第三章 函数概念与性质单元检测卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第三章 函数概念与性质 (时间：120分钟　满分：150分) 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．(2026·西宁高一期末)函数y＝的定义域为 (　　) A.{x∈R|x≠0} B．{x∈R|x≠1} C.{x∈R|x≠－1} D．{x∈R|x≠0且x≠1} 2．下列四组函数中，表示同一个函数的一组是 (　　) A.f(x)＝，g(x)＝x＋1 B.f(x)＝，g(x)＝()2 C.f(x)＝|x|，g(x)＝ D.f(x)＝·，g(x)＝ 3．若函数f(2x＋1)＝6x＋4，则f(x)＝ (　　) A.3x＋1 B．3x－1 C.6x＋1 D．6x＋3 4．(2026·抚顺高一期末)已知函数f(x)＝则f(f(－1))＝ (　　) A.－2 B．0 C．2 D．6 5．(2026·柳州高一检测)f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，且f(－1)＋g(1)＝4，f(1)＋g(－1)＝2，则g(1)＝ (　　) A.3 B．－1 C．1 D．－3 6．若函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是 (　　) A.(－∞，) B．(，＋∞) C.(－∞，1) D．(1，＋∞) 7．已知偶函数f(x)的定义域为R，对任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，均有<0，且f(1)＝0，则满足f(2x－3)>0的x的取值范围是 (　　) A.(2，＋∞) B.(1，2) C.(－∞，1)∪(2，＋∞) D.[0，2) 8．如图，△OAB是边长为2的正三角形，记△OAB位于直线x＝t(0≤t≤2)左侧的图形的面积为f(t).则函数y＝f(t)的图象大致为 (　　) 二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．关于函数f(x)＝，下列结论正确的是 (　　) A.f(x)的图象过原点 B.f(x)是奇函数 C.f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减 D.f(x)是定义域上的增函数 10．下列条件中，可以作为“函数f＝在R上单调递增”的充分不必要条件的有 (　　) A.m∈ B．m∈ C.m∈ D．m∈ 11．(2026·通化高一期末)函数f(x)的定义域为R，且满足f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)，f(4)＝－1，则下列结论正确的有 (　　) A.f(0)＝0 B.f(2)＝0 C.f(x)为偶函数 D.f(x)的图象关于(1，0)对称 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中的横线上) 12．(2026·葫芦岛高一期末)已知f(＋1)＝x＋，则f(2)＝ ． 13．已知幂函数f(x)＝x－m2－2m＋3(m∈Z)为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则m的值为 ，f(2)的值为 ． 14．已知函数f(x)是R上的奇函数，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，f(－5)＝0，则不等式(x－3)f(x)>0的解集是 ． 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(13分)如图是一个电子元件在处理数据时的流程图： (1)试确定y与x的函数解析式； (2)求f(－3)，f(1)的值； (3)若f(x)＝16，求x的值． 16．(15分)(2026·哈尔滨高一期中)已知函数f(x)＝－. (1)求函数f(x)的定义域； (2)判断函数f(x)的奇偶性，并证明． 17．(15分)已知f是一次递增函数，g是二次函数，其中f＝9x＋4，g满足g(0)＝2，g(x)－g(x－1)＝2x＋3. (1)求f和g的解析式； (2)在(1)的条件下，令函数F(x)＝g(x)＋af(x)，讨论F在[－8，－2]上的最小值． 18．(17分)某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，规定：当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元．根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件． (1)设一次订购x件，服装的实际出厂单价为p元，写出函数p＝f(x)的解析式； (2)当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？其最大利润是多少？ 19．(17分)已知函数f(x)＝x|x|，函数g(x)＝x2－2x－m. (1)求不等式f(x3－2)>－1的解集； (2)如果对于任意x2∈[－1，2]，都存在x1∈[－2，1]，使得g(x2)＝f(x1)，求实数m的取值范围． 第三章 函数概念与性质 (时间：120分钟　满分：150分) 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．(2026·西宁高一期末)函数y＝的定义域为 (　D　) A.{x∈R|x≠0} B．{x∈R|x≠1} C.{x∈R|x≠－1} D．{x∈R|x≠0且x≠1} 解析：要使原函数有意义，则解得x≠0，且x≠1，则函数y＝的定义域为{x∈R|x≠0，且x≠1}． 2．下列四组函数中，表示同一个函数的一组是 (　C　) A.f(x)＝，g(x)＝x＋1 B.f(x)＝，g(x)＝()2 C.f(x)＝|x|，g(x)＝ D.f(x)＝·，g(x)＝ 解析：对于A，f(x)＝，g(x)＝x＋1定义域不同，不是同一个函数；对于B，f(x)＝，g(x)＝()2定义域不同，对应法则不同，不是同一个函数；对于C，f(x)＝|x|，g(x)＝定义域相同，对应法则相同，是同一个函数；对于D，f(x)＝·，g(x)＝定义域不同，不是同一个函数．故选C. 3．若函数f(2x＋1)＝6x＋4，则f(x)＝ (　A　) A.3x＋1 B．3x－1 C.6x＋1 D．6x＋3 解析：令t＝2x＋1，则x＝t－，所以f(t)＝6(t－)＋4＝3t＋1，所以f(x)＝3x＋1.故选A. 4．(2026·抚顺高一期末)已知函数f(x)＝则f(f(－1))＝ (　D　) A.－2 B．0 C．2 D．6 解析：函数f(x)＝ 则f(－1)＝|－1＋1|＋2＝2， 故f(f(－1))＝f(2)＝22＋2＝6.故选D. 5．(2026·柳州高一检测)f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，且f(－1)＋g(1)＝4，f(1)＋g(－1)＝2，则g(1)＝ (　A　) A.3 B．－1 C．1 D．－3 解析：因为f(x)为奇函数，g(x)为偶函数， 则f(－1)＝－f(1)，g(－1)＝g(1)， 所以－f(1)＋g(1)＝4，f(1)＋g(1)＝2， 两式相加可得2g(1)＝6，即g(1)＝3. 6．若函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是 (　A　) A.(－∞，) B．(，＋∞) C.(－∞，1) D．(1，＋∞) 解析：f(x)＝＝a＋.因为y＝在区间(－2，＋∞)上单调递减，所以1－2a>0，所以a<. 7．已知偶函数f(x)的定义域为R，对任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，均有<0，且f(1)＝0，则满足f(2x－3)>0的x的取值范围是 (　B　) A.(2，＋∞) B.(1，2) C.(－∞，1)∪(2，＋∞) D.[0，2) 解析：由题意，得函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减． 又函数f(x)为偶函数，且f(1)＝0， 由f(2x－3)>0，得f(2x－3)>f(1)， 即f(|2x－3|)>f(1)，所以|2x－3|<1， 即－1<2x－3<1，解得1<x<2， 所以实数x的取值范围是(1，2). 8．如图，△OAB是边长为2的正三角形，记△OAB位于直线x＝t(0≤t≤2)左侧的图形的面积为f(t).则函数y＝f(t)的图象大致为 (　A　) 解析：依题意，当0<t≤1时，可得直角三角形的两条直角边分别为t，t， 从而可以求得f(t)＝t·t＝， 当1<t≤2时，阴影部分可以看作大三角形减去一个小三角形， 可求得f(t)＝－＝－t2＋2t－， 所以f(t)＝ 从而可知选项A的图象满足题意． 二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．关于函数f(x)＝，下列结论正确的是 (　AC　) A.f(x)的图象过原点 B.f(x)是奇函数 C.f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减 D.f(x)是定义域上的增函数 解析：函数f(x)＝＝＝1＋，f(0)＝0，A正确；图象关于点(1，1)对称，B错误；在(－∞，1)，(1，＋∞)上是减函数，在整个定义域上不是减函数，故C正确，D错误．故选AC. 10．下列条件中，可以作为“函数f＝在R上单调递增”的充分不必要条件的有 (　BD　) A.m∈ B．m∈ C.m∈ D．m∈ 解析：若函数f＝在R上单调递增， 函数f＝在上为增函数， 则2m<0，可得m<0； 函数f＝x＋5在上为增函数， 则m＋3>0，解得m>－3； 且有－2m≤－＋5，解得m≥－2. 综上所述，实数m的取值范围是. 求m∈的充分不必要条件等价于求m∈A，A为的真子集， 故BD选项符合题意． 11．(2026·通化高一期末)函数f(x)的定义域为R，且满足f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)，f(4)＝－1，则下列结论正确的有 (　BC　) A.f(0)＝0 B.f(2)＝0 C.f(x)为偶函数 D.f(x)的图象关于(1，0)对称 解析：令x＝4，y＝0， 则f(4＋0)＋f(4－0)＝2f(4)f(0)， 即f(4)＋f(4)＝2f(4)f(0)，可得f(0)＝1，故A错误； 令x＝y＝2，则f(2＋2)＋f(2－2)＝2f(2)f(2)， 即f(4)＋f(0)＝2f2(2)， 又f(4)＝－1，f(0)＝1， 可得f(2)＝0，故B正确； 令x＝0，可得f(y)＋f(－y)＝2f(0)f(y)＝2f(y)， 即f(y)＝f(－y)，故C正确； 若f(x)的图象关于(1，0)对称， 则函数f(x)满足f(0)＋f(2)＝0， 而f(2)＝0，f(0)＝1，显然f(0)＋f(2)＝1≠0，故D错误．故选BC. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中的横线上) 12．(2026·葫芦岛高一期末)已知f(＋1)＝x＋，则f(2)＝2． 解析：f(2)＝f(＋1)＝1＋＝2. 13．已知幂函数f(x)＝x－m2－2m＋3(m∈Z)为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则m的值为－1，f(2)的值为16． 解析：因为幂函数f(x)＝x－m2－2m＋3(m∈Z)为偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，则指数是偶数且大于0，因为－m2－2m＋3＝－(m＋1)2＋4≤4，因此指数等于2或4，当指数等于2时，求得m非整数，舍去，所以m＝－1，即f(x)＝x4.所以f(2)＝24＝16. 14．已知函数f(x)是R上的奇函数，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，f(－5)＝0，则不等式(x－3)f(x)>0的解集是(－5，0)∪(3，5)． 解析：根据题意，得函数f(x)是R上的奇函数，且f(－5)＝0，则f(5)＝－f(－5)＝0，又函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，则在区间(0，5)上，f(x)>0，在区间(5，＋∞)上，f(x)<0，又函数为奇函数，则在区间(－5，0)上，f(x)<0，在区间(－∞，－5)上，f(x)>0，不等式(x－3)f(x)>0⇒或 则－5<x<0或3<x<5， 即不等式的解集为(－5，0)∪(3，5). 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(13分)如图是一个电子元件在处理数据时的流程图： (1)试确定y与x的函数解析式； (2)求f(－3)，f(1)的值； (3)若f(x)＝16，求x的值． 解：(1)y＝ (2)f(－3)＝(－3)2＋2＝11；f(1)＝(1＋2)2＝9. (3)若x≥1，则(x＋2)2＝16，解得x＝2或x＝－6(舍去). 若x＜1，则x2＋2＝16，解得x＝－或x＝(舍去). 综上，可得x＝2或x＝－. 16．(15分)(2026·哈尔滨高一期中)已知函数f(x)＝－. (1)求函数f(x)的定义域； (2)判断函数f(x)的奇偶性，并证明． 解：(1)因为函数f(x)＝－，所以 解得所以函数f(x)的定义域为[－2，0)∪(0，2]. (2)函数f(x)是偶函数． 证明如下，函数f(x)的定义域为[－2，0)∪(0，2]关于原点对称， 又|x＋2|∈[0，2)∪(2，4]， 所以f(x)＝－＝－＝， f(－x)＝＝＝f(x)， 所以f(x)是偶函数． 17．(15分)已知f是一次递增函数，g是二次函数，其中f＝9x＋4，g满足g(0)＝2，g(x)－g(x－1)＝2x＋3. (1)求f和g的解析式； (2)在(1)的条件下，令函数F(x)＝g(x)＋af(x)，讨论F在[－8，－2]上的最小值． 解：(1)设f＝kx＋b， 则f＝k＋b＝k2x＋kb＋b＝9x＋4， 所以f＝3x＋1. 由题意设g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 因为g＝2，所以c＝2， 因为g(x)－g(x－1)＝2x＋3， 所以ax2＋bx＋c－＝2x＋3， 所以2ax－a＋b＝2x＋3， 所以解得a＝1，b＝4， 所以g(x)＝x2＋4x＋2. (2)由(1)可得F(x)＝g(x)＋af(x)＝x2＋(4＋3a)x＋2＋a， 开口向上，对称轴为x＝－. 当a≤0时，对称轴为x＝－≥－2， 所以F(x)在[－8，－2]上单调递减， 所以F(x)min＝F(－2)＝－5a－2. 当0<a≤4时，－8≤x＝－<－2， 所以F(x)在[－8，－]上单调递减， 在(－，－2]上单调递增， 所以F(x)min＝F(－)＝－a2－5a－2. 当a>4时，x＝－<－8， 所以F(x)在[－8，－2]上单调递增， 所以F(x)min＝F(－8)＝－23a＋34. 综上，当a≤0时，F(x)min＝－5a－2； 当0<a≤4时，F(x)min＝－a2－5a－2； 当a>4时，F(x)min＝－23a＋34. 18．(17分)某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，规定：当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元．根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件． (1)设一次订购x件，服装的实际出厂单价为p元，写出函数p＝f(x)的解析式； (2)当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？其最大利润是多少？ 解：(1)当0<x≤100时，p＝60； 当100<x≤600时，p＝60－(x－100)×0.02＝62－0.02x. ∴p＝ (2)设利润为y元，则当0<x≤100时，y＝60x－40x＝20x； 当100<x≤600时，y＝(62－0.02x)x－40x＝22x－0.02x2. ∴y＝ 当0<x≤100时，y＝20x是增函数，所以当x＝100时，y最大，此时y＝20×100＝2 000； 当100<x≤600时， y＝22x－0.02x2＝－0.02(x－550)2＋6 050， ∴当x＝550时，y最大，此时y＝6 050. 显然6 050>2 000. ∴当一次订购550件时，利润最大，最大利润为6 050元. 19．(17分)已知函数f(x)＝x|x|，函数g(x)＝x2－2x－m. (1)求不等式f(x3－2)>－1的解集； (2)如果对于任意x2∈[－1，2]，都存在x1∈[－2，1]，使得g(x2)＝f(x1)，求实数m的取值范围． 解：(1)函数f(x)＝x|x|，定义域为R， f(－x)＝－x|－x|＝－x|x|＝－f(x)， 所以f(x)为奇函数． 当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2，则f(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在R上单调递增． 不等式f(x3－2)>－1，即f(x3－2)>f(－1)，得x3－2>－1，解得x>1， 所以不等式f(x3－2)>－1的解集为(1，＋∞). (2)函数g(x)＝x2－2x－m在[－1，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增， 且g(－1)＝3－m，g(1)＝－1－m，g(2)＝－m，则当x2∈[－1，2]时，g(x2)∈[－1－m，3－m]； 因为f(x)在[－2，1]上单调递增，当x1∈[－2，1]时，f(x1)∈[－4，1]， 依题意有解得2≤m≤3. 所以实数m的取值范围为[2，3]. 学科网（北京）股份有限公司 $