第三章 圆锥曲线的方程 单元检测-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第三章 圆锥曲线的方程 (时间：120分钟，满分：150分) 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．(2026·泸州高二期末)已知双曲线x2－＝1上一点P到它的一个焦点的距离等于5，那么点P到另一个焦点F的距离等于(　　) A．3 B．3或7 C．5 D．7 2．(2026·哈尔滨高二检测)焦点在直线2x＋5y－10＝0上的抛物线的标准方程为(　　) A．y2＝10x或x2＝4y B．y2＝－10x或x2＝－4y C．y2＝20x或x2＝8y D．y2＝－20x或x2＝－8y 3．北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”正式亮相后，国家体育场(又名鸟巢)将再次承办奥运会开幕式．在科技课上，老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同、扁平程度相同的椭圆．已知大椭圆的长轴长为40 cm，短轴长为20 cm，小椭圆的短轴长为10 cm，则小椭圆的长轴长为 (　　) A．15 cm B．20 cm C．22 cm D．25 cm 4．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上．若长轴长为18，两个焦点恰好将长轴三等分，则该椭圆的标准方程是(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 5．已知椭圆E：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2，过点F1且斜率不为0的直线l与E交于A，B两点，若A为E的上顶点，且＝，则E的方程为 (　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋y2＝1 6．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，其右焦点到左顶点的距离为4，焦点到渐近线的距离为2，则双曲线的离心率为(　　) A．2 B．3 C．2 D．3 7．已知抛物线y2＝6x，直线l过抛物线的焦点，直线l与抛物线交于A，B两点，弦AB长为12，则直线l的方程为(　　) A．y＝x－或y＝－x＋ B．y＝x－或y＝－x＋ C．y＝x－或y＝－x＋ D．y＝2x－或y＝－2x＋ 8．(2026·济宁模拟)已知F1，F2是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，若点F2关于双曲线渐近线的对称点A满足∠F1AO＝∠AOF1(O为坐标原点)，则双曲线的渐近线方程为(　　) A．y＝±2x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．(2026·北海高二期末)已知方程＋＝1表示曲线C，则下列说法正确的是(　　) A．“a>2”是“曲线C为双曲线”的充分不必要条件 B．“0<a<2”是“曲线C为椭圆”的充要条件 C．若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1<a<2 D．若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则a<0 10．设O为坐标原点，已知圆E：(x－2)2＋y2＝4，双曲线C：－＝1的焦距为4，双曲线C的一条渐近线与圆E交于O，A两点，另一条渐近线与圆E交于O，B两点，若＋＝4，则 (　　) A．双曲线C的渐近线方程为y＝±x B．双曲线C的离心率为2 C．双曲线C的方程为x2－＝1 D．直线AB经过双曲线C的右顶点 11．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，设l与x轴的交点为K，点P为C上异于O的任意一点，点P在l上的射影为点E，∠EPF的外角平分线交x轴于点Q，过Q作QM⊥PF于点M，过Q作QN⊥PE，交线段EP的延长线于点N，则(　　) A．|PE|＝|PF| B．|PF|＝|QF| C．|PN|＝|MF| D．|PN|＝|KF| 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中的横线上) 12．双曲线C：－＝1的渐近线方程为__________________，C上一点P到点F1(－5，0)的距离为7，则点P到点F2(5，0)的距离为________． 13．(2024·天津卷)圆(x－1)2＋y2＝25的圆心与抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F重合，A为两曲线的交点，则原点到直线AF的距离为________． 14．已知双曲线C：－＝1的左，右焦点分别为F1，F2，A是双曲线C上一点，B为线段AF1的中点．若＝＝2，则双曲线C的离心率为________． 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(13分)求满足下列条件的标准方程． (1)焦点在坐标轴上，长轴长为6，焦距为4的椭圆的标准方程； (2)与双曲线－＝1有共同的渐近线，且过点(－3，2)的双曲线的标准方程； (3)焦点F在y轴上，点A(m，－2)在抛物线上，且|AF|＝3的抛物线的标准方程． 16．(15分)已知抛物线C：y2＝2px过点P(4，2)，焦点为F. (1)求抛物线C的方程； (2)求过点P且与抛物线C有且仅有一个公共点的直线l的方程． 17．(15分)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个顶点为A(0，1)，离心率为，过点B(0，－2)及左焦点F1的直线交椭圆于C，D两点，右焦点为F2. (1)求椭圆的方程； (2)求弦长|CD|. 18．(17分)双曲线－＝1(a>0，b>0)过点A(－3，2)，且离心率e＝. (1)求该双曲线的标准方程； (2)如果B，C为双曲线上的动点，直线AB与直线AC的斜率互为相反数，证明：直线BC的斜率为定值，并求出该定值． 19．(17分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)，且椭圆C上的点M满足|MF1|＝，∠MF1F2＝150°. (1)求椭圆C的方程； (2)点P是椭圆C的上顶点，点Q，R在椭圆C上，若直线PQ，PR的斜率分别为k1，k2，满足k1·k2＝，求△PRQ面积的最大值． 第三章 圆锥曲线的方程 (时间：120分钟，满分：150分) 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．(2026·泸州高二期末)已知双曲线x2－＝1上一点P到它的一个焦点的距离等于5，那么点P到另一个焦点F的距离等于(　　) A．3 B．3或7 C．5 D．7 D　解析：由题意可知，a＝1，c＝5， 则||PF|－5|＝2，∴|PF|＝3或|PF|＝7，若|PF|＝3，则5＋3＝8<10，∴|PF|≠3，∴|PF|＝7. 2．(2026·哈尔滨高二检测)焦点在直线2x＋5y－10＝0上的抛物线的标准方程为(　　) A．y2＝10x或x2＝4y B．y2＝－10x或x2＝－4y C．y2＝20x或x2＝8y D．y2＝－20x或x2＝－8y C　解析：对于2x＋5y－10＝0，令x＝0，得y＝2，此时抛物线的焦点为(0，2)， 所以p＝4，抛物线标准方程为x2＝8y；令y＝0，得x＝5，此时抛物线的焦点为(5，0)， 所以p＝10，抛物线标准方程为y2＝20x.故选C． 3．北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”正式亮相后，国家体育场(又名鸟巢)将再次承办奥运会开幕式．在科技课上，老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同、扁平程度相同的椭圆．已知大椭圆的长轴长为40 cm，短轴长为20 cm，小椭圆的短轴长为10 cm，则小椭圆的长轴长为 (　　) A．15 cm B．20 cm C．22 cm D．25 cm B　解析：根据题意，在大椭圆中，解得 则在大椭圆中，e＝＝＝＝＝＝， 又两个椭圆扁平度相同，即离心率相等， 根据题意，在小椭圆中，2b1＝10，解得b1＝5， 则在小椭圆中，e＝＝＝＝＝， 即＝，解得a＝100，a1＝10， 所以小椭圆的长轴长为2a1＝20 cm. 4．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上．若长轴长为18，两个焦点恰好将长轴三等分，则该椭圆的标准方程是(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 A　解析：由题意，长轴长为2a＝18，得a＝9，则2c＝6，得c＝3， 故b2＝a2－c2＝81－9＝72， 所以该椭圆的标准方程是＋＝1. 5．已知椭圆E：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2，过点F1且斜率不为0的直线l与E交于A，B两点，若A为E的上顶点，且＝，则E的方程为 (　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋y2＝1 A　解析：由题知c＝1，F1，A， 设B，由＝， 所以＝，即＝，得x0＝－，y0＝－b. 由B在椭圆上，得＋＝1，解得a2＝5， 因为c＝1，a2－b2＝c2，所以b2＝4， 故椭圆E的方程为＋＝1. 6．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，其右焦点到左顶点的距离为4，焦点到渐近线的距离为2，则双曲线的离心率为(　　) A．2 B．3 C．2 D．3 B　解析：设双曲线的右焦点F(c，0)，其渐近线方程为bx±ay＝0.由题意得＝b＝2，所以右焦点到左顶点的距离为a＋c＝4. 又a2＋b2＝c2，即(c－a)(c＋a)＝8，解得a＝1，c＝3， 所以双曲线的离心率为e＝＝3. 7．已知抛物线y2＝6x，直线l过抛物线的焦点，直线l与抛物线交于A，B两点，弦AB长为12，则直线l的方程为(　　) A．y＝x－或y＝－x＋ B．y＝x－或y＝－x＋ C．y＝x－或y＝－x＋ D．y＝2x－或y＝－2x＋ B　解析：根据题意可得直线l的斜率存在(显然当斜率不存在时，不符合题意)，抛物线的焦点F(，0)，设直线l的方程为y＝k(x－)＝kx－k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得k2x2－(3k2＋6)x＋k2＝0，所以x1＋x2＝，x1x2＝， 因为|AB|＝x1＋x2＋p＝＋3＝12，解得k2＝1，k＝±1， 则直线l的方程为y＝x－或y＝－x＋.故选B． 8．(2026·济宁模拟)已知F1，F2是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，若点F2关于双曲线渐近线的对称点A满足∠F1AO＝∠AOF1(O为坐标原点)，则双曲线的渐近线方程为(　　) A．y＝±2x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x B　解析：如图所示， 由对称性可得，M为AF2的中点，且AF2⊥OM，所以AF1⊥AF2.因为∠F1AO＝∠AOF1，所以|AF1|＝|F1O|＝c，故而由几何性质可得∠AF1O＝60°，即∠MOF2＝60°，故渐近线方程为y＝±x. 二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．(2026·北海高二期末)已知方程＋＝1表示曲线C，则下列说法正确的是(　　) A．“a>2”是“曲线C为双曲线”的充分不必要条件 B．“0<a<2”是“曲线C为椭圆”的充要条件 C．若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1<a<2 D．若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则a<0 AD　解析：对于A，若方程＋＝1表示的曲线为双曲线， 则a(4－2a)<0，解得a>2或a<0， 所以“a>2”是“曲线C为双曲线”的充分不必要条件，故A正确； 对于B，若曲线C表示椭圆，则解得0<a<2且a≠，故B错误； 对于C，若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则a>4－2a>0，可得<a<2，故C错误； 对于D，若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则a<0且4－2a>0，可得a<0，故D正确． 10．设O为坐标原点，已知圆E：(x－2)2＋y2＝4，双曲线C：－＝1的焦距为4，双曲线C的一条渐近线与圆E交于O，A两点，另一条渐近线与圆E交于O，B两点，若＋＝4，则 (　　) A．双曲线C的渐近线方程为y＝±x B．双曲线C的离心率为2 C．双曲线C的方程为x2－＝1 D．直线AB经过双曲线C的右顶点 BCD　解析：A选项，由双曲线的性质与圆的对称性得，＝， 又＋＝4，故＝＝2， 由圆E：(x－2)2＋y2＝4得圆心为E，半径为r＝2， 故|EO|＝|EA|＝2，故△OEA为等边三角形， 故双曲线C的渐近线y＝x的倾斜角为α＝60°，则＝tan 60°＝， 因此双曲线C的渐近线方程为y＝±x，A错误； B选项，双曲线C的离心率e＝＝＝＝＝2，B正确； C选项，由得，c＝2，a＝1，所以b2＝c2－a2＝3， 所以双曲线C的方程为x2－＝1，C正确； D选项，将y＝x代入(x－2)2＋y2＝4，解得x＝1或0(舍去)， 将x＝1代入y＝x得y＝， 将y＝－x代入(x－2)2＋y2＝4，解得x＝1或0(舍去)， 将x＝1代入y＝－x得y＝－， 结合图象，不妨取A，B，则直线AB的方程为x＝1， 又双曲线C的右顶点为，所以直线AB经过C的右顶点，D正确． 11．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，设l与x轴的交点为K，点P为C上异于O的任意一点，点P在l上的射影为点E，∠EPF的外角平分线交x轴于点Q，过Q作QM⊥PF于点M，过Q作QN⊥PE，交线段EP的延长线于点N，则(　　) A．|PE|＝|PF| B．|PF|＝|QF| C．|PN|＝|MF| D．|PN|＝|KF| ABD　解析：对于A，由抛物线的定义知A项正确；对于B，∵∠FQP＝∠QPN＝∠QPF，∴|PF|＝|QF|，B项正确；对于C，由题意知|PM|＝|PN|，又|PM|与|MF|不一定相等，∴|PN|与|MF|不一定相等，C项错误；对于D，由题意知四边形QKEN为矩形，∴|PN|＝|NE|－|PE|＝|QK|－|QF|＝|KF|，D项正确．故选ABD． 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中的横线上) 12．双曲线C：－＝1的渐近线方程为__________________，C上一点P到点F1(－5，0)的距离为7，则点P到点F2(5，0)的距离为________． 答案：y＝±x　13　解析：双曲线C：－＝1中的a＝3，b＝4，c＝5，可得渐近线方程为y＝±x.若P在双曲线的右支上，可得|PF1|≥a＋c＝8，双曲线C上一点P到点F1(－5，0)的距离为7，可得P在左支上，所以|PF2|－|PF1|＝2a＝6，即有|PF2|＝7＋6＝13. 13．(2024·天津卷)圆(x－1)2＋y2＝25的圆心与抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F重合，A为两曲线的交点，则原点到直线AF的距离为________． 答案：　解析：由题意知圆(x－1)2＋y2＝25的圆心坐标为(1，0)，则F(1，0)，故＝1，即p＝2，由抛物线的定义得|AF|＝xA＋1＝5，得xA＝4.由对称性不妨设A(4，4)，则直线AF的方程为y＝(x－1)，即4x－3y－4＝0，所以原点到直线AF的距离是＝. 14．已知双曲线C：－＝1的左，右焦点分别为F1，F2，A是双曲线C上一点，B为线段AF1的中点．若＝＝2，则双曲线C的离心率为________． 答案：　解析：由题意设＝＝2＝2c， 因为B为线段AF1的中点，所以AF1⊥BF2， 又＝c，所以＝c，则＝2c， 根据双曲线定义知＋2a＝2c＋2a，所以2c＝2c＋2a， 解得＝， 故双曲线的离心率为. 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(13分)求满足下列条件的标准方程． (1)焦点在坐标轴上，长轴长为6，焦距为4的椭圆的标准方程； (2)与双曲线－＝1有共同的渐近线，且过点(－3，2)的双曲线的标准方程； (3)焦点F在y轴上，点A(m，－2)在抛物线上，且|AF|＝3的抛物线的标准方程． 解：(1)由题意得a＝3，c＝2，故b2＝9－4＝5. 当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为＋＝1； 当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为＋＝1. 综上，所求的椭圆标准方程为＋＝1或＋＝1. (2)设所求双曲线的方程为－＝λ(λ≠0). 将点(－3，2)的坐标代入，得λ＝－＝， 所以所求双曲线的方程为－＝1. (3)设所求抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，其准线方程为y＝. 因为点A(m，－2)在抛物线上，且|AF|＝3， 所以2＋＝3，解得p＝2，所以抛物线方程为x2＝－4y. 16．(15分)已知抛物线C：y2＝2px过点P(4，2)，焦点为F. (1)求抛物线C的方程； (2)求过点P且与抛物线C有且仅有一个公共点的直线l的方程． 解：(1)因为抛物线C：y2＝2px过点P(4，2)， 代入可得4＝2p×4⇒p＝，所以抛物线C的方程为y2＝x. (2)过点P且与抛物线C有且仅有一个公共点的直线斜率一定存在， 所以设直线l斜率为k， 当k＝0时，直线方程为y＝2，符合题意； 当k≠0时，设直线方程为y－2＝k(x－4)， 联立可得y2－y＋－4＝0， Δ＝()2－4(－4)＝0⇒(－4)2＝0⇒k＝， 此时直线方程为x－4y＋4＝0， 综上，直线l的方程为y＝2或x－4y＋4＝0. 17．(15分)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个顶点为A(0，1)，离心率为，过点B(0，－2)及左焦点F1的直线交椭圆于C，D两点，右焦点为F2. (1)求椭圆的方程； (2)求弦长|CD|. 解：(1)因为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个顶点为A(0，1)， 所以b＝1.又 所以a2＝2，c＝1，所以椭圆的方程为＋y2＝1. (2)设C(x1，y1)，D(x2，y2)， 椭圆的左焦点F1(－1，0)，所以直线BF1的方程为＋＝1， 即y＝－2x－2，联立直线与椭圆方程 整理得9x2＋16x＋6＝0， 所以x1＋x2＝－，x1x2＝， 所以|CD|＝·＝×＝. 18．(17分)双曲线－＝1(a>0，b>0)过点A(－3，2)，且离心率e＝. (1)求该双曲线的标准方程； (2)如果B，C为双曲线上的动点，直线AB与直线AC的斜率互为相反数，证明：直线BC的斜率为定值，并求出该定值． (1)解：由题意得 ∴a2＝8，b2＝32， ∴双曲线的方程为－＝1. (2)证明：设B(x1，y1)，C(x2，y2)，设AB的方程为y－2＝k(x＋3)，代入双曲线方程，可得(4－k2)x2－2k(3k＋2)x－(3k＋2)2－32＝0， ∴－3＋x1＝， ∴x1＝，y1＝， ∴B(，)， 同理C(，). ∴kBC＝＝6.故直线BC的斜率为定值6. 19．(17分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)，且椭圆C上的点M满足|MF1|＝，∠MF1F2＝150°. (1)求椭圆C的方程； (2)点P是椭圆C的上顶点，点Q，R在椭圆C上，若直线PQ，PR的斜率分别为k1，k2，满足k1·k2＝，求△PRQ面积的最大值． 解：(1)依题意得c＝，|F1F2|＝2c＝2. 由椭圆定义知|MF1|＋|MF2|＝2a， 又|MF1|＝，则|MF2|＝2a－， 在△MF1F2中，∠MF1F2＝150°，由余弦定理得|MF2|2＝|MF1|2＋|F1F2|2－2|MF1||F1F2|·cos ∠MF1F2， 即(2a－)2＝()2＋(2)2－2××2×cos 150°，解得a＝2或a＝－(舍去)，又b2＝a2－c2＝1， 故所求椭圆方程为＋y2＝1. (2)设Q(x1，y1)，R(x2，y2)，直线QR：y＝kx＋m， 联立方程组得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0， Δ＝64k2m2－4(4m2－4)(1＋4k2)＝16(1＋4k2－m2)>0，得1＋4k2>m2， 由根与系数的关系可得x1＋x2＝，x1x2＝， k1k2＝·＝＝＝， 由题意知m≠1，由x1＋x2＝，x1x2＝， 代入化简得4k2(m＋1)－8k2m＋(m－1)(4k2＋1)－3(m＋1)＝0， ∴m＝－2， 故直线QR过定点(0，－2)， 由Δ>0，解得k2>， S△PQR＝×3|x1－x2|＝·＝， 令t＝>0，则S△PQR＝＝≤，当且仅当t＝2，即k＝±时等号成立， 所以△PRQ面积的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $