24.4 一元二次方程的应用 第3课时-【绿卡初中创新题】2026-2027学年九年级上册数学同步教案(冀教版·新教材)

课题

第3课时 其他问题

授课类型

新授课

授课人

教学内容

课本P68-69

教学目标

1.会根据具体问题，找到利润问题及循环问题中的等量关系，列出一元二次方程并求解.

2.能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理.

3.进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键.

4.培养学生应用数学的意识，提高学生分析问题、解决问题的能力.

5.通过用一元二次方程解决实际问题，体会数学知识的应用价值，激发学生的学习兴趣.

教学重难点

重点：列一元二次方程解利润问题、循环问题的应用题.

难点：在实际问题中找到等量关系，根据实际意义检验结果是否符合题意.

教学准备

多媒体课件

教与学互动设计（教学过程）

设计意图

1.创设情境，导入新课

1.销售问题

例4 某商场经销的太阳能路灯，标价为400元/个，优惠办法是：一次购买数量不超过80个，按标价收费；一次购买数量超过80个，每多买1个，所购路灯每个可降价2元，但单价最低不能低于300元/个.如果一顾客一次性购买这样的路灯用去38 400元，那么该顾客实际购买了多少个路灯？

师生活动：学生先独立思考，然后同桌之间进行交流，解答.

通过讨论路灯销售问题，为继续学习一元二次方程的应用做好铺垫，感受生活中处处有数学，激发学生的学习兴趣，提高学生在日常生活中应用数学解

如果学生存在困难，教师可引导学生分析：

（1）若顾客实际购买的路灯数量是80个，则所需费用为32 000元；

（2）若顾客一次性购买路灯用去38 400元，则所买路灯数量大于80个；

（3）设该顾客购买这种路灯x（x>80）个，路灯数超出80个的数量是x-80个，每个路灯可降价2（x-80）元，则每个路灯的单价是4 00-2（x-80）元；

（4）题目中的等量关系是路灯的单价×数量＝总花费；

（5）根据等量关系可列方程x[4 00-2（x-80）]＝38 400；（6）解方程，并检验根是否都符合题意.

学生独立思考后，在练习本上写出解答过程，并找学生代表发表意见.

解：依题意，得x[400-2（x-80）]=38 400.

整理，得x2-280x+19 200=0.

解这个方程，得x1=120，x2=160.

当x=120时，400-2（x-80）=400-2×（120-80）=320（元）.

当x=160时，400-2（x-80）=400-2×（160-80）=240（元）.

因为240＜300，所以x=160不合题意，应舍去.

答：该顾客实际购买了120个路灯.

教师活动：教师拓展总结利润问题中的常见公式.

★利润问题常见关系式

基本关系：（1）利润＝售价-进价；

（2）利润率＝×100%；

（3）总利润＝单个利润×销量.

决问题的意识.

在教师设计的问题的引导下，通过小组活动，让学生亲身经历建立数学模型的过程，感受数学在实际生活中的应用，同时提高学生分析问题、解决问题的能力.

2.实践探究，学习新知

【做一做】

某土特产专卖店销售某种特产，其进价为40元/盒，如果按60元/盒出售，平均每天可售出100盒.经过市场调查发现，单价每降低1元，平均每天的销量可增加10盒.专卖店销售这种特产，如果想要平均每天的销售额为8 250元，且售价不低于进价，那么每盒特产应定价为多少元？

师生活动：教师提出问题，学生独立思考后小组合作交流，完成解答过程后交流答案，学生板书展示结果，教师点评并规范答题格式.

解：设每盒特产降价x元，则此时每盒特产的定价为（60-x）元.

依题意，得（60-x）（100+10x）=8 250.

整理，得10x2-500x+2 250=0.

解得x1=45，x2=5.

当x=45时，定价为60-45=15元，因为15<40，不满足售价不低于进价的条件，舍去.

当x=5时，定价为60-5=55元，55>40，满足条件.

答：每盒特产应定价为55元.

2.循环问题

某少年宫组织一次足球赛，采取单循环的比赛形式，即每两个足球队之间都要比赛一场，计划安排28场比赛. 可邀请多少支球队参加比赛呢？

师生活动：学生先独立思考，然后同桌之间进行交流，解答.

如果学生存在困难，教师可引导学生思考：若设有x支队参加比赛，因每两队之间都要进行比赛，所以每支队除不与自己比之外都要进行一次，比赛场数为x(x-1)，进一步考虑

教师在引导学生分析过程中，帮助学生正确理解题意，并指导正确用未知数表示等量关系中涉及的量，从而建立方程模型求解，在共