抛物线单元测试-2025--2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

人教A版选择性必修第一册《抛物线》2025年单元测试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.抛物线的准线方程是(    ) A. B. C. D. 2.已知是抛物线：的焦点，则过点且斜率为的直线方程为(    ) A. B. C. D. 3.已知为抛物线：上的一点，点到抛物线焦点的距离为，则(    ) A. B. C. D. 4.已知抛物线的顶点在坐标原点上，焦点是，且与直线有两个交点，则实数的取值范围为(    ) A. B. C. D. 5.动圆经过定点，且与直线相切，则动圆的圆心的轨迹方程是(    ) A. B. C. D. 6.抛物线形拱桥的示意图如图所示，当水面在时，拱顶距离水面，水面宽，当水位上升后，水面宽(    ) A. B. C. D. 7.抛物线镜面有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经过抛物线上的另一点反射后，平行于入射光线射出，则(    ) A. B. C. D. 8.已知点，，若点在抛物线上，则使得的面积为的点的个数为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知抛物线：，则(    ) A. 的焦点在轴上 B. 的焦点在轴上 C. 上横坐标为的点到焦点的距离等于 D. 上纵坐标为的点到焦点的距离等于 10.直线与抛物线有且只有一个公共点，则的值为(    ) A. B. C. D. 11.设抛物线，为其焦点，为抛物线上一点则下列结论正确的是(    ) A.   若，则 B. 若点到焦点的距离为，则的坐标为 C. 若，则的最小值为 D. 过焦点做斜率为的直线与抛物线相交于，两点，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则 ______． 13.斜率为的直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，则          ． 14.已知抛物线：的焦点为，直线与交于，两点，以为直径的圆过焦点，线段的中点为，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，则的最大值为          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知抛物线：的焦点为，斜率为的直线与的交点为，，与轴的交点为． 若，求的方程； 若，求． 16.本小题分 已知抛物线上点到焦点的距离为， 求抛物线的方程； 已知点为抛物线的准线与轴的交点，且直线：与抛物线相交于，两点，求三角形的面积． 17.本小题分 已知抛物线：经过点，为抛物线的焦点，且． 求的值； 点为抛物线上一动点，点为线段的中点，试求点的轨迹方程．   18.本小题分 已知抛物线：的焦点为，且与圆：上点的距离的最小值为． 求； 若点在上，，为的两条切线，，是切点，求面积的最大值． 19.本小题分 如图，已知是抛物线的焦点，是抛物线的准线与轴的交点，且． 求抛物线方程； 设过点的直线交抛物线于两点，若斜率为的直线与直线轴依次交于点，且满足，求直线在轴上截距的取值范围． 人教A版选择性必修第一册《抛物线》2025年单元测试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.抛物线的准线方程是(    ) A. B. C. D. 【答案】C 解：由抛物线，可得准线方程，即． 2.已知是抛物线：的焦点，则过点且斜率为的直线方程为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：抛物线：的标准方程为，焦点的坐标为， 则过点且斜率为的直线方程为，即． 3.已知为抛物线：上的一点，点到抛物线焦点的距离为，则(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：抛物线：的准线方程为，因为到抛物线焦点的距离为， 所以由抛物线定义知，，解得． 4.已知抛物线的顶点在坐标原点上，焦点是，且与直线有两个交点，则实数的取值范围为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：已知抛物线的顶点在坐标原点上，焦点是，则抛物线方程为， 联立，消可得：，由题意可得：，即， 即实数的取值范围为． 5.动圆经过定点，且与直线相切，则动圆的圆心的轨迹方程是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：由题意，动圆经过定点，且与直线相切，圆心到定点的距离与其到直线的距离相等，动圆的圆心的轨迹方程是以定点为焦点，以为准线的抛物线，故， 6.抛物线形拱桥的示意图如图所示，当水面在时，拱顶距离水面，水面宽，当水位上升后，水面宽(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：如图，以拱顶为坐标原点建立平面直角坐标系，设抛物线方程为， 将代入，解得：，， 代入，，得，水面宽为 7.抛物线镜面有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经过抛物线上的另一点反射后，平行于入射光线射出，则(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：令，得，即， 由抛物线的光学性质可知直线经过焦点，设直线的方程为， 代入，消去，得， 则，所以，所以． 8.已知点，，若点在抛物线上，则使得的面积为的点的个数为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：由题意点，，可得的方程为，即． 设点，则点到的距离为：，由于的面积为，故，化简可得，解得，或，或或． 综上可得，使得的面积为的点的个数为． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知抛物线：，则(    ) A. 的焦点在轴上 B. 的焦点在轴上 C. 上横坐标为的点到焦点的距离等于 D. 上纵坐标为的点到焦点的距离等于 【答案】AC  【解析】解：抛物线：，故，则的焦点坐标为，位于轴上，故A正确；B错误； 上横坐标为的点到焦点的距离等于，故C正确； 上纵坐标为的点的横坐标为，则所求距离为，故D错误． 10.直线与抛物线有且只有一个公共点，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】AB  【解析】解：联立，得， 当时，方程只有一个根，即直线与抛物线有一个交点， 当时，若直线与抛物线有且只有一个公共点， 则，即， 综上所述，或． 11.设抛物线，为其焦点，为抛物线上一点则下列结论正确的是(    ) A.   若，则 B. 若点到焦点的距离为，则的坐标为 C. 若，则的最小值为 D. 过焦点做斜率为的直线与抛物线相交于，两点，则 【答案】AC  解：由抛物线可得，其焦点坐标，若，则，故A正确； 若点到焦点的距离为，则设点坐标为，即， 令，解得，则，故的坐标为，故B错误； 由点坐标可知，点在抛物线上方，所以的最小值即， ，故C正确；由题意可得抛物线焦点，准线方程为， 则直线的方程为，代入并化简得， 设，，则，，所以，故D错误， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则 ______． 【答案】  【解析】解：由椭圆得到，，解得． 椭圆的右焦点为，即为抛物线的焦点，，解得． 13.斜率为的直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，则          ． 【答案】  解：抛物线的焦点为，则直线的方程为， 联立得，所以，从而 ， 14.已知抛物线：的焦点为，直线与交于，两点，以为直径的圆过焦点，线段的中点为，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，则的最大值为          ． 【答案】  解：过点，作准线的垂线，垂直分别为，， 设，，连接、， 由抛物线定义，得，， 在梯形中，． 以为直径的圆过点，，配方得，， 又， 得到．所以，即的最大值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知抛物线：的焦点为，斜率为的直线与的交点为，，与轴的交点为． 若，求的方程； 若，求． 【答案】解：设直线，，， 由题意，可得，故， 因为，所以， 联立，整理得， 可知：，由韦达定理可知，，  从而，解得，所以直线的方程为． 设直线，，， 由，可得，联立，整理得， 可知：，由韦达定理可知，，又，解得， 代入抛物线方程得，，即，， 故．  16.本小题分 已知抛物线上点到焦点的距离为， 求抛物线的方程； 已知点为抛物线的准线与轴的交点，且直线：与抛物线相交于，两点，求三角形的面积． 【答案】；   【解析】由抛物线的定义可知：得，解得，抛物线方程为：； 点为抛物线的准线与轴的交点，点坐标为， 设，， 将直线方程代入抛物线方程：，整理得：， 由韦达定理可知：，， 丨丨， 到直线的距离， 的面积丨丨． 的面积． 17.本小题分 已知抛物线：经过点，为抛物线的焦点，且． 求的值； 点为抛物线上一动点，点为线段的中点，试求点的轨迹方程． 【答案】解：由抛物线：经过点可得：， 又，可得，解得，； 由知：，则，设，， 根据点为线段的中点， 可得：，即， 由点为抛物线上，所以， 整理可得点的轨迹方程为．  18.本小题分 已知抛物线：的焦点为，且与圆：上点的距离的最小值为． 求； 若点在上，，为的两条切线，，是切点，求面积的最大值． 【答案】解：点到圆上的点的距离的最小值为，解得； 由知，抛物线的方程为，即，则， 设切点，， 则易得， 从而得到， 设：，联立抛物线方程，消去并整理可得， ，即，且，， ， ， 点到直线的距离， ，又点在圆：上， 故，代入得，，而， 当时，．  19.本小题分 如图，已知是抛物线的焦点，是抛物线的准线与轴的交点，且． 求抛物线方程； 设过点的直线交抛物线于两点，若斜率为的直线与直线轴依次交于点，且满足，求直线在轴上截距的取值范围． 【答案】解：由题意知，故抛物线方程为； 设直线的方程为， 联立， ，，， 设直线的方程为：，联立，  ， ，， ， 直线的方程：， 联立 同理， ， ， ， 令，则，  ，，解得或且， 故直线在轴上截距的取值范围为：  1 学科网（北京）股份有限公司 $