第五章 三角函数单元检测卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第五章 三角函数 (时间：120分钟　满分：150分) 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．某学校大门口有一座钟楼，每到夜晚灯光亮起都是一道靓丽的风景，有一天因停电导致钟表慢了10分钟，则将钟表拨快到准确时间分针所转过的弧度数是 (　　) A.－ B．－ C． D． 2．如果角α的终边过点P(2sin 30°，－2cos 30°)，那么sin α＝ (　　) A.－ B． C.－ D．－ 3．(2026·三明一中模拟)已知tan α＝－3，则sin (＋α)·sin α＝ (　　) A.－ B．－ C. D． 4．(2024·全国甲卷)已知＝，则tan (α＋)＝ (　　) A.2＋1 B．2－1 C. D．1－ 5．(2026·永州高一期末)已知函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)的图象的一部分如图1所示，则图2中的函数图象对应的函数是 (　　) A.y＝f(2x－) B．y＝f(－) C.y＝f(－1) D．y＝f(2x－1) 6．(2024·天津卷)下列函数是偶函数的是 (　　) A.f(x)＝ B．f(x)＝ C.f(x)＝ D．f(x)＝ 7．已知函数f＝sin (2<ω<5)的图象关于直线x＝对称，则f的一个单调递减区间为 (　　) A. B． C. D． 8．(2022·新高考 Ⅰ 卷)记函数f(x)＝sin (ωx＋)＋b(ω>0)的最小正周期为T.若<T<π，且y＝f(x)的图象关于点(，2)中心对称，则f()＝ (　　) A.1 B． C． D．3 二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．下列结论正确的是 (　　) A.－是第三象限角 B.若圆心角为的扇形的弧长为π，则该扇形面积为 C.若角α的终边过点P(－3，4)，则cos α＝－ D.若角α为锐角，则角2α为钝角 10．已知tan θ＝2，则下列结论正确的是 (　　) A.tan (π－θ)＝－2 B．tan (π＋θ)＝－2 C.＝－ D．sin 2θ＝ 11．(2026·安庆高一期末)已知函数f(x)＝lg sinx，则 (　　) A.函数f(x)是周期函数，最小正周期为2π B.函数f(x)是奇函数 C.函数f(x)有最大值，无最小值 D.函数f(x)在(2kπ，2kπ＋)(k∈Z)上单调递增 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中的横线上) 12．已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(其中A>0，ω>0，<)的部分图象如图所示，将函数f(x)图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g(x)＝ x． 13．(2026·贺州高一期中)若cos α＝，cos(α＋β)＝，且α，β均为锐角，则sin α＝，sin β＝ ． 14．(2026·柳州高一检测)设f(x)＝3sin (ωx－)＋1(ω＞0)，若f(x)在[－，]上单调递增，则ω的取值范围是 ． 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(13分)(1)已知角α以x轴的非负半轴为始边，P(－1，2)为其终边上一点．求 的值； (2)已知α，β都是锐角，cos α＝，sin (α－β)＝，求cos β的值． 16．(15分)已知函数f(x)＝sin (2x－). (1)请用“五点法”画出函数f(x)在一个周期的闭区间上的简图； (2)求函数f(x)的单调递增区间； (3)试问f(x)是由g(x)＝sin x经过怎样的变换得到的？ 17．(15分)已知甲、乙两车间的污水瞬时排放量y(单位：m3/h)关于时间t(单位：h)的关系均近似地满足函数y＝A sin ＋b(A>0，ω>0，0<φ<π).其图象如图所示． (1)根据图象求函数解析式； (2)若甲车间先投产，1 h后乙车间再投产，求两车间同时投产时的最大污水排放量． 18．(17分)(2026·长沙高一期末)已知函数f(x)＝sin (2x＋)＋sin (2x－)＋2cos2x－1，x∈R. (1)求函数f(x)的最小正周期和f(x)图象的对称轴方程； (2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到g(x)的图象，求函数y＝g(x)＋2cosx在[0，]上的值域． 19．(17分)已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0，|φ|＜)的一系列对应值如下表： x － f(x) －1 1 3 1 －1 1 3 (1)根据表格提供的数据求函数f(x)的解析式；(2)根据(1)的结果，若函数y＝f(kx)(k＞0)的周期为，当x∈[0，]时，方程f(kx)＝m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围． 第五章 三角函数 (时间：120分钟　满分：150分) 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．某学校大门口有一座钟楼，每到夜晚灯光亮起都是一道靓丽的风景，有一天因停电导致钟表慢了10分钟，则将钟表拨快到准确时间分针所转过的弧度数是 (　A　) A.－ B．－ C． D． 解析：分针需要顺时针方向旋转60°，即弧度数为－. 2．如果角α的终边过点P(2sin 30°，－2cos 30°)，那么sin α＝ (　C　) A.－ B． C.－ D．－ 解析：由题意得P(1，－)，它与原点的距离为2，∴sin α＝－. 3．(2026·三明一中模拟)已知tan α＝－3，则sin (＋α)·sin α＝ (　B　) A.－ B．－ C. D． 解析：sin (＋α)·sin α＝sin α·cos α＝＝＝－.故选B. 4．(2024·全国甲卷)已知＝，则tan (α＋)＝ (　B　) A.2＋1 B．2－1 C. D．1－ 解析：根据题意有＝，即1－tan α＝，所以tan α＝1－，所以tan (α＋)＝＝＝2－1.故选B. 5．(2026·永州高一期末)已知函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)的图象的一部分如图1所示，则图2中的函数图象对应的函数是 (　D　) A.y＝f(2x－) B．y＝f(－) C.y＝f(－1) D．y＝f(2x－1) 解析：图1的横坐标先缩短为原来的，再向右平移个单位长度，纵坐标均不改变，可得到图2对应的图象，所以图2对应的函数解析式为y＝f(2x－1).故选D. 6．(2024·天津卷)下列函数是偶函数的是 (　B　) A.f(x)＝ B．f(x)＝ C.f(x)＝ D．f(x)＝ 解析：通解　对于A选项，f(－x)＝＝≠f(x)，故f(x)不是偶函数；对于B选项，f(－x)＝＝＝f(x)，故f(x)是偶函数；对于C选项，f(x)的定义域为{x|x≠－1}，不关于原点对称，故f(x)不是偶函数；对于D选项，f(－x)＝＝＝－＝－f(x)，故f(x)是奇函数．故选B. 优解一(特殊值法)　对于A选项，f(1)＝＝，f(－1)＝＝，f(1)≠f(－1)，故f(x)不是偶函数；对于B选项，f(－x)＝＝＝f(x)，故f(x)是偶函数；对于C选项，f(x)的定义域为{x|x≠－1}，不关于原点对称，故f(x)不是偶函数；对于D选项，f(π)＝＝，f(－π)＝＝，f(π)≠f(－π)，故f(x)不是偶函数．故选B. 优解二(性质法)　易知y＝x2＋1与y＝e|x|均为偶函数，且恒为正． 对于A选项，由于y＝ex－x2是非奇非偶函数，所以f(x)也是非奇非偶函数；对于B选项，y＝cos x＋x2是偶函数，所以f(x)是偶函数；对于C选项，易知f(x)的定义域不关于原点对称，所以f(x)是非奇非偶函数；对于D选项，y＝sin x＋4x是奇函数，所以f(x)是奇函数．故选B. 7．已知函数f＝sin (2<ω<5)的图象关于直线x＝对称，则f的一个单调递减区间为 (　A　) A. B． C. D． 解析：由题意得ω＋＝kπ＋，k∈Z， 解得ω＝6kπ＋π，k∈Z， 因为2<ω<5，所以k＝0，ω＝π， 故f＝sin ， 令2kπ＋≤πx＋≤2kπ＋，k∈Z， 解得2k＋≤x≤2k＋，k∈Z， 当k＝0时，≤x≤，经检验，其余选项无法满足． 故f的一个单调递减区间为. 8．(2022·新高考 Ⅰ 卷)记函数f(x)＝sin (ωx＋)＋b(ω>0)的最小正周期为T.若<T<π，且y＝f(x)的图象关于点(，2)中心对称，则f()＝ (　A　) A.1 B． C． D．3 解析：由函数的最小正周期T满足<T<π，得<<π，解得2<ω<3，又因为函数图象关于点(，2)中心对称，所以ω＋＝kπ，k∈Z，且b＝2，所以ω＝－＋，k∈Z，令2＜－＋k＜3，解得＜k＜.又因为k∈Z，所以k＝4，所以ω＝，f(x)＝sin (x＋)＋2，所以f()＝sin (＋)＋2＝1.故选A. 二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．下列结论正确的是 (　BC　) A.－是第三象限角 B.若圆心角为的扇形的弧长为π，则该扇形面积为 C.若角α的终边过点P(－3，4)，则cos α＝－ D.若角α为锐角，则角2α为钝角 解析：选项A，－的终边与相同，为第二象限角，所以A错误；选项B，设扇形的半径为r，r＝π，所以r＝3，扇形面积为×3×π＝，所以B正确；选项C，角α的终边过点P(－3，4)，根据三角函数的定义，cos α＝－，所以C正确； 选项D，当角α为锐角时，0<α<，0<2α<π，所以D错误． 10．已知tan θ＝2，则下列结论正确的是 (　ACD　) A.tan (π－θ)＝－2 B．tan (π＋θ)＝－2 C.＝－ D．sin 2θ＝ 解析：对于A选项，tan (π－θ)＝－tan θ＝－2，故A选项正确；对于B选项，tan (π＋θ)＝tan θ＝2，故B选项错误；对于C选项，＝＝＝－，故C选项正确；对于D选项，sin 2θ＝2sin θcos θ＝＝＝＝，故D选项正确．故选ACD. 11．(2026·安庆高一期末)已知函数f(x)＝lg sinx，则 (　ACD　) A.函数f(x)是周期函数，最小正周期为2π B.函数f(x)是奇函数 C.函数f(x)有最大值，无最小值 D.函数f(x)在(2kπ，2kπ＋)(k∈Z)上单调递增 解析：由sin x＞0得2kπ＜x＜2kπ＋π，k∈Z， 所以函数f(x)的定义域为(2kπ，2kπ＋π)(k∈Z)，定义域不关于原点对称，所以函数f(x)是非奇非偶函数，B错误； 又f(x＋2π)＝f(x)，所以函数f(x)是周期函数且最小正周期为2π，A正确； 又0＜sin x≤1，所以f(x)＝lg sin x∈(－∞，0]，于是函数f(x)有最大值0，无最小值，C正确； 因u＝sin x在(2kπ，2kπ＋)(k∈Z)上单调递增，所以函数f(x)在(2kπ，2kπ＋)(k∈Z)上单调递增，D正确．故选ACD. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中的横线上) 12．已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(其中A>0，ω>0，<)的部分图象如图所示，将函数f(x)图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g(x)＝2cos_2x． 解析：由函数图象可知－＝T， 即－＝×，解得ω＝2，函数f(x)的最大值为2，则A＝2， 所以函数解析式为f(x)＝2sin (2x＋φ)， 将点代入解析式得 2sin (2×＋φ)＝2， 则2×＋φ＝2kπ＋， 解得φ＝2kπ－， 又因为<， 所以k＝0时，φ＝－， 所以函数解析式为f(x)＝2sin (2x－)，将函数f(x)图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数g＝2sin ＝2sin ＝2cos 2x. 13．(2026·贺州高一期中)若cos α＝，cos(α＋β)＝，且α，β均为锐角，则sin α＝，sin β＝． 解析：∵α，β均为锐角，∴0＜α＋β＜π， 又∵cos (α＋β)＝＞0，∴0＜α＋β＜， ∴sin (α＋β)＝＝， sinα＝＝， ∴sinβ＝sin (α＋β－α) ＝sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin α ＝×－×＝. 14．(2026·柳州高一检测)设f(x)＝3sin (ωx－)＋1(ω＞0)，若f(x)在[－，]上单调递增，则ω的取值范围是(0，]． 解析：f(x)＝3sin (ωx－)＋1，当x∈[－，]时，ωx－∈[－－，－]， 由于f(x)为增函数， 所以 即又因为ω＞0，所以0＜ω≤. 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(13分)(1)已知角α以x轴的非负半轴为始边，P(－1，2)为其终边上一点．求 的值； (2)已知α，β都是锐角，cos α＝，sin (α－β)＝，求cos β的值． 解：(1)原式＝ ＝tan α＝＝－2. (2)由0<α<，0<β<，可得－<α－β<， 又由cos α＝，sin (α－β)＝， 有sin α＝＝＝， cos(α－β)＝＝＝， cosβ＝cos [α－(α－β)] ＝cos αcos (α－β)＋sin αsin (α－β) ＝×＋×＝. 16．(15分)已知函数f(x)＝sin (2x－). (1)请用“五点法”画出函数f(x)在一个周期的闭区间上的简图； (2)求函数f(x)的单调递增区间； (3)试问f(x)是由g(x)＝sin x经过怎样的变换得到的？ 解：(1)列表如下： 2x－ 0 π 2π x f(x) 0 1 0 －1 0 描点连线，图象如图所示． (2)令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以函数f(x)的单调递增区间是[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z. (3)先将g(x)的图象向右平移个单位长度，再将所得函数图象的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，即可得到函数f(x)的图象． 17．(15分)已知甲、乙两车间的污水瞬时排放量y(单位：m3/h)关于时间t(单位：h)的关系均近似地满足函数y＝A sin ＋b(A>0，ω>0，0<φ<π).其图象如图所示． (1)根据图象求函数解析式； (2)若甲车间先投产，1 h后乙车间再投产，求两车间同时投产时的最大污水排放量． 解：(1)由图可得A＝＝2，b＝＝4， ∵＝6，∴ω＝， 将代入y＝2sin ＋4，得sin φ＝1， 又∵0<φ<π，∴φ＝， ∴y＝2sin ＋4＝2cos t＋4， 所求函数的解析式为y＝2cos t＋4. (2)设两车间同时投产t时刻的污水排放量为甲、乙两车间污水排放量之和为W m3，此时甲车间污水排放量为[2cos ＋4]m3，乙车间污水排放量为(2cos t＋4)m3， 故t时刻的污水排放量 W＝2cos ＋2cos t＋8 ＝2cos cos －2sin sin ＋2cos ＋8 ＝3cos －sin ＋8 ＝2cos ＋8， ∴W＝2cos ＋8，t≥0. 故两车间同时投产时的最大污水排放量为2＋8 m3. 18．(17分)(2026·长沙高一期末)已知函数f(x)＝sin (2x＋)＋sin (2x－)＋2cos2x－1，x∈R. (1)求函数f(x)的最小正周期和f(x)图象的对称轴方程； (2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到g(x)的图象，求函数y＝g(x)＋2cosx在[0，]上的值域． 解：(1)f(x)＝sin (2x＋)＋sin (2x－)＋2cos2x－1＝sin2x cos ＋cos 2x sin ＋sin 2x cos －cos 2x sin ＋cos 2x＝sin 2x＋cos 2x＝sin (2x＋)， 函数f(x)的最小正周期T＝＝π. 令2x＋＝＋kπ，k∈Z，解得x＝＋(k∈Z). 所以f(x)图象的对称轴方程为x＝＋(k∈Z). (2)由题知g(x)＝sin [2(x－)＋]＝sin (2x－)＝－cos 2x， 则y＝－cos 2x＋2cos x＝－(2cos2x－1)＋2cosx＝－2cos2x＋2cosx＋，x∈[0，]， 令t＝cos x，t∈[0，1]， 则y＝－2t2＋2t＋＝－2(t－)2＋， 当t＝时，ymax＝；当t＝1时，ymin＝2－. 综上可知，所求值域为[2－，]. 19．(17分)已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0，|φ|＜)的一系列对应值如下表： x － f(x) －1 1 3 1 －1 1 3 (1)根据表格提供的数据求函数f(x)的解析式；(2)根据(1)的结果，若函数y＝f(kx)(k＞0)的周期为，当x∈[0，]时，方程f(kx)＝m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围． 解：(1)设f(x)的最小正周期为T，得 T＝－(－)＝2π， 由T＝，得ω＝1.又解得 令ω·＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，即φ＝－＋2kπ(k∈Z)， 又|φ|＜，∴φ＝－， ∴f(x)＝2sin (x－)＋1. (2)∵函数y＝f(kx)＝2sin (kx－)＋1的周期为， 又k＞0，∴k＝3，令t＝3x－， ∵x∈[0，]，∴t∈[－，]. 如图，sin t＝s在[－，]上有两个不同的解， 则s∈[，1). ∴方程f(kx)＝m在x∈[0，]时恰好有两个不同的解，则m∈[＋1，3)，即实数m的取值范围是[＋1，3). 学科网（北京）股份有限公司 $