 则： Sn = l + 2 + 3 + ··· + n， 这是一个等差数列的求和问题，可以用高斯配对法进行求解. 已知：Sn = l + 2 + 3 + ··· + n ≤ 200 ① 头尾相加： l + n，2 + (n - 1)，···， + ( + 1)； ② 确定数量：一共有 个 (1 + n)； ③ 求 值：Sn = · (1 + n) = ≤ 200； ④ 解答问题：当 n = 19 时，Sn = 190；当 n = 20 时，Sn = 210；故 n 的最大值为19，此时，将堆放 19 层， 剩余 10 根圆木料. 思考：对于任意等差数列，上述结论 Sn = · (a1 + an) 依然成立吗？ 等差数列前 n 项和公式： 对首项为 a1，公差为 d 的等差数列 {an}，Sn 是等差数列 {an} 的前 n 项和，即 Sn = a1 + a2 + a3 + ··· + an. 根据等差数列 {an} 的通项公式，上式可以写成： Sn = a1+ (a1 + d) + (a1 + 2d) + ··· + [a1 + (n - l)d]， ① 再把项的次序反过来，Sn 又可以写成 Sn = an+ (an - d) + (an - 2d) + ··· + [an - (n - l)d]， ② ① + ②，得 2Sn = (a1 + an) + (a1 + an) + (a1 + an) + ··· + (a1 + an) = n(a1 + an). 等差数列 {an} 的前 n 项和公式为： 即：等差数列前 n 项的和等于首末两项的和与项数乘积的一半. 将 an = a1 + (n - 1)d 代入 ，得： 当 a1 = 1，d = 1 时，n 个连续正整数的和 Sn = 1 + 2 + 3 + ··· + n = . 解：正奇数数列是首项为 1、公差为 2 的等差数列. 例1：求从 1 开始的连续 n 个正奇数的和. 由等差数列的前 n 项和公式 ，得 故从1开始的连续n个正奇数的和为 n2. 思考：仔细观察右图，说说图中格子与例题的关系？ 从左下角往右上角数，发现图中小正方形的数量和刚好是：1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + (2×7 - 1) = 72. 故从 1 开始的连续 7 个正奇数的和为 72. 练一练1：求从 2 开始的连续 n 个正偶数的和. 解：正偶数数列是首项为 2、公差为 2 的等差数列. 由等差数列的前 n 项和公式 ，得 故从 2 开始的连续 n 个正偶数的和为 n(n + 1). 例2：如图，北京天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有 9 块石板；从第二圈开始，每一圈比前一圈多 9 块，共有 9 圈. 请问： （1）第 9 圈共有多少块石板？（2）前 9 圈一共有多少块石板？ 解：（1）设从第 1 圈到第 9 圈的石板数所成数列 {an}， 由题意知，数列 {an} 是等差数列，其中首项 a1 = 9， 公差 d = 9，项数 n = 9. 由等差数列的通项公式，得 a9 = a1 + (n - 1)d = 9 + (9 - 1)×9 = 81（块）. 因此，第 9 圈共有 81 块石板，前 9 圈一共有 405 块石板. （2）由等差数列的前 n 项和公式，得 （块）. 回顾：1.等差数列的前 n 项和公式； 2.等差数列的前 n 项和公式的推导过程. 推导过程：Sn = a1 + a2 + a3 + ··· + an. Sn = a1+ (a1 + d) + (a1 + 2d) + ··· + [a1 + (n - l)d]， ① Sn = an+ (an - d) + (an - 2d) + ··· + [an - (n - l)d]， ② ① + ②，得 2Sn = (a1 + an) + (a1 + an) + (a1 + an) + ··· + (a1 + an) = n(a1 + an). 课时2 等差数列的前 n 项和的性质及应用 回顾：结合上节课所学知识，说说什么是等差数列的前 n 项和公式？ 情 景 导 入 例 1：某校新建一个报告厅，要求容纳 800 个座位，报告厅共有 20 排座位，从第 2 排起后一排都比前一排多 2 个座位. 问第 1 排应安排多少个座位？ 解：设报告厅的座位从第 1 排到第 20 排，各排的座位数依次排成一列，构成数列{an}，其前 n 项和为 Sn； 根据题意，数列{an}是一个公差为 2 的等差数列，且 S20 = 800， 由 S20 = 20a1 + ×2 = 800，解得 a1 = 21. 因此，第 1 排应安排 21 个座位. 等差关系 典 型 例 题 练一练1：某市一家商场的新年最高促销奖设立了两种领奖方式：第一种，获奖者可以选择 2000 元的奖金；第二种，从 12 月 20 日到第二年的 1 月 1 日，每天到该商场领取奖品，第 1 天领取的奖品价值为 100 元，第 2 天为 110 元，以后逐天增加 10 元. 你认为哪种领奖方式获奖者受益更多？. 解：12 月 20 日到第二年 1 月 1 日共 13 天，每天领取的奖品价值是以 100 首项，公差为 10 的等差数列，设为{an}，则 a1 = 100，d = 10，n = 13； 等差关系：以后逐天增加 10 元； ∴奖品价值总额为 S13 = 13×100 + ×10 = 2080 元； 第二种更受益. 当 堂 检 测 探究：等差数列{an}前 n 项和 Sn = na1 + d 与一元二次函数的联系. O n Sn (n，Sn) ① d = 0：Sn = a1n； 一条过原点的直线上均匀分布的点； O n Sn (n，Sn) ② d < 0：一条开口 向下的过原点的抛物线上均匀分布的点； O n Sn (n，Sn) ③ d > 0：一条开口 向上的过原点的抛物线上均匀分布的点； 展开：Sn = na1 + d = na1 + d – d = n2 + (a1 – )n ， 问 题 探 究 无穷等差数列的 Sn = n2 + (a1 – )n 与二次函数的联系 d d = 0 d < 0 d > 0 数列图象 Sn 最值 联系 O n Sn (n，Sn) O n Sn (n，Sn) O n Sn (n，Sn) 当 d ≠ 0 时，Sn 可看成二次函数 y = x2 + (a1 – ) x ( x∈R ) 当 x = n 时的函数值. 无 最大值 最小值 知 识 梳 理 例 2：已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a1 = 10，公差 d = – 2，则 Sn 是否存在最大值？若存在，求 Sn 的最大值及取得最大值时 n 的值；若不存在，请说明理由. 解法 1：∵an + 1 – an = – 2 < 0，得 an + 1 < an，∴{an}是递减数列； 又由 an = 10 + (n – 1)×(– 2) = –2n + 12，可知： 当 n < 6 时，an > 0， 当 n = 6 时，an = 0， 当 n > 6 时，an < 0， ∴S1 < S2 < ··· < S5 = S6 > S7 > ··· ， 即当n = 5 或 6 时，Sn 最大. ∵S5 = 5×10 + ×(– 2) = 30，∴Sn 的最大值为30. 典 型 例 题 解法 2：∵Sn = n2 + (a1 – )n = – n2 + 11n = – (n – )2 + ， ∴当 n 取与 最接近的整数，即 5 或 6 时，Sn 最大，最大值为30. 思考：若上题中公差 d = 2，Sn 有最大值吗？请说明理由. 例 2：已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a1 = 10，公差 d = – 2，则 Sn 是否存在最大值？若存在，求 Sn 的最大值及取得最大值时 n 的值；若不存在，请说明理由. 典 型 例 题 求等差数列的前 n 项和 Sn 的最值方法： （1）通项公式法：an = a1 + (n – 1) d = dn + ( a1 – d )， ① 判断 an 正负项情况； ② 求出最值时 n 值，Sn 值； （2）前 n 项和法 ： Sn = n2 + (a1 – )n， ① 根据 d 情况判断是否有最值； ② 求出最值时 n 值，Sn 值； 知 识 梳 理 练一练2：已知等差数列 – 4.2，– 3.7，– 3.2，… 的前 n 项和为 Sn，则Sn 是否存在最大 (小) 值？如果存在，求出取得最值时 n 的值. 解法 1：由题意 a1 = – 4.2，d = – 3.7 – (– 4.2) = 0.5， ∴ an = – 4.2 + (n – 1)×0.5 = 0.5n – 4.7； 令 an < 0，则 n ≤ 9.4， ∴ 数列{an}前 9 项为负项，从第 10 项起为正项； ∴ Sn 存在最小值，此时 n = 9. 当 堂 检 测 解法 2：由题意 a1 = – 4.2，d = 0.5 > 0，有最小值； ∴ Sn = – 4.2n + ×0.5 = 0.25n2 – 4.45n； 即其所在抛物线的对称轴为直线 n = 8.9， ∴ Sn存在最小值，此时 n = 9. 练一练2：已知等差数列 – 4.2，– 3.7，– 3.2，… 的前 n 项和为 Sn，则Sn 是否存在最大 (小) 值？如果存在，求出取得最值时 n 的值. 当 堂 检 测 1. 能在具体的问题情境中，并解决相应的问题？ 2. 等差数列的前 n 项和公式与二次函数有什么关系？ 回顾：结合本节课所学，回答下列问题？ 3. 如何利用等差数列的通项公式与前 n 项和公式求解 Sn 的最值？ 课 堂 总 结 $