第三章 圆锥曲线的方程 单元检测卷--2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

人教A版2019高中数学选择性必修一 第三章　圆锥曲线的方程　单元检测卷 （满分：150分　　考试时间：120分钟） 注意事项　 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，在本试卷上作答无效。 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．椭圆 的焦点坐标为（　　） A． B． C． D． 2．双曲线 的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 3．如图，抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 为定点， 为抛物线上一动点，则 的最小值为（　　） 图1 A． B． C． D． 4．已知椭圆 的长轴长是短轴长的 倍，则 的离心率为（　　） A． B． C． D． 5．已知椭圆 ，直线 与椭圆交于 ， 两点，若线段 的中点坐标为 ，则直线 的斜率为（　　） A． B． C． D． 6．已知 ， 是双曲线 的左、右焦点，点 在双曲线上，且 ，则 （　　） A． B． C．或 D． 7．过抛物线 的焦点 的直线与抛物线交于 ， 两点，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 8．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，，若椭圆上存在点 ，使得 ，则该椭圆离心率的取值范围为（　　） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，，点 在椭圆上，则下列结论正确的是（　　） A．椭圆的离心率为 B． C． 面积的最大值 D．存在点，使得 10．已知双曲线 ，则下列结论正确的是（　　） A．的离心率为 B．的渐近线方程为 C．的焦点到渐近线的距离 D．直线与有两个公共点 11．已知抛物线 的焦点为 ，则下列结论正确的是（　　） A． 的坐标为 B． 的准线方程为 C．过 的弦长的最小值为 D．过 且斜率为 的直线被 截得的弦长为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知椭圆 的离心率为 ，则 ________。 13．已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线与 交于 ， 两点，若 ，则线段 的中点到 轴的距离为 ________。 14．设 ， 是椭圆 的左、右焦点，点 在椭圆上，若 ，则 的面积为 ________。 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分）根据下列条件，求圆锥曲线的标准方程。 （1）焦点在 轴上，长轴长为 ，离心率为 的椭圆； （2）顶点在原点，对称轴为 轴，且焦点到准线的距离为 的抛物线。 16．（15分）已知椭圆 ，直线 与椭圆 交于 ， 两点， 为坐标原点。 （1）若直线 与椭圆 有两个不同的公共点，求实数 的取值范围； （2）若 ，求 的值与弦长 。 17．（15分）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，，点 在双曲线 上，且 。 （1）求 的面积； （2）求点 的坐标。 18．（17分）如图，已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线 与抛物线 交于 ， 两点。 图2 （1）若直线 的斜率为 ，求 ； （2）证明： 为定值，并求出该定值； （3）求 面积的最小值（ 为坐标原点）。 19．（17分）如图，已知椭圆 的左、右顶点分别为 ，，点 （）为椭圆 上一动点，直线 与直线 交于点 ，直线 与直线 交于点 。 图3 （1）求直线 与 的斜率之积； （2）证明：以 为直径的圆恒过两个定点，并求出这两个定点的坐标。 学科网（北京）股份有限公司 $人教A版2019高中数学选择性必修一 第三章　圆锥曲线的方程　单元检测卷 （满分：150分　　考试时间：120分钟） 注意事项　 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，在本试卷上作答无效。 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．椭圆 的焦点坐标为（　　） A． B． C． D． 2．双曲线 的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 3．如图，抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 为定点， 为抛物线上一动点，则 的最小值为（　　） 图1 A． B． C． D． 4．已知椭圆 的长轴长是短轴长的 倍，则 的离心率为（　　） A． B． C． D． 5．已知椭圆 ，直线 与椭圆交于 ， 两点，若线段 的中点坐标为 ，则直线 的斜率为（　　） A． B． C． D． 6．已知 ， 是双曲线 的左、右焦点，点 在双曲线上，且 ，则 （　　） A． B． C．或 D． 7．过抛物线 的焦点 的直线与抛物线交于 ， 两点，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 8．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，，若椭圆上存在点 ，使得 ，则该椭圆离心率的取值范围为（　　） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，，点 在椭圆上，则下列结论正确的是（　　） A．椭圆的离心率为 B． C． 面积的最大值 D．存在点，使得 10．已知双曲线 ，则下列结论正确的是（　　） A．的离心率为 B．的渐近线方程为 C．的焦点到渐近线的距离 D．直线与有两个公共点 11．已知抛物线 的焦点为 ，则下列结论正确的是（　　） A． 的坐标为 B． 的准线方程为 C．过 的弦长的最小值为 D．过 且斜率为 的直线被 截得的弦长为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知椭圆 的离心率为 ，则 ________。 13．已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线与 交于 ， 两点，若 ，则线段 的中点到 轴的距离为 ________。 14．设 ， 是椭圆 的左、右焦点，点 在椭圆上，若 ，则 的面积为 ________。 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分）根据下列条件，求圆锥曲线的标准方程。 （1）焦点在 轴上，长轴长为 ，离心率为 的椭圆； （2）顶点在原点，对称轴为 轴，且焦点到准线的距离为 的抛物线。 16．（15分）已知椭圆 ，直线 与椭圆 交于 ， 两点， 为坐标原点。 （1）若直线 与椭圆 有两个不同的公共点，求实数 的取值范围； （2）若 ，求 的值与弦长 。 17．（15分）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，，点 在双曲线 上，且 。 （1）求 的面积； （2）求点 的坐标。 18．（17分）如图，已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线 与抛物线 交于 ， 两点。 图2 （1）若直线 的斜率为 ，求 ； （2）证明： 为定值，并求出该定值； （3）求 面积的最小值（ 为坐标原点）。 19．（17分）如图，已知椭圆 的左、右顶点分别为 ，，点 （）为椭圆 上一动点，直线 与直线 交于点 ，直线 与直线 交于点 。 图3 （1）求直线 与 的斜率之积； （2）证明：以 为直径的圆恒过两个定点，并求出这两个定点的坐标。 参考答案与评分标准 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1．C　解析：，，则 ，焦点在 轴上，故焦点坐标为 。 2．A　解析：，，渐近线方程为 。 3．B　解析：由抛物线的定义， 等于点 到准线 的距离，于是 等于”点 到 的距离与 之和”，其最小值为点 到 的距离 ，此时 为直线 与抛物线的交点。 4．C　解析：，则 。 5．A　解析：设 ，，代入椭圆方程并作差，得 ，即 ，其中 为弦 的中点。代入 得 。 6．B　解析：，。若 在右支上，则 ，矛盾，故 在左支上，由定义 ，得 。 7．B　解析：由焦点弦性质，。 8．B　解析： 等价于以 为直径的圆与椭圆有公共点，即椭圆短轴端点处 ，得 ，即 ，；又 ，故 。 二、多项选择题（每小题6分，共18分） 9．ABC　解析：，，。A：，正确；B：由定义 ，正确；C：，正确；D： 需 ，而 ，不存在，错误。 10．ABC　解析：，，。A：，正确；B：渐近线 ，正确；C：焦点 到渐近线 的距离为 ，正确；D：该直线与渐近线平行，与 只有一个公共点，错误。 11．ABD　解析：A、B 为抛物线的标准结论，正确；C：过焦点的弦长的最小值为通径长 ，错误；D：设直线 ，代入 得 ，则 ，弦长为 ，正确。 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．　解析：，，故 ，。 13．　解析：由焦点弦性质 ，得 ，故 中点的横坐标为 ，到 轴的距离为 。 14．　解析：，，。设 ，，则 。在 中由余弦定理得 ，即 ，解得 ，故 。 四、解答题（共77分） 15．（1）设椭圆的方程为 。由 得 ；由 得 ，故 。所以椭圆的标准方程为 。（6分） （2）由对称轴为 轴，设抛物线的方程为 或 ，两类方程中焦点到准线的距离均为 。所以抛物线的标准方程为 或 。（7分） 16．（1）联立 消去 并整理，得 。由 ，得 ，即 。（6分） （2）设 ，，由（1）知 ，，且 。由 得 ，即 ，解得 ，故 。此时 ，所以 。（9分） 17．（1）由 ， 得 ，故 ，。由 知 ，即点 在以 为直径的圆 上。联立 消去 得 ，解得 ，。故 。（7分） （2）由（1）得 ，，且 ，符合题意。所以点 的坐标为 ，， 或 。（8分） 18．（1）直线 ，代入 得 ，则 ，故 。（5分） （2）直线 的斜率必存在（否则 与抛物线只有一个公共点），设 ，代入 得 ，则 ，。又 ，，故 。于是 ，为定值 。（6分） （3）因为 ，所以 ， 分别位于 轴的上、下方，，当且仅当 （直线 垂直于 轴）时取等号。故 面积的最小值为 。（6分） 19．（1）由点 在椭圆上得 ，即 。因为 ，，所以 。（6分） （2）直线 ：，令 ，得 ；直线 ：，令 ，得 。所以 （定值）。以 为直径的圆的方程为 。令 ，得 ，即 ，解得 或 。所以以 为直径的圆恒过两个定点 与 。（11分） 学科网（北京）股份有限公司 $