河北省沧州市九年级数学上学期课时作业（冀教版九年级数学上册23.6用样本推断总体）

冀教版九年级数学上册 第二十三章 数据分析与统计估计 23.6 用样本推断总体 分层作业 一、作品基础信息 项目 具体内容 学科 初中数学 教材版本 冀教版（新教材）九年级上册 所属章节 第二十三章 数据分析与统计估计 课题 23.6 用样本推断总体 课时安排 1课时（样本平均数的稳定性、用样本平均数估计总体平均数、用样本方差估计总体方差） 作业类型 书面分层作业（A、B、C三级） 适用对象 九年级学生 建议用时 约30分钟（A组约12分钟，B组约12分钟，C组约6分钟） 设计理念 面向全体、分层递进、情境真实、减量提质 设计时间 2026年 二、设计背景与意图 （一）课标依据 《义务教育数学课程标准（2022年版）》在“统计与概率”领域，要求学生经历数据的收集、整理、描述与分析的全过程，体会数据中蕴含的信息，认识抽样调查的必要性，能根据样本数据推断总体的特征，作出合理的判断，逐步形成数据观念、推理意识和应用意识。本次作业以“用样本推断总体”为核心，引导学生在“总体数量大、或考察带有破坏性而无法全面调查”的真实情境中，学会用样本的平均数估计总体的平均数、用样本的方差估计总体的方差，并在比较不同样本的过程中体会“样本容量越大、抽样越随机，估计就越可靠”的统计思想。 （二）教材分析 “23.6 用样本推断总体”是第二十三章“数据分析与统计估计”的最后一节，也是全章的收束与提升。在此之前的 23.1 至 23.5，学生已经学习了平均数与加权平均数、中位数与众数、四分位数与箱线图、数据的方差、数据的分类，会用这些统计量刻画一组数据（样本）的集中趋势与离散程度。本节要解决的问题是：当所要考察的总体包含很多个体，或者考察本身带有破坏性时，如何用一个“较小的部分”去认识“很大的整体”。 教材以“估计全校初中女生的平均身高”为情境：九年级（1）班的 8 个课外学习小组采用随机抽样的方法，分别抽取容量为 25 和 100 的样本，算得各组的样本平均数，并把它们标在数轴上。观察可以发现两条重要结论：一是由于抽样的任意性，容量相同的不同样本，算得的样本平均数一般并不相同，即样本平均数具有不确定性；二是当样本容量增大时，样本平均数的波动变小，逐渐接近总体的平均数并趋于稳定，即样本平均数具有稳定性。 由此教材归纳出用样本推断总体的一般方法。设容量为 的样本数据为 ，，，，则样本平均数为 样本方差为 在实际中，就常用样本的平均数 估计总体的平均数，用样本的方差 估计总体的方差。当总体包含的个体很多时，常用样本的平均数乘总个体数，估计总体的总量。教材同时强调，用样本估计总体时应注意两点：一是样本容量要足够大，二是抽取的样本要具有代表性（即随机抽取），只有这样才能保证估计的结果可信、可靠。本节内容把“收集数据—整理数据—分析数据—推断总体”的统计过程完整打通，具有重要的方法价值。 （三）学情分析 九年级学生已经掌握了平均数、中位数、众数、方差等统计量的计算，也学习过抽样调查，具备用样本估计总体的知识基础。但本节内容比较抽象，学生学习时容易出现四方面的困难：一是缺乏“估计”意识，面对“总体无法全面调查”的情境，习惯去想办法算出准确值，不理解为什么要用样本来推断；二是只关注计算，算完样本平均数就以为得到了总体平均数，做题时不写“约”“估计”等字样，把估计值当成确定值；三是不会解释“为什么样本容量越大估计越可靠”，当题目要求说明理由时说不清其中的道理；四是不理解样本的“代表性”，容易被“数量多”迷惑，忽视了随机抽取的重要性。因此，作业设计应遵循“先直观、再计算、后说理”的顺序，通过“看一看、算一算、估一估、想一想”的真实任务，帮助学生在应用中逐步建立用样本推断总体的方法。 （四）设计意图 本次作业分为 A、B、C 三个层级。A 组为基础巩固题，面向全体学生，指向总体、样本、样本容量等基本概念的辨析，样本平均数的计算，以及用样本平均数估计总体平均数，重在“保底”；B 组为能力提升题，指向读图用样本的“率”估计总体的“率”、用样本平均数估计总体总量，以及样本代表性的辨析，重在“提质”；C 组为拓展创新题，指向在破坏性检测等真实情境中选择调查方式、说明估计的可靠性，以及综合运用样本数据作出推断，重在“扬长”。三个层级按照“概念理解—计算估计—读图推断—说理应用”的路径设计，题量精简、情境真实，使不同水平的学生都能获得成功的体验。 三、作业目标 （一）基础目标（必做） （1）理解总体、样本、样本容量的意义，了解用样本估计总体的必要性。 （2）会计算样本平均数，理解样本平均数具有不确定性和稳定性。 （3）会用样本平均数估计总体平均数，知道估计值通常是一个近似值。 （二）提升目标（选做） （4）会用样本的“率”估计总体的“率”，会用样本平均数估计总体的总量。 （5）能通过比较不同样本的平均数，说明样本容量对估计可靠性的影响。 （三）拓展目标（挑战） （6）能在真实情境中判断应采用普查还是抽样调查，能综合运用样本的平均数、方差推断总体，并能说明样本容量和样本代表性对估计结果的影响，体会用样本推断总体的统计思想，发展数据观念和应用意识。 四、作业内容与目标对应表 层级 题号 主要内容与考点 对应目标 A组（基础巩固，必做） 1 用样本估计总体的意义与样本容量 （1）（3） 2 总体、样本、样本容量及用样本平均数估计总体平均数 （1）（3） 3 由数轴图比较样本平均数的波动，体会样本容量与稳定性的关系 （2）（5） 4 由条形统计图计算样本平均数并估计总体平均数 （2）（3） 5 用样本方差估计总体方差并作出判断 （3）（6） B组（能力提升，选做） 6 由频数分布直方图用样本的“率”估计总体的“率” （4） 7 用样本平均数估计总体总量 （4） 8 结合实例辨析样本的代表性 （5）（6） C组（拓展创新，挑战） 9 在破坏性检测情境中选择调查方式，综合推断总体 （1）（6） 10 由扇形统计图用样本的“率”估计总体的“率”，评价抽样方案 （4）（6） 五、作业评价 （一）评价方式 采用“学生自评—同伴互评—教师评价”相结合的方式。学生先独立完成 A 组题并自评，再由同伴互评 B 组题，教师重点关注 C 组题的说理过程，给出激励性评价。 （二）评价标准 等级 评价标准 优秀 能准确理解用样本估计总体的意义，A、B 组题目全部正确，能规范计算样本平均数，能正确地用样本平均数、方差估计总体，能独立完成 C 组拓展题，说理充分、表述规范。 良好 能理解总体、样本、样本容量的意义，A 组题目基本正确，B 组题目能完成大部分，能借助图表对总体作出合理的估计，对 C 组题能提出自己的思路。 合格 能理解用样本估计总体的必要性，会计算样本平均数，A 组题目能完成大部分，在教师或同伴的提示下能完成 B 组题。 待提高 对总体与样本的关系理解还不清晰，能在教师的帮助下完成 A 组基础题。 （三）评价量表 评价维度 评价要点 自我评价 同伴评价 教师评价 基础达标 理解总体、样本，会计算样本平均数并估计总体平均数 ☆☆☆ ☆☆☆ ☆☆☆ 能力提升 会用样本的“率”、平均数估计总体，能说明样本容量的影响 ☆☆☆ ☆☆☆ ☆☆☆ 拓展创新 能选择调查方式，综合推断总体并说明估计的可靠性 ☆☆☆ ☆☆☆ ☆☆☆ 学习品质 书写规范，独立完成，及时订正 ☆☆☆ ☆☆☆ ☆☆☆ 六、试题详情 （一）A组 基础巩固（必做） 1．关于用样本推断总体，下列说法正确的是（　　） A．用样本估计总体时，样本容量越大，估计的结果一般越准确 B．用样本平均数估计总体平均数，样本平均数一定等于总体平均数 C．为了使估计的结果可信，只需使样本容量足够大，与样本的抽取方式无关 D．样本容量就是总体中个体的总数目 2．某市为了解全市 12000 名九年级学生的平均身高，随机抽取了 400 名九年级学生，量得他们的平均身高为 163.2 cm。在这个问题中，样本是＿＿＿＿＿＿＿＿，样本容量是＿＿＿＿，估计该市九年级学生的平均身高约为＿＿＿＿cm。 3．为了估计全校初中女生的平均身高，九年级（1）班的 8 个课外学习小组采用随机抽样的方法，分别抽取容量为 25 和 100 的样本，算得的样本平均数标在数轴上，如图1所示。 图1 （1）容量为 25 和容量为 100 的两组样本平均数，哪一组的波动较小？ （2）如果全校初中女生的平均身高为 160.0 cm，哪一组样本平均数整体上更接近 160.0 cm？ （3）由此你能得出什么规律？用样本估计总体时应注意什么？ 4．某校为了解九年级学生的平均身高，随机抽取了 10 名学生，测得他们的身高（单位：cm）分别为：158，159，160，160，161，161，162，162，163，164。整理成条形统计图，如图2所示。 图2 （1）求这 10 名学生身高的样本平均数； （2）已知该校九年级共有 400 名学生，估计该校九年级学生的平均身高约为多少； （3）如果再抽取 10 名学生，算出的样本平均数与第（1）问的结果一定相同吗？为什么？ 5．工人师傅用车床加工一种直径为 20 mm 的轴，从某天加工的轴中随机抽取了 10 件，测得其直径（单位：mm）分别为：20.1，19.9，20.3，20.2，19.8，19.7，19.9，20.3，20.0，19.8。 （1）求这 10 件轴直径的样本平均数和样本方差； （2）估计这天加工的轴的总体平均数和总体方差； （3）规定当方差不超过 0.05 时，车床生产情况为正常，判断这台车床的生产情况是否正常。 （二）B组 能力提升（选做） 6．某校为了解九年级学生的睡眠情况，随机抽取了 50 名九年级学生，调查他们每天的睡眠时间（单位：h），整理成频数分布直方图，如图3所示。（规定每天睡眠时间不少于 8 h 为“充足”） 图3 （1）样本中睡眠时间“充足”的学生有多少人？占样本的百分比是多少？ （2）若该校九年级共有 800 名学生，估计其中睡眠时间“充足”的学生约有多少人？ （3）你认为用样本估计总体时，抽取的样本应注意什么？ 7．一个苹果园共有 2000 棵树龄相同的苹果树。为了估计今年苹果的总产量，果园主人任意选择了 6 棵苹果树，数出它们挂果的数量（单位：个）分别为：260，340，280，420，360，380。根据往年的经验，平均每个苹果的质量约为 250 g。 （1）求这 6 棵苹果树平均每棵挂果的个数； （2）估计今年这个苹果园苹果的总产量（结果用 kg 表示）。 8．为了估计一批鸡蛋中每个鸡蛋的平均质量，小红专挑个儿大的 30 个鸡蛋，称得总质量为 1.8 kg；小明随意拿出 40 个鸡蛋，称得总质量为 2.2 kg。 （1）分别求小红、小明所选鸡蛋的样本平均数； （2）用样本平均数估计这批鸡蛋的平均质量，谁的结果更客观？为什么？ （3）由此你可以得到什么启示？ （三）C组 拓展创新（挑战） 9．某灯泡厂生产了一批灯泡，为了解这批灯泡的平均使用寿命，质检员从中随机抽取了 20 只灯泡进行使用寿命测试（使用寿命的测试具有破坏性），测得这 20 只灯泡的平均使用寿命为 1000 h。 （1）在这个问题中，为什么不能用普查的方式了解这批灯泡的平均使用寿命？ （2）估计这批灯泡的平均使用寿命约为多少小时？ （3）若把抽取的灯泡数量由 20 只增加到 200 只，估计的结果会更可靠吗？为什么？ （4）质检员在抽取灯泡时，能否只抽取同一台机器生产的灯泡？为什么？ 10．某校为了解九年级 800 名学生最喜欢的体育项目，随机抽取了 200 名学生进行调查（每人只选一项），并把调查结果绘制成扇形统计图，如图4所示。 图4 （1）样本中，最喜欢篮球的学生有多少人？ （2）估计该校九年级 800 名学生中，最喜欢篮球的学生约有多少人？ （3）如果改为从全校九年级学生中估计最喜欢足球的人数，能不能只调查九年级（1）班的学生？为什么？ 七、答案与解析 （一）A组 基础巩固 1．A 解析：样本容量越大，样本对总体的代表性越强，用样本估计总体时结果一般越准确，故 A 正确；样本平均数只是总体平均数的估计值，由于抽样的任意性，两者一般并不相等，故 B 错误；除样本容量要足够大以外，抽取的样本还必须具有代表性（即要随机抽取），否则估计的结果不可信，故 C 错误；样本容量是样本中个体的数目，不等于总体中个体的数目，故 D 错误。故选 A。 说明：用样本估计总体时，样本容量要大、样本要有代表性，这两个条件缺一不可。 2．抽取的 400 名九年级学生的身高；400；163.2 解析：总体是所要考察的对象的全体，本题中总体是该市 12000 名九年级学生的身高；样本是从总体中抽取的一部分个体，本题中是抽取的 400 名九年级学生的身高；样本容量是样本中个体的数目，是 400。用样本平均数估计总体平均数，该市九年级学生的平均身高约为 163.2 cm。 说明：样本容量是一个没有单位的数，不要写成“400 名”。 3．（1）容量为 100 的一组样本平均数波动较小。 （2）容量为 100 的一组样本平均数整体上更接近 160.0 cm。 （3）规律：由于抽样的任意性，容量相同的不同样本，算得的样本平均数一般并不相同（样本平均数具有不确定性）；当样本容量较小时，不同样本的平均数的差异可能较大，而当样本容量增大时，样本平均数的波动变小，逐渐接近总体的平均数并趋于稳定（样本平均数具有稳定性）。用样本估计总体时应注意：一是样本容量要足够大，二是抽取的样本要具有代表性（即要随机抽取），这样才能保证估计的结果可信、可靠。 解析：观察图1，容量为 25 的一组样本平均数分散在 158.5～161.5 之间，极差为 3.0；容量为 100 的一组样本平均数集中在 159.0～161.0 之间，极差为 2.0，波动明显较小，也更靠近 160.0 cm 这条虚线。 说明：样本平均数的波动大小，反映了用样本平均数估计总体平均数的可靠程度。波动越小，估计越可靠。 4．（1）这 10 名学生身高的样本平均数为 （cm）。 （2）用样本平均数估计总体平均数，该校九年级学生的平均身高约为 161 cm。 （3）不一定相同。由于抽样的任意性，容量相同的不同样本，算得的样本平均数一般并不相同；而且本题中样本容量较小（只有 10 人），不同样本的平均数差异可能还比较大。要使估计的结果更可靠，应适当增大样本容量（并保证随机抽取）。 解析：第（1）问按样本平均数为“各数据之和除以样本容量”计算；第（2）问把样本平均数作为总体平均数的估计值；第（3）问考查样本平均数的不确定性，并结合样本容量对估计可靠性的影响作答。 说明：用样本平均数估计总体平均数时，得到的是一个近似值，书写结果时通常要带上“约”字。 5．（1）样本平均数为 （mm）。 样本方差为 。 （2）总体平均数的估计值约为 20.0 mm，总体方差的估计值约为 0.042。 （3）因为 ，所以可以认为这台车床的生产情况正常。 解析：先用样本数据算出样本平均数和样本方差，再把它们分别作为总体平均数和总体方差的估计值；最后把估得的方差与规定的界限 0.05 比较，作出判断。 说明：用样本方差估计总体方差，是生产中判断质量是否稳定的常用方法。方差反映了数据的波动程度，方差越小说明加工越稳定。 （二）B组 能力提升 6．（1）睡眠时间“充足”即每天睡眠时间不少于 8 h，样本中相应的人数为 （人），占样本的百分比为 。 （2）用样本的“率”估计总体的“率”，该校九年级 800 名学生中睡眠时间“充足”的约有 （人）。 （3）抽取的样本要具有代表性（应随机抽取），样本容量要足够大，这样才能保证用样本估计总体的结果可信、可靠。 解析：从频数分布直方图可以看出，样本中睡眠时间在 [8,9) 的人数最多。把落在 [8,10] 和 [10,11] 的频数相加，即得“充足”人数；再用样本中“充足”所占的百分比乘总人数，估计总体中相应的人数。 说明：当数据较多并以分组形式给出时，可以借助频数分布直方图，用样本中某一范围所占的“率”估计总体中该范围所占的“率”，进而估计总体的数量。 7．（1）这 6 棵苹果树平均每棵挂果的数量为 （个）。 （2）平均每棵树挂果 340 个，每个苹果的质量约为 250 g kg，所以平均每棵树的产量约为 （kg）。由样本平均数估计总体平均数，2000 棵苹果树的总产量约为 （kg）。 答：估计今年这个苹果园苹果的总产量约为 170000 kg。 解析：要估计总产量，先用样本平均数估计出“平均每棵树的产量”这一总体平均数，再乘总棵数。注意先把质量单位统一成 kg。 说明：用样本平均数估计总体总量时，一般先估计出总体平均数，再乘总个体数，即“总量 样本平均数 总个体数”。 8．（1）小红所选鸡蛋的样本平均数为 （g）；小明所选鸡蛋的样本平均数为 （g）。 （2）小明的结果更客观（约为 55 g）。因为小明是随意（随机）抽取的，样本具有代表性，能反映这批鸡蛋的一般情况；而小红专挑个儿大的鸡蛋，样本不具有代表性，得到的估计值偏高。 （3）启示：用样本估计总体时，抽取的样本必须具有代表性（要随机抽取），否则即使样本容量不小，估计的结果也不可信。 解析：比较两人的抽样方式可以发现，结果是否客观不取决于样本容量的大小，而主要取决于样本是否随机、是否具有代表性。 说明：“随意抽取”不等于“随便抽取”，它指的是排除主观因素、使每个个体都有同等机会被抽到，这样的样本才有代表性。 （三）C组 拓展创新 9．（1）因为测试灯泡的使用寿命具有破坏性，若进行普查，这一批灯泡都会被损坏，将无法销售。所以不能用普查，只能采用抽样调查，用样本估计总体。 （2）用样本平均数估计总体平均数，这批灯泡的平均使用寿命约为 1000 h。 （3）会更可靠。样本容量越大，样本平均数的波动越小，样本对总体的代表性越强，用样本平均数估计总体平均数就越准确、越可靠。 （4）不能。只抽取同一台机器生产的灯泡，这样的样本不具有代表性，不能代表整批灯泡的总体情况。抽取样本时应随机抽取，使样本具有代表性，才能保证估计的结果可信。 解析：本题综合考查“为什么抽样”“怎样抽样”两个问题。第（1）问从破坏性检测的角度说明必须抽样；第（2）问用样本平均数估计总体平均数；第（3）问说明样本容量对估计可靠性的影响；第（4）问从样本代表性的角度说明不能只取一台机器的产品。 说明：判断能否全面调查，关键看调查是否具有破坏性、总体是否过大、成本是否过高；而抽样时，样本的随机性与代表性是保证估计可靠的前提。 10．（1）样本中，最喜欢篮球的学生有 （人）。 （2）用样本的“率”估计总体的“率”，该校九年级 800 名学生中，最喜欢篮球的约有 （人）。 （3）不能。只调查九年级（1）班的学生，样本容量偏小，而且该班的情况不一定能代表全校九年级的情况，样本不具有代表性。应从全校九年级学生中随机抽取一定数量的学生进行调查，使样本具有代表性，估计的结果才可信。 解析：扇形统计图直接给出了样本中各项所占的百分比。用样本中某项所占的百分比乘总体数量，即可估计总体中该项的数量。 说明：用样本的“率”估计总体的“率”，是用样本推断总体的一种重要方法。估计是否符合实际，同样取决于样本是否随机、容量是否足够大。 学科网（北京）股份有限公司 $