第五章 三角函数 单元检测卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

人教A版本2019高中数学选择性必修一 第五章 三角函数 综合测试卷 满分 150 分　　考试时间 120 分钟 姓名：＿＿＿＿　班级：＿＿＿＿　考号：＿＿＿＿　得分：＿＿＿＿ 题号 一 二 三 四 总分 得分 注意事项： 1．答题前，请考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在本试卷指定位置上。 2．选择题请将所选答案填涂在题号后的括号内；非选择题请将答案写在试卷相应位置上，作图时须使用黑色字迹签字笔。 一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．若角 的终边与单位圆交于点 ，则下列各角中与 终边相同的是（　　） A．　　 B．　　 C．　　 D． 2．已知角 的终边上一点 ，则 的值为（　　） A．　　 B．　　 C．　　 D． 3．已知 ，则 的值为（　　） A．　　 B．　　 C．　　 D． 4．函数 的单调递增区间为（　　） A．　　 B．　　 C．　　 D． 5．如图，在单位圆 中，角 的终边与单位圆交于点 ，过点 作 轴的垂线， 垂足为 ；过点 作单位圆的切线，与角 的终边所在直线交于点 。若 ，则下列不等关系中正确的是（　　） 图 1 A．　　 B．　　 C．　　 D． 6．已知 ，且 ，则 的值为（　　） A．　　 B．　　 C．　　 D． 7．已知 ，，则 的值为（　　） A．　　 B．　　 C．　　 D． 8．已知函数 （，，）的部分图象如图所示，则 的解析式为（　　） 图 2 A．　　 B．　　 C．　　 D． 二、多项选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分。） 9．已知函数 ，则（　　） A． 的最小正周期为 　　 B． 在区间 上单调递增　　 C． 的图象关于点 中心对称　　 D． 的图象关于直线 对称 10．下列结论中正确的是（　　） A．　　 B．　　 C．　　 D．函数 的最大值为 11．已知函数 ，其部分图象如图所示，则（　　） 图 3 A． 的最小正周期为 　　 B． 的定义域为 　　 C． 在区间 上单调递增　　 D． 的图象关于直线 对称 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。） 12．已知扇形的圆心角为 rad，所对的弧长为 ，则其面积为＿＿＿＿＿． 13． 的值为＿＿＿＿＿． 14．已知函数 （）在区间 上恰有 个零点，则实数 的取值范围是＿＿＿＿＿． 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．（13 分）已知 。 （1）（5 分）化简 ； （2）（8 分）若 ，且 为第三象限角，求 的值。 16．（15 分）已知函数 （，）的最小正周期为 ，且直线 是其图象的一条对称轴。 （1）（5 分）求 的解析式； （2）（5 分）求 的单调递增区间； （3）（5 分）求 在区间 上的值域。 17．（15 分）已知 ，，。 （1）（6 分）求 与 的值； （2）（9 分）求角 的大小。 18．（17 分）如图，某游乐场摩天轮的轮盘半径为 m，轮轴（轮盘中心） 距 地面 m。摩天轮按逆时针方向匀速转动，每 min 转动一周。观光舱 从最低点处出发（记此时 ， 的单位为 min），设 离地面的高度为 （单位：m）。 图 4 （1）（6 分）求 关于 的函数解析式； （2）（5 分）求 与 时观光舱离地面的高度； （3）（6 分）在摩天轮转动一周的过程中，求观光舱离地面的高度不低于 m 的持续时间。 19．（17 分）已知函数 。 （1）（5 分）求 的最小正周期与单调递增区间； （2）（6 分）若关于 的方程 在区间 上有两个不同的实数解，求实数 的取值范围； （3）（6 分）若不等式 对任意 恒成立，求实数 的取值范围。 学科网（北京）股份有限公司 $人教A版本2019高中数学选择性必修一 第五章 三角函数 综合测试卷 满分 150 分　　考试时间 120 分钟 姓名：＿＿＿＿　班级：＿＿＿＿　考号：＿＿＿＿　得分：＿＿＿＿ 题号 一 二 三 四 总分 得分 注意事项： 1．答题前，请考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在本试卷指定位置上。 2．选择题请将所选答案填涂在题号后的括号内；非选择题请将答案写在试卷相应位置上，作图时须使用黑色字迹签字笔。 一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．若角 的终边与单位圆交于点 ，则下列各角中与 终边相同的是（　　） A．　　 B．　　 C．　　 D． 2．已知角 的终边上一点 ，则 的值为（　　） A．　　 B．　　 C．　　 D． 3．已知 ，则 的值为（　　） A．　　 B．　　 C．　　 D． 4．函数 的单调递增区间为（　　） A．　　 B．　　 C．　　 D． 5．如图，在单位圆 中，角 的终边与单位圆交于点 ，过点 作 轴的垂线， 垂足为 ；过点 作单位圆的切线，与角 的终边所在直线交于点 。若 ，则下列不等关系中正确的是（　　） 图 1 A．　　 B．　　 C．　　 D． 6．已知 ，且 ，则 的值为（　　） A．　　 B．　　 C．　　 D． 7．已知 ，，则 的值为（　　） A．　　 B．　　 C．　　 D． 8．已知函数 （，，）的部分图象如图所示，则 的解析式为（　　） 图 2 A．　　 B．　　 C．　　 D． 二、多项选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分。） 9．已知函数 ，则（　　） A． 的最小正周期为 　　 B． 在区间 上单调递增　　 C． 的图象关于点 中心对称　　 D． 的图象关于直线 对称 10．下列结论中正确的是（　　） A．　　 B．　　 C．　　 D．函数 的最大值为 11．已知函数 ，其部分图象如图所示，则（　　） 图 3 A． 的最小正周期为 　　 B． 的定义域为 　　 C． 在区间 上单调递增　　 D． 的图象关于直线 对称 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。） 12．已知扇形的圆心角为 rad，所对的弧长为 ，则其面积为＿＿＿＿＿． 13． 的值为＿＿＿＿＿． 14．已知函数 （）在区间 上恰有 个零点，则实数 的取值范围是＿＿＿＿＿． 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．（13 分）已知 。 （1）（5 分）化简 ； （2）（8 分）若 ，且 为第三象限角，求 的值。 16．（15 分）已知函数 （，）的最小正周期为 ，且直线 是其图象的一条对称轴。 （1）（5 分）求 的解析式； （2）（5 分）求 的单调递增区间； （3）（5 分）求 在区间 上的值域。 17．（15 分）已知 ，，。 （1）（6 分）求 与 的值； （2）（9 分）求角 的大小。 18．（17 分）如图，某游乐场摩天轮的轮盘半径为 m，轮轴（轮盘中心） 距 地面 m。摩天轮按逆时针方向匀速转动，每 min 转动一周。观光舱 从最低点处出发（记此时 ， 的单位为 min），设 离地面的高度为 （单位：m）。 图 4 （1）（6 分）求 关于 的函数解析式； （2）（5 分）求 与 时观光舱离地面的高度； （3）（6 分）在摩天轮转动一周的过程中，求观光舱离地面的高度不低于 m 的持续时间。 19．（17 分）已知函数 。 （1）（5 分）求 的最小正周期与单调递增区间； （2）（6 分）若关于 的方程 在区间 上有两个不同的实数解，求实数 的取值范围； （3）（6 分）若不等式 对任意 恒成立，求实数 的取值范围。 参考答案与解析 一、单项选择题 1．B　【解析】由 知 ，，故 为第四象限角，（），故选 B。 2．B　【解析】由三角函数定义，，，，。分子 ；分母 。故原式 ，故选 B。 3．B　【解析】因 ，故 ，故选 B。 4．A　【解析】由 ，解得 （），故选 A。 5．B　【解析】在单位圆中，，，。当 时，；又由单位圆中三角函数线与扇形面积的关系（教材 5.2 节）可得 。故 ，即 ，故选 B。 6．A　【解析】将 两边平方，得 ，即 。又 ，故 ，此时 ，，所以 。由 ，得 ，故选 A。 7．A　【解析】因 ，由两角差的正切公式得 ，故选 A。 8．A　【解析】由图象最高点纵坐标为 ，得 ；图象上升时的零点 与相邻最高点 的横坐标相距 ，即 ，故 ，。由 且 ，取 得 。故 ，故选 A。 二、多项选择题 9．ACD　【解析】A 项：，正确。B 项：当 时，，正弦函数先增后减， 不单调，错误。C 项：，故点 为对称中心，正确。D 项： 为最小值，故直线 为对称轴，正确。故选 ACD。 10．AD　【解析】A 项：，正确。B 项：，错误。C 项：，故 ，错误。D 项：，最大值为 ，正确。故选 AD。 11．AB　【解析】A 项：，正确。B 项：由 得 （），正确。C 项：区间 内含有渐近线 ，函数在其上不连续，故不单调，错误。D 项：正切函数图象是中心对称图形，但不是轴对称图形，无对称轴，错误。故选 AB。 三、填空题 12．　【解析】由弧长公式 得 ，故 。 13．　【解析】，故原式 。 14．　【解析】当 时，。 的零点满足 （），即需 ，等价于 。恰有 个零点，即 满足而 不满足： 且 ，故 。 四、解答题 15．（1），其中 （）；（2）。 【解析】（1）分子中 ，，；分母中 ，。故 （其中 ，，即 ，）。 （2）由 ，得 。又 为第三象限角，故 ，。所以 。 【评分建议】（1）正确写出各诱导公式的变形得 3 分，化简结果正确得 2 分；（2）求出 得 2 分，求出 得 3 分，求出 得 1 分，结论正确得 2 分。 16．（1）；（2）单调递增区间为 （）；（3）值域为 。 【解析】（1）由 得 。由直线 是对称轴，得 ，即 。又 ，取 得 。故 。 （2）由 ，得 ，故 的单调递增区间为 （）。 （3）当 时，，此时 的取值范围为 ，故 的值域为 。 【评分建议】（1）求出 得 2 分，求出 得 2 分，写出解析式得 1 分；（2）正 确列出不等式得 3 分，区间正确得 2 分；（3）正确列出相位的范围得 3 分，值域正确得 2 分。 17．（1），；（2）。 【解析】（1）由 且 ，得 。由 知 ，故 。 （2），故 。又 ，所以 。 【评分建议】（1）求出 得 3 分，求出 得 3 分；（2）正确实施角的变换得 5 分，求出 得 2 分，得出 得 2 分。 18．（1）（，单位：m）；（2） m， m；（3）持续时间为 min。 【解析】（1）观光舱最高离地 （m），最低离地 （m），故可设 。由每 min 转动一周得 。由 时 ，得 ，，取 。故 （）。 （2）（m）；（m）。 （3）令 ，得 。在一周内 ，，解得 ，即 。故高度不低于 m 的持续时间为 （min）。 【评分建议】（1）求出 得 2 分，求出 得 2 分，确定初相并化简得解析式得 2 分；（2）求出 得 2 分，求出 及近似值得 3 分；（3）正确列出不等式得 3 分，解出 的范围得 2 分，得出持续时间得 1 分。 19．（1），单调递增区间为 （）；（2）；（3）。 【解析】（1）。故最小正周期 。由 ，得 ，故单调递增区间为 （）。 （2）当 时，， 在 上由 递增到最大值 ，在 上由 递减到 。方程 有两个不同的实数解，等价于水平直线 与 在该区间上的图象有两个不同交点，故 ，即 。 （3）记 ，当 取遍 时 取遍 。，故不等式对任意 恒成立等价于 ，即 。 【评分建议】（1）化简为 得 2 分，周期正确得 1 分，单调区间正确得 2 分；（2）正确分析图象的升降与端点值得 3 分，得出 的范围得 3 分（端点 取到、 取不到，各占 1 分）；（3）化为辅助角形式得 3 分，求出最小值并得出 的范围得 3 分。 学科网（北京）股份有限公司 $